Une équation est une égalité qui contient un nombre inconnu, désigné par une lettre (souvent \(x\)).
\[3x - 1 = 2x + 7\]
Les deux côtés du signe \(=\) s'appellent les membres de l'équation. Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les valeurs de \(x\) pour lesquelles l'égalité est vraie : ce sont les solutions.
\(x = 8\) est-il solution ? À gauche : \(3 \times 8 - 1 = 23\) ; à droite : \(2 \times 8 + 7 = 23\). Les deux membres sont égaux : oui, \(8\) est solution.
Une équation est comme une balance en équilibre : elle reste équilibrée si l'on fait la même chose des deux côtés.
On ne change pas les solutions d'une équation si :
| Pour « défaire »… | on fait aux deux membres… | Exemple |
|---|---|---|
| \(+ 4\) | \(- 4\) | \(x + 4 = 9\) donne \(x = 5\) |
| \(- 3\) | \(+ 3\) | \(x - 3 = 5\) donne \(x = 8\) |
| \(\times 4\) | \(\div 4\) | \(4x = 12\) donne \(x = 3\) |
| \(\div 3\) | \(\times 3\) | \(\dfrac{x}{3} = 7\) donne \(x = 21\) |
Résoudre \(3(x - 2) + 5 = 2x + 7\). \[3x - 6 + 5 = 2x + 7 \quad \text{(on développe)}\] \[3x - 1 = 2x + 7 \quad \text{(on réduit)}\] \[3x - 2x = 7 + 1 \quad \text{(on enlève } 2x \text{ et on ajoute } 1 \text{ des deux côtés)}\] \[x = 8\] Vérification : \(3(8 - 2) + 5 = 23\) et \(2 \times 8 + 7 = 23\) ✓.
Quand on divise par un nombre négatif, le signe change : \(-4x = 12\) donne \(x = 12 \div (-4) = -3\).
On multiplie les deux membres par un dénominateur commun pour se débarrasser des fractions.
\(\dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{4} = 7\). On multiplie tout par \(12\) : \[4x + 3x = 84 \qquad 7x = 84 \qquad x = 12\]
Parfois, les \(x\) disparaissent :
\(2(x + 3) = 2x + 7\) donne \(2x + 6 = 2x + 7\), puis \(6 = 7\) : c'est impossible, aucune solution.
Un rectangle a un périmètre de \(48\) cm, et sa longueur est le triple de sa largeur. Soit \(x\) la largeur (en cm) ; la longueur vaut \(3x\). Alors \(2(x + 3x) = 48\), soit \(8x = 48\), donc \(x = 6\). Le rectangle mesure \(6\) cm sur \(18\) cm.
Contenu facultatif, non exigible.
En 3e, tu résoudras des inéquations (avec \(<\) ou \(>\)) et des équations « produit nul » comme \((x - 2)(x + 5) = 0\).
L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.
| Notion | Ce qu'il faut savoir |
|---|---|
| Solution | Valeur de \(x\) qui rend l'égalité vraie (on vérifie en remplaçant) |
| Règles | Même opération sur les deux membres (\(+\), \(-\), \(\times\), \(\div\) par un nombre non nul) |
| Méthode | Développer, réduire, regrouper les \(x\) d'un côté, diviser, vérifier |
| Fractions | Multiplier les deux membres par un dénominateur commun |
| \(6 = 7\) | Aucune solution |
| \(0 = 0\) | Tous les nombres sont solutions |
| Problème | Choisir l'inconnue, mettre en équation, résoudre, répondre par une phrase |
Résoudre :
a) \(x + 5 = 12\)
b) \(x - 3 = 8\)
c) \(3x = 18\)
d) \(\dfrac{x}{4} = 6\)
on isole \(x\) en faisant l'opération inverse.
a) \(x + 5 = 12\) → \(x = 12 - 5 = \mathbf{7}\).
b) \(x - 3 = 8\) → \(x = 8 + 3 = \mathbf{11}\).
c) \(3x = 18\) → \(x = \dfrac{18}{3} = \mathbf{6}\).
d) \(\dfrac{x}{4} = 6\) → \(x = 4 \times 6 = \mathbf{24}\).
