1ère · Chapitre 4 · Analyse

Variations et courbes

30 exercices corrigés

1 Parité et symétries

Définitions

Soit $f$ définie sur un ensemble $D$ symétrique par rapport à $0$ (si $x \in D$, alors $-x \in D$).

$f$ est paire si $f(-x) = f(x)$ pour tout $x$ de $D$ : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ;
$f$ est impaire si $f(-x) = -f(x)$ pour tout $x$ de $D$ : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.

À gauche, une fonction paire (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées) ; à droite, une fonction impaire (courbe symétrique par rapport à l'origine).

Exemples

$x \mapsto x^2$ et $x \mapsto |x|$ sont paires ; $x \mapsto x^3$ et $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ sont impaires ; $x \mapsto x^2 + x$ n'est ni paire ni impaire ($f(1) = 2$ mais $f(-1) = 0$).

Intérêt

Pour une fonction paire ou impaire, il suffit d'étudier $f$ sur $[0 ; +\infty[$ puis de compléter par symétrie.

2 Étudier les variations avec la dérivée

Rappel

Sur un intervalle, $f' \geqslant 0$ donne $f$ croissante, $f' \leqslant 0$ donne $f$ décroissante. Si $f'$ s'annule en changeant de signe en $a$, $f$ admet un extremum local en $a$.

Méthode — étude d'une fonction

préciser l'ensemble de définition ;
calculer $f'(x)$ et l'écrire sous forme factorisée ;
étudier le signe de $f'(x)$ (tableau de signes) ;
dresser le tableau de variations avec les valeurs aux bornes et aux extremums.

Exemple

$f(x) = x^3 - 12x$. $f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x - 2)(x + 2)$.

$x$	$-\infty$		$-2$		$2$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$		↗︎	$16$	↘︎	$-16$	↗︎

$f$ admet un maximum local $16$ en $-2$ et un minimum local $-16$ en $2$.

Attention

$f'(a) = 0$ ne suffit pas. Pour $f(x) = x^3$, $f'(0) = 0$ mais $f' \geqslant 0$ partout : pas d'extremum en $0$.

3 Exploiter les variations

Nombre de solutions de $f(x) = k$

Sur un intervalle où $f$ est strictement monotone et où $k$ est compris entre les valeurs aux bornes, l'équation $f(x) = k$ a une seule solution. On lit le nombre total de solutions dans le tableau de variations.

Démontrer une inégalité

Pour prouver $f(x) \geqslant g(x)$, on étudie $h(x) = f(x) - g(x)$ et on montre que son minimum est positif ou nul.

Problème d'optimisation

On choisit la variable, on exprime la grandeur à optimiser par une fonction, on précise l'intervalle d'étude, puis on cherche l'extremum à l'aide de la dérivée.

Pour aller plus loin

Contenu facultatif, non exigible.

En terminale, tu étudieras les limites et les asymptotes, la convexité et la fonction logarithme.

Tu as lu le cours ?Voir la fiche mémo →

L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.

L'essentiel

Notion	Ce qu'il faut savoir
Fonction paire	$f(-x) = f(x)$ : symétrie d'axe $(Oy)$
Fonction impaire	$f(-x) = -f(x)$ : symétrie de centre $O$
Variations	Signe de $f'$ (après factorisation)
Extremum local	$f'$ s'annule en changeant de signe
Inégalité	Étudier le signe ou le minimum de la différence
Optimisation	Variable → fonction → intervalle → dérivée → extremum

Pièges à éviter

Vérifier que l'ensemble de définition est symétrique avant de parler de parité.
Toujours factoriser $f'(x)$ avant d'étudier son signe.
Vérifier que la valeur optimale appartient à l'intervalle d'étude.

Prêt à t’entraîner ?Faire les exercices →

Niveau 1Facile (Exercices 1 à 11)

Exercice 1—Paire, impaire ou ni l'une ni l'autre ?Niveau 1

a) $f(x) = x^4 - 3x^2$ $\quad$
b) $g(x) = x^3 - 5x$ $\quad$
c) $h(x) = x^2 + x$

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Les trois fonctions sont définies sur $\mathbb{R}$, symétrique par rapport à $0$.

a) $f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 = x^4 - 3x^2 = f(x)$ : $f$ est paire.

b) $g(-x) = -x^3 + 5x = -(x^3 - 5x) = -g(x)$ : $g$ est impaire.

c) $h(1) = 2$ et $h(-1) = 0$ : $h(-1) \ne h(1)$ et $h(-1) \ne -h(1)$, donc $h$ n'est ni paire ni impaire.

