Si une expérience se déroule en \(k\) étapes successives, avec \(n_1\) choix à la 1ère étape, \(n_2\) à la 2ème, ..., \(n_k\) à la \(k\)ème, alors le nombre total de façons d'accomplir l'expérience est : \[n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_k\]
Exemple : Un menu propose 3 entrées, 4 plats, 2 desserts. Nombre de repas possibles : \(3\times4\times2=24\).
Si un choix peut se faire de façon exclusive (soit A, soit B, pas les deux), le nombre de possibilités est la somme.
Exemple : Un QCM a 15 questions, chacune avec 4 options (exactement 1 bonne réponse). Nombre de façons de répondre : \(4^{15}\) (produit, car les questions sont indépendantes).
\[n! = n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times2\times1\]
Convention : \(0!=1\).
Exemples : \(3!=6\), \(5!=120\), \(10!=3\,628\,800\).
Propriété : \(n! = n\times(n-1)!\)
Le nombre de façons d'ordonner \(n\) objets distincts est \(n!\).
Exemple : Nombre d'anagrammes de "CHATS" (5 lettres distinctes) = \(5!=120\).
Nombre de façons de choisir et ordonner \(k\) objets parmi \(n\) distincts : \[A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)\]
Exemple : Podium (or, argent, bronze) parmi 10 athlètes : \(A_{10}^3 = 10\times9\times8 = 720\).
Le nombre de façons de choisir \(k\) objets parmi \(n\) sans tenir compte de l'ordre : \[\boxed{\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{A_n^k}{k!}}\]
Lecture : "k parmi n" ou "combinaison de k parmi n".
Exemples : \[\binom{6}{2} = \frac{720}{2\times24} = 15 \quad;\quad \binom{10}{3} = \frac{10!}{3!\times7!} = \frac{10\times9\times8}{6} = 120\]
\[\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1 \quad;\quad \binom{n}{1}=n\]
\[\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k} \quad \text{(symétrie)}\]
\[\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1} \quad \text{(Pascal)}\]
\[\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}=2^n \quad \text{(somme d'une ligne)}\]
\[\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}=0 \quad \text{(identité alternée)}\]
\[(a+b)^n = \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^k b^{n-k}\]
Exemples : \[(1+x)^3 = \binom{3}{0}+\binom{3}{1}x+\binom{3}{2}x^2+\binom{3}{3}x^3 = 1+3x+3x^2+x^3\]
\[(1+1)^n = \sum_{k=0}^n\binom{n}{k} = 2^n \quad \text{(en posant } a=b=1\text{)}\]
| Avec ordre | Sans ordre | |
|---|---|---|
| Sans répétition | Arrangements : \(A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}\) | Combinaisons : \(\binom{n}{k}\) |
| Avec répétition | Mots de longueur \(k\) sur \(n\) lettres : \(n^k\) | \(\binom{n+k-1}{k}\) (étoiles et barres) |
Exemple : Chiffres de 1 à 5, mots de longueur 3.
Contenu facultatif, non exigible.
(post-bac) : le nombre de façons de répartir \(k\) objets identiques dans \(n\) boîtes est \(\dbinom{n + k - 1}{k}\) (méthode « des étoiles et des barres »).
Si un univers fini \(\Omega\) est équiprobable (chaque issue a la même probabilité) : \[P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}\]
Tirage de cartes : Probabilité d'obtenir 5 as dans une main de 5 cartes tirées d'un jeu de 52 : \[P = \frac{\binom{4}{5}\binom{48}{0}}{\binom{52}{5}} = 0 \quad \text{(impossible, il n'y a que 4 as)}\]
Tirage sans remise : Probabilité d'avoir exactement \(k\) boules rouges parmi \(n\) tirées sans remise d'une urne contenant \(r\) rouges et \(b\) bleues (\(r+b=N\)) : \[P(X=k) = \frac{\binom{r}{k}\binom{b}{n-k}}{\binom{N}{n}} \quad \text{(tirage simultané)}\]
\[P(X=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\]
L'expression \(\binom{n}{k}\) compte le nombre de façons de placer \(k\) succès parmi \(n\) épreuves.
Pour deux ensembles finis \(A\) et \(B\), \[|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|\] (on retire les éléments comptés deux fois).
Combien d'entiers de \(1\) à \(100\) sont divisibles par \(2\) ou par \(3\) ? \(|D_2| = 50\), \(|D_3| = 33\) et \(|D_2 \cap D_3| = |D_6| = 16\), donc \(|D_2 \cup D_3| = 50 + 33 - 16 = 67\).
