Les fractions

Étape 1 — Lire chaque figure

a) Disque en 5 parts, 2 coloriées → \(\dfrac{2}{5}\)
b) Rectangle en 8 parts, 5 coloriées → \(\dfrac{5}{8}\)
c) Bande en 10 parts, 7 coloriées → \(\dfrac{7}{10}\)

a) \(15 \div 3 = \dfrac{15}{3}\). Comme \(3 \times 5 = 15\), on a \(\dfrac{15}{3} = \mathbf{5}\) (entier).

b) \(7 \div 4 = \dfrac{7}{4}\). Division : \(7 = 4 \times 1 + 3\), donc \(\dfrac{7}{4} = 1 + \dfrac{3}{4} = \mathbf{1{,}75}\).

c) \(22 \div 8 = \dfrac{22}{8} = \dfrac{11}{4}\) (après simplification par \(2\)) \(= \mathbf{2{,}75}\).

a) \(\dfrac{1}{3} \to \dfrac{?}{12}\) : \(12 = 3 \times 4\), donc \(? = 1 \times 4 = \mathbf{4}\).

b) \(\dfrac{2}{5} \to \dfrac{?}{20}\) : \(20 = 5 \times 4\), donc \(? = 2 \times 4 = \mathbf{8}\).

c) \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{?}\) : numérateur multiplié par \(3\) (\(9 = 3 \times 3\)), donc dénominateur aussi : \(? = 4 \times 3 = \mathbf{12}\).

d) \(\dfrac{18}{24} = \dfrac{?}{4}\) : dénominateur divisé par \(6\) (\(24 \div 6 = 4\)), donc numérateur aussi : \(? = 18 \div 6 = \mathbf{3}\).

a) \(\dfrac{6}{9}\) : \(6\) et \(9\) sont dans la table de \(3\). \(\dfrac{6 \div 3}{9 \div 3} = \mathbf{\dfrac{2}{3}}\).

b) \(\dfrac{15}{20}\) : \(15\) et \(20\) se terminent par \(5\) ou \(0\), on divise par \(5\). \(\dfrac{15 \div 5}{20 \div 5} = \mathbf{\dfrac{3}{4}}\).

c) \(\dfrac{14}{21}\) : \(14\) et \(21\) sont dans la table de \(7\). \(\dfrac{14 \div 7}{21 \div 7} = \mathbf{\dfrac{2}{3}}\).

d) \(\dfrac{36}{48}\) : on peut simplifier en plusieurs fois. \[\frac{36}{48} = \frac{36 \div 2}{48 \div 2} = \frac{18}{24} = \frac{18 \div 2}{24 \div 2} = \frac{9}{12} = \frac{9 \div 3}{12 \div 3} = \mathbf{\frac{3}{4}}\]

Étape 1 — Conversion en décimaux

\(\dfrac{1}{4} = 0{,}25\) ; \(\dfrac{3}{4} = 0{,}75\) ; \(\dfrac{5}{4} = 1{,}25\) ; \(\dfrac{7}{4} = 1{,}75\).

Étape 2 — Placement

• \(\dfrac{1}{4}\) : 1 part après 0.
• \(\dfrac{3}{4}\) : 3 parts après 0 (juste avant 1).
• \(\dfrac{5}{4}\) : 5 parts après 0 = 1 part après 1.
• \(\dfrac{7}{4}\) : 7 parts après 0 = 3 parts après 1 (juste avant 2).

a) \(3\) parts sur \(8\) : \(\mathbf{\dfrac{3}{8}}\).

b) Coloriée : \(\mathbf{\dfrac{1}{4}}\) ; non coloriée : \(\mathbf{\dfrac{3}{4}}\) (car \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 1\)).