Exercice 2—Utiliser une symétrieNiveau 1

a) $f$ est paire et $f(2) = 5$. Que vaut $f(-2)$ ?
b) $g$ est impaire, définie sur $\mathbb{R}$, et $g(3) = -4$. Que valent $g(-3)$ et $g(0)$ ?

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a) $f(-2) = f(2) = \mathbf{5}$.

b) $g(-3) = -g(3) = \mathbf{4}$. Et $g(-0) = -g(0)$, soit $g(0) = -g(0)$, donc $g(0) = \mathbf{0}$.

Exercice 3—Variations d'un polynômeNiveau 1

Étudie les variations de $f(x) = x^3 - 12x$ sur $\mathbb{R}$ et donne ses extremums locaux.

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$f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x - 2)(x + 2)$ : positive à l'extérieur de $[-2 ; 2]$, négative entre.

$x$	$-\infty$		$-2$		$2$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$		↗︎	$16$	↘︎	$-16$	↗︎

Maximum local $16$ en $-2$ ; minimum local $-16$ en $2$.

Exercice 4—Extremums sur un intervalleNiveau 1

Soit $f(x) = x^2 - 6x + 1$ sur $[0 ; 5]$.
a) Étudie les variations de $f$ sur $[0 ; 5]$.
b) Donne le minimum et le maximum de $f$ sur cet intervalle.

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a) $f'(x) = 2x - 6$, négative sur $[0 ; 3]$, positive sur $[3 ; 5]$ : $f$ décroît puis croît.

$x$	$0$		$3$		$5$
$f(x)$	$1$	↘︎	$-8$	↗︎	$-4$

b) Minimum : $\mathbf{-8}$ (en $3$). Maximum : le plus grand de $f(0) = 1$ et $f(5) = -4$, soit $\mathbf{1}$ (en $0$).

Exercice 5—Lire un tableau de variationsNiveau 1

$f$ est définie sur $[-3 ; 4]$ : elle croît de $f(-3) = 2$ à $f(0) = 5$, puis décroît jusqu'à $f(4) = -1$. Combien l'équation $f(x) = k$ a-t-elle de solutions pour $k = 3$ ? $k = 0$ ? $k = 6$ ?

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$k = 3$ : $3$ est entre $2$ et $5$ (une solution dans $]-3 ; 0[$) et entre $-1$ et $5$ (une solution dans $]0 ; 4[$) : $2$ solutions.
$k = 0$ : sur $[-3 ; 0]$, $f \geqslant 2$ : pas de solution ; sur $[0 ; 4]$, $f$ décroît de $5$ à $-1$ : $1$ solution.
$k = 6$ : le maximum de $f$ est $5$ : aucune solution.

Exercice 6—Une fonction homographiqueNiveau 1

Soit $f(x) = \dfrac{x}{x + 1}$ sur $]-1 ; +\infty[$.
a) Calcule $f'(x)$.
b) Déduis-en le sens de variation de $f$.

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a) $f'(x) = \dfrac{1 \times (x + 1) - x \times 1}{(x + 1)^2} = \mathbf{\dfrac{1}{(x + 1)^2}}$.

b) $f'(x) > 0$ sur $]-1 ; +\infty[$ : $f$ est strictement croissante.

Exercice 7—ParitéNiveau 1

Les fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$, sont-elles paires, impaires ou ni l'une ni l'autre ? $f(x) = x^4 - 3x^2$ ; $g(x) = x^3 + x$ ; $h(x) = x^2 + x$.

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$f(-x) = x^4 - 3x^2 = f(x)$ : $f$ paire. $g(-x) = -x^3 - x = -g(x)$ : $g$ impaire. $h(-1) = 0$ et $h(1) = 2$ : ni $h(-1) = h(1)$ ni $h(-1) = -h(1)$, ni l'une ni l'autre.

Exercice 8—Une cubiqueNiveau 1

Étudie les variations de $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1$ sur $\mathbb{R}$.

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$f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2) = 6(x - 2)(x + 1)$.

$x$	$-\infty$		$-1$		$2$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f$		$\nearrow$	$8$	$\searrow$	$-19$	$\nearrow$

Exercice 9—Extremums sur un intervalleNiveau 1

Détermine le minimum et le maximum de $f(x) = x^2 - 4x + 1$ sur $[0 ; 5]$.

