Terminale · Chapitre 6 · Analyse

Primitives et intégrales

30 exercices corrigés

1 Primitives — Définition et Propriétés

1.1 Définition

Définition : On dit que $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $F'(x) = f(x)$ pour tout $x\in I$.

Métaphore

Si dériver est comme descendre un escalier (on passe de $F$ à $f$), alors trouver une primitive, c'est remonter l'escalier (on passe de $f$ à $F$).

Propriété clé : Si $F$ est une primitive de $f$, alors toutes les primitives de $f$ sont de la forme $F(x) + C$ où $C\in\mathbb{R}$ est une constante arbitraire.

Théorème fondamental : Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$.

1.2 Table des primitives usuelles

Fonction $f(x)$	Primitive $F(x)$	Conditions
$x^n$ ($n\neq-1$)	$\frac{x^{n+1}}{n+1}$
$\frac{1}{x}$	$\ln\|x\|$	$x\neq0$
$e^x$	$e^x$
$\sin x$	$-\cos x$
$\cos x$	$\sin x$
$\frac{1}{\cos^2 x}$	$\tan x$
$\frac{1}{\sqrt{x}}$	$2\sqrt{x}$	$x>0$

1.3 Primitives de fonctions composées

Fonction $f(x)$	Primitive $F(x)$	Forme générale
$u'(x)[u(x)]^n$	$\frac{[u(x)]^{n+1}}{n+1}$	$n\neq-1$
$\frac{u'(x)}{u(x)}$	$\ln\|u(x)\|$	$u(x)\neq0$
$u'(x)e^{u(x)}$	$e^{u(x)}$
$u'(x)\cos(u(x))$	$\sin(u(x))$
$u'(x)\sin(u(x))$	...

Exemples :

$\int (2x+1)^5\,dx = ?$ → $u=2x+1$, $u'=2$. Manque un facteur 2 : $\int(2x+1)^5\,dx = \frac{1}{2}\int 2(2x+1)^5\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{(2x+1)^6}{6} = \frac{(2x+1)^6}{12}+C$

$\int\frac{x}{x^2+1}\,dx = ?$ → $u=x^2+1$, $u'=2x$. Manque facteur $\frac{1}{2}$ : $\int\frac{x}{x^2+1}\,dx = \frac{1}{2}\int\frac{2x}{x^2+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln(x^2+1)+C$

2 L'Intégrale Définie

2.1 Définition et notation

Soit $f$ une fonction continue sur $[a;b]$ et $F$ une primitive de $f$. L'intégrale de $f$ de $a$ à $b$ est :

$\boxed{\int_a^b f(x)\,dx = [F(x)]_a^b = F(b)-F(a)}$

Exemple : $\int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3}-0 = \frac{8}{3}$

L’aire sous la parabole y = x² entre 0 et 2 vaut 8/3 u.a.

Animation : calcul d’une intégrale pas à pas avec une primitive

🎬 À voir aussi : clique sur Suivant pour suivre le calcul étape par étape. Pour comprendre d'où vient l'aire, regarde l'animation des sommes de Riemann.

2.2 Interprétation géométrique

Si $f(x)\geq0$ sur $[a;b]$, alors $\int_a^b f(x)\,dx$ est l'aire (en unités d'aire) du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses, et les droites $x=a$ et $x=b$.

Si $f$ change de signe, l'intégrale calcule l'aire algébrique :

Zones au-dessus de l'axe : contribution positive
Zones en-dessous de l'axe : contribution négative

Aire géométrique = $\int_a^b |f(x)|\,dx$ (toujours positif).

