Brevet blanc — Sujet 8
Durée : 2 heures · Total : 20 points
Partie 1 — Automatismes : 20 minutes, sans calculatrice, 6 points.
Partie 2 — Raisonnement et résolution de problèmes : 1 h 40, calculatrice autorisée, 14 points.
PARTIE 1 — Automatismes (6 pts)
20 minutes · sans calculatrice · aucune justification n'est demandée. Pour les QCM, une seule réponse est exacte.
Question 1. Calculer \(0{,}1 \times 0{,}3\).
Question 2. Donner l'écriture décimale de \(\dfrac{7}{4}\).
Question 3. Résoudre l'équation \(5 - x = 8\).
Question 4. (QCM) \(72\) km/h est égal à :
A. \(7{,}2\) m/s \(\qquad\) B. \(20\) m/s \(\qquad\) C. \(259{,}2\) m/s
Question 5. Calculer \(4^2 + 3^2\).
Question 6. (Vrai ou faux) « \(1\) est un nombre premier. »
Question 7. Développer \(x(x + 2)\).
Question 8. On agrandit une figure à l'échelle \(1{,}5\). Que devient une longueur de \(4\) cm ?
Question 9. Dans une classe de \(24\) élèves, \(6\) sont internes. Quel pourcentage des élèves sont internes ?
Question 10. Dans un parallélogramme \(ABCD\), l'angle \(\widehat{A}\) mesure \(70°\). Combien mesure l'angle \(\widehat{B}\) ?
PARTIE 2 — Raisonnement et résolution de problèmes (14 pts)
1 h 40 · calculatrice autorisée. Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte. La qualité de la rédaction et la clarté des raisonnements sont évaluées.
Exercice 1 (3 pts)
Dans un carré de côté \(x + 4\) (en cm, avec \(x > 0\)), on découpe un rectangle de longueur \(x\) et de largeur \(2\). On note \(A(x)\) l'aire de la partie restante.
1. Calculer \(A(2)\).
2. Montrer que \(A(x) = x^2 + 6x + 16\).
3. Montrer que \(A(x) - 16 = x(x + 6)\). En déduire que l'aire restante est toujours supérieure à \(16\) cm².
Exercice 2 (4 pts)
Le logo d'un club est un triangle \(ABC\) rectangle en \(A\), avec \(AB = 3\) cm et \(AC = 4\) cm. Pour une affiche, on l'agrandit par une homothétie de centre \(O\) et de rapport \(2{,}5\) : on obtient le triangle \(A'B'C'\).
1. Calculer \(BC\).
2. Calculer les longueurs des côtés du triangle \(A'B'C'\).
3. Le triangle \(A'B'C'\) est-il rectangle ? Justifier.
4. Calculer l'aire du triangle \(ABC\), puis celle du triangle \(A'B'C'\). Par combien l'aire a-t-elle été multipliée ?
Exercice 3 (4 pts)
Lors d'un triathlon, Inès nage \(1{,}5\) km en \(30\) minutes, parcourt \(40\) km à vélo à la vitesse moyenne de \(32\) km/h, puis court \(10\) km à la vitesse moyenne de \(12\) km/h. Les deux transitions (changements de tenue) durent \(5\) minutes au total.
1. Calculer sa vitesse moyenne en natation, en km/h.
2. Calculer la durée de l'épreuve de vélo, puis celle de la course à pied.
3. Inès est partie à \(9\) h \(00\). À quelle heure franchit-elle la ligne d'arrivée ?
4. Calculer sa vitesse moyenne sur l'ensemble du parcours, arrondie au dixième.
Exercice 4 (3 pts)
On a demandé à \(30\) élèves leur temps d'écran quotidien, arrondi à l'heure :
| Temps d'écran (h) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | \(4\) | \(9\) | \(8\) | \(6\) | \(3\) |
1. Calculer le temps d'écran moyen, arrondi au dixième d'heure.
2. Déterminer la médiane de la série. Justifier.
3. Quel pourcentage des élèves passent au moins \(4\) heures par jour devant un écran ?
Corrigé Partie 1 — Automatismes
| Question | Réponse | Explication |
|---|---|---|
| 1 | \(0{,}03\) | \(1 \times 3 = 3\), et deux chiffres après la virgule |
| 2 | \(1{,}75\) | \(\dfrac{7}{4} = 1 + \dfrac{3}{4}\) |
| 3 | \(x = -3\) | \(-x = 3\) |
| 4 | B | \(72 \div 3{,}6 = 20\) |
| 5 | \(25\) | \(16 + 9\) |
| 6 | Faux | un nombre premier a exactement deux diviseurs ; \(1\) n'en a qu'un |
| 7 | \(x^2 + 2x\) | \(x \times x + x \times 2\) |
| 8 | \(6\) cm | \(4 \times 1{,}5\) |
| 9 | \(25\,\%\) | \(\dfrac{6}{24} = \dfrac{1}{4}\) |
| 10 | \(110°\) | deux angles consécutifs d'un parallélogramme sont supplémentaires |
Pour passer des km/h aux m/s, on divise par \(3{,}6\) (en \(1\) s, on parcourt beaucoup moins qu'en \(1\) h).