Résoudre :
a) \(2x + 5 = 13\)
b) \(3x - 7 = 8\)
c) \(-4x + 12 = 4\)
deux étapes — d'abord soustraire (ou ajouter), puis diviser.
a) \(2x + 5 = 13\) Soustraire 5 : \(2x = 8\). Diviser par 2 : \(\mathbf{x = 4}\).
b) \(3x - 7 = 8\) Ajouter 7 : \(3x = 15\). Diviser par 3 : \(\mathbf{x = 5}\).
c) \(-4x + 12 = 4\) Soustraire 12 : \(-4x = -8\). Diviser par \(-4\) : \(\mathbf{x = 2}\).
Résoudre :
a) \(5x + 3 = 2x + 12\)
b) \(4x - 5 = x + 7\)
c) \(-x + 8 = 3x - 4\)
on regroupe les \(x\) d'un côté et les nombres de l'autre.
a) \(5x + 3 = 2x + 12\) Soustraire \(2x\) : \(3x + 3 = 12\). Soustraire 3 : \(3x = 9\). Donc \(\mathbf{x = 3}\).
b) \(4x - 5 = x + 7\) Soustraire \(x\) : \(3x - 5 = 7\). Ajouter 5 : \(3x = 12\). Donc \(\mathbf{x = 4}\).
c) \(-x + 8 = 3x - 4\) Ajouter \(x\) : \(8 = 4x - 4\). Ajouter 4 : \(12 = 4x\). Donc \(\mathbf{x = 3}\).
Vérifie que \(x = 3\) est solution de \(2(x + 4) - 3x = x + 5\).
on remplace \(x\) par la valeur proposée et on vérifie l'égalité.
Étape 1 — Calcul du membre de gauche pour \(x = 3\)
\(2(3 + 4) - 3 \times 3 = 2 \times 7 - 9 = 14 - 9 = 5\).
Étape 2 — Calcul du membre de droite
\(x + 5 = 3 + 5 = 8\).
Étape 3 — Conclusion
\(5 \neq 8\) → \(x = 3\) n'est PAS solution de l'équation.
Étape 4 — Vraie solution
Résolvons : \(-x + 8 = x + 5 \quad ext{soit}quad 3 = 2x \quad ext{soit}quad \mathbf{x = 1{,}5}\).
Résoudre :
a) \(2(x + 3) = 14\)
b) \(3(2x - 1) = 9\)
c) \(-(x + 5) = 2x - 1\)
a) \(2(x+3) = 14\)
Développer : \(2x + 6 = 14\). Donc \(2x = 8\), \(\mathbf{x = 4}\).
Alternative : diviser directement par 2 : \(x + 3 = 7\), \(x = 4\).
b) \(3(2x-1) = 9\)
Développer : \(6x - 3 = 9\). Donc \(6x = 12\), \(\mathbf{x = 2}\).
c) \(-(x+5) = 2x - 1\)
Développer : \(-x - 5 = 2x - 1\). Ajouter \(x\) et \(1\) : \(-4 = 3x\). Donc \(\mathbf{x = -\dfrac{4}{3}}\).
Le double d'un nombre augmenté de 7 donne 23. Trouve ce nombre.
Étape 1 — Mise en équation
Soit \(n\) le nombre. "Le double de \(n\)" = \(2n\). "Augmenté de 7" = \(+ 7\). "Donne 23" = \(= 23\).
\[2n + 7 = 23\]
Étape 2 — Résolution
\(2n = 16\) → \(\mathbf{n = 8}\).
Résous :
a) \(x + 9 = 4\) \(\quad\)
b) \(-3x = 12\) \(\quad\)
c) \(\dfrac{x}{5} = 3\)
a) \(x = 4 - 9 = \mathbf{-5}\) ; b) \(x = 12 \div (-3) = \mathbf{-4}\) ; c) \(x = 3 \times 5 = \mathbf{15}\).
Résous :
a) \(2x + 5 = 17\) \(\quad\)
b) \(4x - 7 = 9\) \(\quad\)
c) \(-2x + 3 = 11\)
a) \(2x = 12\), \(x = \mathbf{6}\) ; b) \(4x = 16\), \(x = \mathbf{4}\) ; c) \(-2x = 8\), \(x = \mathbf{-4}\).
Résous :
a) \(5x - 2 = 3x + 8\) \(\quad\)
b) \(7 - x = 2x + 1\)
a) \(5x - 3x = 8 + 2\), soit \(2x = 10\) et \(x = \mathbf{5}\).
b) \(7 - 1 = 2x + x\), soit \(6 = 3x\) et \(x = \mathbf{2}\).