3 Propriétés de l'Intégrale

3.1 Propriétés algébriques

$\int_a^a f(x)\,dx = 0$ $\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx$ $\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx \quad \text{(relation de Chasles)}$

Linéarité : $\int_a^b [\lambda f(x) + \mu g(x)]\,dx = \lambda\int_a^b f(x)\,dx + \mu\int_a^b g(x)\,dx$

3.2 Inégalités

Si $f(x)\leq g(x)$ pour tout $x\in[a;b]$ et $a<b$ : $\int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b g(x)\,dx$

Inégalité triangulaire : $\left|\int_a^b f(x)\,dx\right| \leq \int_a^b |f(x)|\,dx$

3.3 Valeur moyenne

La valeur moyenne de $f$ sur $[a;b]$ est : $\bar{f} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$

Interprétation : c'est la hauteur du rectangle de base $[a;b]$ ayant même aire que la surface sous la courbe.

4 Théorème Fondamental de l'Analyse

Théorème : Si $f$ est continue sur $[a;b]$, la fonction $G$ définie par : $G(x) = \int_a^x f(t)\,dt$

est une primitive de $f$ sur $[a;b]$, et $G'(x) = f(x)$.

C'est le lien profond entre dérivation (opération locale) et intégration (opération globale).

Corollaire : Si $F$ est une primitive de $f$ quelconque, alors $\int_a^x f(t)\,dt = F(x)-F(a)$.

5 Techniques d'Intégration

5.1 Intégration par parties (IPP)

$\boxed{\int_a^b u(x)v'(x)\,dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,dx}$

Stratégie : Choisir $u$ et $v'$ de sorte que $u'v$ soit plus simple que $uv'$.

Mnémotechnique : "ALPES" — Algèbre, Logarithme, Polynôme, Exponentielle, Sinus/Cosinus. Prendre $u$ à gauche dans cette liste, $v'$ à droite.

Exemple 1 : $\int_0^1 xe^x\,dx$

$u=x$, $v'=e^x$ → $u'=1$, $v=e^x$

$\int_0^1 xe^x\,dx = [xe^x]_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = e - [e^x]_0^1 = e-(e-1) = 1$

Exemple 2 : $\int_1^e \ln x\,dx$

$u=\ln x$, $v'=1$ → $u'=1/x$, $v=x$

$\int_1^e \ln x\,dx = [x\ln x]_1^e - \int_1^e x\cdot\frac{1}{x}\,dx = (e\cdot1-1\cdot0)-\int_1^e 1\,dx = e - (e-1) = 1$

Pour aller plus loin

Contenu facultatif, non exigible.

(hors programme) : changement de variable. Si $u = g(x)$, alors $\displaystyle\int_a^b f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du$. Par exemple, avec $u = 1 - x^2$ : $\displaystyle\int_0^1 x\sqrt{1 - x^2}\,dx = \dfrac{1}{2}\int_0^1 \sqrt{u}\,du = \dfrac{1}{3}$. Au programme, on se contente de reconnaître les formes $u'e^u$, $\dfrac{u'}{u}$, $u'u^n$, $\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$.

6 Calcul d'Aires et Applications

6.1 Aire entre deux courbes

L'aire entre $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sur $[a;b]$ (quand $f\geq g$) : $\mathcal{A} = \int_a^b [f(x)-g(x)]\,dx$

Exemple : Aire entre $f(x)=x^2$ et $g(x)=x$.

Points d'intersection : $x^2=x \Rightarrow x(x-1)=0 \Rightarrow x=0$ ou $x=1$.

Sur $[0;1]$ : $g(x)=x\geq x^2=f(x)$ (car $x^2\leq x$ pour $x\in[0;1]$).

$\mathcal{A} = \int_0^1(x-x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2}-\frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

Entre les courbes y = x et y = x² sur [0 ; 1], l’aire vaut 1/6 u.a.

6.2 Valeur moyenne

Définition

La valeur moyenne d'une fonction continue $f$ sur $[a ; b]$ ($a < b$) est $\mu = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$ Si $f$ est positive, c'est la hauteur du rectangle de base $[a ; b]$ qui a la même aire que le domaine sous la courbe.

