Terminale · Chapitre 11 · Probabilités et statistiques

Sommes de variables aléatoires et loi des grands nombres

30 exercices corrigés

1 Variable aléatoire et somme

Soit $X$ une variable aléatoire réelle d'espérance $E(X) = \mu$ et de variance $V(X) = \sigma^2$.

Si on répète $n$ fois la même expérience aléatoire de façon indépendante, on obtient $n$ variables aléatoires $X_1, X_2, \ldots, X_n$, indépendantes et de même loi que $X$ (échantillon i.i.d.).

Somme : $S_n = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$ Moyenne : $M_n = \dfrac{S_n}{n} = \dfrac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n}$

Schéma de $n$ tirages indépendants $X_1, X_2, \ldots, X_n$ alignés verticalement, avec leur somme $S_n$ et leur moyenne $M_n = S_n/n$ à droite

2 Espérance et variance de la somme et de la moyenne

Pour deux variables quelconques

$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ et $E(aX + b) = aE(X) + b$ (linéarité). Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ ; de plus $V(aX + b) = a^2V(X)$.

Espérance de $S_n$ : Par linéarité, $E(S_n) = E(X_1) + \cdots + E(X_n) = n\mu$

Variance de $S_n$ : Comme les $X_i$ sont indépendantes, $V(S_n) = V(X_1) + \cdots + V(X_n) = n\sigma^2$

Espérance et variance de la moyenne : $\boxed{E(M_n) = \mu \quad ; \quad V(M_n) = \frac{\sigma^2}{n}}$

Interprétation cruciale : la variance de $M_n$ tend vers $0$ quand $n \to +\infty$ → $M_n$ se concentre autour de $\mu$.

3 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Théorème (admis) : Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu$ et de variance $\sigma^2$. Pour tout réel $\delta > 0$ :

$\boxed{P(|X - \mu| \geq \delta) \leq \frac{\sigma^2}{\delta^2}}$

Interprétation : La probabilité que $X$ s'éloigne de son espérance d'au moins $\delta$ est majorée par $\sigma^2/\delta^2$.

Distribution de $X$ centrée sur $\mu$, avec deux barres rouges en $\mu-\delta$ et $\mu+\delta$, et zones extérieures hachurées représentant $P(|X-\mu|\geq\delta)$

Exemple : $X$ d'espérance $\mu = 50$ et de variance $\sigma^2 = 25$ (donc $\sigma = 5$).

$P(|X - 50| \geq 10) \leq \dfrac{25}{100} = 0{,}25$ → au plus $25\%$ de chance d'être à $10$ ou plus de l'espérance.

4 Inégalité de concentration

En appliquant Bienaymé-Tchebychev à la moyenne $M_n$ (qui a pour espérance $\mu$ et variance $\sigma^2/n$) :

$\boxed{P(|M_n - \mu| \geq \delta) \leq \frac{\sigma^2}{n\delta^2}}$

Interprétation fondamentale : Plus $n$ est grand, plus la probabilité que la moyenne empirique $M_n$ s'écarte de la vraie moyenne $\mu$ est petite.

Exemple : Une pièce équilibrée donne $X = 1$ (pile) avec proba $0{,}5$, sinon $X = 0$. Alors $\mu = 0{,}5$ et $\sigma^2 = 0{,}25$.

Combien de lancers $n$ faut-il pour que $P(|M_n - 0{,}5| \geq 0{,}05) \leq 0{,}01$ ?

$\frac{\sigma^2}{n\delta^2} = \frac{0{,}25}{n \times 0{,}0025} \leq 0{,}01$ $n \geq \frac{0{,}25}{0{,}0025 \times 0{,}01} = \frac{0{,}25}{0{,}000025} = 10\,000$

→ Au moins $10\,000$ lancers pour garantir cet écart de $0{,}05$ avec proba $\geq 99\%$.