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$f'(x) = 2x - 4$ s'annule en $2$. On compare : $f(0) = 1$, $f(2) = -3$, $f(5) = 6$. Minimum $\mathbf{-3}$ (en $2$), maximum $\mathbf{6}$ (en $5$).

Exercice 10—Fonction homographiqueNiveau 1

Étudie le sens de variation de $f(x) = \dfrac{x + 1}{x - 2}$ sur $]2 ; +\infty[$.

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$f'(x) = \dfrac{(x - 2) - (x + 1)}{(x - 2)^2} = \dfrac{-3}{(x - 2)^2} < 0$ : $f$ est strictement décroissante sur $]2 ; +\infty[$.

Exercice 11—Une inégalitéNiveau 1

Démontre que, pour tout réel $x$, $x^2 + 1 \geqslant 2x$.

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$x^2 + 1 - 2x = (x - 1)^2 \geqslant 0$. $\square$

Niveau 2Intermédiaire (Exercices 12 à 24)

Exercice 12—Étude d'une cubiqueNiveau 2

Soit $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1$.
a) Calcule et factorise $f'(x)$.
b) Dresse le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

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a) $f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2) = \mathbf{6(x - 2)(x + 1)}$.

b) $f(-1) = -2 - 3 + 12 + 1 = 8$ ; $f(2) = 16 - 12 - 24 + 1 = -19$.

$x$	$-\infty$		$-1$		$2$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$		↗︎	$8$	↘︎	$-19$	↗︎

Exercice 13—Une inégalité classiqueNiveau 2

Soit $f(x) = x + \dfrac{4}{x}$ sur $]0 ; +\infty[$.
a) Étudie les variations de $f$.
b) Déduis-en que pour tout $x > 0$, $x + \dfrac{4}{x} \geqslant 4$.

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a) $f'(x) = 1 - \dfrac{4}{x^2} = \dfrac{x^2 - 4}{x^2} = \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x^2}$. Pour $x > 0$, elle a le signe de $x - 2$ : $f$ décroît sur $]0 ; 2]$ et croît sur $[2 ; +\infty[$.

b) Le minimum de $f$ est $f(2) = 2 + 2 = 4$. Donc pour tout $x > 0$, $f(x) \geqslant 4$, c'est-à-dire $x + \dfrac{4}{x} \geqslant 4$. $\square$

Exercice 14—Position relative de deux courbesNiveau 2

Étudie la position relative des courbes de $f(x) = x^3$ et $g(x) = x$.

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On étudie le signe de $f(x) - g(x) = x^3 - x = x(x - 1)(x + 1)$.

$x$	$-\infty$		$-1$		$0$		$1$		$+\infty$
$x^3 - x$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

La courbe de $f$ est au-dessus de celle de $g$ sur $]-1 ; 0[$ et $]1 ; +\infty[$, en dessous sur $]-\infty ; -1[$ et $]0 ; 1[$. Elles se coupent en $x = -1$, $0$ et $1$.

Exercice 15—La boîte de volume fixéNiveau 2

On veut fabriquer une boîte sans couvercle à base carrée de côté $x$ dm et de volume $32$ dm³.
a) Exprime la hauteur $h$ en fonction de $x$.
b) Montre que la surface de carton utilisée est $S(x) = x^2 + \dfrac{128}{x}$.
c) Détermine les dimensions qui minimisent la surface de carton.

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a) $x^2 h = 32$, donc $h = \dfrac{32}{x^2}$.

b) Fond : $x^2$ ; quatre faces latérales : $4xh = \dfrac{128}{x}$. Donc $S(x) = x^2 + \dfrac{128}{x}$ ✓

c) $S'(x) = 2x - \dfrac{128}{x^2} = \dfrac{2x^3 - 128}{x^2} = \dfrac{2(x^3 - 64)}{x^2}$. Pour $x > 0$, $S'(x)$ a le signe de $x^3 - 64$ : négatif si $x < 4$, positif si $x > 4$ (la fonction cube est croissante). Minimum en $x = 4$ : la boîte mesure $4$ dm × $4$ dm × $2$ dm et utilise $S(4) = 16 + 32 = \mathbf{48}$ dm² de carton.

Exercice 16—Nombre de solutionsNiveau 2

Soit $f(x) = x^3 - 3x + 1$ sur $[-2 ; 2]$.
a) Dresse le tableau de variations de $f$.
b) Combien l'équation $f(x) = 0$ a-t-elle de solutions dans $[-2 ; 2]$ ?

