Terminale · Examen blanc

Bac blanc — Sujet 3

Durée : 4 heures — Coefficient : 16 Calculatrice autorisée Total : 20 points

EXERCICE 1 (5 pts) — Analyse : Limites, Étude de Fonctions et Asymptotes

Soit $f(x) = \dfrac{e^x - 1}{e^x + 1}$ définie sur $\mathbb{R}$.

1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$. Interpréter graphiquement. (0,75 pt)

2. Montrer que $f$ est une fonction impaire. (0,5 pt)

3. Montrer que $f'(x) = \dfrac{2 e^x}{(e^x + 1)^2}$. (1 pt)

4. Étudier le signe de $f'$ et dresser le tableau de variations de $f$. (0,5 pt)

5. Montrer que $f''(x) = \dfrac{2 e^x (1 - e^x)}{(1 + e^x)^3}$. En déduire le point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$. (1 pt)

6. Écrire l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $x = 0$. (0,5 pt)

7. Calculer $\displaystyle\int_0^{\ln 3} f(x)\,\mathrm{d}x$ en remarquant que $f(x) = 1 - \dfrac{2}{e^x + 1}$. (0,75 pt)

EXERCICE 2 (5 pts) — Suites et Équations Différentielles

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A — Suite et modèle démographique

Une population est modélisée par la suite $(P_n)$ où $P_n$ est la population (en milliers) l'année $n$ (avec $n = 0$ pour l'année 2020). On pose : $P_{n+1} = 1{,}04\,P_n - 2$

1.a. Interpréter dans le contexte les coefficients $1{,}04$ et $2$. (0,5 pt)

1.b. Déterminer le point fixe $\ell$ de cette suite. (0,5 pt)

1.c. Montrer que la suite $(Q_n)$ définie par $Q_n = P_n - \ell$ est géométrique. Donner sa raison. (0,5 pt)

1.d. Sachant que $P_0 = 40$, exprimer $P_n$ en fonction de $n$. (0,5 pt)

1.e. La population finira-t-elle par s'éteindre ? Justifier et indiquer à partir de quelle année. (0,5 pt)

Partie B — Croissance logistique

On considère l'équation différentielle $(E) : y'(t) = 0{,}3\,y(t)\left(1 - \dfrac{y(t)}{100}\right)$ avec $y(0) = 5$.

2.a. Montrer que si $y$ est solution de $(E)$ et ne s'annule pas, alors $z = \dfrac{1}{y}$ vérifie : $z' = -0{,}3\,z + 0{,}003$. (0,75 pt)

2.b. On admet que la solution est $y(t) = \dfrac{100}{1 + 19\,e^{-0{,}3 t}}$. Vérifier que $y(0) = 5$. (0,25 pt)

2.c. Calculer $\displaystyle\lim_{t \to +\infty} y(t)$ et interpréter. (0,5 pt)

EXERCICE 3 (5 pts) — Probabilités : loi binomiale et concentration

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Un fabricant produit des batteries pour vélos électriques.

Partie A — Batteries défectueuses

On admet que $4\,\%$ des batteries produites sont défectueuses. On prélève au hasard un lot de $30$ batteries ; la production est assez importante pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On note $X$ le nombre de batteries défectueuses du lot.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. (0,5 pt)

2. Calculer la probabilité qu'aucune batterie du lot ne soit défectueuse. Arrondir au millième. (0,5 pt)

3. Calculer $P(X \leq 2)$. Arrondir au millième. (0,75 pt)

4. Calculer $E(X)$ et $V(X)$. Interpréter $E(X)$. (0,5 pt)

Partie B — Le contrôle

Chaque batterie passe un test. Une batterie défectueuse est signalée par le test dans $95\,\%$ des cas ; une batterie sans défaut est signalée (à tort) dans $2\,\%$ des cas. On note $D$ : « la batterie est défectueuse » et $S$ : « la batterie est signalée ».

