Fonctions : généralités

Règle : repérer les contraintes — dénominateur ≠ 0, radicande ≥ 0.

a) \(f(x) = \dfrac{1}{x-2}\)

Dénominateur non nul : \(x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2\). \[\boxed{D_f = ]-\infty\,;\,2[ \cup ]2\,;\,+\infty[}\]

b) \(g(x) = \sqrt{x+3}\)

Radicande positif : \(x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3\). \[\boxed{D_g = [-3\,;\,+\infty[}\]

c) \(h(x) = \dfrac{1}{x^2-1}\)

\(x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 1\). \[\boxed{D_h = \mathbb R \setminus \{-1\,;\,1\}}\]

a) Calcul des images

\[f(0) = 0 - 0 + 2 = \mathbf{2}\] \[f(1) = 1 - 3 + 2 = \mathbf{0}\] \[f(3) = 9 - 9 + 2 = \mathbf{2}\]

b) Antécédents de 0

On résout \(f(x) = 0\) : \[x^2 - 3x + 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad (x-1)(x-2) = 0 \quad\Rightarrow\quad \mathbf{x = 1 \;\text{ou}\; x = 2}\]

🔍 Cohérence : \(f(1) = 0\) trouvé en (a) confirme que 1 est antécédent de 0. ✓

a)

b) Maximum : \(\mathbf{4}\), atteint en \(x = 1\). Minimum : \(\mathbf{-2}\), atteint en \(x = -3\) (car \(-2 < -1\)).

c)

• \(-2\) et \(0\) sont dans \([-3 ; 1]\) où \(f\) est croissante, et \(-2 < 0\) : donc \(\mathbf{f(-2) \leqslant f(0)}\).
• \(2\) et \(4\) sont dans \([1 ; 5]\) où \(f\) est décroissante, et \(2 < 4\) : donc \(\mathbf{f(2) \geqslant f(4)}\) (l'ordre est inversé).

Stratégie : un extremum local correspond à un changement de variation.

Étape 1 — Analyser les extrema

• Maximum local en \(x = -1\) → \(f\) croît jusqu'à \(-1\), puis décroît.
• Minimum local en \(x = 2\) → \(f\) décroît jusqu'à \(2\), puis croît.

Étape 2 — Tableau de variation

➡️ \(f\) croissante sur \(]-\infty\,;\,-1]\), décroissante sur \([-1\,;\,2]\), croissante sur \([2\,;\,+\infty[\).

Stratégie : utiliser le sens de variation des fonctions de référence.

a) \(\sqrt 5\) vs \(\sqrt 3\)

La fonction racine est croissante : \(3 < 5 \Rightarrow \sqrt 3 < \sqrt 5\). \[\boxed{\sqrt 3 < \sqrt 5}\]

b) \((-2)^3\) vs \((-3)^3\)

La fonction cube est croissante : \(-3 < -2 \Rightarrow (-3)^3 < (-2)^3\), soit \(-27 < -8\). \[\boxed{(-3)^3 < (-2)^3}\]

c) \(|\frac{3}{2}|\) vs \(|-2|\)

\(|\frac{3}{2}| = 1{,}5\) et \(|-2| = 2\), donc : \[\boxed{\left|\dfrac{3}{2}\right| < |-2|}\]

Stratégie : pour une fonction croissante, l'image d'un intervalle \([a;b]\) est \([f(a);f(b)]\).

Étape 1 — Calculer les images des bornes

\[f(1) = 2 \times 1 + 1 = 3 \quad ; \quad f(4) = 2 \times 4 + 1 = 9\]

Étape 2 — Image de l'intervalle

\(f\) étant croissante, l'image de \([1\,;\,4]\) est : \[\boxed{[3\,;\,9]}\]

a) \(f(3) = 9 - 6 = \mathbf{3}\) ; \(f(-1) = 1 + 2 = \mathbf{3}\).

b) \(x^2 - 2x = 0 \iff x(x - 2) = 0\) : antécédents \(\mathbf{0}\) et \(\mathbf{2}\).

a) \(x - 5 \ne 0\) : \(\mathbf{\mathbb{R} \setminus \{5\}}\). b) \(x + 2 \geqslant 0\) : \(\mathbf{[-2 ; +\infty[}\).

a)

b) Maximum \(\mathbf{5}\) (en \(1\)) ; minimum \(\mathbf{-2}\) (en \(-3\)).

c) \(-2 < 0\) dans \([-3 ; 1]\) où \(f\) est croissante : \(\mathbf{f(-2) < f(0)}\).

