Longueurs, aires, volumes et durées

a) Carré : 4 côtés égaux → \(4 \times 7 = \mathbf{28 \text{ cm}}\).

b) Rectangle : 2 longueurs + 2 largeurs → \(12 + 5 + 12 + 5 = \mathbf{34 \text{ cm}}\).

c) Triangle isocèle : \(8 + 8 + 6 = \mathbf{22 \text{ cm}}\).

a) \(9 \times 9 = \mathbf{81 \text{ cm}^2}\).

b) \(15 \times 8 = \mathbf{120 \text{ cm}^2}\).

c) \(2{,}5 \times 4 = \mathbf{10 \text{ m}^2}\) (les deux longueurs sont en mètres, l'aire est en m²).

a) Le rayon vaut \(5\) cm, donc le diamètre vaut \(5 \times 2 = 10\) cm. \[3{,}14 \times 10 = \mathbf{31{,}4 \text{ cm}}\]

b) Le diamètre est donné : \[3{,}14 \times 12 = \mathbf{37{,}68 \text{ cm}}\]

a) \(3 \text{ m}^2 = 3 \times 10\,000 = \mathbf{30\,000 \text{ cm}^2}\).

b) \(45\,000 \text{ cm}^2 = 45\,000 \div 10\,000 = \mathbf{4{,}5 \text{ m}^2}\).

c) \(1 \text{ ha} = 10\,000 \text{ m}^2\), donc \(2{,}5 \text{ ha} = 2{,}5 \times 10\,000 = \mathbf{25\,000 \text{ m}^2}\).

d) \(1 \text{ km}^2 = 1\,000\,000 \text{ m}^2\), donc \(750\,000 \text{ m}^2 = \mathbf{0{,}75 \text{ km}^2}\).

a) Un carré a 4 côtés égaux. Le côté mesure : \(36 \div 4 = \mathbf{9 \text{ cm}}\).

b) Aire : \(9 \times 9 = \mathbf{81 \text{ cm}^2}\).

\[84 \div 7 = \mathbf{12 \text{ cm}}\]

🔍 Vérification : \(12 \times 7 = 84\) ✓.

a) \(4 \times 6 = \mathbf{24}\) cm. b) \(2 \times (8 + 5) = \mathbf{26}\) cm.

a) \(8 \times 5 = \mathbf{40}\) cm². b) \(6 \times 6 = \mathbf{36}\) cm².

a) \(1\) m \(= 100\) cm : \(\mathbf{350}\) cm. b) \(1\) km \(= 1\,000\) m : \(\mathbf{4{,}5}\) km. c) \(60 + 15 = \mathbf{75}\) min. d) \(150 = 120 + 30\) : \(\mathbf{2}\) h \(\mathbf{30}\) min.

a) Le triangle est la moitié d'un rectangle de \(6\) cm sur \(4\) cm, coupé par sa diagonale.

b) \(\dfrac{6 \times 4}{2} = \mathbf{12}\) cm².

\(20\) h \(45 + 1\) h \(= 21\) h \(45\) ; puis \(+ 50\) min : \(21\) h \(45 + 15\) min \(= 22\) h \(00\), et il reste \(35\) min. Fin à \(22\) h \(35\).

a) Le contour est formé :

• des deux grands côtés du rectangle : \(25 + 25 = 50\) m ;
• des deux demi-cercles de diamètre \(10\) m, qui forment ensemble un cercle entier : \(3{,}14 \times 10 = 31{,}4\) m.

\[\text{Périmètre} = 50 + 31{,}4 = \mathbf{81{,}4 \text{ m}}\]

b) \(4 \times 81{,}4 = \mathbf{325{,}6 \text{ m}}\).

a) \(20\) h \(45\) \(+ 15\) min \(= 21\) h \(00\). Il reste \(1\) h \(50\) min \(- 15\) min \(= 1\) h \(35\) min. \(21\) h \(00\) \(+ 1\) h \(= 22\) h \(00\), puis \(+ 35\) min : le film se termine à \(22\) h \(35\).