5. Construire un arbre pondéré et calculer $P(S)$. (0,75 pt)

6. Une batterie est signalée. Quelle est la probabilité qu'elle soit réellement défectueuse ? Arrondir au centième. (0,5 pt)

Partie C — Durée de vie moyenne

La durée de vie d'une batterie (en années) est une variable aléatoire d'espérance $10$ et de variance $4$. On teste $n$ batteries dont les durées de vie $X_1, \dots, X_n$ sont indépendantes et suivent toutes cette loi. On note $M_n = \dfrac{X_1 + \dots + X_n}{n}$ la durée de vie moyenne de l'échantillon.

7. Donner $E(M_n)$ et $V(M_n)$ en fonction de $n$. (0,5 pt)

8. À l'aide de l'inégalité de concentration, majorer $P(|M_n - 10| \geq 0{,}5)$ pour $n = 100$. (0,5 pt)

9. Quelle taille d'échantillon garantit, par cette inégalité, que $P(|M_n - 10| \geq 0{,}5) \leq 0{,}05$ ? (0,5 pt)

EXERCICE 4 (5 pts) — Géométrie, Droites et Plans

Dans le repère orthonormé $(O\,;\,\vec{i},\,\vec{j},\,\vec{k})$, on considère les points : $A(1\,;\,-1\,;\,2)\,,\,B(3\,;\,1\,;\,2)\,,\,C(1\,;\,3\,;\,4)\,,\,D(-1\,;\,1\,;\,4)$

1. Calculer $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{DC}$ et $\overrightarrow{AD}$. Montrer que $ABCD$ est un parallélogramme. (1 pt)

2. Calculer $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}$. $ABCD$ est-il un rectangle ? (0,75 pt)

3. Calculer les longueurs $AB$ et $AD$. $ABCD$ est-il un losange ? (0,5 pt)

4. Montrer que le vecteur $\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \ -1 \ 2 \end{pmatrix}$ est normal au plan $(ABCD)$. (0,75 pt)

5. Déterminer l'équation cartésienne du plan $(ABCD)$. (0,5 pt)

6. La droite $\Delta$ passant par $E(2\,;\,1\,;\,5)$ et de vecteur directeur $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ est-elle parallèle au plan $(ABCD)$ ? (0,5 pt)

7. Si $\Delta$ coupe le plan, déterminer les coordonnées du point d'intersection. (0,5 pt)

BARÈME INDICATIF

Exercice	Points
Exercice 1	5
Exercice 2	5
Exercice 3	5
Exercice 4	5
Total	20

Corrigé Exercice 1

Méthode

étude complète d'une fonction — limites (→ asymptotes horizontales), parité, dérivée par la formule du quotient, variations, convexité via $f''$ (→ point d'inflexion), tangente. L'intégrale se calcule en exploitant la forme simplifiée $f(x) = 1 - \dfrac{2}{e^x+1}$ suggérée par l'énoncé.

Question 1 — Limites et asymptotes

▸ Limite en $+\infty$

On factorise $e^x$ au numérateur et au dénominateur : $f(x) = \dfrac{e^x(1 - e^{-x})}{e^x(1 + e^{-x})} = \dfrac{1 - e^{-x}}{1 + e^{-x}}$

Quand $x \to +\infty$, $e^{-x} \to 0$, donc $f(x) \to \dfrac{1 - 0}{1 + 0} = \mathbf{1}$.

▸ Limite en $-\infty$

Quand $x \to -\infty$, $e^x \to 0$, donc $f(x) = \dfrac{e^x - 1}{e^x + 1} \to \dfrac{0 - 1}{0 + 1} = \mathbf{-1}$.

💡 Interprétation graphique : $\mathcal{C}_f$ admet deux asymptotes horizontales : $y = 1$ en $+\infty$ et $y = -1$ en $-\infty$.

Question 2 — Parité (imparité)

$f(-x) = \dfrac{e^{-x} - 1}{e^{-x} + 1} = \dfrac{\frac{1 - e^x}{e^x}}{\frac{1 + e^x}{e^x}} = \dfrac{1 - e^x}{1 + e^x} = -\dfrac{e^x - 1}{e^x + 1} = -f(x)$

→ $f$ est impaire ✓. Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.