Contenu facultatif, non exigible.
(post-bac) : la formule s'étend à trois ensembles ou plus (principe d'inclusion-exclusion), et permet de compter les dérangements (permutations sans point fixe).
L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.
Factorielle : \(n! = n\times(n-1)!\), \(0!=1\)
Arrangements : \(A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}\) (ordre, sans répétition)
Combinaisons : \(\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\) (sans ordre)
Pascal : \(\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}\)
Binôme : \((a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^k b^{n-k}\)
Équiprobable : \(P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}\)
Hypergéométrique : \(P(X=k)=\frac{\binom{r}{k}\binom{b}{n-k}}{\binom{r+b}{n}}\)
⚠️ Pièges :
Calculer : \(7!\), \(\frac{10!}{8!}\), \(\frac{6!}{3!\times3!}\), \(A_8^3\), \(\binom{9}{4}\).
\(n!\), arrangement \(A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}\), combinaison \(\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}\).
\[7! = \boxed{5040} \quad;\quad \frac{10!}{8!}=10\times9=\boxed{90} \quad;\quad \frac{6!}{3!\,3!}=\binom63=\boxed{20}\] \[A_8^3=8\times7\times6=\boxed{336} \quad;\quad \binom94=\frac{9\times8\times7\times6}{24}=\boxed{126}\]
Un code PIN a 4 chiffres (0-9) avec répétition autorisée.
répétition autorisée → \(n^k\) ; sans → arrangement.
1) Tous codes (répétition) : \(\boxed{10^4=10\,000}\)
2) Chiffres distincts (arrangement) : \(A_{10}^4=10\times9\times8\times7=\boxed{5040}\)
3) Commençant par 7 (1er fixé, 3 libres) : \(\boxed{10^3=1000}\)
Un groupe de 8 personnes doit élire un président, un vice-président et un trésorier (trois fonctions différentes, une personne ne peut pas cumuler). Combien de configurations sont possibles ?
(fonctions distinctes), sans répétition → arrangement. \[A_8^3 = 8\times7\times6 = \boxed{336}\]
On tire 3 cartes dans un jeu de 32 cartes.
combinaisons (ordre sans importance).
1) Total : \(\binom{32}{3}=\dfrac{32\times31\times30}{6}=\boxed{4960}\)
2) Exactement 2 cœurs : \(\binom82\times\binom{24}1=28\times24=\boxed{672}\)
3) 3 de même couleur : \(4\times\binom83=4\times56=224\) \[P=\dfrac{224}{4960}=\boxed{\dfrac{7}{155}\approx4{,}5\%}\]
Développer \((1+x)^5\) avec la formule du binôme.
\((1+x)^5=\sum\binom5k x^k\) (coefficients = ligne 5 du triangle de Pascal). \[\boxed{(1+x)^5 = 1+5x+10x^2+10x^3+5x^4+x^5}\]
Combien d'anagrammes du mot "MATHS" y a-t-il ?
de lettres distinctes = \(n!\).
« MATHS » : 5 lettres distinctes → \(\boxed{5!=120}\).
Léo a \(4\) t-shirts et \(3\) pantalons. Combien de tenues différentes peut-il composer ?
\(4 \times 3 = \mathbf{12}\) tenues.
\(8\) coureurs disputent une course. Combien de podiums (or, argent, bronze) sont possibles ?
L'ordre compte, sans répétition : \(8 \times 7 \times 6 = \mathbf{336}\).
De combien de façons peut-on ranger \(5\) livres différents sur une étagère ?
\(5! = \mathbf{120}\).
Combien de groupes de \(3\) délégués peut-on former dans une classe de \(25\) élèves ?
L'ordre ne compte pas : \(\dbinom{25}{3} = \dfrac{25 \times 24 \times 23}{6} = \mathbf{2\,300}\).
a) Combien de codes à \(4\) chiffres existe-t-il ?
b) Combien ont leurs \(4\) chiffres tous différents ?
a) \(10^4 = \mathbf{10\,000}\) (\(4\)-uplets). b) \(10 \times 9 \times 8 \times 7 = \mathbf{5\,040}\).
Un comité de 5 personnes est formé parmi 6 hommes et 4 femmes. Calculer le nombre de comités comportant :
produit de combinaisons (hommes × femmes), puis somme des cas.
