6e · Chapitre 3 · Proportionnalité

La proportionnalité

30 exercices corrigés

1 Reconnaître une situation de proportionnalité

Un cahier coûte $1{,}50$ €. Deux cahiers coûtent $3$ €, trois cahiers $4{,}50$ €… Quand on achète 2 fois plus de cahiers, on paie 2 fois plus ; 3 fois plus de cahiers, 3 fois plus cher.

Définition

Deux quantités sont proportionnelles quand on obtient toujours l'une en multipliant l'autre par le même nombre. Si l'une est multipliée (ou divisée) par un nombre, l'autre aussi.

Attention

Beaucoup de situations ne sont pas proportionnelles !

Ta taille et ton âge : à $10$ ans, tu n'es pas deux fois plus grand qu'à $5$ ans.
Un tarif de groupe dégressif : $2$ places ne coûtent pas forcément le double d'une place.

2 Le tableau de proportionnalité

On range souvent les valeurs dans un tableau : la première ligne pour une quantité, la deuxième pour l'autre.

Nombre de cahiers	1	2	3	4
Prix (€)	1,50	3	4,50	6

Pour vérifier qu'un tableau est un tableau de proportionnalité, on regarde si l'on passe de la 1re ligne à la 2e en multipliant toujours par le même nombre (ici par $1{,}5$).

3 Calculer avec les propriétés de la proportionnalité

On peut multiplier une colonne par un nombre, ou additionner deux colonnes : on reste dans le tableau.

À retenir

Dans un tableau de proportionnalité :

si on multiplie (ou on divise) une colonne par un nombre, on obtient une autre colonne du tableau : $2$ cahiers coûtent $3$ €, donc $6$ cahiers ($2 \times 3$) coûtent $9$ € ($3 \times 3$) ;
si on additionne deux colonnes, on obtient une autre colonne : $2 + 6 = 8$ cahiers coûtent $3 + 9 = 12$ €.

Méthode — le retour à l'unité

On cherche d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie.

Pour passer de 5 à 8 stylos, on calcule d'abord le prix d'un seul stylo.

Exemple

$5$ stylos coûtent $3{,}75$ €. Combien coûtent $8$ stylos ?

Prix d'un stylo : $3{,}75 \div 5 = 0{,}75$ €.
Prix de $8$ stylos : $0{,}75 \times 8 = 6$ €.

Astuce

Choisis le chemin le plus simple ! Pour $10$ stylos, inutile de passer par $1$ : $10 = 5 \times 2$, donc $10$ stylos coûtent $3{,}75 \times 2 = 7{,}50$ €.

4 Appliquer un pourcentage

« $25\,\%$ » se lit « $25$ pour cent » et veut dire « $25$ sur $100$ » : $25\,\% = \dfrac{25}{100}$.

Prendre $25\,\%$ d'une quantité, c'est en prendre $25$ pour $100$ : on fait comme pour une fraction d'une quantité.

Méthode

Pour calculer $15\,\%$ de $80$, on calcule $\dfrac{15}{100}$ de $80$ : $80 \div 100 \times 15 = 0{,}8 \times 15 = 12$ ou bien $\dfrac{15 \times 80}{100} = \dfrac{1\,200}{100} = 12$.

À retenir

Les pourcentages simples :

$10\,\%$	$25\,\%$	$50\,\%$	$75\,\%$	$100\,\%$
un dixième : $\div 10$	un quart : $\div 4$	la moitié : $\div 2$	trois quarts	le tout

Exemple

Un pull coûte $40$ €. Il est soldé à $-25\,\%$. La réduction vaut $25\,\%$ de $40$, c'est-à-dire le quart de $40$ : $40 \div 4 = 10$ €. Le pull coûte maintenant $40 - 10 = 30$ €.

5 Les échelles

Sur un plan ou une carte, les longueurs sont proportionnelles aux longueurs réelles.