🔍 a) \(25 - 2 = 23\) et \(15 + 8 = 23\) ✓
a) \(-1\) est-il solution de \(3x + 4 = x + 2\) ?
b) \(2\) est-il solution de \(5x - 1 = 3x + 4\) ?
a) \(3 \times (-1) + 4 = 1\) et \(-1 + 2 = 1\) : oui.
b) \(10 - 1 = 9\) et \(6 + 4 = 10\) : non.
Résous : \(3(x - 2) = 2x + 1\).
\(3x - 6 = 2x + 1\), donc \(x = \mathbf{7}\). 🔍 \(3 \times 5 = 15\) et \(14 + 1 = 15\) ✓
Résoudre :
a) \(\dfrac{x}{2} + 3 = 7\)
b) \(\dfrac{2x}{3} = 8\)
c) \(\dfrac{x + 3}{5} = 4\)
a) \(\dfrac{x}{2} + 3 = 7\) → \(\dfrac{x}{2} = 4\) → \(\mathbf{x = 8}\).
b) \(\dfrac{2x}{3} = 8\) → \(2x = 24\) → \(\mathbf{x = 12}\).
c) \(\dfrac{x+3}{5} = 4\) → \(x + 3 = 20\) → \(\mathbf{x = 17}\).
Résoudre :
a) \(\dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{6} = 5\)
b) \(\dfrac{2x - 1}{4} = \dfrac{x + 3}{2}\)
a) On multiplie les deux membres par le dénominateur commun \(6\) : \[6 \times \dfrac{x}{3} + 6 \times \dfrac{x}{6} = 6 \times 5\] \[2x + x = 30 \quad ext{soit}quad 3x = 30 \quad ext{soit}quad \mathbf{x = 10}\]
b) On multiplie les deux membres par \(4\) : \[2x - 1 = 2(x + 3) = 2x + 6\] \[-1 = 6 \quad \text{IMPOSSIBLE}\]
L'égalité obtenue est fausse : l'équation n'a aucune solution.
Dans 5 ans, Lucas aura le double de l'âge qu'avait Léa il y a 3 ans. Aujourd'hui, Léa a 14 ans. Quel âge a Lucas aujourd'hui ?
Étape 1 — Données et inconnue
Soit \(L\) l'âge actuel de Lucas. Léa a actuellement 14 ans.
Étape 2 — Mise en équation
Dans 5 ans, Lucas aura \(L + 5\). Il y a 3 ans, Léa avait \(14 - 3 = 11\) ans.
Condition : \(L + 5 = 2 \times 11 = 22\).
Étape 3 — Résolution
\(L = 22 - 5 = \mathbf{17 \text{ ans}}\).
Un rectangle a un périmètre de \(48\) cm. Sa longueur est \(3\) fois sa largeur. Trouve les dimensions.
Étape 1 — Mise en équation
Soit \(\ell\) la largeur. Longueur \(= 3\ell\). \(\mathcal{P} = 2(\ell + 3\ell) = 8\ell = 48\).
Étape 2 — Résolution
\(\ell = \dfrac{48}{8} = \mathbf{6 \text{ cm}}\).
Étape 3 — Longueur
\(L = 3 \times 6 = \mathbf{18 \text{ cm}}\).
Vérification : \(\mathcal{P} = 2(6 + 18) = 48\) cm ✓
Un stylo coûte \(2\) fois plus qu'un crayon. Ensemble, ils coûtent \(5{,}40\) €. Quel est le prix de chacun ?
Étape 1 — Mise en équation
Soit \(c\) le prix du crayon. Stylo \(= 2c\). \[c + 2c = 5{,}40 \quad ext{soit}quad 3c = 5{,}40\]
Étape 2 — Résolution
\(c = 1{,}80\) → crayon \(= \mathbf{1{,}80 \text{ €}}\), stylo \(= \mathbf{3{,}60 \text{ €}}\).