Question 3 — Calcul de $f'(x)$

Avec $u(x) = e^x - 1$ ($u' = e^x$) et $v(x) = e^x + 1$ ($v' = e^x$), formule du quotient : $f'(x) = \dfrac{u' v - u v'}{v^2} = \dfrac{e^x(e^x + 1) - (e^x - 1) e^x}{(e^x + 1)^2}$ $= \dfrac{e^x [(e^x + 1) - (e^x - 1)]}{(e^x + 1)^2} = \dfrac{e^x \times 2}{(e^x + 1)^2} = \boxed{\dfrac{2 e^x}{(e^x + 1)^2}}$

Question 4 — Signe de $f'$ et variations

$e^x > 0$ et $(e^x + 1)^2 > 0$, donc $f'(x) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

$f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, de $-1$ vers $1$ (asymptotes horizontales).

$x$	$-\infty$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$
$f(x)$	$-1$	↗︎	$1$

Question 5 — Dérivée seconde et point d'inflexion

▸ Calcul de $f''(x)$

$f'(x) = 2 e^x (1 + e^x)^{-2}$. Avec la dérivée d'un produit : $f''(x) = 2 e^x (1 + e^x)^{-2} + 2 e^x \times (-2)(1 + e^x)^{-3} \times e^x$ $= \dfrac{2 e^x}{(1 + e^x)^2} - \dfrac{4 e^{2x}}{(1 + e^x)^3} = \dfrac{2 e^x (1 + e^x) - 4 e^{2x}}{(1 + e^x)^3}$ $= \dfrac{2 e^x + 2 e^{2x} - 4 e^{2x}}{(1 + e^x)^3} = \boxed{\dfrac{2 e^x (1 - e^x)}{(1 + e^x)^3}}$

▸ Point d'inflexion

$f''(x) = 0 \Leftrightarrow 1 - e^x = 0 \Leftrightarrow x = 0$.

$f''$ change bien de signe en $x = 0$ (positif avant, négatif après), donc point d'inflexion en $(0\,;\,f(0)) = (0\,;\,0)$.

Question 6 — Tangente en $x = 0$

$f(0) = \dfrac{1 - 1}{1 + 1} = 0$ et $f'(0) = \dfrac{2 \times 1}{(1 + 1)^2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$.

Équation : $\mathbf{y = \dfrac{1}{2} x}$.

Question 7 — Calcul de l'intégrale

En utilisant la forme suggérée $f(x) = 1 - \dfrac{2}{e^x + 1}$ : $\int_0^{\ln 3} f(x)\,\mathrm{d}x = \int_0^{\ln 3} 1\,\mathrm{d}x - 2 \int_0^{\ln 3} \dfrac{1}{e^x + 1}\,\mathrm{d}x$

Or $\dfrac{1}{e^x + 1} = \dfrac{e^{-x}}{1 + e^{-x}}$, dont une primitive est $-\ln(1 + e^{-x})$. Mais on peut aussi remarquer que : $\int \dfrac{1}{e^x + 1}\,\mathrm{d}x = \int \dfrac{e^x + 1 - e^x}{e^x + 1}\,\mathrm{d}x = \int 1\,\mathrm{d}x - \int \dfrac{e^x}{e^x + 1}\,\mathrm{d}x = x - \ln(e^x + 1)$

Donc : $\int_0^{\ln 3} f(x)\,\mathrm{d}x = [x]_0^{\ln 3} - 2\big[x - \ln(e^x + 1)\big]_0^{\ln 3}$ $= \ln 3 - 2\big[(\ln 3 - \ln 4) - (0 - \ln 2)\big] = \ln 3 - 2\ln 3 + 2 \ln 4 - 2 \ln 2$ $= -\ln 3 + 2 \ln 4 - 2 \ln 2 = -\ln 3 + \ln 16 - \ln 4 = \ln\!\dfrac{16}{12} = \mathbf{\ln\!\dfrac{4}{3}}$

Corrigé Exercice 2

Méthode

Partie A — suite arithmético-géométrique : on cherche le point fixe $\ell$, puis la suite auxiliaire $Q_n = P_n - \ell$ est géométrique. Partie B — modèle de croissance logistique : le changement de variable $z = \frac1y$ transforme l'équation en une équation différentielle linéaire.