Définition

Une échelle de $\dfrac{1}{100}$ (on écrit aussi $1/100$) veut dire que 1 cm sur le plan représente 100 cm en réalité.

Exemple

Sur un plan à l'échelle $\dfrac{1}{100}$, une chambre mesure $3{,}5$ cm de long. En réalité, elle mesure $3{,}5 \times 100 = 350$ cm, soit $3{,}5$ m.

Attention aux unités

L'échelle compare des longueurs dans la même unité. Pense à convertir à la fin (cm → m → km).

Pour aller plus loin

Contenu facultatif, non exigible.

Le coefficient de proportionnalité (programme de 5e). C'est le nombre par lequel on multiplie la 1re ligne pour obtenir la 2e. Dans le tableau des cahiers, c'est $1{,}5$ : prix $= 1{,}5 \times$ nombre de cahiers.

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L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.

L'essentiel

Notion	Ce qu'il faut savoir
Proportionnalité	On passe d'une quantité à l'autre en multipliant toujours par le même nombre
Multiplier une colonne	$2 \to 3$ € donc $6 \to 9$ € (on a multiplié par $3$ en haut et en bas)
Additionner deux colonnes	$2 \to 3$ € et $6 \to 9$ €, donc $8 \to 12$ €
Retour à l'unité	On calcule la valeur pour 1, puis on multiplie
$p\,\%$ d'une quantité	On prend $\dfrac{p}{100}$ de la quantité
Pourcentages simples	$10\,\% \to \div 10$ ; $25\,\% \to \div 4$ ; $50\,\% \to \div 2$
Échelle $\dfrac{1}{n}$	$1$ cm sur le plan $= n$ cm en réalité

Pièges à éviter

Vérifier que la situation est vraiment proportionnelle avant de calculer.
Dans un tableau de proportionnalité, on ne peut pas ajouter le même nombre aux deux lignes : on multiplie.
$20\,\%$ de $80$ n'est pas $20 \times 80$ : on n'oublie pas le « sur $100$ ».
Avec une échelle, on convertit les unités à la fin.

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Niveau 1Facile (Exercices 1 à 11)

Exercice 1—Compléter un tableau de proportionnalitéNiveau 1

Complète les tableaux suivants :

Nombre de pots	2	5	8	12
Prix (€)	6

Distance (km)	50	100		350
Temps (min)	40		160

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Stratégie

on cherche par combien on multiplie (ou divise) une colonne connue pour obtenir la colonne cherchée, et on fait la même chose sur l'autre ligne.

a) On peut faire un retour à l'unité : $2$ pots coûtent $6$ €, donc $1$ pot coûte $6 \div 2 = 3$ €.

$5$ pots : $5 \times 3 = 15$ €
$8$ pots : $8 \times 3 = 24$ €
$12$ pots : $12 \times 3 = 36$ €

Pots	2	5	8	12
Prix (€)	6	$\mathbf{15}$	$\mathbf{24}$	$\mathbf{36}$

b) On part de la colonne « $50$ km → $40$ min » :

$100$ km $= 50 \times 2$, donc $40 \times 2 = 80$ min ;
$160$ min $= 40 \times 4$, donc $50 \times 4 = 200$ km ;
$350$ km $= 50 \times 7$, donc $40 \times 7 = 280$ min.

km	50	100	$\mathbf{200}$	350
min	40	$\mathbf{80}$	160	$\mathbf{280}$

Exercice 2—Retour à l'unitéNiveau 1

Dans chaque cas, calcule la valeur pour une unité :
a) Un robinet débite $15$ L en $3$ minutes, toujours au même rythme. Combien de litres coulent en $1$ minute ?
b) $4$ m de tissu coûtent $28$ €. Combien coûte $1$ m ?
c) En $6$ heures, un cycliste parcourt $120$ km, toujours au même rythme. Combien de kilomètres parcourt-il en $1$ heure ?

