Les maths cachées
« Ça sert à quoi, les maths ? » Chaque fiche part d’un objet que tu connais, et montre la notion du cours qui se cache derrière. Clique sur une question pour voir la réponse et faire l’essai.
🔎 Les maths cachées · Le code-barresComment la caisse sait-elle qu’elle a mal lu un code-barres ?Voir la réponse et l’essai ▾Refermer ▴
Le dernier chiffre d'un code-barres ne décrit pas le produit. C'est une clé de contrôle : elle sert à vérifier que les autres chiffres ont été bien lus.
Le calcul de la caisse. On multiplie les chiffres, tour à tour, par \(1\) et par \(3\), puis on additionne tous les résultats.
| Chiffre | 2 | 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Multiplié par | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 |
| Résultat | 2 | 0 | 0 | 3 | 2 | 9 | 4 | 15 | 6 | 21 | 8 | 27 | 3 |
Le total vaut \(100\). Il se termine par \(0\) : c'est un multiple de \(10\), donc le code est accepté.
Et si un chiffre est mal lu ? Imaginons que le \(7\) soit lu comme un \(9\). Le résultat \(21\) devient \(27\), et le total passe à \(106\). Il ne se termine plus par \(0\) : la caisse ne valide pas la lecture, et il faut repasser l'article.
Avec \(2\), un \(6\) lu comme un \(1\) passerait inaperçu : \(6 \times 2 = 12\) et \(1 \times 2 = 2\) se terminent par le même chiffre. Avec \(3\), deux chiffres différents ne donnent jamais la même fin : une erreur sur un seul chiffre est toujours repérée.
Le numéro d'une carte bancaire se termine aussi par une clé de contrôle. Une simple opération permet de repérer une faute de frappe.
Au programme de 6e : Nombres entiers et décimaux →
🔎 Les maths cachées · La télé de 55 poucesUne télé de 55 pouces rentre-t-elle sur un meuble de 130 cm ?Voir la réponse et l’essai ▾Refermer ▴
Les « 55 pouces » d'une télé ne donnent ni sa largeur ni sa hauteur : c'est la longueur de la diagonale de l'écran. Un pouce mesure \(2{,}54\) cm, donc la diagonale mesure \(55 \times 2{,}54 = 139{,}7\) cm. Le meuble fait \(130\) cm de large : est-ce assez ?
Étape 1 : découper l'écran en carreaux. Un écran de télé a le plus souvent le format 16/9 : on peut le découper en carreaux identiques, \(16\) dans la largeur et \(9\) dans la hauteur. La largeur, la hauteur et la diagonale forment un triangle rectangle.
Étape 2 : la diagonale, en carreaux. D'après le théorème de Pythagore :
\[d^2 = 16^2 + 9^2 = 256 + 81 = 337\]
Donc \(d = \sqrt{337} \approx 18{,}36\) carreaux.
Étape 3 : la taille d'un carreau. Ces \(18{,}36\) carreaux mesurent \(139{,}7\) cm, donc un carreau mesure \(139{,}7 \div 18{,}36 \approx 7{,}61\) cm.
Étape 4 : les dimensions de l'écran.
- Largeur : \(16 \times 7{,}61 \approx 121{,}8\) cm
- Hauteur : \(9 \times 7{,}61 \approx 68{,}5\) cm
🔍 Vérification : \(\sqrt{121{,}8^2 + 68{,}5^2} \approx 139{,}7\) cm ✓
L'écran de \(121{,}8\) cm tient donc sur le meuble de \(130\) cm.
Le cadre et le pied ajoutent quelques centimètres. Vérifie toujours les dimensions indiquées par le fabricant avant d'acheter.
Au programme de 4e : Le théorème de Pythagore →
🔎 Les maths cachées · Les soldes−20 %, puis −30 % : est-ce vraiment −50 % ?Voir la réponse et l’essai ▾Refermer ▴
L'affiche annonce « \(-20\,\%\), puis \(-30\,\%\) supplémentaires en caisse ». On a envie d'additionner et de compter \(-50\,\%\). Pourtant, le magasin ne perd pas autant.
Le calcul, avec un article à \(100\) €.
| Étape | Calcul | Prix |
|---|---|---|
| Prix de départ | \(100\) € | |
| Baisse de \(20\,\%\) | \(100 \times 0{,}80\) | \(80\) € |
| Baisse de \(30\,\%\) | \(80 \times 0{,}70\) | \(56\) € |
Le prix final vaut \(56\) €, et non \(50\) € : la réduction totale est de \(44\,\%\).
Pourquoi ? La seconde réduction porte sur un prix déjà baissé. Elle retire \(30\,\%\) de \(80\) €, soit \(24\) €, et non \(30\) €.
La méthode rapide. On multiplie les coefficients, quel que soit le prix de départ :
\[0{,}80 \times 0{,}70 = 0{,}56\]
Cela fait une baisse de \(1 - 0{,}56 = 0{,}44\), soit \(44\,\%\).
L'ordre ne change rien, car \(0{,}70 \times 0{,}80\) donne le même résultat. Commencer par \(-30\,\%\) ou par \(-20\,\%\) revient au même.
\(-50\,\%\) puis encore \(-50\,\%\), ce n'est pas gratuit ! On a \(0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}25\) : l'article coûte encore le quart de son prix, soit une baisse de \(75\,\%\).
Au programme de 3e : Pourcentages et évolutions →
🔎 Les maths cachées · Le café qui refroiditCombien de temps attendre avant de boire son café ?Voir la réponse et l’essai ▾Refermer ▴
Reprenons le café du cours : \(90\) °C au départ, dans une pièce à \(20\) °C, et \(70\) °C au bout de \(10\) minutes. Supposons qu'il soit agréable à boire à \(60\) °C. Combien de temps faut-il attendre ?
Le modèle. Plus le café est chaud par rapport à la pièce, plus il refroidit vite : sa vitesse de refroidissement est proportionnelle à l'écart de température. C'est l'équation du cours :
\[T'(t) = -k\,(T(t) - 20)\]
Sa solution est :
\[T(t) = 20 + 70\,e^{-kt}\]
avec \(k = \dfrac{\ln(7/5)}{10} \approx 0{,}0336\).
La réponse. On résout \(T(t) = 60\) :
\[70\,e^{-kt} = 40 \iff e^{-kt} = \frac{4}{7}\]
Donc \(t = \dfrac{\ln(7/4)}{k} \approx 16{,}6\) minutes.
Ce que disent les valeurs.
| Temps (min) | \(0\) | \(10\) | \(20\) | \(30\) | \(60\) | \(120\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Température (°C) | \(90\) | \(70\) | \(55{,}7\) | \(45{,}5\) | \(29{,}3\) | \(21{,}2\) |
Le café perd \(20\) °C pendant les \(10\) premières minutes, mais seulement \(14{,}3\) °C pendant les \(10\) suivantes. Comme \(e^{-kt}\) tend vers \(0\), sa température tend vers \(20\) °C : il ne descend jamais sous celle de la pièce.
C'est un modèle. Une vraie tasse perd aussi de la chaleur par la vapeur, et \(k\) dépend de la tasse. Ici, \(k\) est calculé à partir d'une seule mesure.
Au programme de Terminale : Équations différentielles →