Les maths cachées
« Ça sert à quoi, les maths ? » Chaque fiche part d’un objet que tu connais, et montre la notion du cours qui se cache derrière. Clique sur une question pour voir la réponse et faire l’essai.
🔎 Les maths cachées · Les vitesses du véloCombien de tours de roue pour un tour de pédale ?Voir la réponse et l’essai ▾Refermer ▴
Sur un vélo, la chaîne relie le plateau (la grande roue dentée, près des pédales) au pignon (la petite, sur la roue arrière). Quand la chaîne avance, autant de dents passent devant et derrière.
Le calcul. Avec \(52\) dents devant et \(13\) derrière, un tour de pédale fait passer \(52\) dents. Pour cela, le pignon tourne \(52 \div 13 = 4\) fois. Et la roue arrière tourne avec lui.
C'est une situation de proportionnalité :
| Tours de pédale | 1 | 2 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| Tours de roue | 4 | 8 | 20 | 40 |
La distance. Si la roue mesure \(2{,}1\) m de tour, un tour de pédale fait avancer de \(4 \times 2{,}1 = 8{,}4\) m.
Et en montée ? Avec \(34\) dents devant et \(17\) derrière, la roue ne fait que \(2\) tours par tour de pédale. On avance de \(2 \times 2{,}1 = 4{,}2\) m : on va moins loin, mais pédaler demande moins d'effort.
Seul le rapport compte. \(52\) et \(13\) donnent \(4\), tout comme \(44\) et \(11\).
Au programme de 6e : La proportionnalité →
🔎 Les maths cachées · Le code-barresComment la caisse sait-elle qu’elle a mal lu un code-barres ?Voir la réponse et l’essai ▾Refermer ▴
Le dernier chiffre d'un code-barres ne décrit pas le produit. C'est une clé de contrôle : elle sert à vérifier que les autres chiffres ont été bien lus.
Le calcul de la caisse. On multiplie les chiffres, tour à tour, par \(1\) et par \(3\), puis on additionne tous les résultats.
| Chiffre | 2 | 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Multiplié par | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 1 |
| Résultat | 2 | 0 | 0 | 3 | 2 | 9 | 4 | 15 | 6 | 21 | 8 | 27 | 3 |
Le total vaut \(100\). Il se termine par \(0\) : c'est un multiple de \(10\), donc le code est accepté.
Et si un chiffre est mal lu ? Imaginons que le \(7\) soit lu comme un \(9\). Le résultat \(21\) devient \(27\), et le total passe à \(106\). Il ne se termine plus par \(0\) : la caisse ne valide pas la lecture, et il faut repasser l'article.
Avec \(2\), un \(6\) lu comme un \(1\) passerait inaperçu : \(6 \times 2 = 12\) et \(1 \times 2 = 2\) se terminent par le même chiffre. Avec \(3\), deux chiffres différents ne donnent jamais la même fin : une erreur sur un seul chiffre est toujours repérée.
Le numéro d'une carte bancaire se termine aussi par une clé de contrôle. Une simple opération permet de repérer une faute de frappe.
Au programme de 6e : Nombres entiers et décimaux →
🔎 Les maths cachées · Le nid d’abeillePourquoi des hexagones, et jamais des pentagones ?Voir la réponse et l’essai ▾Refermer ▴
Pour couvrir une surface sans trou avec une seule forme régulière, il faut qu'autour de chaque point, les angles fassent exactement \(360°\).
Les formes qui marchent.
| Forme | Angle | Autour d'un point |
|---|---|---|
| Triangle équilatéral | \(60°\) | \(6 \times 60° = 360°\) ✓ |
| Carré | \(90°\) | \(4 \times 90° = 360°\) ✓ |
| Hexagone régulier | \(120°\) | \(3 \times 120° = 360°\) ✓ |
D'où vient le \(120°\) ? Un hexagone régulier se découpe en \(6\) triangles équilatéraux. Chacun de ses angles réunit deux angles de ces triangles : \(60° + 60° = 120°\).
Et le pentagone ? Depuis un sommet, on le découpe en \(3\) triangles. La somme de ses angles vaut donc \(3 \times 180° = 540°\), et chacun mesure \(540° \div 5 = 108°\). Or \(3 \times 108° = 324°\) laisse un trou, et \(4 \times 108° = 432°\) fait se chevaucher les formes.
Pour une même aire, c'est la forme de ce tableau dont le contour est le plus court. Pour une alvéole, cela veut dire moins de cire.