5 Loi (faible) des grands nombres

Théorème : Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi, d'espérance $\mu$ et de variance $\sigma^2$ finie. Alors pour tout $\delta > 0$ :

$\boxed{\lim_{n \to +\infty} P(|M_n - \mu| \geq \delta) = 0}$

Énoncé en français : La moyenne empirique de $n$ tirages indépendants d'une même variable aléatoire converge "en probabilité" vers l'espérance de cette variable, quand $n \to +\infty$.

Démonstration : Bienaymé-Tchebychev donne $P(|M_n - \mu| \geq \delta) \leq \dfrac{\sigma^2}{n\delta^2}$. Comme $\dfrac{\sigma^2}{n\delta^2} \to 0$ quand $n \to +\infty$, et que la probabilité est positive, le théorème des gendarmes donne le résultat.

Graphe de $M_n$ en fonction de $n$ pour 3 simulations différentes de lancers de pièce — les 3 courbes oscillent puis convergent toutes vers $\mu = 0{,}5$ quand $n$ augmente

6 Application : fréquence et probabilité

Pour une expérience à deux issues (succès / échec) de probabilité de succès $p$ :

$X_i = 1$ si succès, $0$ sinon ($X_i$ suit la loi de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$).
$E(X_i) = p$, $V(X_i) = p(1-p)$.
$M_n = \dfrac{X_1 + \cdots + X_n}{n}$ est la fréquence observée $F_n$ de succès.

Loi des grands nombres : $F_n \to p$ quand $n \to +\infty$.

Application concrète : C'est la justification mathématique de l'approche fréquentiste des probabilités. Lorsqu'on simule un grand nombre d'expériences, la fréquence observée tend vers la probabilité théorique.

7 Lien avec la loi binomiale

Si $X_1, \ldots, X_n$ sont des Bernoulli$(p)$ indépendantes, alors $S_n = X_1 + \cdots + X_n$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$.

Rappel : $E(S_n) = np$ ; $V(S_n) = np(1-p)$ ; $E(F_n) = p$ ; $V(F_n) = \dfrac{p(1-p)}{n}$.

8 Synthèse pratique

Question	Outil utilisé
Majorer $P(\text{écart} \geq \delta)$	Bienaymé-Tchebychev
Choisir $n$ pour garantir une précision	Inégalité de concentration
Justifier que $M_n \to \mu$	Loi des grands nombres
Lien fréquence / probabilité théorique	Application aux Bernoulli

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L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.

Notion	Formule
Espérance somme	$E(S_n) = n\mu$
Variance somme	$V(S_n) = n\sigma^2$
Espérance moyenne	$E(M_n) = \mu$
Variance moyenne	$V(M_n) = \dfrac{\sigma^2}{n}$
Bienaymé-Tchebychev	$P(\\|X-\mu\\| \geq \delta) \leq \dfrac{\sigma^2}{\delta^2}$
Concentration	$P(\\|M_n-\mu\\| \geq \delta) \leq \dfrac{\sigma^2}{n\delta^2}$
Loi des grands nombres	$P(\\|M_n-\mu\\| \geq \delta) \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0$

Conditions d'application :

Les $X_i$ doivent être indépendantes.
Les $X_i$ doivent être de même loi.
La variance $\sigma^2$ doit être finie.

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Niveau 1Facile (Exercices 1 à 11)

Exercice 1—Somme de variables aléatoiresNiveau 1

$X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes avec $E(X) = 3$, $V(X) = 2$, $E(Y) = 5$ et $V(Y) = 4$. Calcule $E(X + Y)$, $V(X + Y)$, $E(2X - Y + 1)$ et $V(2X - Y)$.

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$E(X + Y) = 3 + 5 = \mathbf{8}$ ;
$V(X + Y) = 2 + 4 = \mathbf{6}$ (indépendance) ;
$E(2X - Y + 1) = 6 - 5 + 1 = \mathbf{2}$ ;
$V(2X - Y) = 4V(X) + V(Y) = 8 + 4 = \mathbf{12}$.

Attention

$V(-Y) = (-1)^2 V(Y) = V(Y)$ : les variances s'ajoutent même quand on soustrait.