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Méthode

pour trouver la valeur pour 1, on divise par le nombre d'unités.

a) $15$ L en $3$ min, donc en $1$ min : $15 \div 3 = \mathbf{5 \text{ L}}$.

b) $28$ € pour $4$ m, donc pour $1$ m : $28 \div 4 = \mathbf{7 \text{ €}}$.

c) $120$ km en $6$ h, donc en $1$ h : $120 \div 6 = \mathbf{20 \text{ km}}$.

À noter

Ces valeurs « pour 1 » sont très utiles ensuite : par exemple, $10$ m de tissu coûtent $10 \times 7 = 70$ €.

Exercice 3—Calculer un pourcentageNiveau 1

Calcule :
a) $10\%$ de $200$
b) $25\%$ de $80$
c) $50\%$ de $46$
d) $1\%$ de $350$

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Règle

$p\,\%$ d'un nombre, c'est $\dfrac{p}{100}$ de ce nombre. Pour les pourcentages simples, on utilise un raccourci.

a) $10\,\%$, c'est un dixième : $200 \div 10 = \mathbf{20}$.
b) $25\,\%$, c'est un quart : $80 \div 4 = \mathbf{20}$.
c) $50\,\%$, c'est la moitié : $46 \div 2 = \mathbf{23}$.
d) $1\,\%$, c'est un centième : $350 \div 100 = \mathbf{3{,}5}$.

Mémo

$10\,\% \to \div 10$ ; $25\,\% \to \div 4$ ; $50\,\% \to \div 2$ ; $1\,\% \to \div 100$.

Exercice 4—Proportionnel ou non ?Niveau 1

Dis si les tableaux suivants représentent une situation de proportionnalité :

$x$	2	4	6	8
$y$	6	12	18	24

Âge (ans)	5	10	15	20
Taille (cm)	110	140	165	175

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Méthode

on regarde si l'on passe de la 1re ligne à la 2e en multipliant toujours par le même nombre.

a) $2 \times 3 = 6$ ; $4 \times 3 = 12$ ; $6 \times 3 = 18$ ; $8 \times 3 = 24$. On multiplie toujours par $3$. Oui, c'est un tableau de proportionnalité.

b) $5 \times 22 = 110$, mais $10 \times 22 = 220$ et pas $140$. Autre façon de voir : l'âge double de $5$ à $10$ ans, mais la taille ne double pas ($110$ cm → $140$ cm). Non, ce n'est pas proportionnel (on ne grandit pas deux fois plus quand on a deux fois plus d'âge !).

Exercice 5—Retour à l'unité au marchéNiveau 1

Si $3$ kg de pommes coûtent $4{,}50$ €, combien coûtent $7$ kg ?

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Méthode

retour à l'unité.

Étape 1 — Prix d'un kilogramme

$4{,}50 \div 3 = 1{,}50 \text{ €}$

Étape 2 — Prix de 7 kg

$1{,}50 \times 7 = \mathbf{10{,}50 \text{ €}}$

Exercice 6—Pourcentage d'une classeNiveau 1

Dans une classe de $25$ élèves, $15$ ont eu la moyenne.
a) Quel pourcentage ont eu la moyenne ? (Indice : écris la fraction $\dfrac{15}{25}$ avec le dénominateur $100$.)
b) Quel pourcentage n'ont pas eu la moyenne ?

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a) On cherche combien d'élèves « sur $100$ » cela ferait. $25 \times 4 = 100$, donc on multiplie le haut et le bas par $4$ : $\frac{15}{25} = \frac{15 \times 4}{25 \times 4} = \frac{60}{100} = \mathbf{60\,\%}$

b) Tous les élèves représentent $100\,\%$. Ceux qui n'ont pas eu la moyenne représentent : $100\,\% - 60\,\% = \mathbf{40\,\%}$

🔍 Vérification : $25 - 15 = 10$ élèves, et $\dfrac{10}{25} = \dfrac{40}{100}$ ✓.