Résoudre : \((x+3)^2 = (x-2)^2 + 20\) (Développer les deux membres)
Étape 1 — Développer chaque carré
\((x+3)^2 = x^2 + 6x + 9\) \((x-2)^2 = x^2 - 4x + 4\)
Étape 2 — Écrire l'équation
\[x^2 + 6x + 9 = (x^2 - 4x + 4) + 20\] \[x^2 + 6x + 9 = x^2 - 4x + 24\]
Étape 3 — Simplifier (\(x^2\) s'annule)
\[6x + 9 = -4x + 24 \quad ext{soit}quad 10x = 15 \quad ext{soit}quad \mathbf{x = 1{,}5}\]
On donne \(ax = 6\).
a) Si \(a = 2\), trouve \(x\).
b) Si \(a = 0\), peut-on résoudre ? Que se passe-t-il ?
c) Si \(a = -3\), trouve \(x\).
a) \(a = 2\)
\(2x = 6 \Rightarrow \mathbf{x = 3}\).
b) \(a = 0\)
\(0 \times x = 6\), soit \(0 = 6\) → IMPOSSIBLE, aucune solution.
On ne peut pas diviser par \(0\). L'équation \(0 \times x = 0\) aurait au contraire une infinité de solutions (tout \(x\) convient).
c) \(a = -3\)
\(-3x = 6 \Rightarrow \mathbf{x = -2}\).
Deux voitures partent en même temps d'une même ville. La première roule à \(80\) km/h, la seconde à \(100\) km/h dans la même direction. Au bout de combien de temps la seconde voiture aura-t-elle \(40\) km d'avance ?
Étape 1 — Mise en équation
Soit \(t\) le temps en heures. Distance parcourue :
Avance de 2 sur 1 : \(100t - 80t = 20t\).
Condition : \(20 t = 40\).
Étape 2 — Résolution
\(t = \mathbf{2 \text{ h}}\).
Le triple d'un nombre, diminué de \(5\), vaut \(22\). Quel est ce nombre ?
\(3x - 5 = 22\), \(3x = 27\), \(x = \mathbf{9}\).
Une famille achète \(3\) billets adultes et \(2\) billets enfants pour \(62\) €. Un billet enfant coûte \(4\) € de moins qu'un billet adulte. Quel est le prix d'un billet adulte ? d'un billet enfant ?
Soit \(x\) le prix adulte : \(3x + 2(x - 4) = 62\), soit \(5x - 8 = 62\), \(5x = 70\), \(x = 14\). Billet adulte : \(14\) € ; billet enfant : \(10\) €. 🔍 \(42 + 20 = 62\) ✓
La longueur d'un rectangle est le double de sa largeur, et son périmètre est de \(48\) cm. Calcule ses dimensions.
Largeur \(x\), longueur \(2x\) : \(2(x + 2x) = 48\), soit \(6x = 48\), \(x = 8\). Le rectangle mesure \(8\) cm sur \(16\) cm.
Résous : \(0{,}5x + 3 = 2x - 1{,}5\).
\(3 + 1{,}5 = 2x - 0{,}5x\), soit \(4{,}5 = 1{,}5x\) et \(x = \mathbf{3}\). 🔍 \(1{,}5 + 3 = 4{,}5\) et \(6 - 1{,}5 = 4{,}5\) ✓
La somme de trois entiers consécutifs vaut \(96\). Quels sont ces entiers ?
\(n + (n + 1) + (n + 2) = 96\), soit \(3n + 3 = 96\), \(n = 31\). Les entiers sont \(31\), \(32\) et \(33\).
Dans le parallélogramme \(ABCD\), les diagonales \([AC]\) et \([BD]\) se coupent en \(O\). On sait que \(AO = 3x + 1\) et \(OC = 5x - 3\) (en cm).
a) Pourquoi a-t-on \(AO = OC\) ? Écris l'équation correspondante.
b) Résous-la, puis calcule \(AC\).
a) Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu : \(O\) est le milieu de \([AC]\), donc \(AO = OC\) : \[3x + 1 = 5x - 3\]
b) On enlève \(3x\) des deux côtés : \(1 = 2x - 3\). On ajoute \(3\) : \(4 = 2x\). On divise par \(2\) : \(\mathbf{x = 2}\). Alors \(AO = 3 \times 2 + 1 = 7\) cm (et \(OC = 5 \times 2 - 3 = 7\) cm ✓), donc \(AC = 2 \times 7 = \mathbf{14 \text{ cm}}\).
On dispose d'un sirop à \(30\%\) de jus et d'un autre à \(80\%\) de jus. On veut obtenir \(5\) L d'un mélange à \(50\%\).
a) Pose l'équation.
b) Résous-la.
c) Vérifie le résultat.
a) Mise en équation
Soit \(x\) litres de sirop à 30% utilisés. On en met \(5 - x\) litres à 80%.