\(f(2) = 5\) : \(A\) est sur la courbe. \(f(-3) = 10 \ne 8\) : \(B\) n'y est pas.

\(2{,}1 < 2{,}5\) et \(f\) décroissante (elle inverse l'ordre) : \(\mathbf{f(2{,}1) \geqslant f(2{,}5)}\).

a) Le dénominateur s'annule si \(x^2 = 4\), c'est-à-dire \(x = 2\) ou \(x = -2\). \(f\) est définie sur \(D = \mathbb{R} \setminus \{-2 \,;\, 2\}\) (tous les réels sauf \(-2\) et \(2\)).

b) \(f(0) = \dfrac{0}{-4} = \mathbf{0}\) ; \(f(3) = \dfrac{9}{9 - 4} = \mathbf{\dfrac{9}{5}}\) ; \(f(-3) = \dfrac{9}{5}\). \(3\) et \(-3\) ont la même image : comme \((-x)^2 = x^2\), on a \(f(-x) = f(x)\), et la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

a) \((x - 2)^2 - 1 = x^2 - 4x + 4 - 1 = x^2 - 4x + 3\) ✓ Un carré est positif ou nul : \(f(x) \geqslant -1\), et \(f(2) = -1\). Le minimum de \(f\) est \(-1\), atteint en \(x = 2\).

b) \(f(-1) = 1 + 4 + 3 = 8\) et \(f(5) = 25 - 20 + 3 = 8\).

Stratégie : la fonction inverse est décroissante sur \(]0;+\infty[\) → l'encadrement s'inverse.

a) Encadrement pour \(x \in [2;5]\)

\(f\) décroissante → quand \(x\) croît de 2 à 5, \(f(x)\) décroît : \[f(5) \leq f(x) \leq f(2) \quad\Rightarrow\quad \boxed{\dfrac{1}{5} \leq f(x) \leq \dfrac{1}{2}}\]

b) Résoudre \(\dfrac{1}{x} > 3\) sur \(]0;+\infty[\)

Sur \(]0;+\infty[\), on peut multiplier par \(x > 0\) : \[1 > 3x \quad\Rightarrow\quad x < \dfrac{1}{3}\] \[\boxed{S = \left]0\,;\,\dfrac{1}{3}\right[}\]

a) \(f(2) = 2 \times 2 = \mathbf{4}\) € ; \(f(5) = 3 \times 2 + 2 \times 1 = \mathbf{8}\) €.

b) Si \(0 \leqslant x \leqslant 3\) : \(f(x) = 2x\). Si \(3 < x \leqslant 12\) : \(f(x) = 6 + (x - 3) = x + 3\).

c) \(10 > f(3) = 6\), donc \(x > 3\) : \(x + 3 = 10\), soit \(x = \mathbf{7}\) heures.

d) Oui : sur chaque morceau, le prix augmente avec la durée, et les deux formules donnent la même valeur \(6\) en \(x = 3\).

a) Somme et produit

\[(f + g)(x) = (x + 1) + (x - 1) = 2x\] \[(f \cdot g)(x) = (x + 1)(x - 1) = x^2 - 1\]

b) Domaine de \(\dfrac{f}{g}\)

Le quotient est défini si \(g(x) \neq 0\) : \(x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1\). \[\boxed{D_{f/g} = \mathbb R \setminus \{1\}}\]

a) Périmètre et aire

\[P(x) = 4x \quad ; \quad A(x) = x^2\]

b) Résoudre \(P(x) = A(x)\)

\[4x = x^2 \quad\Rightarrow\quad x^2 - 4x = 0 \quad\Rightarrow\quad x(x - 4) = 0\]