Exercice 7—Compléter le tableauNiveau 1

$2$ kg de pommes coûtent $7$ €. Complète le tableau :

Masse (kg)	2	4	6	1
Prix (€)	7	…	…	…

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🎯 On passe de la première ligne à la seconde en multipliant par $7 \div 2 = 3{,}5$.

Masse (kg)	2	4	6	1
Prix (€)	7	14	21	3,50

Exercice 8—Proportionnel ou pas ?Niveau 1

Dans chaque cas, dis si les deux grandeurs sont proportionnelles :
a) le prix payé et le nombre de croissants achetés (un croissant coûte $1{,}10$ €) ;
b) la taille d'un enfant et son âge ;
c) le périmètre d'un carré et la longueur de son côté.

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a) Oui : on multiplie toujours par $1{,}10$.

b) Non : à $2$ ans, un enfant mesure environ $85$ cm, mais pas $170$ cm à $4$ ans !

c) Oui : périmètre $= 4 \times$ côté.

Exercice 9—Appliquer un pourcentageNiveau 1

Calcule :
a) $20\,\%$ de $150$ $\quad$
b) $10\,\%$ de $45$ $\quad$
c) $75\,\%$ de $80$

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a) $10\,\%$ de $150$ est $15$, donc $20\,\%$ est $\mathbf{30}$.

b) $\mathbf{4{,}5}$ (on divise par $10$).

c) $25\,\%$ de $80$ est $20$, donc $75\,\%$ est $3 \times 20 = \mathbf{60}$.

Exercice 10—L'échelleNiveau 1

Un plan est à l'échelle $\dfrac{1}{1\,000}$ ($1$ cm sur le plan représente $1\,000$ cm en réalité).
a) Quelle longueur réelle représentent $3$ cm sur le plan ?
b) Quelle longueur mesure sur le plan une allée de $50$ m ?

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a) $3 \times 1\,000 = 3\,000$ cm $= \mathbf{30}$ m.

b) $50$ m $= 5\,000$ cm, et $5\,000 \div 1\,000 = \mathbf{5}$ cm.

Exercice 11—Les stylosNiveau 1

$3$ stylos coûtent $4{,}50$ €. Sans passer par l'unité, trouve le prix de $6$ stylos, puis de $9$ stylos. Trouve enfin le prix d'un stylo.

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$6$ stylos, c'est $2$ fois plus : $2 \times 4{,}50 = \mathbf{9}$ € ;
$9$ stylos, c'est $3$ fois plus : $3 \times 4{,}50 = \mathbf{13{,}50}$ € ;
$1$ stylo : $4{,}50 \div 3 = \mathbf{1{,}50}$ €.

Niveau 2Intermédiaire (Exercices 12 à 24)

Exercice 12—Recette de cuisineNiveau 2

Une recette de gâteau pour $6$ personnes nécessite $240$ g de farine. Quelle quantité faut-il pour $10$ personnes ?

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Méthode

retour à l'unité (farine pour une personne).

Étape 1 — Farine pour 1 personne

$240 \div 6 = 40 \text{ g}$

Étape 2 — Farine pour 10 personnes

$40 \times 10 = \mathbf{400 \text{ g}}$

Exercice 13—L'imprimanteNiveau 2

Une imprimante imprime $600$ pages en $20$ minutes, toujours au même rythme.
a) Combien de pages imprime-t-elle en $35$ minutes ?
b) En combien de temps imprime-t-elle $900$ pages ?

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Méthode

on calcule d'abord ce que l'imprimante fait en 1 minute.

Étape 1 — Pages en 1 minute

$600 \div 20 = 30 \text{ pages}$

a) En $35$ minutes : $30 \times 35 = \mathbf{1\,050 \text{ pages}}$.

b) Il faut trouver combien de fois $30$ pages pour faire $900$ pages : $900 \div 30 = \mathbf{30 \text{ minutes}}$.