1) 3H et 2F : \(\binom63\binom42=20\times6=\boxed{120}\)
2) Au moins 3 femmes (3F ou 4F) \[\binom43\binom62+\binom44\binom61 = 60+6 = \boxed{66}\]
3) Au plus 1 femme (0F ou 1F) \[\binom40\binom65+\binom41\binom64 = 6+60 = \boxed{66}\]
On dispose de 10 livres (5 romans, 3 polars, 2 essais).
permutations, avec « blocs » pour le regroupement.
1) Sans contrainte : \(\boxed{10!=3\,628\,800}\)
2) Genres groupés : ordonner les 3 blocs (\(3!\)) × ordonner l'intérieur de chaque bloc (\(5!\,3!\,2!\)) \[3!\times(5!\times3!\times2!) = 6\times1440 = \boxed{8640}\]
Calculer \(\sum_{k=0}^{10}\binom{10}{k}\) et \(\sum_{k=0}^{10}(-1)^k\binom{10}{k}\).
\(\sum\binom nk=2^n\) et \(\sum(-1)^k\binom nk=0\). \[\sum_{k=0}^{10}\binom{10}k = 2^{10} = \boxed{1024} \quad;\quad \sum_{k=0}^{10}(-1)^k\binom{10}k = (1-1)^{10} = \boxed{0}\]
Trouver le coefficient de \(x^4\) dans le développement de \((2x+3)^7\).
\(\binom7k(2x)^k 3^{7-k}\) ; coefficient de \(x^4\) → \(k=4\). \[\binom74\,2^4\,3^3 = 35\times16\times27 = \boxed{15\,120}\]
Une urne contient 5 boules rouges et 7 boules bleues. On tire 4 boules sans remise.
\(P(X=k)=\dfrac{\binom rk\binom b{n-k}}{\binom Nn}\) (tirage sans remise).
1) 2 rouges et 2 bleues (\(\binom{12}4=495\)) \[P(X=2)=\dfrac{\binom52\binom72}{495}=\dfrac{10\times21}{495}=\boxed{\dfrac{14}{33}\approx42{,}4\%}\]
2) Au moins 3 rouges \[P(X=3)=\dfrac{70}{495}, \quad P(X=4)=\dfrac{5}{495} \quad\Rightarrow\quad P(X\geq3)=\dfrac{75}{495}=\boxed{\dfrac{5}{33}\approx15{,}2\%}\]
Résoudre : \(\binom{n}{2}=15\).
développer \(\binom n2\). \[\dfrac{n(n-1)}{2}=15 \Rightarrow n^2-n-30=0 \Rightarrow (n-6)(n+5)=0 \Rightarrow \boxed{n=6}\]
Combien y a-t-il de chemins minimaux de \((0;0)\) à \((5;3)\) sur une grille, en ne se déplaçant que vers la droite ou vers le haut ?
choisir les positions des « hauts » parmi tous les pas.
\((0;0)\to(5;3)\) : \(5\) droites \(+\) \(3\) hauts \(=8\) pas. On choisit les \(3\) « hauts » : \[\binom83 = \boxed{56 \text{ chemins}}\]
Parmi 40 étudiants, 25 font du sport, 20 font de la musique, et 10 font les deux. Combien ne font ni sport ni musique ?
\(|S\cup M|=|S|+|M|-|S\cap M|\). \[|S\cup M|=25+20-10=35 \quad\Rightarrow\quad \text{ni l'un ni l'autre}=40-35=\boxed{5}\]
Combien d'anagrammes ont les mots :
a) MATHS \(\quad\)
b) ANANA ?
a) \(5\) lettres distinctes : \(5! = \mathbf{120}\).
b) On choisit les places des \(3\) A parmi \(5\) : \(\dbinom{5}{3} = \mathbf{10}\) (les N occupent les places restantes).
Combien de parties possède un ensemble à \(6\) éléments ?
Chaque élément est dans la partie ou non : \(2^6 = \mathbf{64}\).
On tire \(5\) cartes dans un jeu de \(32\).
a) Combien de mains possibles ?
b) Combien contiennent exactement \(2\) as ?
a) \(\dbinom{32}{5} = \mathbf{201\,376}\).
b) \(2\) as parmi \(4\) et \(3\) autres cartes parmi \(28\) : \(\dbinom{4}{2} \times \dbinom{28}{3} = 6 \times 3\,276 = \mathbf{19\,656}\).
Une urne contient \(10\) boules dont \(4\) rouges. On tire simultanément \(3\) boules. Quelle est la probabilité d'obtenir \(3\) rouges ?
\(\dfrac{\binom{4}{3}}{\binom{10}{3}} = \dfrac{4}{120} = \mathbf{\dfrac{1}{30}}\).
