Terminale · Chapitre 8 · Géométrie

Géométrie dans l'espace

30 exercices corrigés

1 Repère de l'espace

1.1 Repère orthonormé direct

Un repère orthonormé de l'espace est un triplet $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ où :

$O$ est l'origine
$\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ sont trois vecteurs unitaires et orthogonaux deux à deux
Le repère est dit direct si $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ forme un trièdre direct (règle de la main droite)

Repère 3D avec axes x, y, z, vecteurs de base i, j, k, et point M(x;y;z) avec ses projections sur les 3 axes

Tout point $M$ de l'espace a des coordonnées uniques $(x;y;z)$ telles que : $\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$

1.2 Vecteurs dans l'espace

Un vecteur $\overrightarrow{AB}$ avec $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$ :

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A \\ z_B-z_A \end{pmatrix}$

Norme : $\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}$

Distance $AB = \|\overrightarrow{AB}\|$.

Milieu de $[AB]$ : $I = \left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2};\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)$

2 Produit scalaire dans l'espace

2.1 Définition

Le produit scalaire de deux vecteurs $\overrightarrow{u}=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}a'\\b'\\c'\end{pmatrix}$ est :

$\boxed{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = aa' + bb' + cc'}$

Propriétés :

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}$ (symétrie)
$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} = \|\overrightarrow{u}\|^2$
$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \|\overrightarrow{u}\|\,\|\overrightarrow{v}\|\cos\theta$ où $\theta$ est l'angle entre les vecteurs

2.2 Orthogonalité

$\overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{v}$ (vecteurs perpendiculaires) $\Leftrightarrow \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0$

$\[aa' + bb' + cc' = 0\]$

3 Plans dans l'espace

3.1 Vecteur normal à un plan

Un vecteur $\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ est normal au plan $\mathcal{P}$ si $\overrightarrow{n}$ est perpendiculaire à tout vecteur contenu dans $\mathcal{P}$.

Propriété : $\overrightarrow{n}$ est normal à $\mathcal{P}$ $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow{n}$ est perpendiculaire à deux vecteurs non colinéaires de $\mathcal{P}$.

Un vecteur normal au plan est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan.

3.2 Équation cartésienne d'un plan

Un plan $\mathcal{P}$ passant par $A(x_0;y_0;z_0)$ avec vecteur normal $\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ a pour équation :

$\boxed{a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0}$

Ou sous forme développée : $ax + by + cz + d = 0 \quad \text{avec } d = -ax_0-by_0-cz_0$

Méthode pour trouver l'équation d'un plan :

Identifier deux vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ dans le plan (avec les points donnés)
Trouver $\overrightarrow{n}$ tel que $\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{u}=0$ et $\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{v}=0$ (on résout un système)
Écrire l'équation $\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AM}=0$ pour tout point $M(x;y;z)$ du plan

Exemple : Plan passant par $A(1;0;2)$ de vecteur normal $\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$ : $2(x-1) + (-1)(y-0) + 3(z-2) = 0 \Rightarrow 2x-y+3z-8 = 0$

4 Droites dans l'espace

4.1 Représentation paramétrique

Une droite $\Delta$ passant par $A(x_0;y_0;z_0)$ de vecteur directeur $\overrightarrow{u}=\begin{pmatrix}l\\m\\n\end{pmatrix}$ :

$\boxed{\Delta : \begin{cases} x = x_0 + tl \\ y = y_0 + tm \\ z = z_0 + tn \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})}$

Exemple : Droite par $A(1;2;-1)$ de vecteur directeur $\overrightarrow{u}=\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}$ : $\begin{cases} x = 1+3t \\ y = 2-t \\ z = -1+2t \end{cases}$

4.2 Droite intersection de deux plans

Une droite peut être définie comme l'intersection de deux plans non parallèles : $\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0 \\ a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0 \end{cases}$

5 Positions relatives

5.1 Droite et plan

Position	Condition
Droite parallèle au plan	$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n}=0$ et $A\notin\mathcal{P}$
Droite contenue dans le plan	$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n}=0$ et $A\in\mathcal{P}$
Droite sécante au plan	$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n}\neq0$
Droite perpendiculaire au plan	$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{n}$ colinéaires

