Limites de fonctions

1) terme dominant \(5x^3\) : \(\boxed{\lim_{x\to+\infty}(5x^3-2x^2+7) = +\infty}\)

2) terme dominant \(-3x^4\) (et \(x^4\to+\infty\)) : \(\boxed{\lim_{x\to-\infty}(-3x^4+x^2) = -\infty}\)

3) \(\boxed{\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3}{x^2} = 0}\)

4) dénominateur \(\to0^+\) : \(\boxed{\lim_{x\to0^+}\dfrac{1}{x^3} = +\infty}\)

1) degrés égaux → rapport des coefficients dominants \[\dfrac{4x^2-1}{2x^2+3x} = \dfrac{x^2(4-\frac1{x^2})}{x^2(2+\frac3x)} \xrightarrow[x\to+\infty]{} \dfrac42 = \boxed{2}\]

2) degré haut > degré bas → infini \[\dfrac{x^3-x}{2x^2+1} \approx \dfrac{x^3}{2x^2} = \dfrac x2 \to \boxed{+\infty}\]

3) degré bas > degré haut → \(0\) \[\dfrac{3x+5}{x^2-1} \approx \dfrac{3}{x} \to \boxed{0}\]

1) Asymptote verticale (\(x=3\) annule le dénominateur) \[\lim_{x\to3^+}f(x) = +\infty, \quad \lim_{x\to3^-}f(x) = -\infty \quad\Rightarrow\quad \boxed{x=3}\]

2) Asymptote horizontale \[\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x+1}{x-3} = 2 \quad\Rightarrow\quad \boxed{y=2}\]

3) Vérification par la forme réduite \[2 + \dfrac{7}{x-3} = \dfrac{2(x-3)+7}{x-3} = \dfrac{2x+1}{x-3} \ \checkmark\]

1) \(-\dfrac1x \leq \dfrac{\cos x}{x} \leq \dfrac1x\) pour \(x>0\), et les bornes \(\to0\) : \[\boxed{\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\cos x}{x} = 0}\]

2) Décomposer \[\dfrac{x+\sin x}{x} = 1 + \dfrac{\sin x}{x} \xrightarrow[x\to+\infty]{} 1+0 = \boxed{1}\]

1) \(\dfrac{x^2-4}{x-2} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2 \xrightarrow[x\to2]{} \boxed{4}\)

2) \(\dfrac{x^2+3x+2}{x+1} = \dfrac{(x+1)(x+2)}{x+1} = x+2 \xrightarrow[x\to-1]{} \boxed{1}\)

1) \(e^x\) domine \(x^{100}\) : \(\boxed{\lim_{x\to+\infty}(e^x-x^{100}) = +\infty}\)

2) \(\ln x \ll x\) : \(\boxed{\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x} = 0}\)

3) forme \(0\times(-\infty)\) résolue par croissance comparée : \(\boxed{\lim_{x\to0^+}x^2\ln x = 0}\)

🎯 En \(\pm\infty\), un polynôme a la limite de son terme de plus haut degré.

a) \(\mathbf{+\infty}\) (comme \(3x^2\)). b) \(\mathbf{-\infty}\) (comme \(-2x^3\)).

\(\dfrac{2x + 1}{x - 3} = \dfrac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{3}{x}} \to \mathbf{2}\). La droite \(\mathbf{y = 2}\) est asymptote horizontale en \(+\infty\).

\(x \to 3^+\) : \(x - 3 \to 0^+\), limite \(\mathbf{+\infty}\). \(x \to 3^-\) : \(x - 3 \to 0^-\), limite \(\mathbf{-\infty}\). La droite \(\mathbf{x = 3}\) est asymptote verticale.

a) \(\mathbf{0}\) ; b) \(\mathbf{1}\) ; c) \(\mathbf{-\infty}\).

Forme « \(\dfrac{0}{0}\) ». \(\dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2\) pour \(x \ne 2\), donc la limite vaut \(\mathbf{4}\).

