Géométrie dans l'espace

a) Cube de côté 5 cm

\[V = 5^3 = \mathbf{125 \text{ cm}^3}\]

b) Pavé \(6 \times 4 \times 3\)

\[V = 6 \times 4 \times 3 = \mathbf{72 \text{ cm}^3}\]

c) Boule de rayon 3 cm

\[V = \dfrac{4}{3}\pi \times 3^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 27 = 36\pi \approx \mathbf{113{,}1 \text{ cm}^3}\]

a) Volume

\[V = \pi \times 4^2 \times 10 = \pi \times 16 \times 10 = 160\pi \approx \mathbf{502{,}7 \text{ cm}^3}\]

b) Surface totale

Surface latérale + 2 disques : \[S = \underbrace{2\pi \times 4 \times 10}_{\text{latérale} = 80\pi} + \underbrace{2 \times \pi \times 4^2}_{\text{2 disques} = 32\pi} = 112\pi \approx \mathbf{351{,}9 \text{ cm}^2}\]

a) La hauteur, le rayon et la génératrice forment un triangle rectangle : \[g^2 = 3^2 + 4^2 = 25 \qquad g = \mathbf{5 \text{ cm}}\]

b) \(V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 4 = \mathbf{12\pi} \approx \mathbf{37{,}7 \text{ cm}^3}\).

c)

• Hauteur doublée : \(\dfrac{1}{3} \times \pi \times 9 \times 8 = 24\pi\) : le volume est multiplié par \(2\).
• Rayon doublé : \(\dfrac{1}{3} \times \pi \times 6^2 \times 4 = 48\pi\) : le volume est multiplié par \(4\) (car le rayon est au carré).

a) Base carrée de côté 6

\(\mathcal B = 36\) cm² : \[V = \dfrac{1}{3} \times 36 \times 8 = \mathbf{96 \text{ cm}^3}\]

b) Base rectangulaire \(4 \times 3\)

\(\mathcal B = 12\) cm² : \[V = \dfrac{1}{3} \times 12 \times 8 = \mathbf{32 \text{ cm}^3}\]

🔍 Cohérence : la base passe de 36 à 12 cm² (÷ 3), donc le volume aussi (96 → 32). ✓

Étape 1 — Surface latérale (rectangle)

Quand on déroule le cylindre, la surface latérale devient un rectangle :

• Largeur = circonférence de la base = \(2\pi r = 2\pi \times 2 = 4\pi \approx 12{,}57\) cm
• Hauteur = hauteur du cylindre = 5 cm

Étape 2 — Les deux bases (disques)

Deux disques de rayon 2 cm (haut et bas).

Conclusion : le patron = un rectangle (\(4\pi \times 5\)) + deux disques de rayon 2 cm.

a) \(1 \text{ m}^3\) en cm³

\[1 \text{ m}^3 = (100 \text{ cm})^3 = 100^3 = \mathbf{1\,000\,000 \text{ cm}^3}\]

b) \(500 \text{ cm}^3\) en litres

\[500 \text{ cm}^3 = \dfrac{500}{1\,000} = \mathbf{0{,}5 \text{ L}}\]

🎯 \(V_\text{boule} = \dfrac{4}{3}\pi r^3\).

\(V = \dfrac{4}{3}\pi \times 27 = 36\pi \approx \mathbf{113{,}1}\) cm³.

\(A = 4\pi r^2 = 100\pi \approx \mathbf{314{,}2}\) cm².

\(V = \pi \times 4^2 \times 10 = 160\pi \approx \mathbf{502{,}7}\) cm³.

a) \(1\) m³ \(= 1\,000\) L : \(\mathbf{2\,500}\) L. b) \(1\) L \(= 1\,000\) cm³ : \(\mathbf{0{,}75}\) L.

Les volumes sont multipliés par \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}\) : \(\dfrac{240}{8} = \mathbf{30}\) cm³.

Étape 1 — Hauteur

\[h = \sqrt{g^2 - r^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = \mathbf{12 \text{ cm}}\]

Étape 2 — Volume

\[V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h = \dfrac{1}{3}\pi \times 25 \times 12 = 100\pi \approx \mathbf{314{,}2 \text{ cm}^3}\]

🔍 Triplet : \((5, 12, 13)\). ✓

Étape 1 — Volume du cylindre

\[V_1 = \pi r^2 h = \pi \times 9 \times 8 = 72\pi \text{ cm}^3\]

Étape 2 — Volume de l'hémisphère

Demi-boule de rayon 3 : \[V_2 = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{2}{3}\pi \times 27 = 18\pi \text{ cm}^3\]

Étape 3 — Volume total

\[V = 72\pi + 18\pi = 90\pi \approx \mathbf{282{,}7 \text{ cm}^3}\]

Étape 1 — Convertir le rayon en mètres

\(R = 30 \text{ cm} = 0{,}3 \text{ m}\).