Au programme de 5e : Angles et triangles →
🔎 Les maths cachées · La feuille pliéeCombien de pliages pour atteindre la Lune ?Voir la réponse et l’essai ▾Refermer ▴
Une feuille de papier fait environ \(0{,}1\) mm d'épaisseur. À chaque pliage, son épaisseur double : après \(n\) pliages, elle vaut \(0{,}1 \times 2^n\) mm.
| Pliages | Épaisseur | Pour comparer |
|---|---|---|
| \(1\) | \(0{,}2\) mm | Deux feuilles |
| \(10\) | environ \(10\) cm | La largeur d'une main |
| \(22\) | environ \(419\) m | Plus haut que la tour Eiffel |
| \(27\) | environ \(13\) km | Plus haut que l'Everest |
Jusqu'à la Lune. Avec \(42\) pliages :
\[0{,}1 \times 2^{42} \approx 4{,}4 \times 10^{11} \text{ mm}\]
Comme \(1\) km vaut \(10^6\) mm, cela fait environ \(4{,}4 \times 10^{5}\) km. La Lune est à environ \(3{,}8 \times 10^{5}\) km : c'est gagné ! Avec \(41\) pliages, on s'arrêterait à environ \(2{,}2 \times 10^{5}\) km.
C'est un calcul théorique. En vrai, on ne peut pas plier une feuille aussi souvent : le record est d'une douzaine de pliages, avec un très long rouleau de papier.
Doubler \(42\) fois, ce n'est pas ajouter \(42\) fois. Les puissances grandissent très vite.
Au programme de 4e : Puissances et notation scientifique →
🔎 Les maths cachées · La télé de 55 poucesUne télé de 55 pouces rentre-t-elle sur un meuble de 130 cm ?Voir la réponse et l’essai ▾Refermer ▴
Les « 55 pouces » d'une télé ne donnent ni sa largeur ni sa hauteur : c'est la longueur de la diagonale de l'écran. Un pouce mesure \(2{,}54\) cm, donc la diagonale mesure \(55 \times 2{,}54 = 139{,}7\) cm. Le meuble fait \(130\) cm de large : est-ce assez ?
Étape 1 : découper l'écran en carreaux. Un écran de télé a le plus souvent le format 16/9 : on peut le découper en carreaux identiques, \(16\) dans la largeur et \(9\) dans la hauteur. La largeur, la hauteur et la diagonale forment un triangle rectangle.
Étape 2 : la diagonale, en carreaux. D'après le théorème de Pythagore :
\[d^2 = 16^2 + 9^2 = 256 + 81 = 337\]
Donc \(d = \sqrt{337} \approx 18{,}36\) carreaux.
Étape 3 : la taille d'un carreau. Ces \(18{,}36\) carreaux mesurent \(139{,}7\) cm, donc un carreau mesure \(139{,}7 \div 18{,}36 \approx 7{,}61\) cm.
Étape 4 : les dimensions de l'écran.
- Largeur : \(16 \times 7{,}61 \approx 121{,}8\) cm
- Hauteur : \(9 \times 7{,}61 \approx 68{,}5\) cm
🔍 Vérification : \(\sqrt{121{,}8^2 + 68{,}5^2} \approx 139{,}7\) cm ✓
L'écran de \(121{,}8\) cm tient donc sur le meuble de \(130\) cm.
Le cadre et le pied ajoutent quelques centimètres. Vérifie toujours les dimensions indiquées par le fabricant avant d'acheter.
Au programme de 4e : Le théorème de Pythagore →
🔎 Les maths cachées · La feuille A4Pourquoi une feuille A4 mesure-t-elle 21 cm sur 29,7 cm ?Voir la réponse et l’essai ▾Refermer ▴
Une feuille A4 mesure \(21\) cm sur \(29{,}7\) cm. Ce \(29{,}7\) peut sembler bizarre : il est pourtant choisi exprès. Deux feuilles A4 côte à côte forment une feuille A3 de même forme, qui mesure \(29{,}7\) cm sur \(42\) cm.