b) \(1\) h \(50\) min \(= 60\) min \(+ 50\) min \(= \mathbf{110 \text{ min}}\).

c) Dans \(135\) min, combien de fois \(60\) min ? \(135 = 2 \times 60 + 15\). \(135\) min \(= \mathbf{2 \text{ h } 15 \text{ min}}\).

a) Un tour complet fait \(360°\) et \(90° \times 4 = 360°\) : le secteur est un quart du disque, soit \(\mathbf{\dfrac{1}{4}}\).

b) L'arc est le quart du périmètre du cercle. Le diamètre vaut \(12\) cm : \[3{,}14 \times 12 = 37{,}68 \text{ cm} \qquad 37{,}68 \div 4 = \mathbf{9{,}42 \text{ cm}}\]

c) Le contour est formé de 2 rayons et de l'arc : \[6 + 6 + 9{,}42 = \mathbf{21{,}42 \text{ cm}}\]

Étape 1 — Aire de la salle (en cm²)

On convertit d'abord les longueurs : \(4\) m \(= 400\) cm et \(3\) m \(= 300\) cm. \[400 \times 300 = \mathbf{120\,000 \text{ cm}^2}\]

Étape 2 — Aire d'un carreau

\[20 \times 20 = \mathbf{400 \text{ cm}^2}\]

Étape 3 — Nombre de carreaux

\[120\,000 \div 400 = \mathbf{300 \text{ carreaux}}\]

a) Une couche : \(5\) cubes dans la longueur et \(3\) dans la largeur : \(5 \times 3 = \mathbf{15 \text{ cubes}}\).

b) \(4\) couches de \(15\) cubes : \(15 \times 4 = \mathbf{60 \text{ cubes}}\).

c) Chaque cube a un volume de \(1\) cm³, donc le volume de la boîte est \(\mathbf{60 \text{ cm}^3}\).

a) \(16 \times 11 = \mathbf{176 \text{ cm}^2}\).

b) Aire du grand rectangle : \(20 \times 15 = 300\) cm². \[300 - 176 = \mathbf{124 \text{ cm}^2}\]

a) Carré : \(4 \times 4 = \mathbf{16 \text{ cm}}\). Rectangle : \(2 + 8 + 2 + 8 = \mathbf{20 \text{ cm}}\).

b) Carré : \(4 \times 4 = \mathbf{16 \text{ cm}^2}\). Rectangle : \(2 \times 8 = \mathbf{16 \text{ cm}^2}\).

c) Les deux figures ont la même aire (\(16\) cm²) mais des périmètres différents (\(16\) cm et \(20\) cm). Léa a tort.

Étape 1 — Aire des 4 murs

• 2 murs de \(4\) m sur \(2{,}5\) m : \(2 \times (4 \times 2{,}5) = 2 \times 10 = 20 \text{ m}^2\)
• 2 murs de \(3\) m sur \(2{,}5\) m : \(2 \times (3 \times 2{,}5) = 2 \times 7{,}5 = 15 \text{ m}^2\)

Total : \(20 + 15 = \mathbf{35 \text{ m}^2}\).

Étape 2 — Aire à peindre

• Porte : \(0{,}9 \times 2 = 1{,}8 \text{ m}^2\)
• Fenêtre : \(1{,}2 \times 1{,}5 = 1{,}8 \text{ m}^2\)

\[35 - 1{,}8 - 1{,}8 = \mathbf{31{,}4 \text{ m}^2}\]

Étape 3 — Coût

\(3\) pots couvrent \(24\) m² : pas assez. \(4\) pots couvrent \(32\) m² : c'est suffisant (\(32 \geq 31{,}4\)). Il faut donc 4 pots. \[4 \times 15 = \mathbf{60 \text{ €}}\]

Périmètre du cercle \(= \pi \times\) diamètre \(\approx 3{,}14 \times 10 = \mathbf{31{,}4}\) dm.