Pour aller plus loin

Contenu facultatif, non exigible.

(hors programme) : on peut calculer des volumes de révolution, $V = \pi\int_a^b f(x)^2\,dx$, et des intégrales sur un intervalle non borné, comme $\int_1^{+\infty} \dfrac{1}{x^2}\,dx = \lim\limits_{A \to +\infty}\left(1 - \dfrac{1}{A}\right) = 1$.

Tu as lu le cours ?Voir la fiche mémo →

Niveau 1Facile (Exercices 1 à 11)

Exercice 1Niveau 1

Calculer les primitives (sans constante pour l'instant, puis ajouter $+C$) :

$\int (3x^2-2x+1)\,dx$
$\int e^{2x}\,dx$
$\int \frac{1}{3x+1}\,dx$
$\int \cos(2x)\,dx$

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Primitives usuelles

$x^n\to\frac{x^{n+1}}{n+1}$ ; pour les composées affines $e^{ax}$, $\frac1{ax+b}$, $\cos(ax)$, on divise par $a$.

1) $\boxed{x^3-x^2+x+C}$

2) ($u=2x$) $\boxed{\dfrac{e^{2x}}{2}+C}$

3) (forme $\frac{u'}{u}$, $u=3x+1$) $\boxed{\dfrac13\ln|3x+1|+C}$

4) $\boxed{\dfrac{\sin(2x)}{2}+C}$

Ne jamais oublier $+C$

Pour une primitive (intégrale indéfinie).

Exercice 2Niveau 1

Calculer les intégrales définies :

$\int_0^3(x^2+2)\,dx$
$\int_0^1 e^x\,dx$
$\int_1^4\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$
$\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx$

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Intégrale définie

$\int_a^b f = [F]_a^b = F(b)-F(a)$.

1) $\left[\frac{x^3}{3}+2x\right]_0^3 = 9+6 = \boxed{15}$

2) $[e^x]_0^1 = \boxed{e-1}$

3) $[2\sqrt x]_1^4 = 4-2 = \boxed{2}$

4) $[-\cos x]_0^{\pi/2} = 0+1 = \boxed{1}$

Exercice 3Niveau 1

Calculer les primitives de fonctions composées :

$\int(x^2+1)^3\cdot 2x\,dx$
$\int\frac{2x}{x^2+3}\,dx$
$\int 3e^{3x-1}\,dx$

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Formes composées

$u'u^n\to\frac{u^{n+1}}{n+1}$, $\frac{u'}{u}\to\ln|u|$, $u'e^u\to e^u$ — repérer le facteur $u'$.

1) ($u=x^2+1$) $\boxed{\dfrac{(x^2+1)^4}{4}+C}$

2) ($u=x^2+3$, $u'=2x$) $\boxed{\ln(x^2+3)+C}$

3) ($u=3x-1$, $u'=3$) $\boxed{e^{3x-1}+C}$

Exercice 4Niveau 1

Calculer l'aire délimitée par la courbe $f(x)=x^2-4$, l'axe des abscisses et les droites $x=-2$ et $x=2$.

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Aire géométrique

intégrer $|f|$. Ici $f\leq0$ sur $[-2;2]$, donc $|f|=4-x^2$.

Étape 1 — Signe : $f(x)=x^2-4\leq0$ sur $[-2;2]$.

Étape 2 — Calcul $\mathcal A = \int_{-2}^2(4-x^2)\,dx = \left[4x-\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^2 = \left(8-\frac83\right)-\left(-8+\frac83\right) = \boxed{\frac{32}{3}\approx10{,}67 \text{ u}^2}$

Attention

Sans la valeur absolue, $\int_{-2}^2(x^2-4)dx=-\frac{32}3$ (négatif) — ce n'est pas l'aire géométrique.

Exercice 5Niveau 1

Utiliser la relation de Chasles : calculer $\int_{-1}^3 f(x)\,dx$ sachant que $\int_{-1}^1 f(x)\,dx = 5$ et $\int_1^3 f(x)\,dx = -2$.

