3e · Chapitre 4 · Proportionnalité

Pourcentages et évolutions

30 exercices corrigés

1 Appliquer une évolution en pourcentage

Rappel

Prendre $t\,\%$ d'une quantité, c'est la multiplier par $\dfrac{t}{100}$. Par exemple $15\,\%$ de $80$ € : $0{,}15 \times 80 = 12$ €.

Pour augmenter $80$ € de $15\,\%$, on peut calculer $80 + 0{,}15 \times 80 = 92$ €. Mais il y a plus rapide : $80 + 0{,}15 \times 80 = 80 \times (1 + 0{,}15) = 80 \times 1{,}15 = 92$

À retenir — le coefficient multiplicateur

augmenter de $t\,\%$, c'est multiplier par $1 + \dfrac{t}{100}$ ;
diminuer de $t\,\%$, c'est multiplier par $1 - \dfrac{t}{100}$.

Évolution	$+15\,\%$	$+3\,\%$	$+100\,\%$	$-20\,\%$	$-5\,\%$
Coefficient	$1{,}15$	$1{,}03$	$2$	$0{,}80$	$0{,}95$

Lire un coefficient

Un coefficient supérieur à $1$ traduit une hausse ($1{,}12$ : $+12\,\%$) ; inférieur à $1$, une baisse ($0{,}75$ : $-25\,\%$).

🔍 Lien avec les fonctions : augmenter de $15\,\%$, c'est appliquer la fonction linéaire $x \mapsto 1{,}15x$.

2 Calculer un taux d'évolution

Méthode

Une quantité passe de $V_1$ (valeur de départ) à $V_2$ (valeur d'arrivée). $\text{coefficient} = \frac{V_2}{V_1} \qquad \text{taux d'évolution} = \frac{V_2 - V_1}{V_1} \times 100$

Exemple

Un appartement passe de $180\,000$ € à $207\,000$ €. Coefficient : $\dfrac{207\,000}{180\,000} = 1{,}15$. Le prix a augmenté de $15\,\%$.

3 Retrouver la valeur de départ

Méthode

Si on connaît la valeur après l'évolution, on divise par le coefficient. Après une baisse de $20\,\%$, un article coûte $96$ € : $V_1 \times 0{,}80 = 96$, donc $V_1 = \dfrac{96}{0{,}80} = 120$ €.

Piège

Pour retrouver le prix initial, on ne peut pas « ajouter $20\,\%$ » au prix soldé : $96 \times 1{,}20 = 115{,}20$ € $\ne 120$ €.

4 Évolutions successives

À retenir

Pour enchaîner plusieurs évolutions, on multiplie les coefficients.

Exemple

Une hausse de $10\,\%$ suivie d'une baisse de $10\,\%$ : $1{,}10 \times 0{,}90 = 0{,}99$ Au total, c'est une baisse de $1\,\%$ : on ne revient pas au prix de départ !

Attention

Les pourcentages ne s'ajoutent pas. Deux hausses de $10\,\%$ donnent $1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21$, soit $+21\,\%$ (et pas $+20\,\%$).

Tu as lu le cours ?Voir la fiche mémo →

L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.

L'essentiel

Situation	Ce qu'il faut faire
Hausse de $t\,\%$	Multiplier par $1 + \dfrac{t}{100}$
Baisse de $t\,\%$	Multiplier par $1 - \dfrac{t}{100}$
Taux d'évolution	$\dfrac{V_2 - V_1}{V_1} \times 100$
Valeur de départ	Diviser par le coefficient
Évolutions successives	Multiplier les coefficients

Pièges à éviter

$-30\,\%$ correspond au coefficient $0{,}70$ (et non $0{,}30$).
Une hausse puis une baisse du même pourcentage ne s'annulent pas.
Le taux se calcule toujours par rapport à la valeur de départ.

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Niveau 1Facile (Exercices 1 à 11)

Exercice 1—Les coefficientsNiveau 1

Donne le coefficient multiplicateur associé à chaque évolution :
a) $+15\,\%$ $\quad$
b) $-20\,\%$ $\quad$
c) $+3\,\%$ $\quad$
d) $-5\,\%$ $\quad$
e) $+100\,\%$ $\quad$ f) $-35\,\%$

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Règle

hausse de $t\,\%$ → $1 + \dfrac{t}{100}$ ; baisse de $t\,\%$ → $1 - \dfrac{t}{100}$.

a) $\mathbf{1{,}15}$ $\quad$ b) $\mathbf{0{,}80}$ $\quad$ c) $\mathbf{1{,}03}$ $\quad$ d) $\mathbf{0{,}95}$ $\quad$ e) $\mathbf{2}$ $\quad$ f) $\mathbf{0{,}65}$

Attention

$-35\,\%$ donne $1 - 0{,}35 = 0{,}65$, pas $0{,}35$.

