Calculs, priorités et divisibilité

a) \(5 + 3 \times 4 = 5 + 12 = \mathbf{17}\)

b) \(20 - 12 \div 4 = 20 - 3 = \mathbf{17}\)

c) \(6 \times 5 - 2 \times 7 = 30 - 14 = \mathbf{16}\)

d) \(18 \div 3 \times 2 = 6 \times 2 = \mathbf{12}\) (division et multiplication ont la même priorité : de gauche à droite).

a) \((5 + 3) \times 4 = 8 \times 4 = \mathbf{32}\)

b) \(2 \times (15 - 7) = 2 \times 8 = \mathbf{16}\)

c) \((20 - 12) \div 4 = 8 \div 4 = \mathbf{2}\)

d) Dans la parenthèse, la multiplication est prioritaire : \[3 \times (2 + 4 \times 5) = 3 \times (2 + 20) = 3 \times 22 = \mathbf{66}\]

a) \(\times 10\) : \(15 \div 0{,}5 = 150 \div 5 = \mathbf{30}\)

b) \(\times 100\) : \(7{,}2 \div 0{,}09 = 720 \div 9 = \mathbf{80}\)

c) \(\times 10\) : \(4{,}8 \div 0{,}6 = 48 \div 6 = \mathbf{8}\)

d) \(\times 100\) : \(3 \div 0{,}25 = 300 \div 25 = \mathbf{12}\)

🔍 Vérification : on multiplie le résultat par le diviseur : \(30 \times 0{,}5 = 15\) ✓ ; \(12 \times 0{,}25 = 3\) ✓.

a) \(7 \times 102 = 7 \times (100 + 2) = 700 + 14 = \mathbf{714}\)

b) \(9 \times 99 = 9 \times (100 - 1) = 900 - 9 = \mathbf{891}\)

c) \(13 \times 7 + 13 \times 3 = 13 \times (7 + 3) = 13 \times 10 = \mathbf{130}\)

d) \(45 \times 11 = 45 \times (10 + 1) = 450 + 45 = \mathbf{495}\)

a) On cherche les paires : \(1 \times 24\), \(2 \times 12\), \(3 \times 8\), \(4 \times 6\). Diviseurs de \(24\) : \(\mathbf{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}\).

b) \(\mathbf{7, 14, 21, 28, 35}\).

c) \(7 \times 13 = 91\) : oui, \(91\) est un multiple de \(7\).

d) \(54 = 4 \times 13 + 2\) : la division ne tombe pas juste (reste \(2\)). Non, \(4\) n'est pas un diviseur de \(54\).

🎯 Multiplications et divisions avant additions et soustractions.

a) \(5 + 12 = \mathbf{17}\) ; b) \(20 - 3 = \mathbf{17}\) ; c) \(10 + 18 = \mathbf{28}\).

a) \(12 \times 3 = \mathbf{36}\) ; b) \(30 \div 6 = \mathbf{5}\) ; c) \(7 \times 7 = \mathbf{49}\).

🎯 On multiplie les deux nombres par \(10\) ou \(100\) pour diviser par un entier.

a) \(120 \div 5 = \mathbf{24}\) ; b) \(48 \div 12 = \mathbf{4}\) ; c) \(750 \div 25 = \mathbf{30}\).

• \(135\) : pas par \(2\) (impair) ; somme des chiffres \(9\) : divisible par \(3\) et par \(9\) ; finit par \(5\) : divisible par \(5\).
• \(2\,340\) : pair, finit par \(0\), somme des chiffres \(9\) : divisible par \(2\), \(3\), \(5\) et \(9\).

a) \(7 \times 100 + 7 \times 2 = \mathbf{714}\) ; b) \(25 \times 4 \times 3 = \mathbf{300}\) ; c) \(9 \times 100 - 9 = \mathbf{891}\).