5.2 Deux plans

Position	Condition
Plans parallèles	$\overrightarrow{n_1}$ et $\overrightarrow{n_2}$ colinéaires, plans distincts
Plans confondus	$\overrightarrow{n_1}$ et $\overrightarrow{n_2}$ colinéaires, même équation
Plans sécants	$\overrightarrow{n_1}$ et $\overrightarrow{n_2}$ non colinéaires

5.3 Deux droites dans l'espace

Contrairement au plan, deux droites dans l'espace peuvent être :

Sécantes : se coupent en un point
Parallèles : même direction, ne se coupent pas
Coplanaires : dans un même plan
Gauches (ou non coplanaires) : ne se coupent pas, ni parallèles, ni dans un même plan

6 Distances

6.1 Distance d'un point à un plan

Distance du point $M(x_M;y_M;z_M)$ au plan $\mathcal{P} : ax+by+cz+d=0$ :

$\boxed{d(M,\mathcal{P}) = \frac{|ax_M + by_M + cz_M + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}$

Exemple : Distance de $M(1;2;3)$ au plan $2x-y+2z-1=0$ : $d = \frac{|2\times1 - 2 + 2\times3 - 1|}{\sqrt{4+1+4}} = \frac{|2-2+6-1|}{3} = \frac{5}{3}$

6.2 Pied de la perpendiculaire (projeté orthogonal)

Pour trouver le projeté $H$ de $M$ sur le plan $\mathcal{P}$ (de normale $\overrightarrow{n}$) :

La droite $(MH)$ passe par $M$ et a pour vecteur directeur $\overrightarrow{n}$.
Paramétrer cette droite et chercher son intersection avec $\mathcal{P}$.

Pour aller plus loin

Contenu facultatif, non exigible.

(hors programme) : la sphère de centre $\Omega(a ; b ; c)$ et de rayon $R$ a pour équation $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$ ; son intersection avec un plan est un cercle, un point ou l'ensemble vide.

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Niveau 1Facile (Exercices 1 à 11)

Exercice 1—Coordonnées et normeNiveau 1

$A(1;2;3)$, $B(4;-1;5)$.
a) Calcule $\overrightarrow{AB}$.
b) Calcule $AB = \|\overrightarrow{AB}\|$.
c) Calcule le milieu de $[AB]$.

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Automatismes 3D

vecteur (arrivée − départ), norme (Pythagore 3D), milieu (moyenne).

a) $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}4-1\\-1-2\\5-3\end{pmatrix} = \boxed{\begin{pmatrix}3\\-3\\2\end{pmatrix}}$

b) $AB = \sqrt{3^2+(-3)^2+2^2} = \boxed{\sqrt{22}\approx4{,}69}$

c) $I = \boxed{\left(\tfrac52;\tfrac12;4\right)}$

Exercice 2—Produit scalaireNiveau 1

$\overrightarrow{u}=\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}$.
a) Calcule $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}$.
b) $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont-ils orthogonaux ?

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Produit scalaire

$aa'+bb'+cc'$ ; orthogonalité $\Leftrightarrow$ produit nul.

a) $\overrightarrow u\cdot\overrightarrow v = 1\times3 + 2\times(-1) + (-1)\times2 = \boxed{-1}$

b) $-1\neq0 \Rightarrow \boxed{\text{non orthogonaux}}$

Exercice 3—Équation d'un planNiveau 1

Le plan $\mathcal{P}$ a pour vecteur normal $\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$ et passe par $A(1;0;2)$. Donne l'équation cartésienne de $\mathcal{P}$.

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Plan par point + normale

$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$. $2(x-1)-1(y)+3(z-2)=0 \Rightarrow \boxed{2x-y+3z-8=0}$

Exercice 4—Point dans un planNiveau 1

Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation $x-2y+3z-5=0$.
a) Le point $A(2;1;1)$ appartient-il à $\mathcal{P}$ ?
b) Le point $B(0;0;2)$ appartient-il à $\mathcal{P}$ ?

