4e · Chapitre 14 · Données et probabilités

Probabilités

30 exercices corrigés

1 Vocabulaire

Vocabulaire

une expérience aléatoire a plusieurs résultats possibles, qu'on ne peut pas prévoir à l'avance (lancer un dé, tirer une carte…) ;
ces résultats sont les issues ;
un événement est un ensemble d'issues (« obtenir un nombre pair » est réalisé par les issues $2$, $4$, $6$) ;
un événement certain est toujours réalisé, un événement impossible ne l'est jamais.

2 Calculer une probabilité

À retenir

Une probabilité est un nombre entre $0$ et $1$. Quand toutes les issues ont la même chance (équiprobabilité) : $P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}}$

Exemple

(dé équilibré) : $P(\text{pair}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ ; $P(\text{plus grand que } 4) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.

Événement contraire

L'événement « non $A$ », noté $\overline{A}$, est réalisé quand $A$ ne l'est pas. $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ Exemple : $P(\text{ne pas faire } 6) = 1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$.

3 « $A$ et $B$ », « $A$ ou $B$ »

Avec un dé, on note $A$ : « obtenir un nombre pair » ($2, 4, 6$) et $B$ : « obtenir un multiple de $3$ » ($3, 6$).

« $A$ et $B$ » est réalisé par les issues qui sont dans les deux : $6$. Probabilité $\dfrac{1}{6}$.
« $A$ ou $B$ » est réalisé par les issues qui sont dans l'un au moins : $2, 3, 4, 6$. Probabilité $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$.

Attention

$P(A \text{ ou } B)$ n'est pas forcément $P(A) + P(B)$ : ici $\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}$, car on aurait compté l'issue $6$ deux fois. Le plus sûr est de lister les issues.

Événements incompatibles

$A$ et $B$ sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps. Dans ce cas seulement, $P(A \text{ ou } B) = P(A) + P(B)$.

4 Expériences à deux épreuves

Quand une expérience se fait en deux étapes, on représente toutes les issues avec un tableau à double entrée ou un arbre.

Tableau

On lance deux dés ; il y a $6 \times 6 = 36$ issues équiprobables. La somme $7$ est obtenue $6$ fois : $(1;6)$, $(2;5)$, $(3;4)$, $(4;3)$, $(5;2)$, $(6;1)$. Donc $P(\text{somme} = 7) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$.

Un sac contient 3 boules rouges et 2 bleues. On tire une boule, on la remet, puis on en tire une autre.

Avec un arbre

la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités rencontrées sur ce chemin : $P(RR) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{25}$ ;
la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui le réalisent : $P(\text{même couleur}) = \dfrac{9}{25} + \dfrac{4}{25} = \dfrac{13}{25}$.

5 Fréquence et probabilité

Si on répète une expérience un grand nombre de fois, la fréquence d'un événement se rapproche de sa probabilité. On peut ainsi estimer une probabilité inconnue grâce à une simulation (tableur, Scratch…).

Tu as lu le cours ?Voir la fiche mémo →

L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.

L'essentiel

Notion	Ce qu'il faut savoir
Probabilité	Entre $0$ (impossible) et $1$ (certain)
Équiprobabilité	$P(A) = \dfrac{\text{issues favorables}}{\text{issues possibles}}$
Événement contraire	$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$
« $A$ et $B$ » / « $A$ ou $B$ »	Lister les issues communes / les issues de l'un au moins
Incompatibles	$P(A \text{ ou } B) = P(A) + P(B)$
Arbre	Produit le long d'un chemin ; somme des chemins favorables
Fréquence	Sur un grand nombre d'essais, elle se rapproche de la probabilité

Pièges à éviter

Ne pas compter deux fois les issues communes à $A$ et $B$.
Avec deux dés, $(1;6)$ et $(6;1)$ sont deux issues différentes.
Sans remise, les probabilités du 2e tirage changent.