Exercice 2—Somme de deux désNiveau 1

On lance deux dés équilibrés ; $S = X_1 + X_2$ est la somme. On rappelle que pour un dé, $E(X_i) = 3{,}5$ et $V(X_i) = \dfrac{35}{12}$. Calcule $E(S)$ et $V(S)$.

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$E(S) = 3{,}5 + 3{,}5 = \mathbf{7}$ ; les deux dés sont indépendants : $V(S) = 2 \times \dfrac{35}{12} = \dfrac{35}{6} \approx \mathbf{5{,}83}$.

Exercice 3—Moyenne d'un échantillonNiveau 1

$X$ a pour espérance $10$ et pour variance $4$. On prélève un échantillon de taille $25$ ; $M_{25}$ est la moyenne. Calcule $E(M_{25})$, $V(M_{25})$ et $\sigma(M_{25})$.

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$E(M_{25}) = \mathbf{10}$ ; $V(M_{25}) = \dfrac{4}{25} = \mathbf{0{,}16}$ ; $\sigma(M_{25}) = \mathbf{0{,}4}$.

Exercice 4—Bienaymé-TchebychevNiveau 1

$X$ a pour espérance $50$ et pour variance $25$.
a) Majore $P(|X - 50| \geqslant 10)$.
b) Déduis-en une minoration de $P(40 < X < 60)$.

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a) $P(|X - 50| \geqslant 10) \leqslant \dfrac{25}{10^2} = \mathbf{0{,}25}$.

b) L'événement contraire est $|X - 50| < 10$, c'est-à-dire $40 < X < 60$ : $P(40 < X < 60) \geqslant 1 - 0{,}25 = \mathbf{0{,}75}$.

Exercice 5—Avec une loi binomialeNiveau 1

$X$ suit $\mathcal{B}(100 ; 0{,}5)$. Majore $P(|X - 50| \geqslant 15)$ à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

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$E(X) = 50$ et $V(X) = 100 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 25$. $P(|X - 50| \geqslant 15) \leqslant \dfrac{25}{225} = \dfrac{1}{9} \approx \mathbf{0{,}111}$.

Exercice 6—Inégalité de concentrationNiveau 1

On lance $n$ fois une pièce équilibrée ; $F_n$ est la fréquence de « Pile ».
a) Montre que $P(|F_n - 0{,}5| \geqslant 0{,}1) \leqslant \dfrac{25}{n}$.
b) Donne cette majoration pour $n = 1\,000$.

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a) $F_n$ est la moyenne de $n$ variables de Bernoulli de paramètre $0{,}5$ ($\mu = 0{,}5$, $\sigma^2 = 0{,}25$). Concentration : $P(|F_n - 0{,}5| \geqslant 0{,}1) \leqslant \frac{0{,}25}{n \times 0{,}01} = \frac{25}{n}$

b) Pour $n = 1\,000$ : $\dfrac{25}{1\,000} = \mathbf{0{,}025}$.

Exercice 7—Somme de variablesNiveau 1

$X$ et $Y$ sont indépendantes, avec $E(X) = 2$, $E(Y) = 5$, $V(X) = 1$ et $V(Y) = 3$. Calcule $E(X + Y)$ et $V(X + Y)$.

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$E(X + Y) = \mathbf{7}$ ; par indépendance, $V(X + Y) = 1 + 3 = \mathbf{4}$.

Exercice 8—Somme de deux désNiveau 1

Un dé a pour espérance $3{,}5$ et pour variance $\dfrac{35}{12}$. On lance deux dés ; $S$ est la somme. Calcule $E(S)$ et $V(S)$.

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$E(S) = \mathbf{7}$ ; $V(S) = 2 \times \dfrac{35}{12} = \dfrac{35}{6} \approx \mathbf{5{,}83}$.