Étape 1 — Parenthèses \[4{,}5 + 2{,}75 = 7{,}25\]

Étape 2 — Multiplication et division \[7{,}25 \times 2 = 14{,}5 \qquad 3{,}8 \div 0{,}4 = 38 \div 4 = 9{,}5\]

Étape 3 — Soustraction \[A = 14{,}5 - 9{,}5 = \mathbf{5}\]

a) « Le triple de la somme » : \(3 \times (4 + 5) = 3 \times 9 = \mathbf{27}\).

b) « La somme du triple de \(4\) et de \(5\) » : \(3 \times 4 + 5 = 12 + 5 = \mathbf{17}\).

c) \(20 - 3 \times 4 = 20 - 12 = \mathbf{8}\).

d) \(36 \div (5 + 4) = 36 \div 9 = \mathbf{4}\).

a) \(\dfrac{12 + 8}{7 - 2} = \dfrac{20}{5} = \mathbf{4}\)

b) \(\dfrac{3 \times 6}{2 + 7} = \dfrac{18}{9} = \mathbf{2}\)

c) La division est prioritaire : \(5 + \dfrac{12}{4} = 5 + 3 = \mathbf{8}\)

d) Le trait de fraction englobe \(5 + 12\) : \(\dfrac{5 + 12}{4} = \dfrac{17}{4} = \mathbf{4{,}25}\)

a) Pour \(1\) km, la voiture consomme \(38{,}5 \div 457{,}8\) litres ; pour \(100\) km, \(100\) fois plus : \[38{,}5 \div 457{,}8 \times 100 \approx 8{,}409\ldots\] Arrondi au centième : \(\mathbf{8{,}41 \text{ L pour } 100 \text{ km}}\).

b) \(38{,}5 \times 1{,}87 = 71{,}995 \approx \mathbf{72{,}00 \text{ €}}\) (le chiffre des millièmes est \(5\) : on arrondit au centime supérieur).

a) Léo a calculé \(8 + 2 = 10\), puis \(10 \times 5 = 50\) : il n'a pas respecté la priorité de la multiplication. Le bon calcul est : \[8 + 2 \times 5 = 8 + 10 = \mathbf{18}\]

b) Il faut faire l'addition en premier : \(\mathbf{(8 + 2) \times 5} = 10 \times 5 = 50\).

c) \(\mathbf{(24 - 4) \div 2} = 20 \div 2 = 10\). (Sans parenthèses : \(24 - 4 \div 2 = 24 - 2 = 22\).)

a) Somme des chiffres : \(4 + \square + 2 = 6 + \square\). Elle doit être un multiple de \(3\) : \(6\), \(9\), \(12\) ou \(15\). \(\square \in \{\mathbf{0, 3, 6, 9}\}\) (nombres \(402\), \(432\), \(462\), \(492\)).

b) Somme : \(3 + \square + 5 = 8 + \square\). Elle doit être un multiple de \(9\) : seul \(9\) est possible (\(18\) demanderait \(\square = 10\)). \(\square = \mathbf{1}\) (nombre \(315\)).

c) Divisible par \(2\) et par \(5\) : le chiffre des unités doit être \(0\). \(\square = \mathbf{0}\) (nombre \(720\)).

d) Le nombre se termine par \(5\) : il est divisible par \(5\) ✓. Pour \(9\) : \(2 + \square + 5 = 7 + \square\) doit valoir \(9\), donc \(\square = \mathbf{2}\) (nombre \(225\)).

a) Prix des places \(+\) prix des pop-corn : \[12 \times 7{,}50 + 12 \times 2{,}50\]

b) Le facteur \(12\) est commun aux deux produits : on regroupe. \[12 \times 7{,}50 + 12 \times 2{,}50 = 12 \times (7{,}50 + 2{,}50) = 12 \times 10 = \mathbf{120 \text{ €}}\]

a) On multiplie les deux nombres par \(100\) : \[4{,}5 \div 0{,}15 = 450 \div 15 = \mathbf{30 \text{ morceaux}}\]

b) On multiplie les deux nombres par \(10\) : \[12 \div 0{,}40 = 120 \div 4 = \mathbf{30 \text{ bonbons}}\]

🔍 Vérification : \(30 \times 0{,}15 = 4{,}5\) ✓ et \(30 \times 0{,}40 = 12\) ✓.

a) \(5 \times (3 + 4) = \mathbf{35}\) ; b) \(5 + 3 \times 4 = \mathbf{17}\).

a) \(\mathbf{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}\). b) \(\mathbf{56, 63, 70, 77}\).

\(4 \times 8{,}50 + 2 \times 4{,}75 = 34 + 9{,}50 = \mathbf{43{,}50}\) €.