Prêt à t’entraîner ?Faire les exercices →

Niveau 1Facile (Exercices 1 à 11)

Exercice 1—Dé équilibréNiveau 1

On lance un dé à 6 faces. Calcule :
a) $P(\text{obtenir 3})$
b) $P(\text{obtenir un nombre pair})$
c) $P(\text{obtenir un nombre supérieur ou égal à 5})$
d) $P(\text{ne pas obtenir 1})$

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Règle (équiprobabilité)

pour un dé équilibré, $P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{6}$.

a) $P(\text{obtenir 3})$

Une seule issue favorable (le 3) sur 6 : $P(3) = \mathbf{\dfrac{1}{6}}$

b) $P(\text{nombre pair})$

Issues favorables : $\{2, 4, 6\}$ → 3 issues. $P(\text{pair}) = \dfrac{3}{6} = \mathbf{\dfrac{1}{2}}$

c) $P(\geq 5)$

Issues favorables : $\{5, 6\}$ → 2 issues. $P(\geq 5) = \dfrac{2}{6} = \mathbf{\dfrac{1}{3}}$

d) $P(\text{ne pas obtenir 1})$

Méthode 1 : 5 issues favorables sur 6 → $\dfrac{5}{6}$. Méthode 2 (complémentaire) : $P(\overline{1}) = 1 - P(1) = 1 - \dfrac{1}{6} = \mathbf{\dfrac{5}{6}}$ ✓

Astuce

Utiliser le complémentaire est très utile quand l'événement contraire est plus simple à dénombrer.

Exercice 2—Tirage de cartesNiveau 1

Dans un jeu de 32 cartes (4 couleurs : cœur ♥, carreau ♦, trèfle ♣, pique ♠ ; 8 valeurs : 7,8,9,10,V,D,R,A).
a) $P(\text{tirer un as})$
b) $P(\text{tirer une carte de cœur})$
c) $P(\text{tirer l'as de cœur})$

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Stratégie

dans un jeu de 32 cartes, chaque carte a la même probabilité $\dfrac{1}{32}$ d'être tirée (équiprobabilité).

a) $P(\text{as})$

Il y a 4 as (un par couleur) : $P(\text{as}) = \dfrac{4}{32} = \mathbf{\dfrac{1}{8}}$

b) $P(\text{cœur})$

Il y a 8 cartes de cœur (une par valeur) : $P(\heartsuit) = \dfrac{8}{32} = \mathbf{\dfrac{1}{4}}$

c) $P(\text{as de cœur})$

Une seule carte = l'as de cœur : $P(\text{as de }\heartsuit) = \mathbf{\dfrac{1}{32}}$

🔍 Vérification du lien : $P(\text{as de cœur}) = P(\text{as}) \times P(\text{cœur} | \text{as}) = \dfrac{1}{8} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{32}$ ✓ (probabilité d'intersection d'événements indépendants en quelque sorte).

Exercice 3—Événement et complémentaireNiveau 1

$P(A) = 0{,}35$. Calcule $P(\bar{A})$.

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Règle

$P(\bar A) = 1 - P(A)$.

Étape 1 — Application

$P(\bar A) = 1 - 0{,}35 = \mathbf{0{,}65}$

🔍 Vérification : $P(A) + P(\bar A) = 0{,}35 + 0{,}65 = 1$ ✓ (l'union de $A$ et $\bar A$ est l'événement certain).

Mémo

La somme d'une probabilité et de son complémentaire est toujours égale à 1.

Exercice 4—Boules dans une urneNiveau 1

Une urne contient 5 boules rouges, 3 bleues et 2 vertes.
a) $P(\text{rouge})$
b) $P(\text{bleue})$
c) $P(\text{non rouge})$

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Étape 1 — Total des boules

$\[N = 5 + 3 + 2 = 10\]$

Étape 2 — a) Probabilité de tirer une rouge

$P(R) = \dfrac{5}{10} = \mathbf{\dfrac{1}{2}}$

Étape 3 — b) Probabilité de tirer une bleue

$P(B) = \mathbf{\dfrac{3}{10}}$

Étape 4 — c) Probabilité de non-rouge (complémentaire)

$P(\bar R) = 1 - P(R) = 1 - \dfrac{1}{2} = \mathbf{\dfrac{1}{2}}$

🔍 Vérification : $P(\bar R) = P(B) + P(V) = \dfrac{3}{10} + \dfrac{2}{10} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$ ✓

Exercice 5—Événement impossible / certainNiveau 1

On lance un dé à 6 faces. Donne la probabilité :
a) D'obtenir un 7.
b) D'obtenir un nombre entre 1 et 6 inclus.
c) D'obtenir un nombre pair ou impair.

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Règle

événement impossible → $P = 0$ ; événement certain → $P = 1$.

a) Obtenir 7

Le dé n'a pas de face 7 → événement impossible. $P = \mathbf{0}$

b) Obtenir entre 1 et 6 inclus

Toutes les faces vérifient cela → événement certain. $P = \mathbf{1}$

c) Pair OU impair

Chaque nombre du dé est soit pair soit impair → événement certain. $P = \mathbf{1}$

Échelle

$0 \leq P(A) \leq 1$ toujours. Les bornes correspondent aux cas extrêmes (impossible / certain).