\(12\) personnes se serrent toutes la main deux à deux. Combien de poignées de mains sont échangées ?
Une poignée de mains = une paire de personnes : \(\dbinom{12}{2} = \dfrac{12 \times 11}{2} = \mathbf{66}\).
Montrer que \(\binom{m+n}{k}=\sum_{j=0}^k\binom{m}{j}\binom{n}{k-j}\) pour tous \(m,n,k\).
(Indice : Compter de deux façons le nombre de façons de choisir \(k\) éléments parmi \(m+n\).)
compter de deux façons un choix de \(k\) parmi \(m+n\).
Étape 1 — Une façon : directement \(\binom{m+n}{k}\).
Étape 2 — Autre façon : choisir \(j\) parmi les \(m\) premiers et \(k-j\) parmi les \(n\) autres, puis sommer : \[\sum_{j=0}^k\binom mj\binom n{k-j}\]
Étape 3 — Égalité (même quantité comptée deux fois) \[\boxed{\binom{m+n}{k}=\sum_{j=0}^k\binom mj\binom n{k-j}} \quad \blacksquare\]
Combien d'anagrammes du mot "PROBABILITE" (11 lettres, dont des répétitions) y a-t-il ? (Lettres : P,R,O,B,A,B,I,L,I,T,E — B apparaît 2 fois, I apparaît 2 fois)
\(\dfrac{n!}{\prod(\text{multiplicités})!}\).
« PROBABILITE » : 11 lettres, B\(\times2\) et I\(\times2\) : \[\dfrac{11!}{2!\,2!} = \dfrac{39\,916\,800}{4} = \boxed{9\,979\,200}\]
Dans un groupe de \(n\) personnes, quelle est la probabilité qu'au moins deux aient le même anniversaire (en supposant 365 jours équiprobables) ?
« au moins 2 identiques » \(=1-\) « tous distincts ».
1) Distincts : \(P=\dfrac{A_{365}^n}{365^n}\).
2) \(P(\text{≥2 identiques})=1-\dfrac{A_{365}^n}{365^n}\).
3) Cas \(n=23\) (approximation par \(\ln\)) \[\ln P(\text{distincts}) \approx -\sum_{k=0}^{22}\frac{k}{365} = -\frac{253}{365}\approx-0{,}693 \Rightarrow P(\text{distincts})\approx e^{-0{,}693}\approx0{,}5\] \[\boxed{P(\text{≥2 identiques})\approx50{,}7\%}\]
Il suffit de 23 personnes pour dépasser 50 % — bien moins que les 365 qu'on imagine intuitivement.
Un mot de passe comporte \(8\) caractères, chacun étant une lettre minuscule (\(26\) choix) ou un chiffre (\(10\) choix).
1) \(8\)-uplets d'un ensemble à \(36\) éléments : \(36^8 \approx \boxed{2{,}82 \times 10^{12}}\).
2) \(26^8 \approx \boxed{2{,}09 \times 10^{11}}\).
3) Par passage au complémentaire : \(36^8 - 26^8 \approx \boxed{2{,}61 \times 10^{12}}\).
4) \(\dfrac{2{,}82 \times 10^{12}}{10^9} \approx 2\,821\) s, soit environ \(47\) minutes. (D'où l'intérêt des mots de passe plus longs, avec majuscules et symboles !)
Démontrer les identités suivantes :
\(k\binom nk=n\binom{n-1}{k-1}\), puis sommation.
1) Absorption \[k\binom nk = k\cdot\frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} = n\binom{n-1}{k-1} \ \checkmark\]
2) Somme \[\sum_{k=1}^n k\binom nk = n\sum_{j=0}^{n-1}\binom{n-1}j = \boxed{n\cdot2^{n-1}}\]
3) Interprétation : choisir un comité (taille \(\geq1\)) parmi \(n\) et y désigner un chef. Deux comptages :
Une grille de loto consiste à choisir \(5\) numéros parmi \(49\), puis un « numéro chance » parmi \(10\).
1) \(\dbinom{49}{5} \times 10 = 1\,906\,884 \times 10 = \boxed{19\,068\,840}\) grilles.
2) Une seule grille gagnante : \(P = \dfrac{1}{19\,068\,840} \approx \boxed{5{,}2 \times 10^{-8}}\).
3) On choisit \(3\) numéros parmi les \(5\) gagnants et \(2\) parmi les \(44\) autres : \[P = \frac{\dbinom{5}{3}\dbinom{44}{2}}{\dbinom{49}{5}} = \frac{10 \times 946}{1\,906\,884} \approx \boxed{0{,}005}\]