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Appartenance

un point est dans le plan si ses coordonnées vérifient l'équation.

a) $A(2;1;1)$ : $2-2(1)+3(1)-5 = -2 \neq 0 \Rightarrow \boxed{A\notin\mathcal P}$

b) $B(0;0;2)$ : $0-0+3(2)-5 = 1 \neq 0 \Rightarrow \boxed{B\notin\mathcal P}$

Exercice 5—Droite paramétriqueNiveau 1

La droite $\Delta$ passe par $A(0;1;-2)$ avec vecteur directeur $\overrightarrow{u}=\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}$.
a) Écris la représentation paramétrique.
b) Le point $C(2;7;-4)$ appartient-il à $\Delta$ ?

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Droite paramétrique

+ test d'appartenance (même $t$ pour les trois coordonnées).

a) Représentation $\boxed{\begin{cases}x=t\\y=1+3t\\z=-2-t\end{cases}}$

b) Test $C(2;7;-4)$ : $x=2\Rightarrow t=2$ ; alors $y=1+6=7$ ✓ et $z=-2-2=-4$ ✓ $\boxed{C\in\Delta \ (\text{pour } t=2)}$

Exercice 6—Distance point-planNiveau 1

Calcule la distance du point $M(3;0;-1)$ au plan $\mathcal{P}: 2x+y-2z+1=0$.

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Distance point-plan

$d=\dfrac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$. $d = \frac{|2(3)+0-2(-1)+1|}{\sqrt{4+1+4}} = \frac{9}{3} = \boxed{3}$

Exercice 7—Coordonnées et normeNiveau 1

Soient $A(1 ; 2 ; -1)$ et $B(3 ; 0 ; 3)$. Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et la longueur $AB$.

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$\overrightarrow{AB}(2 ; -2 ; 4)$ ; $AB = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = \mathbf{2\sqrt{6}}$.

Exercice 8—Produit scalaireNiveau 1

Calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$ pour $\vec{u}(1 ; 2 ; -1)$ et $\vec{v}(3 ; 0 ; 2)$.

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$3 + 0 - 2 = \mathbf{1}$.

Exercice 9—Équation de planNiveau 1

Détermine une équation cartésienne du plan passant par $A(1 ; 0 ; 2)$ et de vecteur normal $\vec{n}(2 ; -1 ; 3)$.

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$2x - y + 3z + d = 0$ ; avec $A$ : $2 + 6 + d = 0$, $d = -8$. $\mathbf{2x - y + 3z - 8 = 0}$.

Exercice 10—AppartenanceNiveau 1

Les points $M(2 ; 1 ; 1)$ et $N(1 ; 3 ; 3)$ appartiennent-ils au plan $2x - y + 3z - 8 = 0$ ?

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$M$ : $4 - 1 + 3 - 8 = -2 \ne 0$, non. $N$ : $2 - 3 + 9 - 8 = 0$, oui.

Exercice 11—Représentation paramétriqueNiveau 1

Écris une représentation paramétrique de la droite passant par $A(1 ; 2 ; 3)$ et dirigée par $\vec{u}(2 ; -1 ; 1)$. Donne le point de paramètre $t = 2$.

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$\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + t \end{cases}$, $t \in \mathbb{R}$. Pour $t = 2$ : $\mathbf{(5 ; 0 ; 5)}$.

Niveau 2Intermédiaire (Exercices 12 à 24)

Exercice 12—Vecteur normal à un plan (3 points)Niveau 2

Le plan $\mathcal{P}$ passe par $A(1;0;0)$, $B(0;2;0)$ et $C(0;0;3)$.
a) Calcule $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
b) Trouve $\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ tel que $\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0$ et $\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0$.
c) Déduis l'équation du plan.

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Plan par 3 points

normale orthogonale à $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ (système).

a) Vecteurs : $\overrightarrow{AB}=\binom{-1}{2}_{0}$, $\overrightarrow{AC}=\binom{-1}{0}_{3}$.

b) Normale : $-a+2b=0$ et $-a+3c=0$. En prenant $a=6$ : $b=3$, $c=2$ → $\overrightarrow n=\binom63_2$.

c) Équation $6(x-1)+3y+2z=0 \Rightarrow \boxed{6x+3y+2z-6=0}$

🔍 Vérification : $\frac x1+\frac y2+\frac z3=1$ (forme « intercepts » coupant les axes en $1,2,3$) ✓

Exercice 13—Droite et plan : intersectionNiveau 2

La droite $\Delta: \begin{cases}x=1+2t\\y=3-t\\z=2t\end{cases}$ coupe-t-elle le plan $\mathcal{P}: x+y+z-4=0$ ? Si oui, trouve le point d'intersection.