Exercice 2—Appliquer une évolutionNiveau 1

Calcule, en utilisant un coefficient multiplicateur :
a) un prix de $80$ € augmenté de $15\,\%$ ;
b) un pull à $45$ € soldé à $-30\,\%$ ;
c) un salaire de $1\,800$ € augmenté de $5\,\%$.

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a) $80 \times 1{,}15 = \mathbf{92}$ €.

b) $45 \times 0{,}70 = \mathbf{31{,}50}$ €.

c) $1\,800 \times 1{,}05 = \mathbf{1\,890}$ €.

Exercice 3—Lire un coefficientNiveau 1

Quelle évolution (hausse ou baisse, et de combien de pour cent) correspond à chaque coefficient ?
a) $1{,}12$ $\quad$
b) $0{,}75$ $\quad$
c) $1{,}4$ $\quad$
d) $2{,}5$

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a) $1{,}12 = 1 + 0{,}12$ : hausse de $12\,\%$.

b) $0{,}75 = 1 - 0{,}25$ : baisse de $25\,\%$.

c) $1{,}4 = 1 + 0{,}4$ : hausse de $40\,\%$.

d) $2{,}5 = 1 + 1{,}5$ : hausse de $150\,\%$ (la valeur est multipliée par $2{,}5$).

Exercice 4—Taux d'évolutionNiveau 1

Un appartement valait $180\,000$ € en 2020 et $207\,000$ € en 2024. Calcule le taux d'évolution de son prix, en pourcentage.

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$\frac{207\,000 - 180\,000}{180\,000} \times 100 = \frac{27\,000}{180\,000} \times 100 = \mathbf{+15\,\%}$

🔍 Avec le coefficient : $\dfrac{207\,000}{180\,000} = 1{,}15$ ✓

Exercice 5—Retrouver le prix de départNiveau 1

Après une réduction de $20\,\%$, un article coûte $96$ €. Quel était son prix initial ?

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Prix initial $P$ : $P \times 0{,}80 = 96$, donc $P = \dfrac{96}{0{,}80} = \mathbf{120}$ €.

🔍 Vérification : $120 \times 0{,}80 = 96$ ✓

Exercice 6—La TVANiveau 1

Le prix TTC (toutes taxes comprises) d'un article s'obtient en augmentant le prix HT (hors taxes) de $20\,\%$.
a) Un article coûte $85$ € HT. Quel est son prix TTC ?
b) Un autre article est affiché $119{,}60$ € TTC. Quel est son prix HT (au centime) ?

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a) $85 \times 1{,}20 = \mathbf{102}$ € TTC.

b) $\text{HT} \times 1{,}20 = 119{,}60$, donc $\text{HT} = \dfrac{119{,}60}{1{,}20} \approx \mathbf{99{,}67}$ €.

Exercice 7—Coefficients multiplicateursNiveau 1

Donne le coefficient multiplicateur associé à :
a) $+15\,\%$ $\quad$
b) $-8\,\%$ $\quad$
c) $+100\,\%$

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🎯 Augmenter de $t\,\%$ : $\times \left(1 + \dfrac{t}{100}\right)$ ; baisser de $t\,\%$ : $\times \left(1 - \dfrac{t}{100}\right)$.

a) $\mathbf{1{,}15}$ ; b) $\mathbf{0{,}92}$ ; c) $\mathbf{2}$.

Exercice 8—Appliquer une évolutionNiveau 1

a) $250$ € augmentent de $12\,\%$. $\quad$
b) $64$ € baissent de $25\,\%$. Calcule les nouveaux montants.

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a) $250 \times 1{,}12 = \mathbf{280}$ €. b) $64 \times 0{,}75 = \mathbf{48}$ €.

Exercice 9—Lire un coefficientNiveau 1

Quelle évolution correspond au coefficient :
a) $1{,}07$ $\quad$
b) $0{,}85$ ?

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a) hausse de $7\,\%$ ; b) baisse de $15\,\%$.