Étape 2 — Surface de la sphère

\[S = 4\pi R^2 = 4\pi \times 0{,}3^2 = 4\pi \times 0{,}09 = 0{,}36\pi \approx 1{,}131 \text{ m}^2\]

Étape 3 — Coût

\[\text{Coût} = 1{,}131 \times 5 \approx \mathbf{5{,}65 \text{ €}}\]

Étape 1 — Rapport d'homothétie

\[k = \dfrac{\text{distance sommet-section}}{\text{hauteur totale}} = \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3}\]

Étape 2 — Côté de la section

\[\text{côté} = k \times \text{côté base} = \dfrac{1}{3} \times 10 = \dfrac{10}{3} \approx \mathbf{3{,}33 \text{ cm}}\]

Étape 1 — Convertir en mètres

\(r = 50 \text{ cm} = 0{,}5 \text{ m}\) ; longueur \(\ell = 2\) m.

Étape 2 — Demi-volume

\[V = \dfrac{1}{2}\pi r^2 \ell = \dfrac{1}{2}\pi \times 0{,}25 \times 2 = \dfrac{\pi}{4} \approx 0{,}785 \text{ m}^3\]

Étape 3 — Conversion en litres

\[0{,}785 \text{ m}^3 = 0{,}785 \times 1\,000 = \mathbf{785 \text{ litres}}\]

🔍 Cohérence : \(1 \text{ m}^3 = 1\,000\) L, donc \(0{,}785 \text{ m}^3 = 785\) L ✓

a) \(40 \times 50 = 2\,000\) cm \(= \mathbf{20}\) m.

b) Aires multipliées par \(k^2 = 2\,500\) : \(12 \times 2\,500 = 30\,000\) cm² \(= \mathbf{3}\) m².

c) Volumes multipliés par \(k^3 = 125\,000\) : \(300 \times 125\,000 = 37\,500\,000\) cm³ \(= \mathbf{37{,}5}\) m³.

Étape 1 — Équation de conservation

\[3 \times \dfrac{4}{3}\pi (2)^3 = \dfrac{4}{3}\pi R^3\]

Étape 2 — Simplifier (\(\dfrac{4}{3}\pi\) commun)

\[3 \times 2^3 = R^3\] \[3 \times 8 = R^3 \quad\Rightarrow\quad R^3 = 24\]

Étape 3 — Racine cubique

\[R = \sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8 \times 3} = 2\sqrt[3]{3} \approx \mathbf{2{,}88 \text{ cm}}\]

🔍 Cohérence : \(R \approx 2{,}88\) cm \(>\) 2 cm (rayon des petites) mais \(< 3 \times 2 = 6\) cm — logique pour une fusion de 3 boules.

a) La section d'une sphère par un plan est un cercle.

b) En notant \(H\) le centre de la section et \(M\) un point du cercle, le triangle \(OHM\) est rectangle en \(H\), avec \(OM = 10\) et \(OH = 6\) : \[r^2 = HM^2 = 10^2 - 6^2 = 64 \qquad r = \mathbf{8 \text{ cm}}\]

c) \(\pi \times 8^2 = 64\pi \approx \mathbf{201 \text{ cm}^2}\).

a) un carré identique à la face ; b) un disque de même rayon ; c) un rectangle.

Le centre, le centre de la section et un point du cercle forment un triangle rectangle : \(r^2 = 13^2 - 5^2 = 144\), \(r = \mathbf{12}\) cm.

Avant : \(2^3 = 8\) cm³ ; après : \(6^3 = 216\) cm³. Le volume est multiplié par \(3^3 = \mathbf{27}\).

Cône : \(\dfrac{\pi \times 9 \times 10}{3} = 30\pi\). Demi-boule : \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3}\pi \times 27 = 18\pi\). Total : \(48\pi \approx \mathbf{150{,}8}\) cm³.