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Intersection droite/plan

substituer le paramétrage dans l'équation. $(1+2t)+(3-t)+2t-4=0 \Rightarrow 3t=0 \Rightarrow t=0$ $\boxed{\text{point d'intersection } (1;3;0)} \quad (\text{vérif. } 1+3+0=4 \ \checkmark)$

Exercice 14—Plans parallèlesNiveau 2

Les plans $\mathcal{P}_1: 2x-y+3z-1=0$ et $\mathcal{P}_2: 4x-2y+6z+5=0$ sont-ils parallèles, confondus ou sécants ?

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Position de deux plans

comparer les vecteurs normaux.

Étape 1 — Normales : $\overrightarrow{n_1}=(2;-1;3)$, $\overrightarrow{n_2}=(4;-2;6)=2\,\overrightarrow{n_1}$ → colinéaires.

Étape 2 — Distinguer parallèles / confondus : $\mathcal P_2$ divisé par 2 donne $2x-y+3z+2{,}5=0$, de constante différente de $\mathcal P_1$ ($-1$). $\boxed{\text{plans parallèles (distincts)}}$

Exercice 15—Distance et projetéNiveau 2

$M(2;1;3)$, plan $\mathcal{P}: x+y+z-6=0$.
a) Calcule $d(M,\mathcal{P})$.
b) La droite passant par $M$ perpendiculairement à $\mathcal{P}$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{n}=(1;1;1)$. Écris sa représentation paramétrique.
c) Trouve le projeté $H$ de $M$ sur $\mathcal{P}$.

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Distance, perpendiculaire, projeté

— attention au cas $d=0$.

a) Distance $d(M,\mathcal P) = \frac{|2+1+3-6|}{\sqrt3} = \frac{0}{\sqrt3} = \boxed{0}$ ⚠️ $d=0$ signifie que $M$ appartient déjà au plan ($2+1+3-6=0$).

b) Perpendiculaire (vecteur directeur $\overrightarrow n=(1;1;1)$) $\begin{cases}x=2+t\\y=1+t\\z=3+t\end{cases}$

c) Projeté : puisque $M\in\mathcal P$, le projeté orthogonal est $M$ lui-même : $\boxed{H=M=(2;1;3)}$

Astuce

Vérifier la distance avant de chercher le projeté : si elle est nulle, le point est déjà sur le plan.

Exercice 16—Représentation paramétriqueNiveau 2

La droite $\Delta$ passe par $A(1 ; 2 ; -1)$ et a pour vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \ -1 \ 3 \end{pmatrix}$.
a) Écris une représentation paramétrique de $\Delta$.
b) Les points $B(5 ; 0 ; 5)$ et $C(3 ; 1 ; 1)$ appartiennent-ils à $\Delta$ ?

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a) $\Delta : \begin{cases} x = 1 + 2t \ y = 2 - t \ z = -1 + 3t \end{cases}$, $t \in \mathbb{R}$.

b) Pour $B$ : $1 + 2t = 5$ donne $t = 2$ ; alors $y = 0$ ✓ et $z = 5$ ✓ : $\boxed{B \in \Delta}$. Pour $C$ : $1 + 2t = 3$ donne $t = 1$ ; alors $y = 1$ ✓ mais $z = 2 \ne 1$ : $\boxed{C \notin \Delta}$.

Exercice 17—Droites gauchesNiveau 2

Les droites $\Delta_1$ et $\Delta_2$ sont-elles coplanaires ? $\Delta_1: \begin{cases}x=1+t\\y=2t\\z=3t\end{cases}$, $\Delta_2: \begin{cases}x=2+s\\y=1+s\\z=1+2s\end{cases}$

Pour répondre : tenter de résoudre le système. Si aucune solution → droites gauches.

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Droites gauches

ni parallèles (directeurs non colinéaires), ni sécantes (système incompatible).

Étape 1 — Directeurs : $\overrightarrow{u_1}=(1;2;3)$, $\overrightarrow{u_2}=(1;1;2)$ → non colinéaires (non parallèles).

Étape 2 — Système d'intersection : $1+t=2+s$, $2t=1+s$, $3t=1+2s$.