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Relation de Chasles

$\int_{-1}^3 = \int_{-1}^1 + \int_1^3$. $\int_{-1}^3 f = 5 + (-2) = \boxed{3}$

Exercice 6Niveau 1

Calculer la valeur moyenne de $f(x)=x^2$ sur $[0;3]$.

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Valeur moyenne

$\bar f = \frac{1}{b-a}\int_a^b f$. $\bar f = \frac13\int_0^3 x^2\,dx = \frac13\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac13\times9 = \boxed{3}$

Exercice 7—Primitives usuellesNiveau 1

Donne une primitive de :
a) $x^2$ $\quad$
b) $3x^2 - 4x + 1$ $\quad$
c) $e^{2x}$ $\quad$
d) $\dfrac{1}{x}$ sur $]0 ; +\infty[$

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a) $\mathbf{\dfrac{x^3}{3}}$ ; b) $\mathbf{x^3 - 2x^2 + x}$ ; c) $\mathbf{\dfrac{e^{2x}}{2}}$ ; d) $\mathbf{\ln x}$.

Exercice 8—Une intégraleNiveau 1

Calcule $\displaystyle\int_0^2 3x^2 \, dx$.

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$\left[x^3\right]_0^2 = \mathbf{8}$.

Exercice 9—Avec le logarithmeNiveau 1

Calcule $\displaystyle\int_1^e \dfrac{1}{x} \, dx$.

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$\left[\ln x\right]_1^e = 1 - 0 = \mathbf{1}$.

Exercice 10—Avec l'exponentielleNiveau 1

Calcule $\displaystyle\int_0^1 e^x \, dx$ (valeur exacte puis approchée).

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$\left[e^x\right]_0^1 = e - 1 \approx \mathbf{1{,}718}$.

Exercice 11—Condition initialeNiveau 1

Détermine la primitive $F$ de $f(x) = 2x + 3$ telle que $F(1) = 0$.

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$F(x) = x^2 + 3x + C$ ; $F(1) = 4 + C = 0$, donc $\mathbf{F(x) = x^2 + 3x - 4}$.

Niveau 2Intermédiaire (Exercices 12 à 24)

Exercice 12Niveau 2

Calculer par intégration par parties :

$\int_0^1 xe^x\,dx$
$\int_1^e x\ln x\,dx$
$\int_0^{\pi} x\cos x\,dx$

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Intégration par parties

$\int uv' = [uv]-\int u'v$ (choisir $u$ qui se simplifie en dérivant).

1) $u=x$, $v'=e^x$ $\int_0^1 xe^x\,dx = [xe^x]_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = e - (e-1) = \boxed{1}$

2) $u=\ln x$, $v'=x$ (donc $v=\frac{x^2}{2}$) $\int_1^e x\ln x\,dx = \left[\frac{x^2\ln x}{2}\right]_1^e - \frac12\int_1^e x\,dx = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2-1}{4} = \boxed{\frac{e^2+1}{4}}$

3) $u=x$, $v'=\cos x$ (donc $v=\sin x$) $\int_0^\pi x\cos x\,dx = \underbrace{[x\sin x]_0^\pi}_{=0} - \int_0^\pi\sin x\,dx = -[-\cos x]_0^\pi = -(1+1) = \boxed{-2}$

Mémo ALPES

On prend $u$ = la fonction la plus « à gauche » (Algèbre, Log, Polynôme, Exp, Sinus) — celle qui se simplifie en dérivant.

Exercice 13Niveau 2

Calculer les primitives (méthode à identifier) :

$\int\frac{\ln x}{x}\,dx$
$\int\sin x\cos x\,dx$ (deux méthodes)
$\int\frac{e^x}{1+e^x}\,dx$

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Reconnaître la forme

ici toutes sont du type $u'\cdot(\text{fonction de }u)$.