🎯 Aire du grand rectangle moins aire du petit : \(8 \times 6 - 3 \times 2 = 48 - 6 = \mathbf{42}\) cm².

a) \(5 \times 4 = 20\) cubes par couche, et \(3\) couches : \(20 \times 3 = \mathbf{60}\) cubes.

b) \(\mathbf{60}\) cm³.

a) \(48 \div 8 = \mathbf{6}\) cm. b) \(2 \times (8 + 6) = \mathbf{28}\) cm.

🔍 Vérification : \(8 \times 6 = 48\) ✓

a) Périmètre : \(2 \times (25 + 12) = 74\) m. Sans le portail : \(74 - 3 = \mathbf{71}\) m.

b) \(71 \times 4{,}50 = \mathbf{319{,}50}\) €.

a) Une couche contient \(3 \times 3 = 9\) cubes, et il y a \(3\) couches : \(9 \times 3 = \mathbf{27 \text{ petits cubes}}\).

b) Une couche contient \(6 \times 6 = 36\) cubes, et il y a \(6\) couches : \(36 \times 6 = \mathbf{216 \text{ petits cubes}}\).

c) \(216 \div 27 = 8\). Quand l'arête double, le volume n'est pas multiplié par \(2\) : il est multiplié par \(\mathbf{8}\) (car la longueur, la largeur et la hauteur doublent toutes les trois : \(2 \times 2 \times 2 = 8\)).

Le périmètre vaut \(20\) cm, donc longueur \(+\) largeur \(= 10\) cm (la moitié du périmètre).

Conclusion : c'est le carré de \(5\) cm de côté qui a la plus grande aire : \(\mathbf{25 \text{ cm}^2}\).

a)

• De \(9\) h \(12\) min \(30\) s à \(9\) h \(13\) min \(00\) s : \(30\) s.
• De \(9\) h \(13\) min à \(10\) h \(00\) min : \(47\) min.
• De \(10\) h \(00\) à \(13\) h \(00\) : \(3\) h.
• De \(13\) h \(00\) min \(00\) s à \(13\) h \(05\) min \(10\) s : \(5\) min \(10\) s.

Total : \(3\) h \(+ (47 + 5)\) min \(+ (30 + 10)\) s \(=\) \(3\) h \(52\) min \(40\) s.

b) \(3\) h \(= 3 \times 3\,600 = 10\,800\) s ; \(52\) min \(= 52 \times 60 = 3\,120\) s. \[10\,800 + 3\,120 + 40 = \mathbf{13\,960 \text{ s}}\]

a) Un tour complet fait \(360°\) : \(360° \div 8 = \mathbf{45°}\) par part.

b) Le diamètre vaut \(15 \times 2 = 30\) cm. Périmètre de la pizza : \(3{,}14 \times 30 = 94{,}2\) cm. Une part a \(\dfrac{1}{8}\) de la croûte : \[94{,}2 \div 8 = 11{,}775 \approx \mathbf{11{,}78 \text{ cm}}\]

c) Périmètre d'une part : \(15 + 15 + 11{,}78 = \mathbf{41{,}78 \text{ cm}}\).

Conclusion : la plus grande aire (\(\mathbf{200 \text{ m}^2}\)) est obtenue pour une largeur de \(\mathbf{10 \text{ m}}\) (et une longueur de \(20\) m).

a) Aire du grand rectangle : \(30 \times 20 = 600\) m². Aire du carré retiré : \(10 \times 10 = 100\) m². \[600 - 100 = \mathbf{500 \text{ m}^2}\]

b) Nombre de sacs : \(500 \div 5 = 100\) sacs. Coût : \(100 \times 3{,}50 = \mathbf{350 \text{ €}}\).

c) En faisant le tour du terrain, on trouve \(6\) côtés : \(30\) m, \(20\) m, puis, autour du coin coupé, \(20\) m, \(10\) m, \(10\) m et \(10\) m. \[30 + 20 + 20 + 10 + 10 + 10 = \mathbf{100 \text{ m}}\] C'est le même périmètre que le rectangle entier (\(2 \times (30 + 20) = 100\) m) : les deux côtés du carré retiré remplacent exactement les deux morceaux de bord enlevés.