Triangles et quadrilatères

a) \(\widehat{C} = 180° - 50° - 70° = \mathbf{60°}\).

b) \(\widehat{C} = 180° - 90° - 35° = \mathbf{55°}\).

c) Les trois angles sont égaux et leur somme fait \(180°\), donc chacun vaut \(180° \div 3 = \mathbf{60°}\).

a) On trace \([AB]\) de \(6\) cm, puis un arc de centre \(A\) et de rayon \(4\) cm, et un arc de centre \(B\) et de rayon \(5\) cm. Le point \(C\) est à l'intersection des deux arcs.

b) On trace \([DE]\) de \(5\) cm. Au rapporteur, on trace en \(D\) un angle de \(40°\) et en \(E\) un angle de \(70°\) (du même côté de \([DE]\)). Les deux demi-droites se coupent en \(F\). \[\widehat{F} = 180° - 40° - 70° = \mathbf{70°}\] On remarque que \(\widehat{E} = \widehat{F} = 70°\) : le triangle a deux angles égaux, il est isocèle en \(D\). En mesurant, on trouve bien \(DF = DE = 5\) cm.

c) On trace \([GH]\) de \(4\) cm, puis avec l'équerre la perpendiculaire à \([GH]\) en \(H\), sur laquelle on place \(I\) à \(3\) cm de \(H\). En mesurant : \(GI = \mathbf{5 \text{ cm}}\).

a) \(5 = 5 \neq 7\) → deux côtés égaux → isocèle.

b) \(8 = 8 = 8\) → trois côtés égaux → équilatéral.

c) Un angle droit et deux angles égaux → rectangle et isocèle.

d) Un angle droit, trois angles différents → rectangle (il n'est pas isocèle).

a) Un carré a 4 angles droits : c'est donc un rectangle. Vrai.

b) Un rectangle n'a pas forcément ses 4 côtés égaux (sa longueur et sa largeur sont souvent différentes). Faux.

c) Un carré a 4 côtés de même longueur : c'est donc un losange. Vrai.

d) Les diagonales d'un rectangle ont la même longueur et se coupent en leur milieu, mais elles ne sont pas perpendiculaires (sauf si le rectangle est un carré). Faux.

• \(O\) est le milieu de \([AC]\) : \(OA = 10 \div 2 = \mathbf{5 \text{ cm}}\).
• Les diagonales ont la même longueur : \(BD = AC = \mathbf{10 \text{ cm}}\).
• \(O\) est le milieu de \([BD]\) : \(OB = 10 \div 2 = \mathbf{5 \text{ cm}}\).

a) 4 côtés égaux et 4 angles droits → carré.

b) 4 angles droits sans que tous les côtés soient égaux → rectangle (qui n'est pas un carré).

c) 4 côtés égaux sans angle droit → losange (qui n'est pas un carré).

d) Diagonales de même longueur qui se coupent en leur milieu, non perpendiculaires → rectangle (qui n'est pas un carré).

🎯 La somme des angles d'un triangle vaut \(180°\).

a) \(180° - 50° - 60° = \mathbf{70°}\).

b) L'angle droit mesure \(90°\) : \(180° - 90° - 35° = \mathbf{55°}\).

a) équilatéral (trois côtés égaux) ; b) isocèle (deux côtés égaux) ; c) rectangle isocèle.

1. On trace le segment \([AB]\) de \(6\) cm.
2. On trace un arc de cercle de centre \(A\) et de rayon \(4\) cm.
3. On trace un arc de cercle de centre \(B\) et de rayon \(5\) cm.
4. Le point \(C\) est à l'intersection des deux arcs. On trace \([AC]\) et \([BC]\).

a) … même longueur et qui se coupent en leur milieu. b) … ses quatre côtés égaux. c) … à la fois un rectangle et un losange.

Les deux angles à la base sont égaux et valent ensemble \(180° - 40° = 140°\). Chacun mesure \(140° \div 2 = \mathbf{70°}\).

Étape 1 — Utiliser le triangle isocèle

\(AB = AC\) : le triangle est isocèle en \(A\). Ses deux angles à la base sont égaux : \(\widehat{B} = \widehat{C}\).

Étape 2 — Utiliser la somme des angles

\(\widehat{B} + \widehat{C} = 180° - 40° = 140°\). Ces deux angles sont égaux, donc : \[\widehat{B} = \widehat{C} = 140° \div 2 = \mathbf{70°}\]

b) Le triangle est isocèle en \(A\) (il n'est ni équilatéral, ni rectangle).