Partie A

Question 1.a — Interprétation des coefficients

Le facteur $1{,}04$ représente la croissance naturelle de $4\%$ (différence natalité/mortalité).
La soustraction de $2$ représente une émigration nette de $2\,000$ personnes par an.

Question 1.b — Point fixe

$\ell$ vérifie $\ell = 1{,}04\,\ell - 2$, soit $0{,}04\,\ell = 2$, donc $\mathbf{\ell = 50}$ (milliers).

Question 1.c — $(Q_n)$ est géométrique

$Q_{n+1} = P_{n+1} - 50 = 1{,}04\,P_n - 2 - 50 = 1{,}04\,P_n - 52$ $= 1{,}04\,(P_n - 50) = 1{,}04\,Q_n$

$(Q_n)$ est géométrique de raison $q = 1{,}04$.

Question 1.d — Expression de $P_n$

$Q_0 = P_0 - 50 = 40 - 50 = -10$.

$Q_n = -10 \times (1{,}04)^n$, donc : $\boxed{P_n = 50 - 10 \times (1{,}04)^n}$

Question 1.e — Extinction

Comme $1{,}04 > 1$, $(1{,}04)^n \to +\infty$, donc $Q_n \to -\infty$ et $P_n \to -\infty$.

→ La population s'éteindra.

On cherche le plus petit $n$ tel que $P_n \leq 0$ : $50 - 10 \times (1{,}04)^n \leq 0 \Leftrightarrow (1{,}04)^n \geq 5$ $n \geq \dfrac{\ln 5}{\ln 1{,}04} \approx \dfrac{1{,}609}{0{,}0392} \approx 41{,}03$

Donc $n = 42$ → la population s'éteint vers l'année 2062.

Piège de modélisation

$P_n \to -\infty$ mathématiquement, mais une population ne peut pas être négative. Le modèle n'est valable que jusqu'à l'année où $P_n$ atteint $0$ (extinction). Au-delà, l'égalité $P_n < 0$ n'a pas de sens concret.

Partie B

Question 2.a — Changement de variable

Soit $z(t) = \dfrac{1}{y(t)}$. Alors $z'(t) = -\dfrac{y'(t)}{y(t)^2}$.

On a $y'(t) = 0{,}3\,y\left(1 - \dfrac{y}{100}\right) = 0{,}3\,y - 0{,}003\,y^2$.

$z'(t) = -\dfrac{0{,}3\,y - 0{,}003\,y^2}{y^2} = -\dfrac{0{,}3}{y} + 0{,}003 = -0{,}3\,z + 0{,}003 \quad \square$

C'est une équation linéaire du premier ordre.

Question 2.b — Vérification de la condition initiale

$y(0) = \dfrac{100}{1 + 19 \times e^0} = \dfrac{100}{1 + 19} = \dfrac{100}{20} = \mathbf{5} \text{ ✓}$

Question 2.c — Limite

$\lim_{t \to +\infty} y(t) = \dfrac{100}{1 + 19 \times 0} = \dfrac{100}{1} = \mathbf{100}$

💡 Interprétation : la population converge vers la capacité de charge $K = 100$ (saturation du milieu).

Corrigé Exercice 3

Méthode

Partie A — répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes → loi binomiale ; « au plus » se calcule en additionnant les premières valeurs. Partie B — arbre pondéré, probabilités totales, puis probabilité « remontée ». Partie C — moyenne d'un échantillon : $E(M_n) = \mu$, $V(M_n) = \dfrac{\sigma^2}{n}$, puis inégalité de concentration $P(|M_n - \mu| \geq \delta) \leq \dfrac{V(X)}{n\,\delta^2}$.