Quantité de jus pur : \(0{,}30 x + 0{,}80 (5 - x)\).
On veut 50% de 5 L \(= 2{,}5\) L de jus.
\[0{,}30 x + 0{,}80(5 - x) = 2{,}5\]
b) Résolution
\(0{,}3 x + 4 - 0{,}8 x = 2{,}5\) \(-0{,}5 x = -1{,}5\) \(\mathbf{x = 3 \text{ L de sirop à 30 \%}}\)
Et \(5 - 3 = 2\) L de sirop à 80%.
c) Vérification
Jus pur : \(0{,}30 \times 3 + 0{,}80 \times 2 = 0{,}9 + 1{,}6 = 2{,}5\) L = 50 % de 5 L ✓
Les demi-droites \([OA)\), \([OB)\) et \([OC)\) ont la même origine \(O\), et \([OB)\) est la bissectrice de l'angle \(\widehat{AOC}\). On sait que \(\widehat{AOB} = 3x + 10\) et \(\widehat{BOC} = 5x - 14\) (en degrés).
a) Écris une équation traduisant la situation.
b) Trouve \(x\).
c) Calcule \(\widehat{AOC}\).
a) La bissectrice partage l'angle en deux angles égaux : \(\widehat{AOB} = \widehat{BOC}\), soit \[3x + 10 = 5x - 14\]
b) On enlève \(3x\) : \(10 = 2x - 14\). On ajoute \(14\) : \(24 = 2x\). Donc \(\mathbf{x = 12}\).
c) \(\widehat{AOB} = 3 \times 12 + 10 = 46°\) (vérification : \(5 \times 12 - 14 = 46°\) ✓). \[\widehat{AOC} = 2 \times 46° = \mathbf{92°}\]
Pierre place \(4\,000\) € à deux taux : une partie à \(3\%\) et le reste à \(5\%\). Les intérêts annuels totaux sont \(156\) €.
a) Pose l'équation si \(x\) est la somme placée à \(3\%\).
b) Résous-la.
c) Combien est placé à chaque taux ?
a) Mise en équation
Soit \(x\) la somme à 3%. Le reste \((4\,000 - x)\) est à 5%.
Intérêts annuels : \(0{,}03 x + 0{,}05 (4\,000 - x) = 156\).
b) Résolution
\(0{,}03 x + 200 - 0{,}05 x = 156\) \(-0{,}02 x = -44\) \(\mathbf{x = 2\,200 \text{ €}}\)
c) Répartition
Vérification : \(0{,}03 \times 2200 + 0{,}05 \times 1800 = 66 + 90 = 156\) ✓
Dans le triangle \(ABC\) : \(\widehat{A} = 3x + 10°\), \(\widehat{B} = x + 20°\), \(\widehat{C} = 2x + 30°\).
a) Écris l'équation.
b) Résous-la.
c) Calcule les angles.
d) Identifie le type de triangle.
a) Équation
Somme des angles \(= 180°\) : \[(3x + 10) + (x + 20) + (2x + 30) = 180\]
b) Résolution
\(6x + 60 = 180 \quad ext{soit}quad 6x = 120 \quad ext{soit}quad \mathbf{x = 20}\).
c) Angles
Vérification : \(70 + 40 + 70 = 180°\) ✓
d) Nature
\(\widehat{A} = \widehat{C} = 70°\) → triangle isocèle.
Un réservoir de \(600\) L peut être rempli par un robinet \(A\) en \(3\) h et vidé par une pompe \(B\) en \(4\) h. Si \(A\) et \(B\) fonctionnent simultanément avec le réservoir vide :
a) Quel est le débit net (en L/h) ?
b) En combien de temps le réservoir sera-t-il plein ?
c) Si le réservoir est déjà à moitié plein au départ, en combien de temps est-il plein ?
a) Débit net
Débit net (remplit) : \(200 - 150 = \mathbf{50 \text{ L/h}}\).
b) Temps total à partir de vide
\[t = \dfrac{600}{50} = \mathbf{12 \text{ h}}\]
c) Si déjà à moitié
Il reste \(300\) L à remplir : \[t = \dfrac{300}{50} = \mathbf{6 \text{ h}}\]