Autre chemin pour b)

$900 = 600 + 300$, et $300$ pages, c'est la moitié de $600$ : $10$ min. Donc $20 + 10 = 30$ min.

Exercice 14—Pourcentage dans un contexte réelNiveau 2

Un téléphone vaut $650$ €. Les soldes proposent une réduction de $15\,\%$.
a) Calcule la réduction.
b) Quel est le prix soldé ?

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a) $15\,\%$ de $650$ : $\frac{15 \times 650}{100} = \frac{9\,750}{100} = \mathbf{97{,}50 \text{ €}}$

Astuce

$10\,\%$ de $650$ vaut $65$, et $5\,\%$ en est la moitié : $32{,}50$. Donc $15\,\% = 65 + 32{,}50 = 97{,}50$ €.

b) On enlève la réduction au prix de départ : $650 - 97{,}50 = \mathbf{552{,}50 \text{ €}}$

Exercice 15—Échelle et carteNiveau 2

Sur une carte, $2$ cm représentent $5$ km.
a) Quelle distance réelle correspond à $7$ cm sur la carte ?
b) Quelle longueur sur la carte représente $120$ km réels ?

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Méthode

les longueurs sur la carte sont proportionnelles aux distances réelles. On part de « $2$ cm → $5$ km ».

a) Retour à l'unité : $1$ cm représente $5 \div 2 = 2{,}5$ km. Donc $7$ cm représentent : $7 \times 2{,}5 = \mathbf{17{,}5 \text{ km}}$

b) $120$ km, c'est $24$ fois $5$ km (car $5 \times 24 = 120$). Sur la carte, il faut donc $24$ fois $2$ cm : $2 \times 24 = \mathbf{48 \text{ cm}}$

Exercice 16—Vérification de proportionnalitéNiveau 2

Léa prétend que la situation suivante est proportionnelle. A-t-elle raison ?

Nombre de pièces	3	5	8	12
Masse (g)	21	35	57	84

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Méthode

on calcule la masse d'une pièce, puis on vérifie chaque colonne.

Étape 1 — Masse d'une pièce

$3$ pièces pèsent $21$ g, donc $1$ pièce pèse $21 \div 3 = 7$ g.

Étape 2 — Vérification des colonnes

$5$ pièces : $5 \times 7 = 35$ g ✓
$8$ pièces : $8 \times 7 = 56$ g, mais le tableau indique $57$ g ✗
$12$ pièces : $12 \times 7 = 84$ g ✓

Léa a tort : à cause de la colonne « $8$ pièces », le tableau n'est pas un tableau de proportionnalité.

Piège

Il suffit d'une seule colonne qui ne convient pas pour que ce ne soit pas proportionnel.

Exercice 17—Deux pourcentagesNiveau 2

Un collège compte $480$ élèves. $25\,\%$ des élèves sont en 6e.
a) Combien d'élèves sont en 6e ?
b) Parmi les élèves de 6e, $75\,\%$ mangent à la cantine. Combien d'élèves de 6e mangent à la cantine ?

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a) $25\,\%$, c'est un quart : $480 \div 4 = \mathbf{120 \text{ élèves}}$ en 6e.

b) On applique $75\,\%$ aux $120$ élèves de 6e (pas aux $480$ élèves du collège !). $75\,\%$, ce sont trois quarts : $120 \div 4 = 30 \qquad 30 \times 3 = \mathbf{90 \text{ élèves}}$

Piège

Le deuxième pourcentage porte sur les élèves de 6e seulement.

Exercice 18—Le plan de la maisonNiveau 2

Le plan d'une maison est à l'échelle $\dfrac{1}{50}$ : $1$ cm sur le plan représente $50$ cm en réalité.
a) Sur le plan, le salon mesure $12$ cm sur $9$ cm. Quelles sont ses dimensions réelles, en cm puis en m ?
b) Une table mesure $1{,}5$ m de long en réalité. Quelle longueur aura-t-elle sur le plan ?