1) ($u=\ln x$, $u'=\frac1x$) : $\int u\,u'\,dx = \boxed{\dfrac{(\ln x)^2}{2}+C}$

2) deux méthodes :

linéarisation : $\sin x\cos x=\frac{\sin2x}{2}\to\boxed{-\dfrac{\cos2x}{4}+C}$
substitution $u=\sin x$ : $\int u\,du = \dfrac{\sin^2x}{2}+C$ (les deux diffèrent d'une constante)

3) ($u=1+e^x$, $u'=e^x$) : $\boxed{\ln(1+e^x)+C}$

Exercice 14Niveau 2

Calculer l'aire entre les courbes $f(x)=x^2$ et $g(x)=2x$.

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Aire entre deux courbes

$\int_a^b(\text{haut}-\text{bas})$.

Étape 1 — Intersections : $x^2=2x\Rightarrow x=0$ ou $x=2$.

Étape 2 — Position : sur $[0;2]$, $2x\geq x^2$.

Étape 3 — Calcul $\mathcal A = \int_0^2(2x-x^2)\,dx = \left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = 4-\frac83 = \boxed{\frac43}$

Exercice 15Niveau 2

Calculer la valeur moyenne de $f(x) = e^x$ sur $[0 ; 1]$. Interpréter graphiquement.

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Valeur moyenne

$\mu = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$.

$\mu = \frac{1}{1 - 0}\int_0^1 e^x\,dx = \big[e^x\big]_0^1 = \boxed{e - 1} \approx 1{,}72$

Interprétation : le rectangle de base $[0 ; 1]$ et de hauteur $e - 1$ a la même aire que le domaine compris entre la courbe de l'exponentielle, l'axe des abscisses et les droites $x = 0$ et $x = 1$. La valeur $e - 1$ est bien comprise entre $f(0) = 1$ et $f(1) = e$.

Exercice 16Niveau 2

Montrer que $\int_1^e\frac{\ln x}{x}\,dx = \frac{1}{2}$ sans calculatrice. (Reconnaître la forme $u'u$ avec $u=\ln x$.)

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Forme $u'u$

avec $u=\ln x$. $\int_1^e\frac{\ln x}{x}\,dx = \left[\frac{(\ln x)^2}{2}\right]_1^e = \frac{1}{2}-0 = \boxed{\frac12} \quad\checkmark$

Exercice 17Niveau 2

On donne $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ sur $]-1;1[$.

Calculer $\int_0^{1/2}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ (réponse : $\pi/6$).
En déduire l'aire d'un secteur de cercle.

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Primitive d'arcsin

$(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

1) $\int_0^{1/2}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = [\arcsin x]_0^{1/2} = \arcsin\tfrac12 = \boxed{\frac\pi6}$

2) L'aire d'un secteur de disque de rayon $1$ et d'angle $\theta$ vaut $\frac\theta2$. Pour $\theta=\frac\pi6$, aire $=\boxed{\frac{\pi}{12}}$.

Exercice 18Niveau 2

Un objet se déplace avec une vitesse $v(t) = 3t^2-6t+2$ (en m/s) entre $t=0$ et $t=3$ secondes.

Quand la vitesse est-elle nulle ?
Calculer la distance parcourue (intégrale de $|v(t)|$).
Calculer le déplacement algébrique $\int_0^3 v(t)\,dt$.

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Cinématique

vitesse nulle (racines), distance $=\int|v|$, déplacement $=\int v$.