1) \(\sqrt{4x^2+x}-2x\) (conjuguée \(\sqrt{4x^2+x}+2x\)) \[= \dfrac{4x^2+x-4x^2}{\sqrt{4x^2+x}+2x} = \dfrac{x}{\sqrt{4x^2+x}+2x}\] Pour \(x>0\), on factorise par \(x\) : \(\dfrac{1}{\sqrt{4+\frac1x}+2} \xrightarrow[x\to+\infty]{} \dfrac{1}{2+2} = \boxed{\dfrac14}\)

2) \(\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x}\) \[= \dfrac{(x^2+x+1)-(x^2-x)}{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x}} = \dfrac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x}} \approx \dfrac{2x}{2x} = \boxed{1}\]

Étape 1 — Limites en \(x=1\) \[\lim_{x\to1^-}f(x) = 1^2+1 = 2, \quad \lim_{x\to1^+}f(x) = 3(1)-1 = 2\]

Étape 2 — Conclusion

Les deux limites valent \(2\), et \(f(1)=2\) (branche \(x\leq1\)) : \[\boxed{f \text{ est continue en } x=1}\]

Étape 1 — Division : \(x^2-x+2 = (x-1)\cdot x + 2\), donc \[f(x) = x + \dfrac{2}{x-1}\]

Étape 2 — Asymptotes \[\boxed{\text{verticale } x=1 \ ; \quad \text{oblique } y=x}\]

Étape 3 — Position (\(f(x)-x = \frac{2}{x-1}\))

Pour \(x>1\) : \(f(x)-x>0\) → courbe au-dessus ; pour \(x<1\) : en dessous.

1) \(\boxed{\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^5} = +\infty}\)

2) \(\boxed{\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{\sqrt x} = 0}\) (\(\ln x \ll x^{1/2}\))

3) poser \(t=-x\to+\infty\) : \(xe^x = -\dfrac{t}{e^t} \to \boxed{0}\)

1) \[\dfrac{\sin(3x)}{x} = 3\cdot\dfrac{\sin(3x)}{3x} \xrightarrow[x\to0]{} 3\times1 = \boxed{3}\]

2) \[\dfrac{\tan x}{x} = \dfrac{\sin x}{x}\cdot\dfrac{1}{\cos x} \to 1\times1 = \boxed{1}\]

3) (avec \(1-\cos x = 2\sin^2\frac x2\)) \[\dfrac{1-\cos x}{x^2} = \dfrac{2\sin^2\frac x2}{4(\frac x2)^2} = \dfrac12\left(\dfrac{\sin\frac x2}{\frac x2}\right)^2 \to \boxed{\dfrac12}\]

Étape 1 — Continuité : \(f(x)=x^3-x-1\) est un polynôme, donc continu.

Étape 2 — Changement de signe \[f(1) = -1 < 0, \quad f(2) = 5 > 0\]

Étape 3 — Conclusion (TVI) \[\boxed{\exists\, c\in\,]1;2[ \text{ tel que } f(c)=0}\]

1) \(\lim_{x\to+\infty}xe^{-x} = \lim\dfrac{x}{e^x} = \boxed{0}\)

2) \(x\to-\infty\) : \(x<0\) et \(e^{-x}\to+\infty\) → produit \(\to\boxed{-\infty}\)

3) Variations (\(f'(x)=e^{-x}(1-x)\), signe de \(1-x\)) \[f \nearrow \text{ sur } ]-\infty;1[, \quad f \searrow \text{ sur } ]1;+\infty[ \quad\Rightarrow\quad \boxed{\text{max } f(1)=\tfrac1e}\]

Étape 1 — En \(0^+\) : \(g(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}\to1\), donc \[\lim_{x\to0^+}(1+x)^{1/x} = e^1 = \boxed{e}\]

Étape 2 — En \(+\infty\) : \(g(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}\to0\) (croissance comparée), donc \[\lim_{x\to+\infty}(1+x)^{1/x} = e^0 = \boxed{1}\]

a) \(\mathbf{+\infty}\) (l'exponentielle l'emporte). b) \(\dfrac{x}{e^x} \to \mathbf{0}\). c) \(\mathbf{0}\) (\(x\) l'emporte sur \(\ln x\)).

\(\dfrac{x^2(3 - \frac{1}{x})}{x^2(1 + \frac{5}{x^2})} \to \mathbf{3}\).

\(\cos x \geqslant -1\), donc \(x + \cos x \geqslant x - 1\). Comme \(x - 1 \to +\infty\), par comparaison \(x + \cos x \to \mathbf{+\infty}\).

Pour \(x > 0\) : \(-\dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{\sin x}{x} \leqslant \dfrac{1}{x}\). Les deux bornes tendent vers \(0\) : par le théorème des gendarmes, la limite vaut \(\mathbf{0}\).

Forme « \(\infty - \infty\) ». On multiplie par la quantité conjuguée : \(\sqrt{x^2 + 1} - x = \dfrac{(x^2 + 1) - x^2}{\sqrt{x^2 + 1} + x} = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x} \to \mathbf{0}\).

