Statistiques et probabilités

a) \(\dfrac{5 + 8 + 3 + 10 + 4}{5} = \dfrac{30}{5} = \mathbf{6}\)

b) \(\dfrac{15 + 20 + 12 + 18 + 25}{5} = \dfrac{90}{5} = \mathbf{18}\)

c) \(\dfrac{0 + 100 + 50 + 75 + 25}{5} = \dfrac{250}{5} = \mathbf{50}\)

a) \(\mathbf{\dfrac{1}{6}}\)
b) \(3\) issues (\(2\), \(4\), \(6\)) : \(\dfrac{3}{6} = \mathbf{\dfrac{1}{2}}\)
c) \(2\) issues (\(5\), \(6\)) : \(\dfrac{2}{6} = \mathbf{\dfrac{1}{3}}\)
d) Toutes les issues : \(\mathbf{1}\) (événement certain)

« Il ne pleut pas » est l'événement contraire de « il pleut » : \[1 - 0{,}35 = \mathbf{0{,}65}\]

a) On divise chaque effectif par \(25\) (\(\dfrac{1}{25} = 4\,\%\)) :

b) Au moins \(2\) : \(20 + 12 + 4 = \mathbf{36\,\%}\).

Il y a \(5 + 3 + 2 = 10\) billes, équiprobables.

a) \(\dfrac{5}{10} = \mathbf{\dfrac{1}{2}}\)

b) Événement contraire de « tirer une verte » : \(1 - \dfrac{2}{10} = \dfrac{8}{10} = \mathbf{\dfrac{4}{5}}\).

a) \(8\) cœurs sur \(32\) cartes : \(\dfrac{8}{32} = \mathbf{\dfrac{1}{4}}\).

b) \(4\) rois sur \(32\) cartes : \(\dfrac{4}{32} = \mathbf{\dfrac{1}{8}}\).

\(\dfrac{12 + 15 + 9 + 14}{4} = \dfrac{50}{4} = \mathbf{12{,}5}\).

Rouge : \(\dfrac{4}{20} = \mathbf{20\,\%}\) ; bleu : \(\dfrac{6}{20} = \mathbf{30\,\%}\) ; vert : \(\dfrac{10}{20} = \mathbf{50\,\%}\).

a) \(2\), \(4\), \(6\) : \(\dfrac{3}{6} = \mathbf{\dfrac{1}{2}}\). b) \(5\) et \(6\) : \(\dfrac{2}{6} = \mathbf{\dfrac{1}{3}}\).

\(1 - 0{,}35 = \mathbf{0{,}65}\).

\(\dfrac{4}{10} = \mathbf{0{,}4}\).

Étape 1 — Somme des 6 notes : \(6 \times 12 = 72\).

Étape 2 — Somme des 5 premières : \(10 + 14 + 11 + 13 + 9 = 57\).

Étape 3 — 6e note : \(72 - 57 = \mathbf{15}\).

Vérification : \(\dfrac{57 + 15}{6} = \dfrac{72}{6} = 12\) ✓.

a) \(\dfrac{112}{200} = \dfrac{56}{100} = \mathbf{0{,}56}\) (soit \(56\,\%\)).

b) Pour une pièce équilibrée, on attend une fréquence proche de \(0{,}5\). \(0{,}56\) en est assez proche : avec \(200\) lancers, un tel écart peut arriver par hasard. On ne peut pas affirmer qu'elle est truquée.

c) Il faudrait faire beaucoup plus de lancers (par exemple \(10\,000\)) : si la pièce est équilibrée, la fréquence sera alors très proche de \(0{,}5\).

a) Note la plus basse : \(6\). Note la plus haute : \(16\).

b) Somme des \(20\) notes : \(223\). \[\text{moyenne} = \frac{223}{20} = \mathbf{11{,}15}\]

c) Les notes supérieures ou égales à \(10\) sont : \(12, 15, 11, 14, 16, 10, 13, 12, 11, 15, 14, 12, 10, 11\), soit \(14\) élèves. \[\frac{14}{20} = \frac{70}{100} = \mathbf{70\,\%}\]

d) Notes supérieures à \(11{,}15\) : \(12, 15, 14, 16, 13, 12, 15, 14, 12\) → \(9\) élèves.

Il y a \(4 + 3 + 5 = 12\) boules.

a) \(\dfrac{4}{12} = \mathbf{\dfrac{1}{3}}\)

b) \(4 + 5 = 9\) boules jaunes ou rouges : \(\dfrac{9}{12} = \mathbf{\dfrac{3}{4}}\)

c) Il reste \(11\) boules, dont \(4\) rouges : \(\mathbf{\dfrac{4}{11}}\).

a) Tom : \(\dfrac{4 + 8 + 6 + 7 + 5}{5} = \dfrac{30}{5} = \mathbf{6}\). Léa : \(\dfrac{2 + 10 + 3 + 9 + 6}{5} = \dfrac{30}{5} = \mathbf{6}\).

b) Tom : \(8 - 4 = \mathbf{4}\) points. Léa : \(10 - 2 = \mathbf{8}\) points.

c) Ils ont la même moyenne, mais les notes de Tom sont plus resserrées : Tom est plus régulier.

a) \(\dfrac{1}{40} = 2{,}5\,\%\) : bus \(\dfrac{18}{40} = \mathbf{45\,\%}\) ; voiture \(\mathbf{25\,\%}\) ; vélo \(\mathbf{20\,\%}\) ; à pied \(\mathbf{10\,\%}\).

b) \(1\) élève ↔ \(360° \div 40 = 9°\) : bus \(18 \times 9 = \mathbf{162°}\) ; voiture \(\mathbf{90°}\) ; vélo \(\mathbf{72°}\) ; à pied \(\mathbf{36°}\) (total \(360°\) ✓).