Des deux premières : $s=-1$, $t=0$. Test 3ᵉ : $3(0)=0$ mais $1+2(-1)=-1$ → $0\neq-1$, incompatible.

Étape 3 — Conclusion $\boxed{\Delta_1 \text{ et } \Delta_2 \text{ sont gauches (non coplanaires)}}$

Exercice 18—Plan médianNiveau 2

Le plan médiateur du segment $[AB]$ est le plan perpendiculaire à $(AB)$ passant par le milieu $I$ de $[AB]$. $A(2;0;0)$, $B(0;4;0)$.
a) Calcule le vecteur normal $\overrightarrow{AB}$ et le milieu $I$.
b) Déduis l'équation du plan médiateur.

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Plan médiateur

normale $\overrightarrow{AB}$, passant par le milieu $I$.

a) Vecteur et milieu : $\overrightarrow{AB}=(-2;4;0)$, $I=(1;2;0)$.

b) Équation $-2(x-1)+4(y-2)+0=0 \Rightarrow -2x+4y-6=0 \Rightarrow \boxed{x-2y+3=0}$

🔍 Vérification par équidistance : $MA^2=MB^2 \Rightarrow x-2y+3=0$ ✓

Exercice 19—Tétraèdre régulierNiveau 2

Un tétraèdre régulier a pour sommets $A(1;1;0)$, $B(-1;-1;0)$, $C(1;-1;2)$, $D(-1;1;2)$.
a) Calcule $AB$, $AC$, $AD$, $BC$, $BD$, $CD$. Vérifie que toutes les arêtes sont égales.
b) Calcule le centre de gravité $G$.

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Tétraèdre régulier

toutes les arêtes égales ; centre de gravité = moyenne des sommets.

a) Longueurs des arêtes

Arête	Vecteur	Longueur
$AB$	$(-2;-2;0)$	$2\sqrt2$
$AC$	$(0;-2;2)$	$2\sqrt2$
$AD$	$(-2;0;2)$	$2\sqrt2$
$BC$	$(2;0;2)$	$2\sqrt2$
$BD$	$(0;2;2)$	$2\sqrt2$
$CD$	$(-2;2;0)$	$2\sqrt2$

Toutes les arêtes valent $\boxed{2\sqrt2}$ → tétraèdre régulier ✓

b) Centre de gravité $G = \left(\tfrac{1-1+1-1}{4};\tfrac{1-1-1+1}{4};\tfrac{0+0+2+2}{4}\right) = \boxed{(0;0;1)}$

Exercice 20—Droite et planNiveau 2

Détermine l'intersection de la droite de l'exercice 11 avec le plan $x + y + z = 12$.

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$(1 + 2t) + (2 - t) + (3 + t) = 12 \iff 6 + 2t = 12 \iff t = 3$. Point d'intersection : $\mathbf{(7 ; -1 ; 6)}$.

Exercice 21—Plans perpendiculairesNiveau 2

Les plans $P : 2x - y + 3z = 0$ et $Q : x + 2y - 5 = 0$ sont-ils perpendiculaires ?

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$\vec{n}_P(2 ; -1 ; 3)$, $\vec{n}_Q(1 ; 2 ; 0)$ : $2 - 2 + 0 = 0$. Vecteurs normaux orthogonaux : oui, perpendiculaires.

Exercice 22—Distance à un planNiveau 2

Soit le plan $P : 2x + y - 2z + 4 = 0$ et $M(1 ; 1 ; 1)$. Détermine le projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $P$, puis la distance $MH$.

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$H = M + t\vec{n}$ avec $\vec{n}(2 ; 1 ; -2)$ : $H(1 + 2t ; 1 + t ; 1 - 2t)$. $H \in P$ : $2(1 + 2t) + (1 + t) - 2(1 - 2t) + 4 = 5 + 9t = 0$, $t = -\dfrac{5}{9}$. $\mathbf{H\left(-\dfrac{1}{9} ; \dfrac{4}{9} ; \dfrac{19}{9}\right)}$ et $MH = |t| \times \|\vec{n}\| = \dfrac{5}{9} \times 3 = \mathbf{\dfrac{5}{3}}$.