Construction

1. Tracer \([DE]\) de \(5\) cm.
2. En \(E\), tracer au rapporteur une demi-droite qui fait un angle de \(60°\) avec \([ED]\).
3. Placer \(F\) sur cette demi-droite à \(4\) cm de \(E\).
4. Relier \(D\) à \(F\).

a) En mesurant à la règle : \(DF \approx \mathbf{4{,}6 \text{ cm}}\).

b) Les trois côtés (\(5\) cm ; \(4\) cm ; environ \(4{,}6\) cm) sont différents, et aucun angle n'est droit : \(DEF\) est un triangle quelconque.

a) On construit chaque médiatrice au compas (deux arcs de même rayon depuis chaque extrémité). Elles se coupent en \(O\).

b)

• \(O\) est sur la médiatrice de \([AB]\), donc \(OA = OB\).
• \(O\) est sur la médiatrice de \([BC]\), donc \(OB = OC\).

Donc \(\mathbf{OA = OB = OC}\).

c) Le cercle de centre \(O\) passant par \(A\) a pour rayon \(OA\). Comme \(OB = OA\) et \(OC = OA\), il passe aussi par \(B\) et par \(C\) : c'est le cercle circonscrit au triangle.

d) \(OA = OC\), donc \(O\) est aussi sur la médiatrice de \([AC]\) : elle passe par \(O\). Les trois médiatrices se coupent bien au même point.

\[\text{angle extérieur en } C = \widehat{A} + \widehat{B} = 55° + 70° = \mathbf{125°}\]

🔍 Vérification : l'angle du triangle en \(C\) vaut \(180° - 55° - 70° = 55°\). L'angle extérieur forme avec lui un angle plat : \(180° - 55° = 125°\) ✓.

\[\widehat{D} = 360° - 95° - 80° - 115° = \mathbf{70°}\]

a) \(MA = MB\) : \(M\) est à la même distance de \(A\) et de \(B\), donc \(M\) est sur la médiatrice de \([AB]\).

b) \(NA = 5\) cm et \(NB = 3\) cm : \(NA \neq NB\). Le point \(N\) n'est pas à la même distance de \(A\) et de \(B\), donc il n'est pas sur la médiatrice.

a) On obtient 6 points (\(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\)) avant de revenir sur \(A\).

b) \(OA = 4\) cm et \(OB = 4\) cm (ce sont des rayons du cercle), et \(AB = 4\) cm (écartement du compas). Les trois côtés mesurent \(4\) cm : le triangle \(OAB\) est équilatéral.

c) Dans un triangle équilatéral, les trois angles mesurent \(60°\) : \(\widehat{AOB} = \mathbf{60°}\).

d) La figure est un hexagone dont les \(6\) côtés mesurent \(4\) cm : périmètre \(= 6 \times 4 = \mathbf{24 \text{ cm}}\).

a) Contour : deux largeurs du rectangle, un grand côté du rectangle, et deux côtés du triangle. \[5 + 5 + 8 + 8 + 8 = \mathbf{34 \text{ cm}}\]

b) On remplace les deux côtés de \(8\) cm du triangle par deux côtés de \(6\) cm : \[5 + 5 + 8 + 6 + 6 = \mathbf{30 \text{ cm}}\]

a) \(180° \div 3 = \mathbf{60°}\).

b) \(180° - 2 \times 50° = \mathbf{80°}\).

a) \(4 \times 4{,}5 = \mathbf{18}\) cm.

b) \(2 \times (7 + 3) = \mathbf{20}\) cm.

Les diagonales d'un rectangle ont la même longueur : \(BD = AC = \mathbf{10}\) cm. Elles se coupent en leur milieu \(O\) : \(OA = 10 \div 2 = \mathbf{5}\) cm.

a) On trace les médiatrices de deux côtés : le centre est leur point d'intersection.

b) Un point de la médiatrice de \([AB]\) est à égale distance de \(A\) et \(B\) ; un point de la médiatrice de \([BC]\) est à égale distance de \(B\) et \(C\). Le point commun est donc à la même distance de \(A\), \(B\) et \(C\).

a) Quatre côtés égaux : c'est un losange ; avec un angle droit, c'est un carré.

b) Quatre angles droits : c'est un rectangle. Ses côtés consécutifs sont différents, ce n'est pas un carré : c'est un rectangle.