Exercice 6—Fréquence et probabilitéNiveau 1

On lance 200 fois une pièce et on obtient 108 fois «Face».
a) Calcule la fréquence de «Face».
b) Compare à la probabilité théorique. La pièce semble-t-elle équilibrée ?

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Stratégie

on calcule la fréquence observée, on compare à la probabilité théorique $\dfrac{1}{2}$.

a) Fréquence de « Face »

$f = \dfrac{108}{200} = \mathbf{0{,}54}$

b) Comparaison avec la théorie

Probabilité théorique pour une pièce équilibrée : $P(F) = 0{,}5$.

Différence : $0{,}54 - 0{,}50 = 0{,}04$, soit 4 % d'écart.

C'est un écart faible, compatible avec les fluctuations naturelles sur 200 lancers. La pièce semble équilibrée (on ne peut pas conclure qu'elle est truquée avec si peu d'écart).

Loi des grands nombres

Si on augmentait $n$ (par exemple 10 000 lancers), la fréquence devrait converger plus précisément vers 0,5.

Exercice 7—Le déNiveau 1

On lance un dé équilibré à six faces. Calcule la probabilité d'obtenir :
a) $6$ $\quad$
b) un nombre pair $\quad$
c) un nombre strictement supérieur à $4$

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🎯 $P = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$.

a) $\mathbf{\dfrac{1}{6}}$ ; b) $\dfrac{3}{6} = \mathbf{\dfrac{1}{2}}$ ; c) issues $5$ et $6$ : $\dfrac{2}{6} = \mathbf{\dfrac{1}{3}}$.

Exercice 8—L'urneNiveau 1

Une urne contient $3$ boules rouges, $5$ bleues et $2$ vertes. On tire une boule au hasard. Calcule $P(\text{rouge})$, $P(\text{bleue})$ et $P(\text{pas verte})$.

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$10$ boules au total. $P(\text{rouge}) = \mathbf{\dfrac{3}{10}}$ ; $P(\text{bleue}) = \dfrac{5}{10} = \mathbf{\dfrac{1}{2}}$ ; $P(\text{pas verte}) = \dfrac{8}{10} = \mathbf{\dfrac{4}{5}}$.

Exercice 9—L'événement contraireNiveau 1

La probabilité qu'il pleuve demain est $0{,}35$. Quelle est la probabilité qu'il ne pleuve pas ?

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$1 - 0{,}35 = \mathbf{0{,}65}$.

Exercice 10—Certain ou impossible ?Niveau 1

On lance un dé à six faces. Dis si l'événement est certain, impossible ou ni l'un ni l'autre :
a) « obtenir $7$ » $\quad$
b) « obtenir un nombre inférieur ou égal à $6$ » $\quad$
c) « obtenir $3$ »

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a) impossible ($P = 0$) ; b) certain ($P = 1$) ; c) ni l'un ni l'autre ($P = \dfrac{1}{6}$).

Exercice 11—Les cartesNiveau 1

On tire une carte dans un jeu de $32$ cartes. Calcule la probabilité de tirer :
a) un roi $\quad$
b) un cœur $\quad$
c) le roi de cœur

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a) $\dfrac{4}{32} = \mathbf{\dfrac{1}{8}}$ ; b) $\dfrac{8}{32} = \mathbf{\dfrac{1}{4}}$ ; c) $\mathbf{\dfrac{1}{32}}$.

Niveau 2Intermédiaire (Exercices 12 à 24)

Exercice 12—Tableau à double entréeNiveau 2

On lance deux dés. Construis le tableau des 36 issues et calcule :
a) $P(\text{somme} = 8)$
b) $P(\text{somme} \leq 4)$
c) $P(\text{les deux dés montrent le même chiffre})$

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Stratégie

on lance deux dés, $36 = 6 \times 6$ issues équiprobables.

a) $P(\text{somme} = 8)$

Issues favorables : $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$ → 5 issues. $P(\text{somme} = 8) = \mathbf{\dfrac{5}{36}}$

b) $P(\text{somme} \leq 4)$

Issues favorables : $(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (3,1)$ → 6 issues. $P(\text{somme} \leq 4) = \dfrac{6}{36} = \mathbf{\dfrac{1}{6}}$

c) $P(\text{doubles})$

Issues favorables : $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)$ → 6 issues. $P(\text{doubles}) = \dfrac{6}{36} = \mathbf{\dfrac{1}{6}}$

Symétrie

Pour la somme, la somme 7 est la plus probable (6/36) — c'est la valeur centrale. Les sommes 2 et 12 sont les moins probables (1/36 chacune).