Étape 1 — Division (quotient \(x-2\), reste \(2x-3\)) \[x^3-2x^2+x-1 = (x^2-1)(x-2) + (2x-3)\] \[\Rightarrow\quad f(x) = x-2 + \dfrac{2x-3}{x^2-1}\]

Étape 2 — Limite du reste \[\dfrac{2x-3}{x^2-1} \xrightarrow[x\to\pm\infty]{} 0 \quad\Rightarrow\quad \boxed{\text{asymptote oblique } y=x-2}\]

🔍 Vérification : \((x-2)(x^2-1)+(2x-3) = x^3-x-2x^2+2+2x-3 = x^3-2x^2+x-1\) ✓

Étape 1 — Pente \(a\) \[\dfrac{\sqrt{x^2+3x+2}}{x} = \sqrt{1+\dfrac3x+\dfrac2{x^2}} \xrightarrow[x\to+\infty]{} 1 \quad\Rightarrow\quad a=1\]

Étape 2 — Ordonnée \(b\) (conjuguée de \(\sqrt{x^2+3x+2}-x\)) \[\sqrt{x^2+3x+2}-x = \dfrac{(x^2+3x+2)-x^2}{\sqrt{x^2+3x+2}+x} = \dfrac{3x+2}{\sqrt{x^2+3x+2}+x} \approx \dfrac{3x}{2x} = \dfrac32\]

Étape 3 — Conclusion \[\boxed{a=1, \ b=\dfrac32 \ \Rightarrow\ \text{asymptote } y=x+\dfrac32}\]

Étape 1 — Appliquer à \(t=\frac xn\) (\(x>0\)) \[e^{x/n} \geq 1 + \dfrac xn\]

Étape 2 — Élever à la puissance \(n\) (membres positifs) \[e^x = \left(e^{x/n}\right)^n \geq \left(1+\dfrac xn\right)^n\]

Étape 3 — Minorer par un terme du binôme

Pour un indice fixé \(k\leq n\), le développement du binôme donne \(\left(1+\frac xn\right)^n \geq \binom nk\left(\frac xn\right)^k\), qui tend vers \(\dfrac{x^k}{k!}\) quand \(n\to+\infty\). Donc \(e^x\geq\dfrac{x^k}{k!}\). En prenant \(k=n+1\) : \[\dfrac{e^x}{x^n} \geq \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!\,x^n} = \dfrac{x}{(n+1)!} \xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty \quad\Rightarrow\quad \boxed{\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^n} = +\infty}\]

1) Majoration \(u_n<2\) (récurrence)

\(u_0=0<2\). Si \(u_n<2\) : \(u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}<\sqrt4=2\) ✓

2) Croissance \[u_{n+1}-u_n = \sqrt{2+u_n}-u_n > 0 \Leftrightarrow 2+u_n>u_n^2 \Leftrightarrow (u_n-2)(u_n+1)<0\] vrai pour \(u_n\in[0;2[\) → \((u_n)\) croissante.

3) Limite : croissante et majorée → converge vers \(\ell\) tel que \(\ell=\sqrt{2+\ell}\) \[\ell^2-\ell-2=0 \Rightarrow (\ell-2)(\ell+1)=0 \Rightarrow \boxed{\ell=2}\]

1) Existence (\(f(x)=x^5+x-3\) continue) \[f(0)=-3<0, \quad f(2)=31>0 \quad\Rightarrow\quad \exists\,c\in\,]0;2[, \ f(c)=0\]

2) Unicité : \(f'(x)=5x^4+1>0\) → \(f\) strictement croissante → une seule solution.

3) Dichotomie

La racine est encadrée : \(\boxed{c \in\,]1{,}1\,;\,1{,}2[}\) (soit \(c\approx1{,}1\) à \(0{,}1\) près).

1) Point fixe \[\dfrac{2\ell+1}{\ell+2} = \ell \Rightarrow 2\ell+1 = \ell^2+2\ell \Rightarrow \ell^2=1 \Rightarrow \boxed{\ell=1} \ (\ell\geq0)\]

2) Invariant (\(u_n<1 \Rightarrow u_{n+1}<1\)) \[u_{n+1}<1 \Leftrightarrow 2u_n+1<u_n+2 \Leftrightarrow u_n<1 \ \checkmark\]

3) Croissance \[u_{n+1}-u_n = \dfrac{2u_n+1-u_n^2-2u_n}{u_n+2} = \dfrac{(1-u_n)(1+u_n)}{u_n+2} > 0 \quad (\text{pour } 0\leq u_n<1)\]

4) Conclusion

\((u_n)\) croissante et majorée par \(1\) → converge ; la seule limite possible est le point fixe : \[\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n = 1}\]