Partie A

Question 1 — Loi de $X$

On répète $30$ fois, de façon identique et indépendante, une épreuve à deux issues : « défectueuse » (succès, $p = 0{,}04$) ou non. $X$ compte les succès : $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(30\,;\,0{,}04)$.

Question 2 — Aucune batterie défectueuse

$P(X = 0) = 0{,}96^{30} \approx \mathbf{0{,}294}$

Question 3 — $P(X \leq 2)$

$P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$ $= 0{,}96^{30} + 30 \times 0{,}04 \times 0{,}96^{29} + \binom{30}{2} \times 0{,}04^2 \times 0{,}96^{28} \approx \mathbf{0{,}883}$

(à la calculatrice : $0{,}294 + 0{,}367 + 0{,}222$, en arrondissant chaque terme)

Question 4 — Espérance et variance

$E(X) = 30 \times 0{,}04 = \mathbf{1{,}2} \qquad V(X) = 30 \times 0{,}04 \times 0{,}96 = \mathbf{1{,}152}$

💡 Interprétation : sur un grand nombre de lots de $30$ batteries, il y a en moyenne $1{,}2$ batterie défectueuse par lot.

Partie B

Question 5 — Arbre et $P(S)$

Premier niveau : $D$ ($0{,}04$), $\overline{D}$ ($0{,}96$). Second niveau : $P_D(S) = 0{,}95$ et $P_{\overline{D}}(S) = 0{,}02$.

D'après la formule des probabilités totales : $P(S) = 0{,}04 \times 0{,}95 + 0{,}96 \times 0{,}02 = 0{,}038 + 0{,}0192 = \mathbf{0{,}0572}$

Question 6 — $P_S(D)$

$P_S(D) = \dfrac{P(D \cap S)}{P(S)} = \dfrac{0{,}038}{0{,}0572} \approx \mathbf{0{,}66}$

Piège

Ne pas confondre $P_D(S) = 0{,}95$ (le test détecte une batterie défectueuse) et $P_S(D) \approx 0{,}66$ (une batterie signalée est défectueuse). Environ un tiers des batteries signalées sont en réalité bonnes.

Partie C

Question 7 — Espérance et variance de $M_n$

Par linéarité de l'espérance et indépendance des $X_i$ : $E(M_n) = \mathbf{10} \qquad V(M_n) = \dfrac{1}{n^2} \times n \times 4 = \mathbf{\dfrac{4}{n}}$

Question 8 — Majoration pour $n = 100$

$P(|M_{100} - 10| \geq 0{,}5) \leq \dfrac{V(X)}{n \times 0{,}5^2} = \dfrac{4}{100 \times 0{,}25} = \mathbf{0{,}16}$

Question 9 — Taille d'échantillon

On veut $\dfrac{4}{n \times 0{,}25} \leq 0{,}05$, soit $\dfrac{16}{n} \leq 0{,}05$, soit $n \geq \dfrac{16}{0{,}05} = 320$. Il suffit de tester au moins $320$ batteries.

🔍 Vérification : $\dfrac{16}{320} = 0{,}05$ ✓

Corrigé Exercice 4

Méthode

déterminer la nature d'un quadrilatère par les vecteurs — $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ (parallélogramme), produit scalaire nul (rectangle), longueurs égales (losange). Puis un vecteur orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan est normal au plan → équation cartésienne ; enfin parallélisme/intersection droite-plan via $\vec u \cdot \vec n$ et un paramétrage.

Question 1 — Vecteurs et parallélogramme

$\overrightarrow{AB} = B - A = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\,;\,\overrightarrow{DC} = C - D = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\,;\,\overrightarrow{AD} = D - A = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$

Comme $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ → $ABCD$ est un parallélogramme.

Question 2 — Produit scalaire et rectangle ?

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 2 \times (-2) + 2 \times 2 + 0 \times 2 = -4 + 4 + 0 = 0$

→ $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AD}$, donc $ABCD$ est un rectangle ✓.

Question 3 — Longueurs et losange ?