Exercice 10—Taux d'évolutionNiveau 1

Calcule le taux d'évolution :
a) de $80$ à $92$ $\quad$
b) de $50$ à $41$

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a) $\dfrac{92}{80} = 1{,}15$ : $\mathbf{+15\,\%}$. b) $\dfrac{41}{50} = 0{,}82$ : $\mathbf{-18\,\%}$.

Exercice 11—Prix de départNiveau 1

Après une hausse de $20\,\%$, un article coûte $54$ €. Quel était son prix avant la hausse ?

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$p \times 1{,}2 = 54$, donc $p = \dfrac{54}{1{,}2} = \mathbf{45}$ €.

Attention

On ne retire pas $20\,\%$ de $54$ : on divise par le coefficient.

Niveau 2Intermédiaire (Exercices 12 à 24)

Exercice 12—Hausse puis baisseNiveau 2

Un article coûtait $200$ €. Il subit une hausse de $10\,\%$, puis une baisse de $10\,\%$.
a) Quel est son prix après la hausse ?
b) Quel est son prix final ?
c) Est-on revenu au prix initial ? Quelle est l'évolution globale ?

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a) $200 \times 1{,}10 = \mathbf{220}$ €.

b) $220 \times 0{,}90 = \mathbf{198}$ €.

c) Non : la baisse de $10\,\%$ porte sur $220$ € (elle vaut $22$ €), alors que la hausse portait sur $200$ € ($20$ €). Globalement : $1{,}10 \times 0{,}90 = 0{,}99$, soit une baisse de $1\,\%$.

Exercice 13—La voiture de collectionNiveau 2

Une voiture de collection prend $8\,\%$ de valeur la première année, puis perd $12\,\%$ la deuxième.
a) Quel est le coefficient multiplicateur global ?
b) Quel est le taux d'évolution global, en pourcentage ?

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a) $1{,}08 \times 0{,}88 = \mathbf{0{,}9504}$.

b) $0{,}9504 = 1 - 0{,}0496$ : baisse de $4{,}96\,\%$ (environ $5\,\%$).

Exercice 14—Deux augmentationsNiveau 2

Un employé gagne $1\,800$ € par mois. Il obtient une augmentation de $5\,\%$, puis six mois plus tard une augmentation de $3\,\%$.
a) Quel est son salaire après la première augmentation ? après la seconde ?
b) Aurait-il gagné autant avec une seule augmentation de $8\,\%$ ? Explique.

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a) $1\,800 \times 1{,}05 = \mathbf{1\,890}$ €, puis $1\,890 \times 1{,}03 = \mathbf{1\,946{,}70}$ €.

b) Avec $+8\,\%$ : $1\,800 \times 1{,}08 = 1\,944$ €. Non : les deux augmentations successives lui rapportent $2{,}70$ € de plus, car la seconde s'applique à un salaire déjà augmenté ($1{,}05 \times 1{,}03 = 1{,}0815$, soit $+8{,}15\,\%$).

Exercice 15—Revenir au prix de départNiveau 2

Un prix augmente de $25\,\%$. De quel pourcentage doit-il baisser pour revenir à sa valeur initiale ?

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On cherche le coefficient $c$ tel que $1{,}25 \times c = 1$ : $c = \dfrac{1}{1{,}25} = 0{,}8$. Il faut une baisse de $20\,\%$ (et non de $25\,\%$).

🔍 Exemple : $100$ € $\to 125$ € $\to 125 \times 0{,}8 = 100$ € ✓

Exercice 16—L'inflationNiveau 2

Un panier de courses coûte $85$ € en janvier et $91{,}80$ € en décembre.
a) Calcule le taux d'augmentation sur l'année.
b) Si les prix augmentent encore du même pourcentage l'année suivante, combien coûtera le panier (au centime) ?

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a) $\dfrac{91{,}80}{85} = 1{,}08$ : hausse de $8\,\%$.

b) $91{,}80 \times 1{,}08 = 99{,}144$, soit environ $99{,}14$ €.

Exercice 17—La populationNiveau 2

En 2020, une ville avait $45\,000$ habitants. En 2024, elle en a $48\,600$.
a) Calcule le taux d'augmentation de la population entre 2020 et 2024.
b) Si la population augmente encore du même pourcentage entre 2024 et 2028, combien la ville aura-t-elle d'habitants ?