🎯 Pour prendre \(\dfrac{a}{b}\) d'une quantité, on la divise par \(b\), puis on multiplie par \(a\).

a) \(20 \div 4 = \mathbf{5}\). b) \(30 \div 5 = 6\), puis \(6 \times 3 = \mathbf{18}\). c) \(12 \div 3 = 4\), puis \(4 \times 2 = \mathbf{8}\).

a) \(7 = 2 \times 3 + 1\) : \(\dfrac{7}{2} = \mathbf{3 + \dfrac{1}{2}}\).

b) \(11 = 4 \times 2 + 3\) : \(\dfrac{11}{4} = \mathbf{2 + \dfrac{3}{4}}\).

c) \(9 = 3 \times 3\) : \(\dfrac{9}{3} = \mathbf{3}\) (un entier).

a) \(50\,\% = \mathbf{\dfrac{1}{2}}\) ; \(25\,\% = \mathbf{\dfrac{1}{4}}\) ; \(10\,\% = \mathbf{\dfrac{1}{10}}\) ; \(75\,\% = \mathbf{\dfrac{3}{4}}\).

b) \(50\,\%\) de \(36\) : la moitié, \(\mathbf{18}\). \(25\,\%\) de \(80\) : le quart, \(\mathbf{20}\).

🎯 On multiplie (ou on divise) le numérateur et le dénominateur par le même nombre.

a) \(\times 5\) : \(\dfrac{5}{10}\), donc \(\mathbf{5}\). b) \(\times 3\) : \(\dfrac{9}{12}\), donc \(\mathbf{12}\). c) \(\div 2\) : \(\dfrac{3}{4}\), donc \(\mathbf{4}\).

a) \(4 < 7\) → \(\mathbf{\dfrac{4}{9} < \dfrac{7}{9}}\)
b) \(11 > 8\) → \(\mathbf{\dfrac{11}{15} > \dfrac{8}{15}}\)
c) Fractions identiques → \(\mathbf{\dfrac{6}{13} = \dfrac{6}{13}}\)

a) \(8 < 11\) → \(\mathbf{\dfrac{5}{8} > \dfrac{5}{11}}\)
b) \(7 > 4\) → \(\mathbf{\dfrac{3}{7} < \dfrac{3}{4}}\)

Étape 1 — Choisir le dénominateur commun

\(8 = 4 \times 2\) : \(8\) est un multiple de \(4\). On va donc écrire \(\dfrac{3}{4}\) en huitièmes.

Étape 2 — Transformer

\[\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 2}{4 \times 2} = \dfrac{6}{8}\]

Étape 3 — Comparer

\(6 > 5\) donc \(\dfrac{6}{8} > \dfrac{5}{8}\), soit \(\mathbf{\dfrac{3}{4} > \dfrac{5}{8}}\).

🔍 Vérification : \(\dfrac{3}{4} = 0{,}75\) et \(\dfrac{5}{8} = 0{,}625\) ; on a bien \(0{,}75 > 0{,}625\).

Étape 1 — Dénominateur commun

\(12\) est dans la table de \(6\) (\(12 = 6 \times 2\)) et dans la table de \(4\) (\(12 = 4 \times 3\)) : on peut tout écrire en douzièmes.

Étape 2 — Conversion

\[\dfrac{5}{6} = \dfrac{5 \times 2}{6 \times 2} = \dfrac{10}{12}\,;\quad \dfrac{7}{12}\,;\quad \dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{9}{12}\]

Étape 3 — Tri croissant

\(7 < 9 < 10\), d'où : \[\mathbf{\dfrac{7}{12} < \dfrac{3}{4} < \dfrac{5}{6}}\]

Étape 1 — Élèves en recherche documentaire

"\(\dfrac{2}{5}\) des élèves" = \(\dfrac{2}{5}\) de \(30\) : \[30 \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{30 \times 2}{5} = \dfrac{60}{5} = \mathbf{12 \text{ élèves}}\]

Étape 2 — Fraction des autres activités

Le total des élèves représente la fraction \(1 = \dfrac{5}{5}\). La fraction "autres" est : \[1 - \dfrac{2}{5} = \dfrac{5}{5} - \dfrac{2}{5} = \mathbf{\dfrac{3}{5}}\]

Étape 1 — Coefficient à appliquer

Recette pour \(2\) personnes → recette pour \(6\) personnes : \(6 = 2 \times 3\), il y a \(3\) fois plus de personnes. On multiplie la recette par \(\mathbf{3}\).