Exercice 9—Moyenne d'un échantillonNiveau 1

$X$ a pour espérance $10$ et variance $4$. $M$ est la moyenne d'un échantillon de taille $100$ de $X$. Calcule $E(M)$, $V(M)$ et $\sigma(M)$.

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$E(M) = \mathbf{10}$ ; $V(M) = \dfrac{4}{100} = \mathbf{0{,}04}$ ; $\sigma(M) = \mathbf{0{,}2}$.

Exercice 10—Bienaymé-TchebychevNiveau 1

$X$ a pour variance $4$. Majore $P(|X - E(X)| \geqslant 5)$.

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🎯 $P(|X - E(X)| \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{V(X)}{\delta^2}$.

$P \leqslant \dfrac{4}{25} = \mathbf{0{,}16}$.

Exercice 11—Avec une binomialeNiveau 1

$X$ suit la loi $\mathcal{B}(100 ; 0{,}5)$. Majore $P(|X - 50| \geqslant 10)$.

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$E(X) = 50$, $V(X) = 100 \times 0{,}25 = 25$. $P \leqslant \dfrac{25}{100} = \mathbf{0{,}25}$.

Niveau 2Intermédiaire (Exercices 12 à 24)

Exercice 12—Choisir la taille de l'échantillonNiveau 2

Combien de lancers d'une pièce équilibrée faut-il pour être sûr, d'après l'inégalité de concentration, que $P(|F_n - 0{,}5| \geqslant 0{,}05) \leqslant 0{,}05$ ?

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On veut $\dfrac{0{,}25}{n \times 0{,}05^2} \leqslant 0{,}05$, soit $n \geqslant \dfrac{0{,}25}{0{,}0025 \times 0{,}05} = \mathbf{2\,000}$ lancers.

Exercice 13—La moyenne des lancers de déNiveau 2

On lance $n$ fois un dé équilibré ; $M_n$ est la moyenne des résultats.
a) Majore $P(|M_n - 3{,}5| \geqslant 0{,}1)$ en fonction de $n$.
b) À partir de quelle valeur de $n$ cette majoration est-elle inférieure ou égale à $0{,}05$ ?

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a) $P(|M_n - 3{,}5| \geqslant 0{,}1) \leqslant \dfrac{35/12}{n \times 0{,}01} = \dfrac{875}{3n}$.

b) $\dfrac{875}{3n} \leqslant 0{,}05 \iff n \geqslant \dfrac{875}{0{,}15} \approx 5\,833{,}3$ : à partir de $\mathbf{n = 5\,834}$.

Exercice 14—Deux jeuxNiveau 2

Le gain $X$ du jeu A vérifie $E(X) = 1$ et $V(X) = 4$ ; le gain $Y$ du jeu B vérifie $E(Y) = -0{,}5$ et $V(Y) = 1$. Les deux jeux sont indépendants.
a) On joue une fois à chaque jeu. Espérance et variance du gain total ?
b) On joue $10$ fois au jeu A (parties indépendantes). Espérance et variance du gain total ?

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a) $E = 1 - 0{,}5 = \mathbf{0{,}5}$ ; $V = 4 + 1 = \mathbf{5}$ (indépendance).

b) $E = 10 \times 1 = \mathbf{10}$ ; $V = 10 \times 4 = \mathbf{40}$.

Exercice 15—Le sondageNiveau 2

On interroge $n$ personnes pour estimer la proportion $p$ d'électeurs d'un candidat ; $F_n$ est la fréquence observée.
a) Montre que $p(1 - p) \leqslant \dfrac{1}{4}$ pour tout $p \in [0 ; 1]$.
b) Déduis-en que $P(|F_n - p| \geqslant 0{,}03) \leqslant \dfrac{1}{4n \times 0{,}03^2}$.
c) Quelle taille d'échantillon garantit que cette probabilité est inférieure ou égale à $0{,}05$ ?