1) Vitesse nulle $3t^2-6t+2=0 \Rightarrow t = 1\pm\frac{1}{\sqrt3} \quad\Rightarrow\quad \boxed{t_1\approx0{,}42 \text{ s}, \ t_2\approx1{,}58 \text{ s}}$

2) Distance parcourue (primitive $V(t)=t^3-3t^2+2t$ ; $v>0$ puis $<0$ puis $>0$)

$V(t_1)\approx0{,}385$, $V(t_2)\approx-0{,}385$, $V(3)=6$. En sommant les valeurs absolues sur chaque intervalle de signe constant : $d = V(t_1) + [V(t_1)-V(t_2)] + [V(3)-V(t_2)] \approx 0{,}385 + 0{,}770 + 6{,}385 = \boxed{7{,}54 \text{ m}}$

3) Déplacement algébrique $\int_0^3 v(t)\,dt = [t^3-3t^2+2t]_0^3 = 27-27+6 = \boxed{6 \text{ m}}$

Astuce

La distance ($7{,}54$ m) dépasse le déplacement ($6$ m) car le mobile fait demi-tour (recul entre $t_1$ et $t_2$).

Exercice 19Niveau 2

a) Vérifier que, pour $x \geqslant 0$, $\dfrac{x}{(x+1)^2} = \dfrac{1}{x+1} - \dfrac{1}{(x+1)^2}$.
b) En déduire $I = \int_0^1 \frac{x}{(x+1)^2}\,dx$.

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Décomposer

la fraction en deux formes dont on connaît une primitive : $\dfrac{u'}{u}$ et $\dfrac{u'}{u^2}$.

a) $\dfrac{1}{x+1} - \dfrac{1}{(x+1)^2} = \dfrac{(x+1) - 1}{(x+1)^2} = \dfrac{x}{(x+1)^2}$ ✓

b) Une primitive de $\dfrac{1}{x+1}$ est $\ln(x+1)$ ; une primitive de $\dfrac{1}{(x+1)^2}$ est $-\dfrac{1}{x+1}$. $I = \left[\ln(x+1) + \frac{1}{x+1}\right]_0^1 = \left(\ln 2 + \frac12\right) - (0 + 1) = \boxed{\ln 2 - \frac12}$

Exercice 20—Aire sous une courbeNiveau 2

Calcule l'aire du domaine compris entre la courbe de $x \mapsto x^2$, l'axe des abscisses et les droites $x = 0$ et $x = 3$.

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$x^2 \geqslant 0$ : l'aire vaut $\displaystyle\int_0^3 x^2 \, dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = \mathbf{9}$ u.a.

Exercice 21—Aire entre deux courbesNiveau 2

Calcule l'aire du domaine compris entre les courbes de $y = x$ et $y = x^2$ sur $[0 ; 1]$.

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Sur $[0 ; 1]$, $x \geqslant x^2$ : $\displaystyle\int_0^1 (x - x^2) \, dx = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \mathbf{\dfrac{1}{6}}$ u.a.

Exercice 22—Forme $u'e^u$Niveau 2

Calcule $\displaystyle\int_0^1 2x e^{x^2} \, dx$.

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🎯 Une primitive de $u'e^u$ est $e^u$.

$\left[e^{x^2}\right]_0^1 = \mathbf{e - 1}$.

Exercice 23—Valeur moyenneNiveau 2

Calcule la valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[0 ; 3]$.

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$\mu = \dfrac{1}{3 - 0} \displaystyle\int_0^3 x^2 \, dx = \dfrac{9}{3} = \mathbf{3}$.

Exercice 24—Intégration par partiesNiveau 2

Calcule $\displaystyle\int_0^1 x e^x \, dx$.

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$u = x$, $v' = e^x$ : $u' = 1$, $v = e^x$. $\displaystyle\int_0^1 x e^x \, dx = \left[x e^x\right]_0^1 - \int_0^1 e^x \, dx = e - (e - 1) = \mathbf{1}$.

Niveau 3Difficile/Expert (Exercices 25 à 30)

Exercice 25—IPP itéréeNiveau 3

Calculer $I = \int_0^{\pi}x^2\sin x\,dx$ par intégration par parties deux fois.

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Deux IPP successives

pour faire descendre le degré de $x^2$.