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Règle

à l'échelle $\dfrac{1}{50}$, une longueur réelle vaut $50$ fois la longueur sur le plan.

Longueur : $12 \times 50 = 600$ cm $= \mathbf{6 \text{ m}}$.
Largeur : $9 \times 50 = 450$ cm $= \mathbf{4{,}5 \text{ m}}$.

b) On convertit d'abord : $1{,}5$ m $= 150$ cm. Sur le plan, c'est $50$ fois plus petit : $150 \div 50 = \mathbf{3 \text{ cm}}$

Exercice 19—Les cerisesNiveau 2

Au marché, $2$ kg de cerises coûtent $9$ € et $3$ kg coûtent $13{,}50$ €. Le prix est proportionnel à la masse. Sans calculer d'abord le prix d'un kilogramme, trouve le prix de :
a) $5$ kg
b) $4$ kg
c) $1$ kg (utilise une soustraction)
d) $10$ kg

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Méthode

on combine les colonnes connues « $2$ kg → $9$ € » et « $3$ kg → $13{,}50$ € » (on les additionne, on les soustrait, on les multiplie).

a) $5$ kg $= 2$ kg $+ 3$ kg, donc : $9 + 13{,}50 = \mathbf{22{,}50 \text{ €}}$.

b) $4$ kg $= 2 \times 2$ kg, donc : $9 \times 2 = \mathbf{18 \text{ €}}$.

c) $1$ kg $= 3$ kg $- 2$ kg, donc : $13{,}50 - 9 = \mathbf{4{,}50 \text{ €}}$.

d) $10$ kg $= 2 \times 5$ kg, donc : $22{,}50 \times 2 = \mathbf{45 \text{ €}}$.

🔍 Vérification avec le prix d'un kilo ($4{,}50$ €) : $10 \times 4{,}50 = 45$ € ✓.

Exercice 20—Le coefficient de proportionnalitéNiveau 2

Le tableau suivant est un tableau de proportionnalité :

$x$	4	6	10	14
$y$	10	15	25	…

a) Calcule le coefficient de proportionnalité.
b) Complète la dernière case.

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a) $10 \div 4 = 2{,}5$ (et $15 \div 6 = 2{,}5$, $25 \div 10 = 2{,}5$) : le coefficient est $\mathbf{2{,}5}$.

b) $14 \times 2{,}5 = \mathbf{35}$.

Exercice 21—Les soldesNiveau 2

Un pull coûte $60$ €. Il est soldé à $-30\,\%$.
a) De combien le prix baisse-t-il ?
b) Quel est le nouveau prix ?

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a) $30\,\%$ de $60$ : $10\,\%$ vaut $6$, donc $30\,\%$ vaut $\mathbf{18}$ €.

b) $60 - 18 = \mathbf{42}$ €.

Exercice 22—La recetteNiveau 2

Pour $6$ personnes, il faut $300$ g de farine et $3$ œufs. Quelles quantités faut-il pour $4$ personnes ?

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🎯 On passe par $2$ personnes : $6 \div 3 = 2$. Pour $2$ personnes : $100$ g de farine et $1$ œuf. Pour $4$ personnes ($2$ fois plus) : $200$ g de farine et $2$ œufs.

Exercice 23—Le voyageNiveau 2

Une voiture roule toujours à la même vitesse : elle parcourt $90$ km en $1$ heure.
a) Quelle distance parcourt-elle en $20$ minutes ?
b) Quelle distance parcourt-elle en $2$ h $30$ min ?

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a) $20$ min, c'est le tiers d'une heure : $90 \div 3 = \mathbf{30}$ km.

b) $2$ h : $180$ km ; $30$ min : $45$ km. Total : $\mathbf{225}$ km.