Étape 2 — Quantité de lait

\[3 \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 3}{4} = \dfrac{9}{4} \text{ L}\]

En nombre décimal : \(\dfrac{9}{4} = 9 \div 4 = \mathbf{2{,}25 \text{ L}}\) (soit \(2\) litres et un quart).

a) \(\dfrac{4}{6}\) et \(\dfrac{6}{9}\) : on simplifie les deux. \[\frac{4}{6} = \frac{4 \div 2}{6 \div 2} = \frac{2}{3} \qquad \frac{6}{9} = \frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}\] Elles sont toutes les deux égales à \(\dfrac{2}{3}\) : elles sont égales ✓.

b) \(\dfrac{5}{8}\) et \(\dfrac{15}{25}\) : on simplifie \(\dfrac{15}{25} = \dfrac{15 \div 5}{25 \div 5} = \dfrac{3}{5}\). Pour comparer \(\dfrac{5}{8}\) et \(\dfrac{3}{5}\), on peut les écrire en nombres décimaux : \(\dfrac{5}{8} = 5 \div 8 = 0{,}625\) et \(\dfrac{3}{5} = 3 \div 5 = 0{,}6\). \(0{,}625 \neq 0{,}6\) : elles ne sont pas égales ✗.

c) \(\dfrac{7}{11}\) et \(\dfrac{21}{33}\) : \(21 = 7 \times 3\) et \(33 = 11 \times 3\). \[\frac{7}{11} = \frac{7 \times 3}{11 \times 3} = \frac{21}{33}\] Elles sont égales ✓.

a) \(\dfrac{7}{4} = 7 \div 4 = \mathbf{1{,}75}\)
b) \(\dfrac{3}{8} = 3 \div 8 = \mathbf{0{,}375}\)
c) \(\dfrac{11}{5} = 11 \div 5 = \mathbf{2{,}2}\)
d) \(\dfrac{2}{3} = 2 \div 3 = 0{,}666\ldots \approx \mathbf{0{,}67}\) (au centième)

a) Même dénominateur : \(\dfrac{2 + 3}{7} = \mathbf{\dfrac{5}{7}}\).

b) \(\dfrac{5 - 2}{9} = \dfrac{3}{9} = \mathbf{\dfrac{1}{3}}\).

c) \(\dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{8}\), donc \(\dfrac{2}{8} + \dfrac{3}{8} = \mathbf{\dfrac{5}{8}}\).

a) \(\dfrac{7}{8} < 1\) (numérateur plus petit) ; \(\dfrac{9}{5} > 1\) (numérateur plus grand) ; \(\dfrac{12}{12} = 1\).

b) \(\mathbf{\dfrac{7}{8} < \dfrac{12}{12} < \dfrac{9}{5}}\).

a) On écrit tout en huitièmes : \(\dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{8}\). Total : \(\dfrac{2}{8} + \dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{6}{8} = \mathbf{\dfrac{3}{4}}\).

b) Il reste \(1 - \dfrac{3}{4} = \mathbf{\dfrac{1}{4}}\) de la pizza.

Une heure = \(60\) minutes.

a) \(60 \div 4 \times 3 = \mathbf{45}\) min. b) \(60 \div 3 \times 2 = \mathbf{40}\) min. c) \(60 \div 6 = \mathbf{10}\) min.

a) Un carreau représente \(\dfrac{1}{3}\) : on compte \(\mathbf{2}\), \(\mathbf{4}\) et \(\mathbf{5}\) carreaux.

b) \(\dfrac{5}{3} = \dfrac{3}{3} + \dfrac{2}{3} = \mathbf{1 + \dfrac{2}{3}}\).