\(x = 0\) (trivial, pas de carré) ou \(\mathbf{x = 4}\).

c) Résoudre \(A(x) = P(x) + 5\)

\[x^2 = 4x + 5 \quad\Rightarrow\quad x^2 - 4x - 5 = 0 \quad\Rightarrow\quad (x - 5)(x + 1) = 0\]

\(x = 5\) (ou \(x = -1\) rejeté car longueur > 0). \[\boxed{x = 5 \text{ cm}}\]

🔍 Vérification (c) : \(A(5) = 25\) et \(P(5) + 5 = 20 + 5 = 25\) ✓

Stratégie : forme canonique pour un maximum (coefficient de \(x^2\) négatif).

a) Vérification — on part de l'expression de départ.

Étape 1 — Factoriser le signe

\[f(x) = -x^2 + 6x - 5 = -(x^2 - 6x + 5)\]

Étape 2 — Forme canonique

\[x^2 - 6x + 5 = (x - 3)^2 - 9 + 5 = (x - 3)^2 - 4\] \[f(x) = -\big((x - 3)^2 - 4\big) = -(x - 3)^2 + 4\]

Étape 3 — Maximum

Le maximum est atteint quand \((x-3)^2 = 0\), soit \(x = 3\) : \[\boxed{f_{\max} = f(3) = 4}\]

a) Résoudre \(f(x) = g(x)\)

\[x^2 = 2x \quad\Rightarrow\quad x^2 - 2x = 0 \quad\Rightarrow\quad x(x - 2) = 0\] \[\boxed{x = 0 \;\text{ou}\; x = 2}\]

b) Résoudre \(f(x) > g(x)\)

\[x^2 > 2x \quad\Rightarrow\quad x(x - 2) > 0\]

Produit positif à l'extérieur des racines 0 et 2 : \[\boxed{S = ]-\infty\,;\,0[ \cup ]2\,;\,+\infty[}\]

\(f\) est croissante (\(a = 2 > 0\)) : \(f(-1) = -1\) et \(f(3) = 7\). \(f(x)\) parcourt \(\mathbf{[-1 ; 7]}\).

Un carré est positif : \((x - 1)^2 \geqslant 0\), donc \(f(x) \geqslant 3\). Et \(f(1) = 3\). Le minimum est \(\mathbf{3}\), atteint en \(\mathbf{x = 1}\).

\(x^2 - 2x - 3 = 0 \iff (x - 3)(x + 1) = 0\) : \(x = 3\) ou \(x = -1\). 🔍 \((x - 3)(x + 1) = x^2 - 2x - 3\) ✓ Points d'intersection : \(\mathbf{(3 ; 9)}\) et \(\mathbf{(-1 ; 1)}\).

Soient \(a < b\). On multiplie par \(-3 < 0\) : \(-3a > -3b\), puis \(-3a + 2 > -3b + 2\), soit \(f(a) > f(b)\). \(f\) inverse l'ordre : elle est décroissante. \(\square\)

a) Demi-périmètre \(10\), donc longueur \(10 - x\) et \(A(x) = x(10 - x)\), avec \(\mathbf{x \in \,]0 ; 10[}\).

b) \(25 - (x^2 - 10x + 25) = 10x - x^2 = x(10 - x)\) ✓ Comme \((x - 5)^2 \geqslant 0\), \(A(x) \leqslant 25\), avec égalité pour \(x = 5\) : aire maximale \(25\) cm² (le carré).

Stratégie : double contrainte — radicande ≥ 0 (avec quotient) ET dénominateur ≠ 0.

Étape 1 — Conditions

Pour \(\sqrt{\dfrac{x+1}{x-2}}\) : il faut \(\dfrac{x+1}{x-2} \geq 0\) ET \(x - 2 \neq 0\).