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a) $f(p) = p - p^2$ est un trinôme de maximum en $p = \dfrac{1}{2}$, où il vaut $\dfrac{1}{4}$. Donc $p(1 - p) \leqslant \dfrac{1}{4}$.

b) $F_n$ a pour espérance $p$ et pour variance $\dfrac{p(1 - p)}{n} \leqslant \dfrac{1}{4n}$. Bienaymé-Tchebychev donne $P(|F_n - p| \geqslant 0{,}03) \leqslant \dfrac{p(1 - p)}{n \times 0{,}03^2} \leqslant \dfrac{1}{4n \times 0{,}03^2}$.

c) $\dfrac{1}{4n \times 0{,}0009} \leqslant 0{,}05 \iff n \geqslant \dfrac{1}{4 \times 0{,}0009 \times 0{,}05} \approx 5\,555{,}6$ : il faut interroger au moins $5\,556$ personnes.

Exercice 16—Une majoration grossièreNiveau 2

$X$ suit $\mathcal{B}(100 ; 0{,}5)$.
a) Majore $P(|X - 50| \geqslant 10)$ par Bienaymé-Tchebychev.
b) Calcule la valeur exacte de cette probabilité à la calculatrice ($P(X \leqslant 40) + P(X \geqslant 60)$, au millième).
c) Commente.

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a) $V(X) = 25$ : $P(|X - 50| \geqslant 10) \leqslant \dfrac{25}{100} = \mathbf{0{,}25}$.

b) Par symétrie de la loi, $P(X \leqslant 40) = P(X \geqslant 60) \approx 0{,}028$ : la probabilité exacte vaut environ $\mathbf{0{,}057}$.

c) L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est vraie mais grossière : elle s'applique à toutes les lois, donc ne peut pas être précise pour une loi particulière.

Exercice 17—Composants électroniquesNiveau 2

Un appareil contient $4$ composants dont les durées de vie sont indépendantes, d'espérance $1\,000$ h et d'écart type $100$ h. On note $S$ la somme des durées de vie.
a) Calcule $E(S)$ et $\sigma(S)$.
b) Majore $P(|S - 4\,000| \geqslant 500)$.

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a) $E(S) = 4 \times 1\,000 = \mathbf{4\,000}$ h ; $V(S) = 4 \times 100^2 = 40\,000$, donc $\sigma(S) = \mathbf{200}$ h.

b) $P(|S - 4\,000| \geqslant 500) \leqslant \dfrac{40\,000}{500^2} = \mathbf{0{,}16}$.

Exercice 18—Transformation affineNiveau 2

$X$ suit $\mathcal{B}(20 ; 0{,}3)$ et $Y = 5X - 20$ (gain d'un jeu). Calcule $E(Y)$ et $V(Y)$.

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$E(X) = 6$ et $V(X) = 20 \times 0{,}3 \times 0{,}7 = 4{,}2$. $E(Y) = 5 \times 6 - 20 = \mathbf{10}$ ; $V(Y) = 5^2 \times 4{,}2 = \mathbf{105}$.

Exercice 19—Une simulationNiveau 2

On simule $60\,000$ lancers d'un dé et on note $F$ la fréquence des $6$.
a) Vers quelle valeur $F$ devrait-elle être proche ? Pourquoi ?
b) Majore $P\left(\left|F - \dfrac{1}{6}\right| \geqslant 0{,}01\right)$.

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a) D'après la loi des grands nombres, $F$ doit être proche de la probabilité $\dfrac{1}{6} \approx 0{,}167$.

b) $\sigma^2 = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{5}{36}$ : $P\left(\left|F - \dfrac{1}{6}\right| \geqslant 0{,}01\right) \leqslant \dfrac{5/36}{60\,000 \times 0{,}0001} \approx \mathbf{0{,}023}$.

Exercice 20—Inégalité de concentrationNiveau 2

On lance $1\,000$ fois un dé ; $F$ est la fréquence des $6$. Majore $P\left(\left|F - \dfrac{1}{6}\right| \geqslant 0{,}05\right)$.