$AB = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{4 + 4 + 0} = 2\sqrt{2}$ $AD = \|\overrightarrow{AD}\| = \sqrt{4 + 4 + 4} = 2\sqrt{3}$

$AB \neq AD$, donc $ABCD$ n'est pas un losange (ni un carré). C'est un rectangle (côtés inégaux).

Question 4 — Vecteur normal

$\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ ne sont pas colinéaires (leurs troisièmes coordonnées sont $0$ et $2$, alors que les premières ne sont pas nulles). On calcule : $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 1 \times 2 + (-1) \times 2 + 2 \times 0 = 0 \qquad \vec{n} \cdot \overrightarrow{AD} = 1 \times (-2) + (-1) \times 2 + 2 \times 2 = 0$

$\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan : il est normal au plan $(ABCD)$.

Question 5 — Équation cartésienne

Plan de vecteur normal $\vec{n}$ passant par $A(1\,;\,-1\,;\,2)$ : $1 \times (x - 1) + (-1)(y - (-1)) + 2(z - 2) = 0$ $\[x - 1 - y - 1 + 2z - 4 = 0\]$ $\boxed{x - y + 2z - 6 = 0}$

🔍 Vérification : $B(3\,;\,1\,;\,2)$ → $3 - 1 + 4 - 6 = 0$ ✓ ; $C(1\,;\,3\,;\,4)$ → $1 - 3 + 8 - 6 = 0$ ✓.

Question 6 — $\Delta$ parallèle au plan ?

Vecteur directeur de $\Delta$ : $\vec{u} = (1\,;\,0\,;\,-1)$.

$\vec{u} \cdot \vec{n} = 1 \times 1 + 0 \times (-1) + (-1) \times 2 = 1 - 2 = -1 \neq 0$

$\vec{u}$ n'est pas orthogonal à $\vec{n}$ → la droite n'est pas parallèle au plan ; elle le coupe.

Question 7 — Point d'intersection

Représentation paramétrique de $\Delta$ : $\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 \\ z = 5 - t \end{cases}\,,\,t \in \mathbb{R}$.

On substitue dans l'équation du plan : $\[(2 + t) - 1 + 2(5 - t) - 6 = 0\]$ $\[2 + t - 1 + 10 - 2t - 6 = 0\]$ $5 - t = 0 \Leftrightarrow t = 5$

Point d'intersection : $x = 2 + 5 = 7$, $y = 1$, $z = 5 - 5 = 0$.

$\boxed{I(7\,;\,1\,;\,0)}$

Conseils pour le Baccalauréat — Spécialité Mathématiques

Pour l'analyse :

Toujours vérifier le domaine de définition avant de commencer
Pour les limites : identifier la forme indéterminée ($\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, etc.) avant d'appliquer la méthode
Les tableaux de variations doivent mentionner les limites aux bornes

Pour les probabilités :

Bien identifier la loi (binomiale : épreuves identiques et indépendantes à deux issues) et ses paramètres
« Au moins un » : passer par l'événement contraire
Probabilités conditionnelles : toujours faire l'arbre AVANT d'appliquer la formule
Moyenne d'un échantillon : $V(M_n) = \dfrac{V(X)}{n}$, puis inégalité de concentration

Pour la géométrie :

Un vecteur orthogonal à deux vecteurs non colinéaires d'un plan est normal à ce plan
Distance d'un point à un plan : passer par le projeté orthogonal (droite orthogonale au plan, puis intersection)
Volume d'une pyramide : $V = \dfrac{1}{3} \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}$

Pour les suites :

Suite arithmético-géométrique : trouver le point fixe, poser $v_n = u_n - \ell$
Convergence : monotone + bornée → converge → la limite est un point fixe

Gestion du temps (4 heures) :

15 min : lire tout le sujet et identifier les parties accessibles
45 min par exercice en moyenne
Garder 15 min pour relire et vérifier les résultats numériques
Ne pas rester bloqué : passer à la question suivante et revenir

Bon courage à tous les candidats !

\(x\)	\(-\infty\)		\(+\infty\)
\(f'(x)\)		\(+\)
\(f(x)\)	\(-1\)	↗︎	\(1\)