Exercice 13—Arbre de probabilitésNiveau 2

Sac avec 4 boules rouges (R) et 6 bleues (B). On tire une boule, on note sa couleur, on la remet. On tire une deuxième boule.
a) Construis l'arbre.
b) $P(RR)$, $P(RB)$, $P(BR)$, $P(BB)$.
c) $P(\text{au moins une rouge})$.

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Stratégie

tirage avec remise → tirages indépendants, mêmes probabilités à chaque étape.

Étape 1 — Probabilités par tirage

Total = 4 + 6 = 10 boules. $P(R) = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5} \quad ; \quad P(B) = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$

Étape 2 — a) Construire l'arbre

       2/5         2/5       → P(RR) = 4/25
        R ─────── R
       /          3/5       → P(RB) = 6/25
      /            B
[Tirage]
      \           2/5       → P(BR) = 6/25
       3/5        R
        B ─────── 
                  3/5       → P(BB) = 9/25
                   B

Étape 3 — b) Probabilités des 4 chemins (produit des branches)

$P(RR) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{2}{5} = \mathbf{\dfrac{4}{25}}$ $P(RB) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{5} = \mathbf{\dfrac{6}{25}}$ $P(BR) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{5} = \mathbf{\dfrac{6}{25}}$ $P(BB) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{3}{5} = \mathbf{\dfrac{9}{25}}$

🔍 Vérification : $4 + 6 + 6 + 9 = 25$ → somme = $\dfrac{25}{25} = 1$ ✓

Étape 4 — c) Au moins une rouge (complémentaire)

$P(\text{au moins 1 R}) = 1 - P(BB) = 1 - \dfrac{9}{25} = \mathbf{\dfrac{16}{25}}$

Astuce du complémentaire

« au moins un » se calcule presque toujours via le contraire (= « aucun »).

Exercice 14—Arbre sans remiseNiveau 2

Même sac (4R + 6B). Tirage sans remise.
a) Construis l'arbre (les probabilités au 2e tirage dépendent du 1er).
b) $P(\text{deux boules de même couleur})$.

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Stratégie

tirage SANS remise → les probabilités du 2e tirage dépendent du résultat du 1er (il reste une boule en moins).

Étape 1 — Probabilités conditionnelles

Après 1er tirage R (il reste 3R + 6B = 9 boules) :

$P(R | R) = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$
$P(B | R) = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$

Après 1er tirage B (il reste 4R + 5B = 9 boules) :

$P(R | B) = \dfrac{4}{9}$
$P(B | B) = \dfrac{5}{9}$

Étape 2 — a) Arbre

       4/10        3/9   → RR : 12/90
        R ─────── R
       /          6/9   → RB : 24/90
      /            B
[Tirage]
      \           4/9   → BR : 24/90
       6/10       R
        B ─────── 
                  5/9   → BB : 30/90
                   B

Étape 3 — b) $P(\text{même couleur})$

$P(RR) = \dfrac{4}{10} \times \dfrac{3}{9} = \dfrac{12}{90} = \dfrac{2}{15}$ $P(BB) = \dfrac{6}{10} \times \dfrac{5}{9} = \dfrac{30}{90} = \dfrac{1}{3}$ $P(\text{même couleur}) = \dfrac{2}{15} + \dfrac{5}{15} = \mathbf{\dfrac{7}{15}}$

🔍 Vérification : somme totale = $\dfrac{12 + 24 + 24 + 30}{90} = \dfrac{90}{90} = 1$ ✓

Sans remise

Vs avec remise : sans remise, les probabilités évoluent — plus utile dans les situations réelles (tirage de cartes, sélection sans replacement).

Exercice 15—Réunion d'événementsNiveau 2

Dé à 6 faces. $A$ = «nombre pair», $B$ = «nombre supérieur à 3».
a) Liste les issues qui réalisent $A$, $B$, « $A$ et $B$ », « $A$ ou $B$ ».
b) Calcule $P(A)$, $P(B)$, $P(A \text{ et } B)$ et $P(A \text{ ou } B)$.
c) Pourquoi $P(A \text{ ou } B)$ n'est-il pas égal à $P(A) + P(B)$ ?