Étape 1 — Découper le quadrilatère

On trace la diagonale \([AC]\) du quadrilatère \(ABCD\) : elle le découpe en deux triangles, \(ABC\) et \(ACD\).

Étape 2 — Additionner les angles des deux triangles

• La somme des angles du triangle \(ABC\) vaut \(180°\).
• La somme des angles du triangle \(ACD\) vaut \(180°\).

Étape 3 — Conclure

Les angles de ces deux triangles forment exactement les quatre angles du quadrilatère (les angles en \(A\) et en \(C\) sont coupés en deux par la diagonale). Donc : \[\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 180° + 180° = \mathbf{360°}\]

a) Le triangle est rectangle en \(A\) : \(\widehat{A} = 90°\). Donc \(\widehat{B} + \widehat{C} = 180° - 90° = 90°\). Il est isocèle en \(A\), donc \(\widehat{B} = \widehat{C}\) : \[\widehat{B} = \widehat{C} = 90° \div 2 = \mathbf{45°}\]

b) Le triangle est isocèle en \(A\), donc \(AB = AC\) : le point \(A\) est à la même distance de \(B\) et de \(C\). Il est donc sur la médiatrice de \([BC]\) : oui.

a) Dans un rectangle, les diagonales ont la même longueur et se coupent en leur milieu. Donc \(OA = \dfrac{AC}{2}\) et \(OB = \dfrac{BD}{2}\) avec \(AC = BD\) : on a \(\mathbf{OA = OB}\). Le triangle \(AOB\) est isocèle en \(O\).

b) Les angles à la base d'un triangle isocèle sont égaux : \(\widehat{OAB} = \widehat{OBA}\). Leur somme vaut \(180° - 120° = 60°\), donc : \[\widehat{OAB} = \widehat{OBA} = 60° \div 2 = \mathbf{30°}\]

c) \(A\), \(O\) et \(C\) sont alignés : \(\widehat{AOB}\) et \(\widehat{BOC}\) forment un angle plat. \[\widehat{BOC} = 180° - 120° = \mathbf{60°}\]

d) Comme en a), \(OB = OC\) : le triangle \(BOC\) est isocèle en \(O\). Ses deux angles à la base valent \((180° - 60°) \div 2 = 60°\). Ses trois angles mesurent \(60°\) : le triangle \(BOC\) est équilatéral.

🔍 Vérification : \(\widehat{ABC} = \widehat{OBA} + \widehat{OBC} = 30° + 60° = 90°\) : c'est bien un angle droit du rectangle ✓.

a) Le triangle est rectangle en \(C\) : \(\widehat{C} = 90°\). Donc : \[\widehat{A} + \widehat{B} = 180° - 90° = \mathbf{90°}\]

b) Schéma en barres : \(\widehat{B}\) vaut \(1\) part et \(\widehat{A}\) vaut \(2\) parts (le double). En tout, \(3\) parts \(= 90°\). Une part vaut \(90° \div 3 = 30°\). \[\widehat{B} = \mathbf{30°} \qquad \widehat{A} = 2 \times 30° = \mathbf{60°}\]

🔍 Vérification : \(60° + 30° + 90° = 180°\) ✓ et \(60°\) est bien le double de \(30°\) ✓.

a)

• \(n = 3\) : \((3-2) \times 180° = 180°\) ✓ (somme des angles d'un triangle)
• \(n = 4\) : \((4-2) \times 180° = 360°\) ✓ (somme des angles d'un quadrilatère)

b) \((6 - 2) \times 180° = 4 \times 180° = \mathbf{720°}\).

c) Dans un hexagone régulier, les \(6\) angles sont égaux : \[720° \div 6 = \mathbf{120°}\]

a) Le triangle est isocèle en \(A\), donc \(\widehat{B} = \widehat{C}\). Leur somme vaut \(180° - 80° = 100°\), donc : \[\widehat{B} = \widehat{C} = 100° \div 2 = \mathbf{50°}\]

b) Les angles mesurent \(80°\), \(50°\) et \(50°\) : aucun ne vaut \(90°\). Le triangle n'est pas rectangle.

c) \(AB = AC\) : le point \(A\) est à la même distance de \(B\) et de \(C\), donc il est sur la médiatrice de \([BC]\) : oui.

d) Le centre du cercle circonscrit est le point commun aux trois médiatrices. Il est donc en particulier sur la médiatrice de \([BC]\), c'est-à-dire sur la droite qui passe par \(A\) et qui est perpendiculaire à \([BC]\) en son milieu.