Étape 1 — Distance parcourue

\[d_{\text{parcouru}} = \dfrac{5}{8} \times 240 = \dfrac{5 \times 240}{8} = \dfrac{1\,200}{8} = \mathbf{150 \text{ km}}\]

Étape 2 — Distance restante

\[d_{\text{restant}} = 240 - 150 = \mathbf{90 \text{ km}}\]

Étape 3 — Fraction restante

\[1 - \dfrac{5}{8} = \dfrac{8}{8} - \dfrac{5}{8} = \mathbf{\dfrac{3}{8}}\]

Vérification : \(\dfrac{3}{8} \times 240 = 90\) km ✓.

a) \(\dfrac{11}{4}\) : multiples de \(4\) : \(\ldots, 8, 12, \ldots\). Or \(8 < 11 < 12\), donc : \[\dfrac{8}{4} < \dfrac{11}{4} < \dfrac{12}{4} \,\Leftrightarrow\, \mathbf{2 < \dfrac{11}{4} < 3}\]

b) \(\dfrac{23}{7}\) : \(21 < 23 < 28 = 7 \times 4\), donc \(\mathbf{3 < \dfrac{23}{7} < 4}\).

c) \(\dfrac{100}{9}\) : \(99 = 9 \times 11 < 100 < 108 = 9 \times 12\), donc \(\mathbf{11 < \dfrac{100}{9} < 12}\).

Étape 1 — Dénominateur commun

\(20\) est un multiple de \(5\) (\(20 = 5 \times 4\)) et de \(10\) (\(20 = 10 \times 2\)) : on écrit tout en vingtièmes.

Étape 2 — Conversion

\[\dfrac{3}{5} = \dfrac{3 \times 4}{5 \times 4} = \dfrac{12}{20}\,;\quad \dfrac{7}{10} = \dfrac{7 \times 2}{10 \times 2} = \dfrac{14}{20}\,;\quad \dfrac{13}{20}\]

Étape 3 — Tri croissant

\(12 < 13 < 14\) → \(\mathbf{\dfrac{3}{5} < \dfrac{13}{20} < \dfrac{7}{10}}\).

🔍 Vérification avec les décimaux : \(0{,}6 < 0{,}65 < 0{,}7\) ✓.

Étape 1 — Effectif des sportifs

\[\dfrac{3}{7} \times 700 = \dfrac{2\,100}{7} = \mathbf{300 \text{ élèves}}\]

Étape 2 — Effectif des musiciens

\[\dfrac{2}{5} \times 700 = \dfrac{1\,400}{5} = \mathbf{280 \text{ élèves}}\]

Étape 3 — Ni l'un ni l'autre

Avec l'hypothèse d'activités exclusives (un élève fait au plus une seule des deux) : \[700 - 300 - 280 = \mathbf{120 \text{ élèves}}\]

Étape 1 — Carafe

\[\dfrac{2}{3} \times 4{,}5 = \dfrac{2 \times 4{,}5}{3} = \dfrac{9}{3} = \mathbf{3 \text{ L}}\]

Étape 2 — Reste dans le récipient après la carafe

\[4{,}5 - 3 = \mathbf{1{,}5 \text{ L}}\]

Étape 3 — Verre

\[\dfrac{1}{4} \times 1{,}5 = \mathbf{0{,}375 \text{ L}}\]

Étape 4 — Reste final

\[1{,}5 - 0{,}375 = 1{,}125 \text{ L}\]

Fraction du récipient initial restant : on cherche combien de fois \(1{,}125\) L « rentre » dans \(4{,}5\) L. \[1{,}125 \times 4 = 4{,}5\] Il reste donc le quart du contenu de départ : \(\mathbf{\dfrac{1}{4}}\).

Étape 1 — Dénominateur commun

\(18 = 3 \times 6\), \(18 = 9 \times 2\) et \(18 = 6 \times 3\) : \(18\) est un multiple des trois dénominateurs.

Étape 2 — Conversion

\[\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 6}{3 \times 6} = \dfrac{12}{18}\] \[\dfrac{7}{9} = \dfrac{7 \times 2}{9 \times 2} = \dfrac{14}{18}\] \[\dfrac{5}{6} = \dfrac{5 \times 3}{6 \times 3} = \dfrac{15}{18}\]

Étape 3 — Comparaison des numérateurs

Les trois fractions ont maintenant le même dénominateur, et \(12 < 14 < 15\), donc : \[\boxed{\dfrac{2}{3} < \dfrac{7}{9} < \dfrac{5}{6}}\]