Exercice 24—La carte de randonnéeNiveau 2

Une carte est à l'échelle $\dfrac{1}{25\,000}$.
a) Quelle distance réelle (en km) représentent $4$ cm sur la carte ?
b) Un sentier mesure $3{,}5$ km. Quelle longueur mesure-t-il sur la carte ?

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a) $4 \times 25\,000 = 100\,000$ cm $= 1\,000$ m $= \mathbf{1}$ km.

b) $1$ km correspond à $4$ cm, donc $3{,}5$ km correspondent à $3{,}5 \times 4 = \mathbf{14}$ cm.

Niveau 3Difficile/Expert (Exercices 25 à 30)

Exercice 25—À la boulangerieNiveau 3

$8$ croissants coûtent $9{,}60$ €.
a) Quel est le prix d'un croissant ?
b) Combien coûtent $15$ croissants ?
c) Avec un billet de $20$ €, combien de croissants peut-on acheter au maximum ?

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a) Retour à l'unité : $9{,}60 \div 8 = \mathbf{1{,}20 \text{ €}}$

b) $15 \times 1{,}20 = \mathbf{18 \text{ €}}$.

c) On cherche combien de fois $1{,}20$ € on peut payer avec $20$ € :

$16$ croissants : $16 \times 1{,}20 = 19{,}20$ € : c'est possible ($19{,}20 \leq 20$) ;
$17$ croissants : $19{,}20 + 1{,}20 = 20{,}40$ € : c'est trop.

On peut acheter au maximum 16 croissants (et il reste $0{,}80$ €).

Exercice 26—Échelle d'une carte de randonnéeNiveau 3

Une carte de randonnée est à l'échelle $\dfrac{1}{25\,000}$.
a) Quelle distance réelle, en mètres, représente $1$ cm sur la carte ?
b) Deux villages sont à $6$ cm l'un de l'autre sur la carte. Quelle est la distance réelle, en km ?
c) Une randonnée fait $4$ km en ligne droite. Quelle longueur mesure-t-elle sur la carte ?

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Règle

à l'échelle $\dfrac{1}{25\,000}$, $1$ cm sur la carte représente $25\,000$ cm en réalité.

a) $25\,000$ cm $= 250$ m (on divise par $100$). Donc $1$ cm sur la carte représente $\mathbf{250 \text{ m}}$.

b) $6$ cm représentent $6 \times 250 = 1\,500$ m $= \mathbf{1{,}5 \text{ km}}$.

c) $4$ km $= 4\,000$ m. On cherche combien de fois $250$ m : $4\,000 \div 250 = 16$ (car $250 \times 4 = 1\,000$, donc $250 \times 16 = 4\,000$). La randonnée mesure $\mathbf{16 \text{ cm}}$ sur la carte.

Exercice 27—Problème de mélangeNiveau 3

Pour préparer de la limonade, on mélange du sirop et de l'eau : $1$ part de sirop pour $4$ parts d'eau. On veut préparer $2{,}5$ litres de limonade.
a) Quelle quantité de sirop faut-il ?
b) Quelle quantité d'eau ?

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Méthode

on raisonne avec des « parts » (on peut faire un schéma en barres).

Étape 1 — Nombre total de parts

$1$ part de sirop $+ 4$ parts d'eau $= 5$ parts, pour $2{,}5$ L en tout.

Étape 2 — Valeur d'une part

$2{,}5 \div 5 = 0{,}5 \text{ L}$

Étape 3 — Quantités

a) Sirop : $1$ part $= \mathbf{0{,}5 \text{ L}}$.
b) Eau : $4$ parts $= 4 \times 0{,}5 = \mathbf{2 \text{ L}}$.

🔍 Vérification : $0{,}5 + 2 = 2{,}5$ L ✓.