Le raisonnement. L'A3 est un agrandissement de l'A4, de rapport \(k\). Son aire est doublée, et une homothétie multiplie les aires par \(k^2\). Donc :
\[k^2 = 2 \qquad \text{soit} \qquad k = \sqrt{2} \approx 1{,}414\]
🔍 Vérification :
- \(29{,}7 \div 21 \approx 1{,}414\) ✓
- \(42 \div 29{,}7 \approx 1{,}414\) ✓
- Aires : \(21 \times 29{,}7 = 623{,}7\) cm² et \(29{,}7 \times 42 = 1\,247{,}4\) cm², soit le double ✓
Et avec une autre feuille ? Une feuille de \(20\) cm sur \(30\) cm, coupée en deux, donne \(15\) cm sur \(20\) cm. Le rapport passe de \(30 \div 20 = 1{,}5\) à \(20 \div 15 \approx 1{,}33\) : la forme change.
Une photocopieuse passe de l'A4 à l'A3 sans laisser de marge : elle agrandit de \(141\,\%\), c'est-à-dire qu'elle multiplie les longueurs par \(\sqrt{2}\).
Au programme de 3e : Rotation et homothétie →
🔎 Les maths cachées · Le panneau « pente à 10 % »Une pente de 10 %, est-ce un angle de 10° ?Voir la réponse et l’essai ▾Refermer ▴
Sur un panneau, « \(10\,\%\) » ne parle pas d'un angle. Cela veut dire qu'on monte de \(10\) m quand on avance de \(100\) m à l'horizontale.
Dans le triangle rectangle formé par la route, on connaît le côté opposé à l'angle (\(10\) m) et le côté adjacent (\(100\) m). C'est le rôle de la tangente :
\[\tan(\alpha) = \frac{10}{100} = 0{,}1\]
La calculatrice donne (touche \(\tan^{-1}\) ou arctan) : \(\alpha \approx 5{,}7°\). Une pente de \(10\,\%\) fait donc un angle d'environ \(5{,}7°\), et non de \(10°\).
Dans l'autre sens. Un angle de \(10°\) correspond à \(\tan(10°) \approx 0{,}176\), soit une pente de \(17{,}6\,\%\).
| Pente | \(5\,\%\) | \(10\,\%\) | \(20\,\%\) | \(100\,\%\) |
|---|---|---|---|---|
| Angle | \(2{,}9°\) | \(5{,}7°\) | \(11{,}3°\) | \(45°\) |
Une pente de \(100\,\%\) n'est pas un mur ! On monte autant qu'on avance : c'est un angle de \(45°\).
Au programme de 3e : Trigonométrie →
🔎 Les maths cachées · Les soldes−20 %, puis −30 % : est-ce vraiment −50 % ?Voir la réponse et l’essai ▾Refermer ▴
L'affiche annonce « \(-20\,\%\), puis \(-30\,\%\) supplémentaires en caisse ». On a envie d'additionner et de compter \(-50\,\%\). Pourtant, le magasin ne perd pas autant.
Le calcul, avec un article à \(100\) €.
| Étape | Calcul | Prix |
|---|---|---|
| Prix de départ | \(100\) € | |
| Baisse de \(20\,\%\) | \(100 \times 0{,}80\) | \(80\) € |
| Baisse de \(30\,\%\) | \(80 \times 0{,}70\) | \(56\) € |
Le prix final vaut \(56\) €, et non \(50\) € : la réduction totale est de \(44\,\%\).
Pourquoi ? La seconde réduction porte sur un prix déjà baissé. Elle retire \(30\,\%\) de \(80\) €, soit \(24\) €, et non \(30\) €.
La méthode rapide. On multiplie les coefficients, quel que soit le prix de départ :
\[0{,}80 \times 0{,}70 = 0{,}56\]
Cela fait une baisse de \(1 - 0{,}56 = 0{,}44\), soit \(44\,\%\).
L'ordre ne change rien, car \(0{,}70 \times 0{,}80\) donne le même résultat. Commencer par \(-30\,\%\) ou par \(-20\,\%\) revient au même.
\(-50\,\%\) puis encore \(-50\,\%\), ce n'est pas gratuit ! On a \(0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}25\) : l'article coûte encore le quart de son prix, soit une baisse de \(75\,\%\).
Au programme de 3e : Pourcentages et évolutions →
🔎 Les maths cachées · Le GPSComment quelques distances donnent-elles ta position ?Voir la réponse et l’essai ▾Refermer ▴
Ton téléphone reçoit les signaux de plusieurs satellites. Le temps mis par chaque signal lui donne sa distance à ce satellite. Comment passer de quelques distances à une position ?
Simplifions, dans un plan, avec trois balises \(A(0\,;0)\), \(B(8\,;0)\) et \(C(0\,;6)\), dans un repère orthonormé.