Balles : \(3 \times \dfrac{4}{3}\pi \times 3{,}3^3 = 4\pi \times 3{,}3^3\). Boîte : \(\pi \times 3{,}3^2 \times 19{,}8\). Rapport : \(\dfrac{4 \times 3{,}3}{19{,}8} = \dfrac{13{,}2}{19{,}8} = \mathbf{\dfrac{2}{3}}\).

a) Le centre \(O\) est sur l'axe du cône. Le sommet \(S\) est sur la sphère, donc \(SO = R\). Le centre \(H\) de la base est sur l'axe, à la distance \(h\) de \(S\) : \(OH = SH - SO = h - R\).

b) Soit \(M\) un point du cercle de base : \(M\) est sur la sphère, donc \(OM = R\), et le triangle \(OHM\) est rectangle en \(H\) : \[R^2 = (h - R)^2 + r^2 = h^2 - 2Rh + R^2 + r^2\] En soustrayant \(R^2\) : \(0 = h^2 - 2Rh + r^2\), donc \(\mathbf{r^2 = 2Rh - h^2}\).

c) \(r^2 = 2 \times 5 \times 8 - 8^2 = 80 - 64 = 16\), donc \(r = \mathbf{4}\) cm. \[V = \frac{1}{3} \times \pi \times 4^2 \times 8 = \frac{128\pi}{3} \approx \mathbf{134 \text{ cm}^3}\]

🔍 Vérification : \(OH = 3\), et \(3^2 + 4^2 = 25 = 5^2\) ✓

Étape 1 — Volume du cube

\[V_{\text{cube}} = (2R)^3 = 8R^3\]

Étape 2 — Volume de la boule

\[V_{\text{boule}} = \dfrac{4}{3}\pi R^3\]

Étape 3 — Rapport

\[\dfrac{V_{\text{boule}}}{V_{\text{cube}}} = \dfrac{\frac{4}{3}\pi R^3}{8R^3} = \dfrac{4\pi}{24} = \dfrac{\pi}{6} \approx \mathbf{0{,}524}\]

➡️ La boule occupe environ 52,4 % du cube.

Étape 1 — Volume de la boule (= volume d'eau déplacé)

\[V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 27 = 36\pi \text{ cm}^3\]

Étape 2 — Hausse de niveau

Ce volume se répartit dans le cylindre de rayon 5 (aire de base \(\pi r^2 = 25\pi\)). La hausse \(\Delta h\) vérifie : \(\pi r^2 \times \Delta h = V\). \[\Delta h = \dfrac{V}{\pi r^2} = \dfrac{36\pi}{25\pi} = \dfrac{36}{25} = \mathbf{1{,}44 \text{ cm}}\]

🔍 Cohérence : le niveau monte de 1,44 cm (de 10 à 11,44 cm). La boule (rayon 3 < 5) tient dans le vase. ✓

a) \(k = \dfrac{4}{12} = \mathbf{\dfrac{1}{3}}\). Rayon du petit cône : \(6 \times \dfrac{1}{3} = \mathbf{2}\) cm.

b) \(V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 6^2 \times 12 = \mathbf{144\pi}\) cm³ (\(\approx 452{,}4\) cm³).

c) Les volumes sont multipliés par \(k^3 = \dfrac{1}{27}\) : \[V_{\text{petit}} = \frac{144\pi}{27} = \frac{16\pi}{3} \approx 16{,}8 \text{ cm}^3\] \[V_{\text{tronc}} = 144\pi - \frac{16\pi}{3} = \frac{416\pi}{3} \approx \mathbf{435{,}6 \text{ cm}^3}\]

🔍 Vérification : volume du petit cône calculé directement, \(\dfrac{1}{3} \times \pi \times 2^2 \times 4 = \dfrac{16\pi}{3}\) ✓

a) Elles ont la même longitude : elles sont sur le même méridien. Paris est plus au nord (\(49°\) contre \(41°\)).

b) Un grand cercle passant par les pôles mesure \(40\,000\) km pour \(360°\) : \(1°\) correspond à \(\dfrac{40\,000}{360} \approx \mathbf{111}\) km.

c) Écart de latitude : \(49° - 41° = 8°\). Distance : \(8 \times \dfrac{40\,000}{360} \approx \mathbf{889}\) km (le long de la surface).

Étape 1 — a) Volume de la sphère

\[V_1 = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 4^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 64 = \dfrac{256\pi}{3} \approx 268{,}1 \text{ m}^3\]

Étape 2 — Volume du cylindre

\[V_2 = \pi r^2 h = \pi \times 1^2 \times 20 = 20\pi \approx 62{,}8 \text{ m}^3\]

Étape 3 — Volume total et conversion

\[V = V_1 + V_2 \approx 268{,}1 + 62{,}8 = \mathbf{330{,}9 \text{ m}^3}\]

En litres : \(330{,}9 \times 1\,000 = \mathbf{330\,900 \text{ litres}}\).

Étape 4 — b) Temps de vidange

À 200 L/min : \[t = \dfrac{330\,900}{200} = 1\,654{,}5 \text{ min} \approx \mathbf{27{,}6 \text{ heures}}\]

🔍 Cohérence : un château d'eau de 330 m³ mettant ~28 h à se vider à 200 L/min — ordre de grandeur réaliste.