Exercice 23—ColinéaritéNiveau 2

Les vecteurs $\vec{u}(2 ; -4 ; 6)$ et $\vec{v}(-1 ; 2 ; -3)$ sont-ils colinéaires ?

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$\vec{u} = -2\vec{v}$ : oui, colinéaires.

Exercice 24—CoplanaritéNiveau 2

Les vecteurs $\vec{u}(1 ; 1 ; 0)$, $\vec{v}(0 ; 1 ; 1)$ et $\vec{w}(1 ; 2 ; 1)$ sont-ils coplanaires ?

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$\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$ : $\vec{w}$ s'écrit comme combinaison de $\vec{u}$ et $\vec{v}$, donc les trois vecteurs sont coplanaires.

Niveau 3Difficile/Expert (Exercices 25 à 30)

Exercice 25—Angle entre une droite et un planNiveau 3

L'angle $\alpha$ entre la droite $\Delta$ (vecteur directeur $\overrightarrow{u}$) et le plan $\mathcal{P}$ (normale $\overrightarrow{n}$) vérifie : $\sin\alpha = \frac{|\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n}|}{\|\overrightarrow{u}\|\,\|\overrightarrow{n}\|}$

$\overrightarrow{u}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$, plan $z=0$. Calcule l'angle entre $\Delta$ et le plan $xOy$.

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Angle droite/plan

$\sin\alpha=\dfrac{|\overrightarrow u\cdot\overrightarrow n|}{\|\overrightarrow u\|\,\|\overrightarrow n\|}$.

Plan $xOy$ → normale $\overrightarrow n=(0;0;1)$ ; $\overrightarrow u=(1;1;1)$ : $\sin\alpha = \frac{|1|}{\sqrt3\times1} = \frac{1}{\sqrt3} \approx 0{,}577 \Rightarrow \boxed{\alpha\approx35{,}3°}$

Exercice 26—Angle entre deux plansNiveau 3

L'angle $\theta$ entre les plans de normales $\overrightarrow{n_1}$ et $\overrightarrow{n_2}$ : $\cos\theta = \frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2}|}{\|\overrightarrow{n_1}\|\,\|\overrightarrow{n_2}\|}$

Plans $\mathcal{P}_1: x+y+z-1=0$ et $\mathcal{P}_2: x-y+0\cdot z+2=0$. Calcule l'angle entre ces plans.

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Angle entre deux plans

$\cos\theta=\dfrac{|\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2}|}{\|\overrightarrow{n_1}\|\,\|\overrightarrow{n_2}\|}$.

$\overrightarrow{n_1}=(1;1;1)$, $\overrightarrow{n_2}=(1;-1;0)$ : $\cos\theta = \frac{|1-1+0|}{\sqrt3\times\sqrt2} = \frac{0}{\sqrt6} = 0 \Rightarrow \boxed{\theta=90° \ (\text{plans perpendiculaires})}$

Exercice 27—Intersection d'une droite et d'un planNiveau 3

On considère la droite $\Delta : \begin{cases} x = 1 + t \ y = 2 - t \ z = 3t \end{cases}$ ($t \in \mathbb{R}$) et le plan $\mathcal{P} : x + y + z - 9 = 0$.
a) Montre que $\Delta$ n'est pas parallèle à $\mathcal{P}$.
b) Détermine les coordonnées du point d'intersection.

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a) $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \ -1 \ 3 \end{pmatrix}$ dirige $\Delta$ et $\vec{n}\begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{pmatrix}$ est normal à $\mathcal{P}$. $\vec{u} \cdot \vec{n} = 1 - 1 + 3 = 3 \ne 0$ : $\vec{u}$ n'est pas orthogonal à $\vec{n}$, donc $\Delta$ n'est pas parallèle à $\mathcal{P}$.

b) On remplace : $(1 + t) + (2 - t) + 3t - 9 = 0$, soit $3t - 6 = 0$, $t = 2$. Point d'intersection : $\boxed{(3 ; 0 ; 6)}$. Vérification : $3 + 0 + 6 - 9 = 0$ ✓

Exercice 28—Pyramide dans un repèreNiveau 3

La pyramide $OABC$ a $O(0;0;0)$, $A(4;0;0)$, $B(0;3;0)$, $C(0;0;5)$.
a) Calcule le volume ($V = \dfrac{1}{3} \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}$, en prenant la base $OAB$).
b) Trouve l'équation du plan $ABC$.
c) Calcule la distance de $O$ au plan $ABC$.