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a) $\dfrac{48\,600}{45\,000} = 1{,}08$ : hausse de $8\,\%$.

b) $48\,600 \times 1{,}08 = \mathbf{52\,488}$ habitants.

Exercice 18—Moins de carburantNiveau 2

Une voiture consomme $6{,}5$ L aux $100$ km. Après un réglage, elle consomme $5{,}85$ L aux $100$ km.
a) Quel est le pourcentage de diminution de la consommation ?
b) Quelle économie réalise-t-on sur un trajet de $500$ km, en litres puis en euros (essence à $1{,}80$ €/L) ?

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a) $\dfrac{5{,}85}{6{,}5} = 0{,}90$ : baisse de $10\,\%$.

b) Sur $500$ km, soit $5$ fois $100$ km : avant $6{,}5 \times 5 = 32{,}5$ L, après $5{,}85 \times 5 = 29{,}25$ L. Économie : $\mathbf{3{,}25}$ L, soit $3{,}25 \times 1{,}80 = \mathbf{5{,}85}$ €.

Exercice 19—Une fonction linéaireNiveau 2

Un magasin fait $-15\,\%$ sur tout le rayon. On note $f(x)$ le prix soldé d'un article qui coûtait $x$ €.
a) Exprime $f(x)$ en fonction de $x$.
b) Calcule $f(60)$.
c) Un article soldé coûte $68$ €. Quel était son prix avant les soldes ?

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a) $-15\,\%$ : coefficient $0{,}85$, donc $\mathbf{f(x) = 0{,}85x}$.

b) $f(60) = 0{,}85 \times 60 = \mathbf{51}$ €.

c) $0{,}85x = 68$, donc $x = \dfrac{68}{0{,}85} = \mathbf{80}$ €.

Exercice 20—La TVANiveau 2

La TVA est de $20\,\%$.
a) Un vélo coûte $150$ € HT. Quel est son prix TTC ?
b) Un casque coûte $96$ € TTC. Quel est son prix HT ?

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a) $150 \times 1{,}2 = \mathbf{180}$ €. b) $\dfrac{96}{1{,}2} = \mathbf{80}$ €.

Exercice 21—Hausse puis baisseNiveau 2

Un prix augmente de $10\,\%$ puis baisse de $10\,\%$. Revient-il à sa valeur de départ ?

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$1{,}1 \times 0{,}9 = 0{,}99$ : non, le prix a baissé de $\mathbf{1\,\%}$.

Exercice 22—Deux haussesNiveau 2

Un loyer augmente de $5\,\%$ deux années de suite. Quelle est l'augmentation globale ?

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$1{,}05^2 = 1{,}1025$ : hausse globale de $\mathbf{10{,}25\,\%}$ (et non $10\,\%$).

Exercice 23—Revenir au prix initialNiveau 2

Un article baisse de $20\,\%$. De quel pourcentage doit-il augmenter pour revenir à son prix initial ?

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Il faut un coefficient $c$ tel que $0{,}8 \times c = 1$ : $c = 1{,}25$, soit $\mathbf{+25\,\%}$.

Exercice 24—La populationNiveau 2

Une ville de $12\,000$ habitants voit sa population augmenter de $3\,\%$ par an. Combien d'habitants aura-t-elle dans $3$ ans (à l'unité près) ?

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$12\,000 \times 1{,}03^3 \approx 13\,112{,}7$, soit environ $\mathbf{13\,113}$ habitants.

Niveau 3Difficile/Expert (Exercices 25 à 30)

Exercice 25—Deux villesNiveau 3

En 2015, la ville A avait $50\,000$ habitants et sa population augmentait de $3\,\%$ par an. La ville B avait $60\,000$ habitants et sa population diminuait de $2\,\%$ par an.
a) Calcule la population de chaque ville en 2016, puis en 2020 (à l'unité près).
b) En quelle année la population de A dépasse-t-elle celle de B pour la première fois ?

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a) Chaque année, on multiplie par $1{,}03$ pour A et par $0{,}98$ pour B.

2016 : A : $50\,000 \times 1{,}03 = \mathbf{51\,500}$ ; B : $60\,000 \times 0{,}98 = \mathbf{58\,800}$.
2020 (cinq évolutions) : A : $50\,000 \times 1{,}03^5 \approx \mathbf{57\,964}$ ; B : $60\,000 \times 0{,}98^5 \approx \mathbf{54\,235}$.

b) On calcule année par année :

Année	2017	2018	2019
A	$53\,045$	$54\,636$	$56\,275$
B	$57\,624$	$56\,472$	$55\,342$

La population de A dépasse celle de B pour la première fois en 2019.

