Brevet blanc — Sujet 1
Durée : 2 heures · Total : 20 points
Partie 1 — Automatismes : 20 minutes, sans calculatrice, 6 points.
Partie 2 — Raisonnement et résolution de problèmes : 1 h 40, calculatrice autorisée, 14 points.
PARTIE 1 — Automatismes (6 pts)
20 minutes · sans calculatrice · aucune justification n'est demandée. Pour les QCM, une seule réponse est exacte.
Question 1. Calculer \(\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2}\).
Question 2. Calculer \(15\,\%\) de \(80\).
Question 3. (QCM) La forme développée de \((x + 3)(x - 3)\) est :
A. \(x^2 - 9\) \(\qquad\) B. \(x^2 + 9\) \(\qquad\) C. \(x^2 - 6x - 9\)
Question 4. Combien de minutes y a-t-il dans \(2{,}5\) heures ?
Question 5. Donner la médiane de la série : \(7\) ; \(12\) ; \(9\) ; \(15\) ; \(10\).
Question 6. (Vrai ou faux) « \(91\) est un nombre premier. »
Question 7. Dans un triangle, deux angles mesurent \(48°\) et \(72°\). Combien mesure le troisième ?
Question 8. Résoudre l'équation \(3x - 5 = 10\).
Question 9. (QCM) L'écriture scientifique de \(0{,}000\,45\) est :
A. \(45 \times 10^{-5}\) \(\qquad\) B. \(4{,}5 \times 10^{-4}\) \(\qquad\) C. \(4{,}5 \times 10^{4}\)
Question 10. On lance un dé équilibré à six faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre premier ?
PARTIE 2 — Raisonnement et résolution de problèmes (14 pts)
1 h 40 · calculatrice autorisée. Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte. La qualité de la rédaction et la clarté des raisonnements sont évaluées.
Exercice 1 (3 pts)
On a demandé aux \(25\) élèves d'une classe combien d'heures de sport ils pratiquent par semaine :
| Heures de sport | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | \(2\) | \(4\) | \(7\) | \(6\) | \(4\) | \(2\) |
1. Calculer le nombre moyen d'heures de sport par élève.
2. Déterminer la médiane de cette série. Justifier.
3. Le professeur d'EPS affirme : « Plus de \(40\,\%\) des élèves font au moins \(4\) heures de sport par semaine. » A-t-il raison ?
Exercice 2 (3 pts)
Un commerçant achète un article au prix \(C\) (en euros). Il le revend en augmentant ce prix d'achat de \(25\,\%\).
1. Montrer que le prix de vente est \(V = 1{,}25\,C\).
2. Le prix de vente est de \(37{,}50\) €. Quel était le prix d'achat ?
3. Pendant les soldes, il baisse son prix de vente de \(10\,\%\). Montrer que le prix soldé est \(1{,}125\,C\). Le commerçant vend-il encore plus cher qu'il n'a acheté ? De quel pourcentage ?
Exercice 3 (4 pts)
Un arbre \([AB]\) est vertical, son pied \(A\) est au sol. D'un point \(C\) du sol, situé à \(15\) m de \(A\), on voit le sommet \(B\) sous un angle \(\widehat{ACB} = 32°\). Le sol est horizontal.
1. Calculer la hauteur \(AB\) de l'arbre. Arrondir au centimètre.
2. Calculer la distance \(BC\). Arrondir au centimètre.
3. On se place maintenant en un point \(D\) du sol, aligné avec \(A\) et \(C\), à \(20\) m de \(A\). Sous quel angle \(\widehat{ADB}\) voit-on le sommet de l'arbre ? Arrondir au dixième de degré.
Exercice 4 (4 pts)
Un container a la forme d'un cylindre de rayon \(50\) cm et de hauteur \(1{,}5\) m. On le remplit de granulés de bois.
Rappels : volume d'un cylindre \(= \pi r^2 h\) ; volume d'un cône \(= \dfrac{1}{3}\pi r^2 h\) ; \(1\) m³ \(= 1\,000\) L.
1. Montrer que le volume du container est \(0{,}375\pi\) m³, puis en donner une valeur arrondie au litre.
2. Les granulés sont vendus en sacs de \(25\) L. Combien de sacs faut-il acheter pour remplir le container ?
3. On verse en plus, au-dessus du container plein, un tas de granulés en forme de cône de rayon \(30\) cm et de hauteur \(80\) cm. Calculer le volume de ce cône en m³, arrondi au millième.
Corrigé Partie 1 — Automatismes
| Question | Réponse | Explication |
|---|---|---|
| 1 | \(\dfrac{5}{4}\) | \(\dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{4} = \dfrac{5}{4}\) (même dénominateur d'abord) |
| 2 | \(12\) | \(10\,\%\) de \(80\) font \(8\), \(5\,\%\) font \(4\) : \(8 + 4 = 12\) |
| 3 | A | \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\) |
| 4 | \(150\) min | \(2\) h \(= 120\) min et \(0{,}5\) h \(= 30\) min |
| 5 | \(10\) | Série rangée : \(7\) ; \(9\) ; \(\mathbf{10}\) ; \(12\) ; \(15\) |
| 6 | Faux | \(91 = 7 \times 13\) |
| 7 | \(60°\) | \(180 - 48 - 72 = 60\) |
| 8 | \(x = 5\) | \(3x = 15\) |
| 9 | B | un seul chiffre non nul avant la virgule : \(4{,}5\) |
| 10 | \(\dfrac{1}{2}\) | nombres premiers : \(2\), \(3\), \(5\), soit \(3\) issues sur \(6\) |
Un nombre impair n'est pas forcément premier ; pensez à tester les divisions par \(3\), \(7\), \(11\)…
Corrigé Exercice 1
moyenne pondérée par les effectifs ; pour la médiane, on cherche la valeur du milieu grâce aux effectifs cumulés.