Il y a \(30\) nombres équiprobables.

a) Multiples de \(3\) : \(3, 6, \ldots, 30\), soit \(10\) nombres : \(\dfrac{10}{30} = \mathbf{\dfrac{1}{3}}\).

b) Multiples de \(5\) : \(5, 10, 15, 20, 25, 30\), soit \(6\) nombres : \(\dfrac{6}{30} = \mathbf{\dfrac{1}{5}}\).

c) Multiples de \(3\) et de \(5\) : \(15\) et \(30\), soit \(2\) nombres : \(\dfrac{2}{30} = \mathbf{\dfrac{1}{15}}\).

d) On compte les multiples de \(3\) et ceux de \(5\), sans compter deux fois \(15\) et \(30\) : \(10 + 6 - 2 = 14\) nombres : \(\dfrac{14}{30} = \mathbf{\dfrac{7}{15}}\).

a) \(\dfrac{31}{50} = \dfrac{62}{100} = \mathbf{0{,}62}\).

b) Environ \(62\,\%\) de \(1\,000\), soit environ \(620\) fois.

c) Non : les deux positions de la punaise n'ont pas la même chance (sa forme n'est pas symétrique). On ne peut qu'estimer la probabilité par des essais répétés.

\(\dfrac{8 \times 2 + 12 \times 5 + 15 \times 3}{10} = \dfrac{16 + 60 + 45}{10} = \dfrac{121}{10} = \mathbf{12{,}1}\).

Total des \(4\) notes : \(4 \times 11 = 44\). Avec la nouvelle : \(44 + 16 = 60\) sur \(5\) notes : \(\dfrac{60}{5} = \mathbf{12}\).

a) \(\dfrac{108}{200} = \mathbf{0{,}54}\).

b) La probabilité vaut \(0{,}5\) : la fréquence observée en est proche, l'écart est dû au hasard.

a) \(3\), \(6\), \(9\) : \(\mathbf{\dfrac{3}{10}}\). b) \(8\), \(9\), \(10\) : \(\mathbf{\dfrac{3}{10}}\).

a) \(\dfrac{8}{32} = \mathbf{\dfrac{1}{4}}\) ; b) \(\dfrac{4}{32} = \mathbf{\dfrac{1}{8}}\) ; c) \(\mathbf{\dfrac{1}{32}}\).

Étape 1 — Somme de ses \(4\) notes : \(4 \times 12 = 48\).

Étape 2 — Pour avoir \(13\) de moyenne sur \(5\) contrôles, il faut un total de \(5 \times 13 = 65\).

Étape 3 — Note nécessaire : \(65 - 48 = \mathbf{17}\).

Les \(8\) secteurs sont équiprobables.

a) \(3 + 1 = 4\) secteurs gagnants : \(\dfrac{4}{8} = \mathbf{\dfrac{1}{2}}\).

b) \(\mathbf{\dfrac{1}{8}}\).

c) Environ \(\dfrac{1}{8}\) des \(80\) parties : \(80 \div 8 = \mathbf{10}\) fois (environ).

a) La somme des probabilités vaut \(1\) : \(0{,}1 + 0{,}2 + 0{,}15 + 0{,}2 + 0{,}2 = 0{,}85\), donc la probabilité de \(6\) est \(1 - 0{,}85 = \mathbf{0{,}15}\).

b) Les faces \(2\), \(4\) et \(5\) (probabilité \(0{,}2\) chacune).

c) Plus de \(4\) : \(5\) ou \(6\) : \(0{,}2 + 0{,}15 = \mathbf{0{,}35}\).

a) \(\dfrac{5 \times 1\,500 + 9\,000}{6} = \dfrac{7\,500 + 9\,000}{6} = \dfrac{16\,500}{6} = \mathbf{2\,750 \text{ €}}\).

b) Une seule personne (le directeur) gagne plus que la moyenne.

c) C'est vrai mathématiquement, mais pas représentatif : \(5\) personnes sur \(6\) gagnent beaucoup moins (\(1\,500\) €). Une seule valeur très grande « tire » la moyenne vers le haut.

a) \(\dfrac{13}{60} \approx \mathbf{0{,}217}\) ; \(\dfrac{95}{600} \approx \mathbf{0{,}158}\) ; \(\dfrac{1\,003}{6\,000} \approx \mathbf{0{,}167}\).

b) \(\dfrac{1}{6} \approx \mathbf{0{,}167}\).

c) Plus le nombre de lancers est grand, plus la fréquence se rapproche de la probabilité \(\dfrac{1}{6}\).

a) Élèves qui font au moins un sport : \(80 + 50 + 30 = 160\). Aucun sport : \(200 - 160 = \mathbf{40}\).

b) \(\dfrac{160}{200} = \mathbf{\dfrac{4}{5}}\) (soit \(80\,\%\)).

c) \(\dfrac{30}{160} = \mathbf{\dfrac{3}{16}}\).

d) On dessine deux ronds qui se chevauchent, « Foot » et « Natation » : \(80\) dans la partie « foot seulement », \(50\) dans « natation seulement », \(30\) dans la partie commune, et \(40\) à l'extérieur des deux ronds.