Arithmétique

🎯 Pour \(3\) et \(9\), on regarde la somme des chiffres ; pour \(2\) et \(5\), le chiffre des unités.

a) \(36 = 1 \times 36 = 2 \times 18 = 3 \times 12 = 4 \times 9 = 6 \times 6\) : diviseurs \(\mathbf{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}\).

b) \(29\) : seulement \(\mathbf{1}\) et \(\mathbf{29}\) (\(29\) est premier).

c) \(50 = 1 \times 50 = 2 \times 25 = 5 \times 10\) : diviseurs \(\mathbf{1, 2, 5, 10, 25, 50}\).

• \(1\) : non premier (un seul diviseur).
• \(51 = 3 \times 17\) : non premier (\(5 + 1 = 6\), divisible par \(3\)).
• \(53\) : premier (pas divisible par \(2\), \(3\), \(5\), \(7\), et \(11 \times 11 > 53\)).
• \(87 = 3 \times 29\) : non premier.
• \(91 = 7 \times 13\) : non premier.
• \(97\) : premier.

a) \(84 = 2 \times 42 = 2 \times 2 \times 21 = \mathbf{2^2 \times 3 \times 7}\).

b) \(180 = 2 \times 90 = 2 \times 2 \times 45 = \mathbf{2^2 \times 3^2 \times 5}\).

c) \(525 = 3 \times 175 = 3 \times 5 \times 35 = \mathbf{3 \times 5^2 \times 7}\).

d) \(1\,000 = 10^3 = (2 \times 5)^3 = \mathbf{2^3 \times 5^3}\).

🔍 Vérification (c) : \(3 \times 25 \times 7 = 525\) ✓

a) Vrai : \(2n + 2m = 2(n + m)\).

b) Faux : \(9 = 3 \times 3\) est impair mais pas premier.

c) Vrai : \(9 = 3 \times 3\), donc un multiple de \(9\) est aussi un multiple de \(3\).

d) Faux : \(12\) est divisible par \(3\) mais pas par \(9\).

a) \(12 \times 13 = 156\) et \(157 - 156 = 1\) : \(\mathbf{157 = 12 \times 13 + 1}\) (quotient \(13\), reste \(1\)).

b) \(157 = 7 \times 22 + 3\) : le reste vaut \(3 \ne 0\), donc \(7\) ne divise pas \(157\).

Par \(2\) : oui (pair). Par \(3\) : \(1 + 2 + 3 + 6 = 12\), oui. Par \(4\) : \(36\) est divisible par \(4\), oui. Par \(5\) : non (ne finit pas par \(0\) ou \(5\)). Par \(9\) : \(12\) n'est pas multiple de \(9\), non.

On les cherche par paires : \(1 \times 36\), \(2 \times 18\), \(3 \times 12\), \(4 \times 9\), \(6 \times 6\). Diviseurs : \(\mathbf{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}\).

\(51 = 3 \times 17\) et \(91 = 7 \times 13\) ne sont pas premiers. \(29\) et \(97\) sont premiers.

a) \(180 = \mathbf{2^2 \times 3^2 \times 5}\). b) \(126 = \mathbf{2 \times 3^2 \times 7}\).

\(\mathbf{158 = 12 \times 13 + 2}\) : quotient \(13\), reste \(2\) (et \(2 < 12\)).

a) \(\dfrac{84}{126} = \dfrac{2 \times 2 \times 3 \times 7}{2 \times 3 \times 3 \times 7} = \mathbf{\dfrac{2}{3}}\).

b) \(\dfrac{195}{275} = \dfrac{3 \times 5 \times 13}{5 \times 5 \times 11} = \mathbf{\dfrac{39}{55}}\) (on a simplifié par \(5\)).

c) \(\dfrac{420}{1\,260} = \dfrac{2^2 \times 3 \times 5 \times 7}{2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7} = \mathbf{\dfrac{1}{3}}\).

a) Diviseurs de \(24\) : \(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\). Diviseurs de \(36\) : \(1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\).

b) Diviseurs communs : \(\mathbf{1, 2, 3, 4, 6, 12}\). Le plus grand est \(\mathbf{12}\).

a) \(120 = 2^3 \times 3 \times 5\) et \(180 = 2^2 \times 3^2 \times 5\). Facteurs communs : \(2^2 \times 3 \times 5 = 60\). Il peut faire \(60\) bouquets.

b) \(120 \div 60 = 2\) et \(180 \div 60 = 3\) : chaque bouquet contient \(2\) roses rouges et \(3\) roses blanches.

🔍 Vérification : \(60 \times 2 = 120\) et \(60 \times 3 = 180\) ✓

a) En centimètres : \(420\) cm et \(270\) cm. Le côté de la dalle doit diviser \(420\) et \(270\). \(420 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7\) et \(270 = 2 \times 3^3 \times 5\). Plus grand diviseur commun : \(2 \times 3 \times 5 = 30\). La plus grande dalle mesure \(30\) cm de côté.

b) \(420 \div 30 = 14\) dalles dans la longueur et \(270 \div 30 = 9\) dans la largeur : \(14 \times 9 = \mathbf{126}\) dalles.

a) Après avoir barré les multiples de \(2\), \(3\), \(5\) et \(7\), il reste : \[2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47\]

b) Il y en a \(15\).

a) \(7 + 8 + 9 = 24 = 3 \times 8\) et \(20 + 21 + 22 = 63 = 3 \times 21\) : les sommes sont des multiples de \(3\) (et égales à \(3\) fois le nombre du milieu).

b) \(n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = \mathbf{3(n + 1)}\) : c'est \(3\) fois un entier, donc un multiple de \(3\).

a) \(1\,764 = 2 \times 882 = 2 \times 2 \times 441 = 2^2 \times 3 \times 147 = 2^2 \times 3^2 \times 49 = \mathbf{2^2 \times 3^2 \times 7^2}\).

b) \(1\,764 = (2 \times 3 \times 7)^2 = \mathbf{42^2}\).