1. \(\dfrac{1 \times 2 + 2 \times 4 + 3 \times 7 + 4 \times 6 + 5 \times 4 + 6 \times 2}{25} = \dfrac{87}{25} = \mathbf{3{,}48}\) heures.
2. \(25\) valeurs : la médiane est la \(13^\text{e}\) valeur de la série rangée. Effectifs cumulés : \(2\) ; \(6\) ; \(13\)… La \(13^\text{e}\) valeur est \(3\) : la médiane vaut \(\mathbf{3}\) heures.
3. Au moins \(4\) heures : \(6 + 4 + 2 = 12\) élèves. \(\dfrac{12}{25} = 0{,}48 = 48\,\%\). \(48\,\% > 40\,\%\) : le professeur a raison.
Corrigé Exercice 2
augmenter de \(t\,\%\), c'est multiplier par \(1 + \dfrac{t}{100}\) ; baisser de \(t\,\%\), c'est multiplier par \(1 - \dfrac{t}{100}\).
1. \(V = C + \dfrac{25}{100}C = C \times (1 + 0{,}25) = 1{,}25\,C\).
2. \(1{,}25\,C = 37{,}50\), donc \(C = \dfrac{37{,}50}{1{,}25} = \mathbf{30}\) €.
On ne retire pas \(25\,\%\) de \(37{,}50\) € (cela donnerait \(28{,}13\) €) : on divise par le coefficient \(1{,}25\).
3. Prix soldé : \(0{,}9 \times V = 0{,}9 \times 1{,}25\,C = 1{,}125\,C\). Comme \(1{,}125 > 1\), le commerçant vend encore plus cher que le prix d'achat, de \(\mathbf{12{,}5\,\%}\).
🔍 Vérification avec \(C = 30\) : \(V = 37{,}50\), puis \(37{,}50 \times 0{,}9 = 33{,}75\), et \(30 \times 1{,}125 = 33{,}75\) ✓
Corrigé Exercice 3
dans le triangle \(ABC\) rectangle en \(A\) (l'arbre est vertical, le sol horizontal), on choisit la formule de trigonométrie qui relie l'angle connu, le côté connu et le côté cherché.
1. Par rapport à l'angle \(\widehat{ACB}\) : \([AB]\) est le côté opposé et \([AC]\) le côté adjacent. \[\tan\widehat{ACB} = \dfrac{AB}{AC} \quad \text{donc} \quad AB = 15 \times \tan 32° \approx \mathbf{9{,}37 \text{ m}}\]
2. \([BC]\) est l'hypoténuse : \[\cos\widehat{ACB} = \dfrac{AC}{BC} \quad \text{donc} \quad BC = \dfrac{15}{\cos 32°} \approx \mathbf{17{,}69 \text{ m}}\]
🔍 Vérification avec Pythagore : \(15^2 + 9{,}37^2 \approx 312{,}8\) et \(17{,}69^2 \approx 312{,}9\) ✓
3. Le triangle \(ABD\) est rectangle en \(A\), avec \(AD = 20\) m : \[\tan\widehat{ADB} = \dfrac{AB}{AD} = \dfrac{15 \times \tan 32°}{20} \approx 0{,}469 \quad \text{donc} \quad \widehat{ADB} \approx \mathbf{25{,}1°}\]
💡 Plus on s'éloigne de l'arbre, plus l'angle sous lequel on voit son sommet est petit.
Utiliser la valeur exacte \(15 \times \tan 32°\) (gardée en mémoire dans la calculatrice) plutôt que l'arrondi \(9{,}37\), pour ne pas cumuler les erreurs d'arrondi.
Corrigé Exercice 4
convertir toutes les longueurs dans la même unité (ici le mètre) avant d'appliquer la formule de volume.
1. \(r = 50\) cm \(= 0{,}5\) m et \(h = 1{,}5\) m : \[V = \pi \times 0{,}5^2 \times 1{,}5 = \pi \times 0{,}25 \times 1{,}5 = 0{,}375\pi \text{ m}^3 \approx 1{,}178 \text{ m}^3\] soit environ \(\mathbf{1\,178}\) L.
2. \(\dfrac{1\,178}{25} \approx 47{,}1\). Avec \(47\) sacs, le container ne serait pas tout à fait plein : il faut acheter \(\mathbf{48}\) sacs.
On arrondit à l'entier supérieur (on ne peut pas acheter \(0{,}1\) sac).
3. \(r = 0{,}3\) m et \(h = 0{,}8\) m : \[V_\text{cône} = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 0{,}3^2 \times 0{,}8 = 0{,}024\pi \approx \mathbf{0{,}075 \text{ m}^3}\] soit environ \(75\) L.
BARÈME
| Partie | Points |
|---|---|
| Partie 1 — Automatismes (\(10\) questions \(\times\) \(0{,}6\) pt) | \(6\) |
| Exercice 1 | \(3\) |
| Exercice 2 | \(3\) |
| Exercice 3 | \(4\) |
| Exercice 4 | \(4\) |
| Total | 20 |