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a) $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$. $f(-2) = -1$, $f(-1) = 3$, $f(1) = -1$, $f(2) = 3$.

$x$	$-2$		$-1$		$1$		$2$
$f(x)$	$-1$	↗︎	$3$	↘︎	$-1$	↗︎	$3$

b) Sur chacun des trois intervalles $[-2 ; -1]$, $[-1 ; 1]$ et $[1 ; 2]$, $f$ est strictement monotone et $0$ est compris entre $-1$ et $3$ : une solution dans chacun. L'équation a $3$ solutions.

Exercice 17—Prouver une paritéNiveau 2

Soit $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x}$ sur $\mathbb{R}^*$.
a) Montre que $f$ est impaire.
b) Que peut-on en déduire pour sa courbe ?

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a) $\mathbb{R}^*$ est symétrique par rapport à $0$, et $f(-x) = \dfrac{(-x)^2 + 1}{-x} = -\dfrac{x^2 + 1}{x} = -f(x)$ : $f$ est impaire.

b) Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine $O$.

Exercice 18—Tangente horizontale sans extremumNiveau 2

a) Calcule la dérivée de $f(x) = x^3$ et son signe.
b) La courbe a-t-elle une tangente horizontale ? $f$ a-t-elle un extremum en $0$ ? Explique.

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a) $f'(x) = 3x^2 \geqslant 0$ pour tout $x$, nulle seulement en $0$.

b) $f'(0) = 0$ : la tangente en $O$ est horizontale (c'est l'axe des abscisses). Mais $f'$ ne change pas de signe : $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$, il n'y a pas d'extremum en $0$ ($f(x) < 0$ pour $x < 0$ et $f(x) > 0$ pour $x > 0$).

Exercice 19—Le bénéfice maximalNiveau 2

Une entreprise réalise un bénéfice $B(x) = -2x^2 + 120x - 1\,000$ (en euros) pour $x$ centaines d'articles vendus, avec $0 \leqslant x \leqslant 60$. Combien d'articles doit-elle vendre pour un bénéfice maximal ? Quel est ce bénéfice ?

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$B'(x) = -4x + 120$, positive pour $x < 30$, négative pour $x > 30$ : $B$ est maximal en $x = 30$. $B(30) = -2 \times 900 + 3\,600 - 1\,000 = 800$. Il faut vendre $3\,000$ articles, pour un bénéfice de $800$ €.

Exercice 20—Nombre de solutionsNiveau 2

Avec le tableau de variations de $f(x) = x^3 - 3x$ (maximum local $2$ en $-1$, minimum local $-2$ en $1$, $f$ croissante sur $]-\infty ; -1]$ et $[1 ; +\infty[$), combien de solutions l'équation $f(x) = 1$ admet-elle ? On admet que $f$ prend des valeurs aussi grandes (et aussi petites) que l'on veut.

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Sur $]-\infty ; -1]$, $f$ croît jusqu'à $2$ : une solution. Sur $[-1 ; 1]$, $f$ décroît de $2$ à $-2$ : une solution. Sur $[1 ; +\infty[$, $f$ croît à partir de $-2$ : une solution. $3$ solutions.

Exercice 21—Position relativeNiveau 2

Étudie la position relative des courbes de $f(x) = x^2$ et $g(x) = 2x - 1$.

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$f(x) - g(x) = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \geqslant 0$ : la courbe de $f$ est au-dessus de la droite, avec un point de contact en $(1 ; 1)$ (la droite est tangente).

Exercice 22—BénéficeNiveau 2

Le bénéfice d'une entreprise est $B(x) = -x^3 + 9x^2 - 15x$ (en milliers d'euros) pour $x \in [0 ; 8]$ (en centaines d'objets). Pour quelle production est-il maximal ?

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$B'(x) = -3x^2 + 18x - 15 = -3(x - 1)(x - 5)$. $B$ décroît sur $[0 ; 1]$, croît sur $[1 ; 5]$, décroît sur $[5 ; 8]$. $B(0) = 0$ et $B(5) = -125 + 225 - 75 = 25$ : maximum pour $500$ objets, bénéfice $25\,000$ €.

Exercice 23—Inégalité par l'étude de fonctionNiveau 2

Démontre que, pour tout $x \geqslant 0$, $x^3 \geqslant 3x - 2$.