Le trait de fraction joue le rôle de parenthèses : \(\dfrac{20}{5} = \mathbf{4}\).

a) \(84 = 6 \times 14\) : oui, \(\mathbf{14}\) sachets.

b) \(84 \div 8 = 10{,}5\) : non (\(84\) n'est pas un multiple de \(8\)).

a) \(7 \times 3 = 21\), puis \(21 + 5 - 2 = 24\) : \(\mathbf{7 \times 3 + 5 - 2 = 24}\).

b) \(7 - 5 = 2\) et \(3 - 2 = 1\) ; \(2 - 1 = 1\) : \(\mathbf{(7 - 5) - (3 - 2) = 1}\).

c) \(2 + 3 + 5 = 10\), et \(10 \times 7 = 70\) : \(\mathbf{(2 + 3 + 5) \times 7 = 70}\).

a) Le chiffre des unités est \(8\) (pair) : divisible par \(2\). Il n'est ni \(0\) ni \(5\) : pas divisible par \(5\).

b) Somme des chiffres : \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36\). Or \(36 = 9 \times 4\) : \(36\) est divisible par \(9\) (donc par \(3\)). \(N\) est divisible par \(3\) et par \(9\).

c) \(N\) est divisible par \(2\) et par \(3\) : il est divisible par \(6\).

a) Le rendu, c'est \(20\) € moins le prix total des achats : \[20 - (3 \times 2{,}40 + 2 \times 1{,}15)\]

b)

• Dans la parenthèse : \(3 \times 2{,}40 = 7{,}20\) et \(2 \times 1{,}15 = 2{,}30\), donc \(7{,}20 + 2{,}30 = 9{,}50\).
• Puis : \(20 - 9{,}50 = \mathbf{10{,}50 \text{ €}}\).

a)

• Avec \(5\) : \(5 \times 4 = 20\) ; \(20 + 6 = 26\) ; \(26 \div 2 = 13\) ; \(13 - 2 \times 5 = 13 - 10 = \mathbf{3}\).
• Avec \(7\) : \(28\) ; \(34\) ; \(17\) ; \(17 - 14 = \mathbf{3}\).
• Avec \(10\) : \(40\) ; \(46\) ; \(23\) ; \(23 - 20 = \mathbf{3}\).

b) On obtient toujours \(3\). Conjecture : quel que soit le nombre choisi, le résultat est \(3\).

c) Avec \(2{,}5\) : \(10\) ; \(16\) ; \(8\) ; \(8 - 5 = \mathbf{3}\). La conjecture est encore vérifiée.

a)

• Diviseurs de \(84\) (par paires \(1 \times 84\), \(2 \times 42\), \(3 \times 28\), \(4 \times 21\), \(6 \times 14\), \(7 \times 12\)) : \(1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84\).
• Diviseurs de \(126\) (\(1 \times 126\), \(2 \times 63\), \(3 \times 42\), \(6 \times 21\), \(7 \times 18\), \(9 \times 14\)) : \(1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 63, 126\).

b) Le nombre de paquets doit diviser \(84\) et \(126\).

• \(7\) divise \(84\) et \(126\) : oui, \(7\) paquets (de \(12\) billes et \(18\) bonbons).
• \(12\) divise \(84\) mais pas \(126\) : non.

c) Le plus grand nombre présent dans les deux listes est \(\mathbf{42}\). Chaque paquet contient alors \(84 \div 42 = \mathbf{2}\) billes et \(126 \div 42 = \mathbf{3}\) bonbons.

a) \(26 + 24 + 28 + 6 = \mathbf{84}\) personnes.

b) \(1\) car : \(50\) places, pas assez. \(2\) cars : \(100\) places \(\geq 84\). Il faut 2 cars.

c) Il y a \(26 + 24 + 28 = 78\) élèves et \(6\) adultes : \[78 \times 4{,}50 + 6 \times 7{,}20 = 351 + 43{,}20 = \mathbf{394{,}20 \text{ €}}\]

d) Prix des cars : \(2 \times 285{,}60 = 571{,}20\) €. Partagé entre \(84\) personnes : \[571{,}20 \div 84 = \mathbf{6{,}80 \text{ €}}\] (Vérification : \(84 \times 6{,}80 = 571{,}20\) ✓.)