- Une distance : tu es sur un cercle autour de la balise.
- Deux distances : tu es à l'intersection de deux cercles, soit en général deux points possibles.
- Trois distances : le troisième cercle désigne le bon point.
Vérifions avec le point \(P(3\,;4)\). On utilise la formule de la distance :
- \(AP = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\)
- \(BP = \sqrt{(3-8)^2 + 4^2} = \sqrt{41} \approx 6{,}4\)
- \(CP = \sqrt{3^2 + (4-6)^2} = \sqrt{13} \approx 3{,}6\)
Le téléphone fait le chemin inverse : il connaît ces distances, et il en déduit qu'il se trouve en \(P\).
C'est une version simplifiée. Le vrai GPS travaille dans l'espace, avec au moins \(4\) satellites, car le téléphone doit aussi corriger l'erreur de sa propre horloge.
Au programme de 2nde : Géométrie repérée : droites et systèmes →
🔎 Les maths cachées · La distance de freinagePourquoi rouler 2 fois plus vite freine-t-il 4 fois plus long ?Voir la réponse et l’essai ▾Refermer ▴
Sur une route sèche, on peut estimer la distance de freinage \(d\) (en mètres) à partir de la vitesse \(v\) (en km/h) avec ce modèle :
\[d(v) = 0{,}006\,v^2\]
| Vitesse (km/h) | \(50\) | \(100\) | \(130\) |
|---|---|---|---|
| Freinage (m) | \(15\) | \(60\) | \(101{,}4\) |
Pourquoi 4 fois plus ? La distance dépend du carré de la vitesse. En doublant la vitesse :
\[d(2v) = 0{,}006 \times (2v)^2 = 4 \times 0{,}006\,v^2 = 4\,d(v)\]
Ce résultat ne dépend pas du nombre \(0{,}006\) : c'est la fonction carré qui le donne. Elle est croissante sur \([0\,;+\infty[\), et de plus en plus vite : chaque km/h de plus coûte plus de mètres que le précédent.
Ce modèle donne un ordre de grandeur. La distance réelle dépend de la route, des pneus et du véhicule, et elle s'allonge sur route mouillée. Il faut aussi ajouter la distance parcourue avant de réagir.
Au programme de 2nde : Fonctions de référence →
🔎 Les maths cachées · Les touches du pianoComment passe-t-on d’une note à la suivante ?Voir la réponse et l’essai ▾Refermer ▴
Un son correspond à une fréquence, en hertz (Hz). Le La du diapason vaut \(440\) Hz, et le La situé une octave plus haut vaut \(880\) Hz : monter d'une octave multiplie la fréquence par \(2\).
Une suite géométrique. Sur un piano, une octave compte \(12\) demi-tons, tous égaux à l'oreille. Passer d'une touche à la suivante multiplie donc toujours la fréquence par le même nombre \(q\). Les fréquences forment une suite géométrique :
\[u_{n+1} = q \times u_n, \qquad u_0 = 440\]
Trouver la raison. Après \(12\) demi-tons, la fréquence a doublé :
\[u_{12} = 440 \times q^{12} = 880 \quad \text{donc} \quad q^{12} = 2\]
On trouve \(q \approx 1{,}0595\) : on a bien \(1{,}0595^{12} \approx 2\) ✓
Une note au hasard. Le Do se trouve \(3\) demi-tons au-dessus de ce La : \(u_3 = 440 \times q^3 \approx 523{,}25\) Hz.
À l'oreille, on entend les rapports et non les différences. L'écart entre deux touches voisines paraît le même partout, alors que les hertz ajoutés augmentent.
Au programme de 1ère : Suites numériques →
🔎 Les maths cachées · Phares et antennesPourquoi les phares et les antennes ont-ils cette forme ?Voir la réponse et l’essai ▾Refermer ▴
Coupe une antenne satellite ou le miroir d'un phare en deux : tu obtiens une parabole, la courbe de \(y = ax^2\). Cette forme a une propriété très utile.
La propriété. Tous les rayons qui arrivent parallèlement à l'axe de la parabole se réfléchissent vers un même point : le foyer, de coordonnées \(\left(0\,;\dfrac{1}{4a}\right)\).
- Antenne satellite : le signal arrive du satellite en rayons presque parallèles. Le capteur est placé au foyer, là où tout se concentre.