🔍 Vérification : \(42 \times 42 = 1\,764\) ✓

a) Multiples de \(12\) : \(12, 24, \mathbf{36}, 48, 60, 72\ldots\) Multiples de \(18\) : \(18, \mathbf{36}, 54, 72\ldots\)

b) Le plus petit multiple commun est \(36\) : ils s'allumeront ensemble dans \(36\) secondes.

\(\dfrac{2 \times 3^2 \times 7}{2^2 \times 3^2 \times 5} = \dfrac{7}{2 \times 5} = \mathbf{\dfrac{7}{10}}\).

\(84 = 2^2 \times 3 \times 7\) et \(126 = 2 \times 3^2 \times 7\). Facteurs communs : \(2 \times 3 \times 7 = \mathbf{42}\).

Le nombre de sachets doit diviser \(84\) et \(126\) : au maximum \(42\) sachets, contenant chacun \(2\) fraises et \(3\) menthes.

Multiples de \(12\) : \(12, 24, \mathbf{36}\)… ; multiples de \(18\) : \(18, \mathbf{36}\)… Premier multiple commun : \(36\) min, donc à \(7\) h \(36\).

Deux impairs consécutifs s'écrivent \(2n + 1\) et \(2n + 3\). Leur somme vaut \(4n + 4 = \mathbf{4(n + 1)}\) : c'est un multiple de \(4\). \(\square\)

Étape 1 — Divisibilité par 4 : le nombre \(a2\) doit être divisible par \(4\) : \(12\), \(32\), \(52\), \(72\) ou \(92\). Donc \(a \in \{1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9\}\).

Étape 2 — Divisibilité par 3 : \(4 + a + 2 = 6 + a\) doit être un multiple de \(3\), donc \(a \in \{0 ; 3 ; 6 ; 9\}\).

Étape 3 — Les deux conditions : \(a = \mathbf{3}\) ou \(a = \mathbf{9}\), ce qui donne \(\mathbf{432}\) et \(\mathbf{492}\).

🔍 Vérification : \(432 = 4 \times 108 = 3 \times 144\) ; \(492 = 4 \times 123 = 3 \times 164\) ✓

Deux entiers consécutifs s'écrivent \(n\) et \(n + 1\). L'un des deux est pair :

• si \(n\) est pair, \(n = 2k\) et \(n(n + 1) = 2k(n + 1)\) est pair ;
• si \(n\) est impair, alors \(n + 1\) est pair, \(n + 1 = 2k\) et \(n(n + 1) = 2kn\) est pair.

Dans tous les cas, le produit est pair. ✓ Exemple : \(7 \times 8 = 56\).

a) Multiples impairs de \(7\) entre \(100\) et \(200\) : \(105\), \(119\), \(133\), \(147\), \(161\), \(175\), \(189\). Sommes des chiffres : \(6\), \(11\), \(7\), \(12\), \(8\), \(13\), \(18\). Seul \(\mathbf{119}\) convient.

b) \(119 = 7 \times 17\) (\(7\) et \(17\) premiers) : ses diviseurs sont \(1\), \(7\), \(17\), \(119\), soit \(4\) diviseurs.

a) \(1\,001 = 7 \times 143 = \mathbf{7 \times 11 \times 13}\).

b) \(253 \times 1\,001 = 253\,000 + 253 = \mathbf{253\,253}\) : le nombre est « écrit deux fois ».

c) Pour un nombre \(abc\) à trois chiffres, \(abcabc = abc \times 1\,000 + abc = abc \times 1\,001 = abc \times 7 \times 11 \times 13\). Il est donc divisible par \(7\), par \(11\) et par \(13\). ✓

A : \(8 = 2^3\) et \(12 = 2^2 \times 3\), dénominateur commun \(2^3 \times 3 = 24\). \[A = \frac{9}{24} + \frac{10}{24} = \mathbf{\frac{19}{24}}\] \(19\) est premier et ne divise pas \(24\) : la fraction est irréductible.

B : on décompose avant de multiplier : \[B = \frac{2 \times 3^2 \times 5}{3 \times 2^2 \times 7} = \frac{3 \times 5}{2 \times 7} = \mathbf{\frac{15}{14}}\]

a) \(312 = 2^3 \times 3 \times 13\) et \(234 = 2 \times 3^2 \times 13\).

b) Plus grand diviseur commun : \(2 \times 3 \times 13 = 78\). Il peut faire \(78\) boîtes, contenant chacune \(312 \div 78 = \mathbf{4}\) macarons au chocolat et \(234 \div 78 = \mathbf{3}\) à la vanille.

c)

• \(24\) boîtes : \(312 \div 24 = 13\), mais \(234 \div 24 = 9{,}75\) n'est pas entier : non.
• \(26\) boîtes : \(312 \div 26 = 12\) et \(234 \div 26 = 9\) : oui (\(26\) divise \(78\)), avec \(12\) macarons au chocolat et \(9\) à la vanille par boîte.