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$F$ est la moyenne de $1\,000$ variables de Bernoulli de paramètre $\dfrac{1}{6}$, de variance $\dfrac{5}{36}$. $P \leqslant \dfrac{5/36}{1\,000 \times 0{,}05^2} \approx \mathbf{0{,}056}$.

Exercice 21—Taille d'échantillonNiveau 2

On veut estimer une proportion $p$. Avec $V \leqslant 0{,}25$, quelle taille $n$ garantit, par l'inégalité de concentration, $P(|F - p| \geqslant 0{,}05) \leqslant 0{,}05$ ?

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$\dfrac{0{,}25}{n \times 0{,}0025} \leqslant 0{,}05 \iff n \geqslant \dfrac{0{,}25}{0{,}0025 \times 0{,}05} = 2\,000$. Il faut $\mathbf{n \geqslant 2\,000}$.

Exercice 22—Transformation affineNiveau 2

$E(X) = 4$ et $V(X) = 2$. Calcule $E(3X - 2)$ et $V(3X - 2)$.

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$E = 3 \times 4 - 2 = \mathbf{10}$ ; $V = 9 \times 2 = \mathbf{18}$.

Exercice 23—MoyennerNiveau 2

$X$ a pour écart type $6$. Quelle taille d'échantillon donne une moyenne d'écart type $1$ ?

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$\sigma(M_n) = \dfrac{6}{\sqrt{n}} = 1 \iff \mathbf{n = 36}$.

Exercice 24—Le sondageNiveau 2

On interroge $1\,000$ personnes pour estimer une proportion $p$. Majore la probabilité que la fréquence observée s'écarte de $p$ d'au moins $0{,}03$.

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$p(1 - p) \leqslant 0{,}25$ : $P \leqslant \dfrac{0{,}25}{1\,000 \times 0{,}03^2} \approx \mathbf{0{,}28}$.

Astuce

Cette majoration est grossière : la probabilité réelle est bien plus faible.

Niveau 3Difficile/Expert (Exercices 25 à 30)

Exercice 25—Version « intervalle »Niveau 3

a) À partir de l'inégalité de concentration, montre que $P(|M_n - \mu| < \delta) \geqslant 1 - \dfrac{\sigma^2}{n\delta^2}$.
b) Application : $\sigma^2 = 9$, $\delta = 0{,}5$ et $n = 400$. Interprète.

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a) L'événement $|M_n - \mu| < \delta$ est le contraire de $|M_n - \mu| \geqslant \delta$ : $P(|M_n - \mu| < \delta) = 1 - P(|M_n - \mu| \geqslant \delta) \geqslant 1 - \frac{\sigma^2}{n\delta^2}$

b) $1 - \dfrac{9}{400 \times 0{,}25} = 1 - 0{,}09 = \mathbf{0{,}91}$ : avec $400$ mesures, la moyenne est à moins de $0{,}5$ de $\mu$ avec une probabilité d'au moins $91\,\%$.

Exercice 26—Moyenner diminue la varianceNiveau 3

$X$ et $Y$ sont indépendantes, de même loi, de variance $\sigma^2$.
a) Calcule $V\left(\dfrac{X + Y}{2}\right)$.
b) Généralise à la moyenne de $n$ variables. Pourquoi les scientifiques répètent-ils leurs mesures ?

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a) $V\left(\dfrac{X + Y}{2}\right) = \dfrac{1}{4}(V(X) + V(Y)) = \dfrac{2\sigma^2}{4} = \mathbf{\dfrac{\sigma^2}{2}}$.

b) Pour $n$ variables : $V(M_n) = \dfrac{\sigma^2}{n}$. Plus on fait de mesures, plus leur moyenne est précise (moins dispersée) : c'est pourquoi on répète les mesures.

Exercice 27—Le maximum de $p(1 - p)$Niveau 3

a) Étudie la fonction $f(p) = p(1 - p)$ sur $[0 ; 1]$ et montre que son maximum est $\dfrac{1}{4}$.
b) Pour quelle valeur de $p$ la variance d'une variable de Bernoulli est-elle la plus grande ? Interprète.