- Phare : on fait le chemin inverse. La lampe est au foyer, et tous les rayons repartent parallèles, en un faisceau.
Le rôle de \(a\). Pour \(a = 1\), le foyer est en \(\left(0\,;0{,}25\right)\). Pour \(a = 0{,}25\), il est en \(\left(0\,;1\right)\). Plus la parabole est ouverte, plus son foyer s'éloigne du sommet.
Pour aller plus loin
Contenu facultatif, non exigible.
(hors programme) : le foyer et la démonstration de cette propriété ne sont pas au programme de 1ère. Ce qui l'est, c'est la courbe de \(y = ax^2\) et le rôle de \(a\) sur son ouverture.
Au programme de 1ère : Le second degré →
🔎 Les maths cachées · Le même anniversaireAvec 23 élèves, quelle chance pour un anniversaire commun ?Voir la réponse et l’essai ▾Refermer ▴
Dans une classe de \(23\) élèves, y a-t-il deux personnes nées le même jour ? On a envie de répondre « très peu de chances », car il y a \(365\) jours. Pourtant, la probabilité dépasse \(50\,\%\).
La méthode. On passe par l'événement contraire : « tous les anniversaires sont différents ». On suppose les \(365\) jours équiprobables, et on ignore le 29 février.
- Nombre de listes de \(23\) anniversaires : \(365^{23}\)
- Nombre de listes sans répétition : l'arrangement \(365 \times 364 \times \dots \times 343\)
\[P(\text{tous différents}) = \frac{365 \times 364 \times \dots \times 343}{365^{23}} \approx 0{,}493\]
Donc \(P(\text{au moins deux identiques}) \approx 1 - 0{,}493 = 0{,}507\), soit \(50{,}7\,\%\).
| Personnes | \(10\) | \(23\) | \(30\) | \(50\) | \(57\) |
|---|---|---|---|---|---|
| Probabilité | \(11{,}7\,\%\) | \(50{,}7\,\%\) | \(70{,}6\,\%\) | \(97\,\%\) | \(99\,\%\) |
Pourquoi est-ce si élevé ? On ne compare pas une personne aux autres, mais toutes les paires entre elles. Avec \(23\) personnes, il y a \(\dbinom{23}{2} = 253\) paires possibles : autant d'occasions de tomber sur le même jour.
La question n'est pas « quelqu'un est-il né le même jour que moi ? ». Celle-là a une probabilité bien plus faible, car elle ne fait intervenir que \(22\) comparaisons.
Au programme de Terminale : Combinatoire et dénombrement →
🔎 Les maths cachées · Le café qui refroiditCombien de temps attendre avant de boire son café ?Voir la réponse et l’essai ▾Refermer ▴
Reprenons le café du cours : \(90\) °C au départ, dans une pièce à \(20\) °C, et \(70\) °C au bout de \(10\) minutes. Supposons qu'il soit agréable à boire à \(60\) °C. Combien de temps faut-il attendre ?
Le modèle. Plus le café est chaud par rapport à la pièce, plus il refroidit vite : sa vitesse de refroidissement est proportionnelle à l'écart de température. C'est l'équation du cours :
\[T'(t) = -k\,(T(t) - 20)\]
Sa solution est :
\[T(t) = 20 + 70\,e^{-kt}\]
avec \(k = \dfrac{\ln(7/5)}{10} \approx 0{,}0336\).
La réponse. On résout \(T(t) = 60\) :
\[70\,e^{-kt} = 40 \iff e^{-kt} = \frac{4}{7}\]
Donc \(t = \dfrac{\ln(7/4)}{k} \approx 16{,}6\) minutes.
Ce que disent les valeurs.
| Temps (min) | \(0\) | \(10\) | \(20\) | \(30\) | \(60\) | \(120\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Température (°C) | \(90\) | \(70\) | \(55{,}7\) | \(45{,}5\) | \(29{,}3\) | \(21{,}2\) |
Le café perd \(20\) °C pendant les \(10\) premières minutes, mais seulement \(14{,}3\) °C pendant les \(10\) suivantes. Comme \(e^{-kt}\) tend vers \(0\), sa température tend vers \(20\) °C : il ne descend jamais sous celle de la pièce.
C'est un modèle. Une vraie tasse perd aussi de la chaleur par la vapeur, et \(k\) dépend de la tasse. Ici, \(k\) est calculé à partir d'une seule mesure.
Au programme de Terminale : Équations différentielles →