Exercice 28—La population d'une villeNiveau 3

Une ville compte $45\,000$ habitants. $10\,\%$ ont moins de $10$ ans, $15\,\%$ ont entre $10$ et $19$ ans, $50\,\%$ ont entre $20$ et $59$ ans, et les autres ont $60$ ans ou plus.
a) Combien d'habitants ont moins de $10$ ans ?
b) Combien ont entre $10$ et $19$ ans ?
c) Quel pourcentage des habitants a $60$ ans ou plus ?
d) Combien d'habitants cela représente-t-il ?

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a) $10\,\%$, c'est un dixième : $45\,000 \div 10 = \mathbf{4\,500 \text{ habitants}}$.

b) $15\,\% = 10\,\% + 5\,\%$. On a $10\,\% \to 4\,500$, et $5\,\%$ en est la moitié : $2\,250$. $4\,500 + 2\,250 = \mathbf{6\,750 \text{ habitants}}$

c) Toute la population représente $100\,\%$ : $100\,\% - 10\,\% - 15\,\% - 50\,\% = \mathbf{25\,\%}$

d) $25\,\%$, c'est un quart : $45\,000 \div 4 = \mathbf{11\,250 \text{ habitants}}$.

Exercice 29—Situation non proportionnelleNiveau 3

Voici le tableau du prix d'entrée dans un parc :

Nombre de personnes	1	2	3	4
Prix total (€)	12	22	30	36

a) S'agit-il d'une situation de proportionnalité ? Justifie.
b) De combien augmente le prix total à chaque personne supplémentaire ?
c) Si le tarif continue de la même façon, combien coûte l'entrée pour $6$ personnes ?

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a) Si c'était proportionnel, $2$ personnes paieraient $2 \times 12 = 24$ €. Or elles paient $22$ €. Ce n'est pas une situation de proportionnalité.

b) On regarde de combien le prix augmente d'une colonne à la suivante :

de $1$ à $2$ personnes : $22 - 12 = 10$ € ;
de $2$ à $3$ personnes : $30 - 22 = 8$ € ;
de $3$ à $4$ personnes : $36 - 30 = 6$ €.

Le prix augmente de $10$ €, puis $8$ €, puis $6$ € : l'augmentation diminue de $2$ € à chaque nouvelle personne (c'est un tarif de groupe).

c) Si cela continue : la 5e personne ajoute $4$ € ($36 + 4 = 40$ €), la 6e ajoute $2$ € : $40 + 2 = \mathbf{42 \text{ €}}$

Exercice 30—Synthèse : la sortie au muséeNiveau 3

Une classe de $24$ élèves va au musée.
a) Le billet coûte $4{,}50$ € par élève. Combien coûtent les billets de toute la classe ?
b) Le musée fait une réduction de $10\,\%$ aux groupes. Calcule la réduction, puis le prix payé.
c) Le car coûte $360$ € pour $3$ classes de $24$ élèves. Le prix est partagé de façon égale entre tous les élèves. Combien paie chaque élève ?
d) Sur le plan du musée, à l'échelle $\dfrac{1}{200}$, l'entrée et la salle des dinosaures sont à $15$ cm l'une de l'autre. Quelle est la distance réelle, en mètres ?

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a) $24 \times 4{,}50 = \mathbf{108 \text{ €}}$.

b) Réduction : $10\,\%$ de $108$, c'est un dixième : $108 \div 10 = \mathbf{10{,}80 \text{ €}}$. Prix payé : $108 - 10{,}80 = \mathbf{97{,}20 \text{ €}}$.

c) Nombre d'élèves : $3 \times 24 = 72$. Chaque élève paie : $360 \div 72 = \mathbf{5 \text{ €}}$ (Vérification : $72 \times 5 = 360$ ✓.)

d) À l'échelle $\dfrac{1}{200}$, $1$ cm sur le plan représente $200$ cm en réalité : $15 \times 200 = 3\,000 \text{ cm} = \mathbf{30 \text{ m}}$