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a) $f'(p) = 1 - 2p$ : positive sur $\left[0 ; \dfrac{1}{2}\right]$, négative sur $\left[\dfrac{1}{2} ; 1\right]$. Maximum $f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{4}$.

b) Pour $p = \dfrac{1}{2}$ : c'est la situation la plus incertaine (succès et échec aussi probables), donc la plus dispersée.

Exercice 28—Une pièce suspecteNiveau 3

On lance $1\,000$ fois une pièce et on obtient $560$ « Pile ».
a) Si la pièce est équilibrée, quelle loi suit le nombre $X$ de « Pile » ? Espérance, variance ?
b) Majore $P(|X - 500| \geqslant 60)$.
c) Que peut-on penser de cette pièce ?

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a) $X$ suit $\mathcal{B}(1\,000 ; 0{,}5)$ : $E(X) = 500$ et $V(X) = 250$.

b) $P(|X - 500| \geqslant 60) \leqslant \dfrac{250}{3\,600} \approx \mathbf{0{,}069}$.

c) Si la pièce était équilibrée, un écart d'au moins $60$ (comme $560$) aurait une probabilité d'au plus $6{,}9\,\%$ (et en réalité bien moins, la majoration étant grossière). Le résultat rend la pièce suspecte.

Exercice 29—Le risque de l'assureurNiveau 3

Un assureur a $10\,000$ contrats indépendants. Le montant $X_i$ remboursé pour un contrat a pour espérance $40$ € et pour écart type $400$ €. On note $S$ le total remboursé.
a) Calcule $E(S)$ et $\sigma(S)$.
b) L'assureur a encaissé $520\,000$ €. Majore la probabilité que $S$ dépasse cette somme.

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a) $E(S) = 10\,000 \times 40 = \mathbf{400\,000}$ € ; $V(S) = 10\,000 \times 400^2$, donc $\sigma(S) = 100 \times 400 = \mathbf{40\,000}$ €.

b) $S \geqslant 520\,000$ implique $|S - 400\,000| \geqslant 120\,000$ : $P(S \geqslant 520\,000) \leqslant \frac{40\,000^2}{120\,000^2} = \frac{1}{9} \approx \mathbf{0{,}11}$

Exercice 30—Synthèse : estimer $\pi$ par la méthode de Monte-CarloNiveau 3

On tire au hasard des points dans le carré $[0 ; 1] \times [0 ; 1]$. La probabilité qu'un point soit dans le quart de disque de centre $O$ et de rayon $1$ vaut $p = \dfrac{\pi}{4}$. On note $F_n$ la fréquence des points dans le quart de disque après $n$ tirages.
a) Pourquoi $4F_n$ est-elle une estimation de $\pi$ ?
b) Combien de points faut-il pour que $P(|4F_n - \pi| \geqslant 0{,}01) \leqslant 0{,}05$ (d'après l'inégalité de concentration, en majorant $p(1 - p)$ par $\dfrac{1}{4}$) ?
c) Écris une fonction Python qui renvoie l'estimation $4F_n$.

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a) D'après la loi des grands nombres, $F_n$ se rapproche de $p = \dfrac{\pi}{4}$, donc $4F_n$ se rapproche de $\pi$.

b) $|4F_n - \pi| \geqslant 0{,}01 \iff |F_n - p| \geqslant 0{,}0025$. Concentration avec $p(1 - p) \leqslant \dfrac{1}{4}$ : $P(|F_n - p| \geqslant 0{,}0025) \leqslant \frac{1}{4n \times 0{,}0025^2} \leqslant 0{,}05 \iff n \geqslant \frac{1}{4 \times 0{,}0025^2 \times 0{,}05} = 800\,000$ Il faut $800\,000$ points (la méthode est lente !).

from random import random

def estime_pi(n):
    dedans = 0
    for i in range(n):
        x, y = random(), random()
        if x**2 + y**2 <= 1:
            dedans = dedans + 1
    return 4 * dedans / n