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3e · Chapitre 6 · Géométrie

Le théorème de Pythagore

30 exercices corrigés

1 Rappel : le théorème de Pythagore

A B C 16 9 25 Triangle rectangle en C : AB² = AC² + BC² 25 = 16 + 9
Dans un triangle rectangle, l'aire du carré construit sur l'hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés construits sur les deux autres côtés.
Théorème de Pythagore

Si le triangle \(ABC\) est rectangle en \(C\), alors \[AB^2 = AC^2 + BC^2\] L'hypoténuse \([AB]\) est le côté opposé à l'angle droit ; c'est le plus long côté.

Méthode — calculer une longueur
  • on cherche l'hypoténuse : on additionne les carrés, \(AB^2 = 6^2 + 8^2 = 100\), donc \(AB = \sqrt{100} = 10\) ;
  • on cherche un côté de l'angle droit : on soustrait, \(AC^2 = AB^2 - BC^2\).
Attention

On écrit toujours l'égalité de Pythagore avec l'hypoténuse seule d'un côté, puis on remplace.

2 Démontrer qu'un triangle est rectangle… ou pas

On calcule séparément le carré du plus grand côté et la somme des carrés des deux autres.

Réciproque

Si \(AB^2 = AC^2 + BC^2\), alors le triangle \(ABC\) est rectangle en \(C\).

Contraposée

Si \(AB^2 \ne AC^2 + BC^2\) (avec \([AB]\) le plus grand côté), alors le triangle \(ABC\) n'est pas rectangle.

Exemple

\(EF = 9\), \(FG = 12\), \(EG = 15\). Le plus grand côté est \([EG]\) : \(EG^2 = 225\) et \(EF^2 + FG^2 = 81 + 144 = 225\). Les deux résultats sont égaux : \(EFG\) est rectangle en \(F\).

Les triplets à connaître

\((3 ; 4 ; 5)\), \((5 ; 12 ; 13)\), \((8 ; 15 ; 17)\) et leurs multiples comme \((6 ; 8 ; 10)\).

3 Pythagore dans les figures

Le théorème s'utilise dès qu'on repère un triangle rectangle caché dans une figure :

  • la diagonale d'un rectangle ;
  • la hauteur d'un triangle isocèle (elle coupe la base en son milieu) ;
  • le côté d'un losange (ses diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu).
Triangle rectangle et cercle

Si un triangle est rectangle, son hypoténuse est un diamètre de son cercle circonscrit. Le centre du cercle est le milieu de l'hypoténuse.

4 Pythagore dans l'espace

Dans un solide, on applique le théorème dans un plan qui contient un triangle rectangle. Souvent, il faut l'appliquer deux fois.

Exemple — la diagonale d'un pavé

De dimensions \(3\), \(4\) et \(12\) cm :

  • diagonale de la base : \(d_1^2 = 3^2 + 4^2 = 25\), donc \(d_1 = 5\) cm ;
  • grande diagonale : \(D^2 = d_1^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\), donc \(D = 13\) cm.
Pour aller plus loin

Contenu facultatif, non exigible.

En 2de, le théorème de Pythagore donnera une formule pour calculer la distance entre deux points à partir de leurs coordonnées dans un repère.

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