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$h(x) = x^3 - 3x + 2$, $h'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$. Sur $[0 ; +\infty[$, $h$ décroît sur $[0 ; 1]$ et croît ensuite : son minimum est $h(1) = 0$. Donc $h(x) \geqslant 0$, c'est-à-dire $x^3 \geqslant 3x - 2$. $\square$

Exercice 24—La boîteNiveau 2

Dans un carré de carton de $12$ cm de côté, on découpe un carré de côté $x$ à chaque coin pour former une boîte sans couvercle.
a) Montre que son volume vaut $V(x) = x(12 - 2x)^2$ pour $x \in \,]0 ; 6[$.
b) Pour quelle valeur de $x$ le volume est-il maximal ?

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a) Fond carré de côté $12 - 2x$, hauteur $x$ : $V(x) = x(12 - 2x)^2$, avec $12 - 2x > 0$ et $x > 0$.

b) $V'(x) = (12 - 2x)^2 - 4x(12 - 2x) = (12 - 2x)(12 - 6x)$. Sur $]0 ; 6[$, $12 - 2x > 0$ : $V'$ est du signe de $12 - 6x$, positive puis négative. Maximum en $x = \mathbf{2}$ cm, avec $V(2) = 2 \times 64 = \mathbf{128}$ cm³.

Niveau 3Difficile/Expert (Exercices 25 à 30)

Exercice 25—Démontrer une inégalitéNiveau 3

a) Étudie les variations de $f(x) = x^3 - 3x + 2$ sur $[0 ; +\infty[$.
b) Déduis-en que $x^3 + 2 \geqslant 3x$ pour tout $x \geqslant 0$.
c) Vérifie que $f(x) = (x - 1)^2(x + 2)$ et retrouve le résultat.

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a) $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$. Sur $[0 ; +\infty[$, elle a le signe de $x - 1$ : $f$ décroît sur $[0 ; 1]$ et croît sur $[1 ; +\infty[$. Minimum : $f(1) = 1 - 3 + 2 = 0$.

b) Le minimum de $f$ sur $[0 ; +\infty[$ est $0$, donc $f(x) \geqslant 0$, soit $x^3 + 2 \geqslant 3x$. $\square$

c) $(x - 1)^2(x + 2) = (x^2 - 2x + 1)(x + 2) = x^3 + 2x^2 - 2x^2 - 4x + x + 2 = x^3 - 3x + 2$ ✓ Pour $x \geqslant 0$ : $(x - 1)^2 \geqslant 0$ et $x + 2 > 0$, donc le produit est positif ou nul. On retrouve le résultat.

Exercice 26—Une fonction impaireNiveau 3

Soit $f(x) = x^3 - 3x$.
a) Montre que $f$ est impaire.
b) Étudie ses variations sur $[0 ; +\infty[$, puis complète par symétrie.
c) Donne l'équation de la tangente à la courbe en $O$.

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a) $f(-x) = -x^3 + 3x = -f(x)$ sur $\mathbb{R}$ : $f$ est impaire.

b) $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$. Sur $[0 ; +\infty[$ : décroissante sur $[0 ; 1]$ (de $0$ à $f(1) = -2$), croissante sur $[1 ; +\infty[$. Par symétrie de centre $O$ : croissante sur $]-\infty ; -1]$ jusqu'au maximum $f(-1) = 2$, puis décroissante sur $[-1 ; 0]$.

c) $f(0) = 0$ et $f'(0) = -3$ : $\mathbf{y = -3x}$.

Exercice 27—La canette idéaleNiveau 3

Une canette cylindrique doit contenir $1$ L ($1\,000$ cm³). On note $r$ son rayon et $h$ sa hauteur (en cm).
a) Exprime $h$ en fonction de $r$, puis montre que l'aire totale est $S(r) = 2\pi r^2 + \dfrac{2\,000}{r}$.
b) Détermine le rayon qui minimise $S$ (au mm), puis la hauteur correspondante. Que remarques-tu ?

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a) $\pi r^2 h = 1\,000$, donc $h = \dfrac{1\,000}{\pi r^2}$. Aire : deux disques et la surface latérale : $S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r^2 + \frac{2\,000}{r}$

b) $S'(r) = 4\pi r - \dfrac{2\,000}{r^2} = \dfrac{4\pi r^3 - 2\,000}{r^2}$, du signe de $r^3 - \dfrac{500}{\pi}$. Minimum pour $r = \sqrt[3]{\dfrac{500}{\pi}} \approx \mathbf{5{,}4}$ cm, et alors $h = \dfrac{1\,000}{\pi r^2} \approx \mathbf{10{,}8}$ cm. On remarque que $h = 2r$ : la canette idéale est aussi haute que large ! (Les vraies canettes sont plus hautes, pour d'autres raisons pratiques.)