Corrigé Exercice 1
aire restante = aire du carré − aire du rectangle ; on développe avec l'identité \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
1. Pour \(x = 2\) : carré de côté \(6\), rectangle de \(2 \times 2\). \(A(2) = 36 - 4 = \mathbf{32}\) cm².
2. \(A(x) = (x + 4)^2 - 2x = x^2 + 8x + 16 - 2x = \mathbf{x^2 + 6x + 16}\).
🔍 Vérification avec \(x = 2\) : \(4 + 12 + 16 = 32\) ✓
3. \(A(x) - 16 = x^2 + 6x = x(x + 6)\). Comme \(x > 0\), on a aussi \(x + 6 > 0\) : le produit \(x(x + 6)\) est positif. Donc \(A(x) - 16 > 0\), soit \(A(x) > 16\). \(\square\)
Corrigé Exercice 2
une homothétie de rapport \(k\) multiplie les longueurs par \(|k|\) et les aires par \(k^2\) ; elle conserve les angles.
1. \(ABC\) est rectangle en \(A\). D'après le théorème de Pythagore : \(BC^2 = 9 + 16 = 25\), \(BC = \mathbf{5}\) cm.
2. \(A'B' = 2{,}5 \times 3 = \mathbf{7{,}5}\) cm ; \(A'C' = 2{,}5 \times 4 = \mathbf{10}\) cm ; \(B'C' = 2{,}5 \times 5 = \mathbf{12{,}5}\) cm.
3. Oui : une homothétie conserve les angles, donc \(\widehat{B'A'C'} = \widehat{BAC} = 90°\). 🔍 Avec la réciproque de Pythagore : \(7{,}5^2 + 10^2 = 56{,}25 + 100 = 156{,}25 = 12{,}5^2\) ✓
4. \(\mathcal{A}(ABC) = \dfrac{3 \times 4}{2} = \mathbf{6}\) cm² ; \(\mathcal{A}(A'B'C') = \dfrac{7{,}5 \times 10}{2} = \mathbf{37{,}5}\) cm². L'aire est multipliée par \(\dfrac{37{,}5}{6} = 6{,}25 = 2{,}5^2\).
L'aire n'est pas multipliée par \(2{,}5\), mais par \(2{,}5^2\).
Corrigé Exercice 3
\(v = \dfrac{d}{t}\) et \(t = \dfrac{d}{v}\) ; convertir les durées en heures (ou en minutes) avant de les additionner.
1. \(30\) min \(= 0{,}5\) h : \(v = \dfrac{1{,}5}{0{,}5} = \mathbf{3}\) km/h.
2. Vélo : \(t = \dfrac{40}{32} = 1{,}25\) h \(= \mathbf{1}\) h \(\mathbf{15}\) min. Course : \(t = \dfrac{10}{12} \approx 0{,}833\) h, soit \(\dfrac{10}{12} \times 60 = \mathbf{50}\) min.
3. Durée totale : \(30 + 75 + 50 + 5 = 160\) min \(= 2\) h \(40\) min. Arrivée à \(11\) h \(40\).
4. Distance : \(1{,}5 + 40 + 10 = 51{,}5\) km ; durée : \(\dfrac{160}{60}\) h. \(v = 51{,}5 \div \dfrac{160}{60} \approx \mathbf{19{,}3}\) km/h.
La vitesse moyenne n'est pas la moyenne des trois vitesses ; on divise la distance totale par la durée totale (transitions comprises).
Corrigé Exercice 4
moyenne pondérée ; médiane avec les effectifs cumulés (\(30\) valeurs : entre la \(15^\text{e}\) et la \(16^\text{e}\)).
1. \(\dfrac{1 \times 4 + 2 \times 9 + 3 \times 8 + 4 \times 6 + 5 \times 3}{30} = \dfrac{85}{30} \approx \mathbf{2{,}8}\) h.
2. Effectifs cumulés : \(4\) ; \(13\) ; \(21\)… La \(15^\text{e}\) et la \(16^\text{e}\) valeurs valent \(3\) : la médiane est \(\mathbf{3}\) h.
3. \(6 + 3 = 9\) élèves sur \(30\) : \(\dfrac{9}{30} = \mathbf{30\,\%}\).
BARÈME
| Partie | Points |
|---|---|
| Partie 1 — Automatismes (\(10\) questions \(\times\) \(0{,}6\) pt) | \(6\) |
| Exercice 1 | \(3\) |
| Exercice 2 | \(4\) |
| Exercice 3 | \(4\) |
| Exercice 4 | \(3\) |
| Total | 20 |