Étape 1 — 1ère IPP ($u=x^2$, $v'=\sin x$, $v=-\cos x$) $I = [-x^2\cos x]_0^\pi + \int_0^\pi 2x\cos x\,dx = \pi^2 + 2J$

Étape 2 — 2ème IPP : $J=\int_0^\pi x\cos x\,dx = -2$ (exercice 12.3).

Étape 3 — Conclusion $I = \pi^2 + 2(-2) = \boxed{\pi^2-4\approx5{,}87}$

Exercice 26—Intégrale de WallisNiveau 3

On définit $I_n = \int_0^{\pi/2}\cos^n(x)\,dx$.

Calculer $I_0$ et $I_1$.
Montrer que $I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}$ (intégration par parties avec $u=\cos^{n-1}x$, $v'=\cos x$).
En déduire $I_4$ et $I_6$.

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Relation de récurrence

par IPP.

1) Premiers termes : $I_0=\dfrac\pi2$, $I_1=1$.

2) Récurrence ($u=\cos^{n-1}x$, $v'=\cos x$) $I_n = (n-1)\int_0^{\pi/2}\cos^{n-2}x\,(1-\cos^2x)\,dx = (n-1)(I_{n-2}-I_n)$ $\Rightarrow nI_n = (n-1)I_{n-2} \Rightarrow \boxed{I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}}$

3) Application $I_4 = \frac34\cdot\frac12\cdot\frac\pi2 = \boxed{\frac{3\pi}{16}}, \qquad I_6 = \frac56\cdot\frac{3\pi}{16} = \boxed{\frac{5\pi}{32}}$

Exercice 27—Aire et symétrieNiveau 3

On considère $f(x)=xe^{-x^2}$ sur $[-1;1]$.

Montrer que $f$ est impaire.
En déduire $\int_{-1}^1 xe^{-x^2}\,dx$.
Calculer $\int_0^1 xe^{-x^2}\,dx$.

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Symétrie

l'intégrale d'une fonction impaire sur un intervalle symétrique est nulle.

1) Parité : $f(-x)=-xe^{-x^2}=-f(x)$ → impaire.

2) $\boxed{\displaystyle\int_{-1}^1 xe^{-x^2}\,dx = 0}$

3) ($u=-x^2$, $du=-2x\,dx$) $\int_0^1 xe^{-x^2}\,dx = -\frac12[e^{-x^2}]_0^1 = \frac12(1-e^{-1}) = \boxed{\frac{e-1}{2e}}$

Exercice 28—Intégrale et inégalitéNiveau 3

Montrer que $\frac{1}{2}\leq\int_0^1\frac{1}{1+x^2}\,dx\leq 1$, puis calculer exactement cette intégrale (la réponse est $\pi/4$).

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Encadrement puis calcul exact

(primitive arctan).

Étape 1 — Encadrement : sur $[0;1]$, $1\leq1+x^2\leq2$, donc $\frac12\leq\frac{1}{1+x^2}\leq1$. En intégrant (longueur $1$) : $\boxed{\frac12 \leq \int_0^1\frac{dx}{1+x^2} \leq 1}$

Étape 2 — Calcul exact ($(\arctan x)'=\frac1{1+x^2}$) $\int_0^1\frac{dx}{1+x^2} = [\arctan x]_0^1 = \boxed{\frac\pi4 \approx 0{,}785}$

🔍 Cohérence : $\frac\pi4\approx0{,}785\in[0{,}5;1]$ ✓

Exercice 29—Suites et intégralesNiveau 3

On définit $I_n = \int_0^1 x^n(1-x)\,dx$.

Calculer $I_n$ explicitement.
Montrer que $I_n\to0$ quand $n\to+\infty$ (interpréter : $x^n\to0$ sur $]0;1[$).

Voir la correction›

Suite d'intégrales

calcul explicite, puis limite.