Étape 2 — Tableau de signes du quotient

Étape 3 — Ensemble de définition

Quotient \(\geq 0\) : \(x \leq -1\) ou \(x > 2\) (\(x = 2\) exclu) : \[\boxed{D_f = ]-\infty\,;\,-1] \cup ]2\,;\,+\infty[}\]

Méthode : prendre \(x_1 < x_2\) et étudier le signe de \(f(x_2) - f(x_1)\).

Étape 1 — Calcul de la différence

Soient \(x_1 < x_2\) deux réels. \[f(x_2) - f(x_1) = (3x_2 - 7) - (3x_1 - 7) = 3(x_2 - x_1)\]

Étape 2 — Étudier le signe

Comme \(x_1 < x_2\), on a \(x_2 - x_1 > 0\), donc : \[f(x_2) - f(x_1) = 3(x_2 - x_1) > 0\]

Étape 3 — Conclure

\(f(x_2) > f(x_1)\) → \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\). \(\square\)

Soit \(a\) et \(b\) tels que \(0 \leqslant a < b\). On factorise : \[b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)\]

• \(b - a > 0\) car \(a < b\) ;
• \(b + a > 0\) car \(a \geqslant 0\) et \(b > 0\).

Le produit de deux nombres positifs est positif : \(b^2 - a^2 > 0\), donc \(a^2 < b^2\). Les images sont rangées dans le même ordre que les nombres : la fonction carré est croissante sur \([0 ; +\infty[\). \(\square\)

Stratégie : la fonction carré n'est PAS monotone sur un intervalle contenant 0 → chercher min et max séparément.

Étape 1 — a) Monotonie sur \([-3\,;\,2]\)

\(f(x) = x^2\) est décroissante sur \([-3\,;\,0]\) et croissante sur \([0\,;\,2]\).

→ \(f\) n'est pas monotone sur \([-3\,;\,2]\) (elle change de sens en 0).

Étape 2 — b) Minimum et maximum

• Minimum : au sommet, \(f(0) = 0\).
• Aux bornes : \(f(-3) = 9\) et \(f(2) = 4\). Le plus grand est \(f(-3) = 9\).

Étape 3 — Image de l'intervalle

\[\boxed{f([-3\,;\,2]) = [0\,;\,9]}\]

Stratégie : compléter le carré pour montrer que l'expression est toujours positive.

Étape 1 — Forme canonique

\[x^2 - 2x + 3 = (x - 1)^2 - 1 + 3 = (x - 1)^2 + 2\]

Étape 2 — Conclure

\((x - 1)^2 \geq 0\) pour tout \(x\), donc : \[x^2 - 2x + 3 = (x - 1)^2 + 2 \geq 0 + 2 = 2 > 0\]

\[\boxed{x^2 - 2x + 3 > 0 \text{ pour tout réel } x} \;\square\]

🔍 Vérification : pour \(x = 1\), \(1 - 2 + 3 = 2 > 0\) ✓ (c'est la plus petite valeur).

Stratégie : exprimer la largeur, l'aire, trouver le maximum par la forme canonique.

a) Largeur et domaine

Périmètre \(2(x + L) = 20 \Rightarrow L = 10 - x\). Contraintes : \(x > 0\) et \(L = 10 - x > 0 \Rightarrow x < 10\). \[\boxed{\text{Largeur} = 10 - x, \quad D = ]0\,;\,10[}\]

b) Aire

\[A(x) = x(10 - x) = -x^2 + 10x\]

c) Maximum (forme canonique)

\[A(x) = -(x^2 - 10x) = -\big((x - 5)^2 - 25\big) = -(x - 5)^2 + 25\]

Maximum en \(x = 5\) : \(A_{\max} = 25\) cm².

d) Forme optimale

Pour \(x = 5\), la largeur vaut aussi \(10 - 5 = 5\) → c'est un carré (\(5 \times 5\)).

➡️ À périmètre fixé, le carré maximise l'aire.

🔍 Vérification : \(A(5) = 5 \times 5 = 25\) cm² ✓ ; pour \(x = 4\) : \(A = 4 \times 6 = 24 < 25\) ✓