Exercice 26—Trois baissesNiveau 3

Le prix d'un téléphone baisse de $10\,\%$ trois années de suite.
a) Quel est le coefficient multiplicateur global ?
b) A-t-il baissé de $30\,\%$ au total ? Donne le pourcentage exact.

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a) $0{,}9 \times 0{,}9 \times 0{,}9 = 0{,}9^3 = \mathbf{0{,}729}$.

b) Non : $0{,}729 = 1 - 0{,}271$, c'est une baisse de $27{,}1\,\%$. Chaque baisse s'applique à un prix déjà diminué.

Exercice 27—Soldes cumulésNiveau 3

Un manteau à $150$ € est soldé à $-30\,\%$. Le dernier jour, on fait $20\,\%$ de réduction supplémentaire sur le prix soldé.
a) Quel est le prix final ?
b) Un client pense que la réduction totale est de $50\,\%$. A-t-il raison ? Donne la réduction réelle.

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a) $150 \times 0{,}70 \times 0{,}80 = 150 \times 0{,}56 = \mathbf{84}$ €.

b) Non : le coefficient global est $0{,}56 = 1 - 0{,}44$, soit une réduction de $44\,\%$ (une réduction de $50\,\%$ donnerait $75$ €).

Exercice 28—Le placementNiveau 3

On place $2\,000$ € sur un compte qui rapporte $3\,\%$ par an (les intérêts s'ajoutent au capital chaque année).
a) Quelle somme a-t-on au bout de $2$ ans ?
b) Et au bout de $10$ ans (au centime) ?
c) Au bout de combien d'années la somme dépassera-t-elle $2\,400$ € ?

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a) $2\,000 \times 1{,}03^2 = 2\,000 \times 1{,}0609 = \mathbf{2\,121{,}80}$ €.

b) $2\,000 \times 1{,}03^{10} \approx \mathbf{2\,687{,}83}$ €.

c) Il faut $2\,000 \times 1{,}03^n > 2\,400$, c'est-à-dire $1{,}03^n > 1{,}2$. À la calculatrice : $1{,}03^6 \approx 1{,}194$ (pas encore) et $1{,}03^7 \approx 1{,}230$. Il faut $7$ ans.

Exercice 29—Comparer deux offresNiveau 3

Un jeu vidéo coûte $40$ €. Le magasin A propose $-25\,\%$ sur chaque jeu. Le magasin B propose « 3 jeux achetés, le 4e offert ».
a) Combien coûtent $4$ jeux dans chaque magasin ?
b) Et $3$ jeux ?
c) Quelle offre conseilles-tu ? Explique.

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a) A : $4 \times 40 \times 0{,}75 = \mathbf{120}$ €. B : on paie $3$ jeux, $3 \times 40 = \mathbf{120}$ €. Même prix.

b) A : $3 \times 30 = \mathbf{90}$ €. B : pas de jeu offert, $\mathbf{120}$ €.

c) L'offre A est toujours au moins aussi avantageuse ; l'offre B n'est intéressante que si l'on achète les jeux par $4$ (elle équivaut alors à $-25\,\%$).

Exercice 30—Synthèse : l'abonnementNiveau 3

Un abonnement coûtait $30$ € par mois en 2022. Il a augmenté de $10\,\%$ en 2023, puis de $5\,\%$ en 2024. En 2025, une promotion le fait baisser de $20\,\%$.
a) Calcule le prix en 2025 (au centime).
b) Quelle est l'évolution globale entre 2022 et 2025, en pourcentage ?
c) De quel pourcentage (au dixième) le prix doit-il augmenter en 2026 pour revenir à $30$ € ?

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a) $30 \times 1{,}10 \times 1{,}05 \times 0{,}80 = 30 \times 0{,}924 = \mathbf{27{,}72}$ €.

b) Coefficient global $0{,}924 = 1 - 0{,}076$ : baisse de $7{,}6\,\%$.

c) Coefficient nécessaire : $\dfrac{30}{27{,}72} \approx 1{,}0823$, soit une hausse d'environ $8{,}2\,\%$.

Année	2017	2018	2019
A	\(53\,045\)	\(54\,636\)	\(56\,275\)
B	\(57\,624\)	\(56\,472\)	\(55\,342\)