1) Calcul $I_n = \int_0^1(x^n-x^{n+1})\,dx = \frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} = \boxed{\frac{1}{(n+1)(n+2)}}$

2) Limite $I_n = \frac{1}{(n+1)(n+2)} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \boxed{0}$

Astuce

Cohérent : sur $]0;1[$, $x^n\to0$, donc l'aire sous $x^n(1-x)$ s'effondre.

Exercice 30—Problème physique completNiveau 3

Un ressort obéit à la loi de Hooke : $F(x) = kx$ (force en Newtons, $k=50$ N/m, $x$ en mètres).

Calculer le travail $W = \int_0^{0{,}2}F(x)\,dx$ pour étirer le ressort de 0 à 20 cm.
Le centre de masse d'une tige de densité $\rho(x)=1+x$ entre $x=0$ et $x=2$ est $\bar{x}=\frac{\int_0^2 x\rho(x)\,dx}{\int_0^2\rho(x)\,dx}$. Calculer $\bar{x}$.
Calculer $\int_0^{\pi}\sin^2(x)\,dx$ (utiliser $\sin^2x=\frac{1-\cos(2x)}{2}$).

Voir la correction›

L'intégrale modélise

travail d'une force, centre de masse, valeur moyenne d'un carré.

1) Travail du ressort $W = \int_0^{0{,}2}50x\,dx = 50\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^{0{,}2} = 50\times0{,}02 = \boxed{1 \text{ J}}$

2) Centre de masse $\int_0^2 x(1+x)\,dx = \left[\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{14}{3}, \qquad \int_0^2(1+x)\,dx = 4$ $\bar x = \frac{14/3}{4} = \boxed{\frac76 \approx 1{,}17 \text{ m}}$

3) Intégrale de $\sin^2$ (linéarisation $\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}$) $\int_0^\pi\sin^2x\,dx = \frac12\left[x-\frac{\sin2x}{2}\right]_0^\pi = \frac12(\pi-0) = \boxed{\frac\pi2}$

Astuce

$\bar x=\frac76>1$ : le centre de masse est décalé vers la droite, là où la densité $\rho(x)=1+x$ est plus forte — logique.

Fonction \(f(x)\)	Primitive \(F(x)\)	Conditions
\(x^n\) (\(n\neq-1\))	\(\frac{x^{n+1}}{n+1}\)
\(\frac{1}{x}\)	\(\ln\|x\|\)	\(x\neq0\)
\(e^x\)	\(e^x\)
\(\sin x\)	\(-\cos x\)
\(\cos x\)	\(\sin x\)
\(\frac{1}{\cos^2 x}\)	\(\tan x\)
\(\frac{1}{\sqrt{x}}\)	\(2\sqrt{x}\)	\(x>0\)

Fonction \(f(x)\)	Primitive \(F(x)\)	Forme générale
\(u'(x)[u(x)]^n\)	\(\frac{[u(x)]^{n+1}}{n+1}\)	\(n\neq-1\)
\(\frac{u'(x)}{u(x)}\)	\(\ln\|u(x)\|\)	\(u(x)\neq0\)
\(u'(x)e^{u(x)}\)	\(e^{u(x)}\)
\(u'(x)\cos(u(x))\)	\(\sin(u(x))\)
\(u'(x)\sin(u(x))\)	...

1 Primitives — Définition et Propriétés

1.1 Définition

1.2 Table des primitives usuelles

1.3 Primitives de fonctions composées

2 L'Intégrale Définie

2.1 Définition et notation

2.2 Interprétation géométrique

3 Propriétés de l'Intégrale

3.1 Propriétés algébriques

3.2 Inégalités

3.3 Valeur moyenne

4 Théorème Fondamental de l'Analyse

5 Techniques d'Intégration

5.1 Intégration par parties (IPP)

6 Calcul d'Aires et Applications

6.1 Aire entre deux courbes

6.2 Valeur moyenne