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Tétraèdre « coin »

volume $\frac16abc$, plan en forme « intercepts », distance.

a) Volume (arêtes $OA,OB,OC$ perpendiculaires) $V = \frac16\times4\times3\times5 = \boxed{10}$

b) Plan $ABC$ (intercepts $4,3,5$ → $\frac x4+\frac y3+\frac z5=1$, $\times60$) $\boxed{15x+20y+12z-60=0}$

c) Distance de $O$ $d(O,ABC) = \frac{|-60|}{\sqrt{15^2+20^2+12^2}} = \frac{60}{\sqrt{769}} = \boxed{\frac{60\sqrt{769}}{769}\approx2{,}16}$

🔍 Vérification : $V=\frac13\,\mathcal A(ABC)\,d$ ; avec $\mathcal A(ABC)=\frac12\sqrt{769}$, on retrouve $V=\frac13\cdot\frac{\sqrt{769}}2\cdot\frac{60}{\sqrt{769}}=10$ ✓

Exercice 29—Lieu géométriqueNiveau 3

L'ensemble des points $M(x;y;z)$ équidistants de $A(1;0;0)$ et $B(3;2;4)$ est un plan. Trouve l'équation de ce plan. (Hint : $MA=MB \Leftrightarrow MA^2=MB^2$.)

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Lieu équidistant

$MA=MB \Leftrightarrow MA^2=MB^2$ → plan médiateur.

Étape 1 — Développer $MA^2=MB^2$ $\[(x-1)^2+y^2+z^2 = (x-3)^2+(y-2)^2+(z-4)^2\]$

Étape 2 — Simplifier $-2x+1 = -6x+9-4y-8z+20 \Rightarrow 4x+4y+8z-28=0$ $\boxed{x+y+2z-7=0}$

Exercice 30—SynthèseNiveau 3

Dans le repère orthonormé, on donne $A(2;1;-1)$, $B(0;3;1)$, $C(4;0;2)$.
a) Montre que le triangle $ABC$ est un triangle particulier (calcule les longueurs).
b) Calcule le vecteur normal au plan $ABC$.
c) Écris l'équation du plan $ABC$.
d) Calcule la distance du point $O(0;0;0)$ au plan $ABC$.

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Synthèse

longueurs (nature du triangle), normale, équation, distance.

a) Longueurs $AB=\sqrt{4+4+4}=2\sqrt3, \quad AC=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}, \quad BC=\sqrt{16+9+1}=\sqrt{26}$ On remarque $AB^2+AC^2 = 12+14 = 26 = BC^2$ → $\boxed{\text{triangle rectangle en } A}$.

b) Normale ($\overrightarrow{AB}=(-2;2;2)$, $\overrightarrow{AC}=(2;-1;3)$)

Système $-2a+2b+2c=0$ et $2a-b+3c=0$ → en prenant $c=-1$ : $\overrightarrow n=\binom45_{-1}$.

🔍 $\overrightarrow n\cdot\overrightarrow{AB}=-8+10-2=0$ ✓ ; $\overrightarrow n\cdot\overrightarrow{AC}=8-5-3=0$ ✓

c) Équation $4(x-2)+5(y-1)-(z+1)=0 \Rightarrow \boxed{4x+5y-z-14=0}$

d) Distance de $O$ $d(O,ABC) = \frac{|-14|}{\sqrt{16+25+1}} = \frac{14}{\sqrt{42}} = \boxed{\frac{\sqrt{42}}{3}\approx2{,}16}$

Astuce

Le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-4-2+6=0$ confirme l'angle droit en $A$ trouvé via Pythagore.

Arête	Vecteur	Longueur
\(AB\)	\((-2;-2;0)\)	\(2\sqrt2\)
\(AC\)	\((0;-2;2)\)	\(2\sqrt2\)
\(AD\)	\((-2;0;2)\)	\(2\sqrt2\)
\(BC\)	\((2;0;2)\)	\(2\sqrt2\)
\(BD\)	\((0;2;2)\)	\(2\sqrt2\)
\(CD\)	\((-2;2;0)\)	\(2\sqrt2\)