Exercice 28—Le point le plus procheNiveau 3

On cherche le point de la parabole $y = x^2$ le plus proche du point $A(0 ; 2)$.
a) Montre que le carré de la distance entre $A$ et $M(x ; x^2)$ est $d(x) = x^4 - 3x^2 + 4$.
b) Étudie les variations de $d$ et conclus.

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a) $AM^2 = (x - 0)^2 + (x^2 - 2)^2 = x^2 + x^4 - 4x^2 + 4 = \mathbf{x^4 - 3x^2 + 4}$.

b) $d'(x) = 4x^3 - 6x = 2x(2x^2 - 3)$, qui s'annule en $0$ et en $\pm\sqrt{1{,}5}$.

$x$	$-\infty$		$-\sqrt{1{,}5}$		$0$		$\sqrt{1{,}5}$		$+\infty$
$d'(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Le minimum de $d$ vaut $d(\pm\sqrt{1{,}5}) = 2{,}25 - 4{,}5 + 4 = 1{,}75$. Une distance étant positive, $AM$ est minimale en même temps que $AM^2$ : les points les plus proches sont $M\left(\pm\sqrt{1{,}5} ; 1{,}5\right)$, à la distance $\sqrt{1{,}75} \approx \mathbf{1{,}32}$.

Exercice 29—Retrouver les coefficientsNiveau 3

On cherche $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$ telle que $f$ admette un extremum en $x = 1$, égal à $-2$.
a) Traduis ces conditions par deux équations.
b) Détermine $a$ et $b$, puis vérifie qu'il y a bien un extremum en $1$.

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a) $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$. Extremum en $1$ : $f'(1) = 0$, soit $3 + 2a + b = 0$. Valeur $-2$ : $f(1) = 1 + a + b = -2$.

b) Le système $\begin{cases} 2a + b = -3 \\ a + b = -3 \end{cases}$ donne (par soustraction) $a = 0$, puis $b = -3$. Donc $\mathbf{f(x) = x^3 - 3x}$. Vérification : $f'(x) = 3(x - 1)(x + 1)$ change de signe en $1$ (de $-$ à $+$) : c'est bien un minimum local, et $f(1) = -2$ ✓

Exercice 30—SynthèseNiveau 3

Soit $f(x) = \dfrac{x^2 + 3}{x - 1}$ sur $]1 ; +\infty[$.
a) Montre que $f'(x) = \dfrac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 1)^2}$.
b) Dresse le tableau de variations de $f$ sur $]1 ; +\infty[$ et donne son minimum.
c) Détermine l'équation de la tangente au point d'abscisse $2$.

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a) $f'(x) = \dfrac{2x(x - 1) - (x^2 + 3)}{(x - 1)^2} = \dfrac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} = \dfrac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 1)^2}$ ✓

b) Sur $]1 ; +\infty[$ : $(x - 1)^2 > 0$ et $x + 1 > 0$, donc $f'(x)$ a le signe de $x - 3$.

$x$	$1$		$3$		$+\infty$
$f'(x)$	‖	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	‖	↘︎	$6$	↗︎

Minimum : $f(3) = \dfrac{12}{2} = \mathbf{6}$.

c) $f(2) = 7$ et $f'(2) = \dfrac{(-1) \times 3}{1} = -3$ : $y = -3(x - 2) + 7$, soit $\mathbf{y = -3x + 13}$.

\(x\)	\(-\infty\)		\(-2\)		\(2\)		\(+\infty\)
\(f'(x)\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)		↗︎	\(16\)	↘︎	\(-16\)	↗︎

\(x\)	\(-\infty\)		\(-2\)		\(2\)		\(+\infty\)
\(f'(x)\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)		↗︎	\(16\)	↘︎	\(-16\)	↗︎

\(x\)	\(-\infty\)		\(-1\)		\(2\)		\(+\infty\)
\(f'(x)\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f\)		\(\nearrow\)	\(8\)	\(\searrow\)	\(-19\)	\(\nearrow\)

\(x\)	\(-\infty\)		\(-1\)		\(2\)		\(+\infty\)
\(f'(x)\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)		↗︎	\(8\)	↘︎	\(-19\)	↗︎

\(x\)	\(1\)		\(3\)		\(+\infty\)
\(f'(x)\)	‖	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)	‖	↘︎	\(6\)	↗︎