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$A$ : $2, 4, 6$ ;
$B$ : $4, 5, 6$ ;
« $A$ et $B$ » (pair et supérieur à $3$) : $4, 6$ ;
« $A$ ou $B$ » (pair ou supérieur à $3$) : $2, 4, 5, 6$.

b) $P(A) = \dfrac{3}{6} = \mathbf{\dfrac{1}{2}}$ ; $P(B) = \mathbf{\dfrac{1}{2}}$ ; $P(A \text{ et } B) = \dfrac{2}{6} = \mathbf{\dfrac{1}{3}}$ ; $P(A \text{ ou } B) = \dfrac{4}{6} = \mathbf{\dfrac{2}{3}}$.

c) $P(A) + P(B) = 1$, mais les issues $4$ et $6$ sont à la fois dans $A$ et dans $B$ : en additionnant, on les compterait deux fois. $A$ et $B$ ne sont pas incompatibles.

Exercice 16—Tirage multipleNiveau 2

Dans un sac : 10 jetons numérotés de 1 à 10. On tire un jeton.
a) $P(\text{multiple de 3})$
b) $P(\text{diviseur de 6})$
c) $P(\text{multiple de 3 ET diviseur de 6})$
d) $P(\text{multiple de 3 OU diviseur de 6})$

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Stratégie

on identifie les ensembles {multiples de 3, diviseurs de 6}, on calcule chaque probabilité.

a) Multiples de 3 entre 1 et 10

$\{3, 6, 9\}$ → 3 éléments. $P(\text{mult 3}) = \mathbf{\dfrac{3}{10}}$

b) Diviseurs de 6

Diviseurs de 6 : $\{1, 2, 3, 6\}$ → 4 éléments. $P(\text{div 6}) = \dfrac{4}{10} = \mathbf{\dfrac{2}{5}}$

c) Mult 3 ET div 6

Les nombres qui sont à la fois multiples de $3$ et diviseurs de $6$ : $3$ et $6$. $P = \mathbf{\dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}}$

d) Mult 3 OU div 6

On liste les nombres qui sont multiples de $3$ ou diviseurs de $6$ (sans compter deux fois $3$ et $6$) : $1, 2, 3, 6, 9$, soit $5$ jetons. $P = \frac{5}{10} = \mathbf{\frac{1}{2}}$

Exercice 17—Problème de classeNiveau 2

Dans une classe de 30 élèves, 18 pratiquent un sport et 12 jouent d'un instrument. 6 font les deux. On choisit un élève au hasard.
a) $P(\text{pratique un sport})$
b) $P(\text{sport OU instrument})$
c) $P(\text{ni sport ni instrument})$

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Stratégie

on traduit les données en effectifs, en séparant bien les élèves qui font les deux activités.

a) Probabilité de pratiquer un sport

$P(\text{sport}) = \dfrac{18}{30} = \mathbf{\dfrac{3}{5}}$

b) Sport OU instrument

Sport seulement : $18 - 6 = 12$ élèves ; instrument seulement : $12 - 6 = 6$ ; les deux : $6$. Sport ou instrument : $12 + 6 + 6 = 24$ élèves. $P(\text{sport ou instrument}) = \frac{24}{30} = \mathbf{\frac{4}{5}}$

c) Ni sport ni instrument (complémentaire)

C'est l'événement contraire de « sport ou instrument » : $1 - \frac{4}{5} = \mathbf{\frac{1}{5}}$

➡️ Soit 6 élèves sur 30 qui ne pratiquent ni l'un ni l'autre.

🔍 Vérification (effectifs) : sport seul = $18 - 6 = 12$ ; instrument seul = $12 - 6 = 6$ ; deux = 6 ; aucun = $30 - 12 - 6 - 6 = 6$. Total = $12 + 6 + 6 + 6 = 30$ ✓

Exercice 18—SimulationNiveau 2

On simule 1000 lancers d'un dé truqué et on obtient les fréquences :

Face	1	2	3	4	5	6
Fréquence	0,12	0,18	0,15	0,20	0,16	0,19

a) Ces fréquences semblent-elles indiquer un dé équilibré ? Justifie.
b) Quelle face semble favorisée ?

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Stratégie

si le dé était équilibré, chaque face aurait une fréquence proche de $\dfrac{1}{6} \approx 0{,}167$.

a) Analyse des fréquences

Face	Fréq. obs.	Fréq. théo. ($\frac{1}{6}$)	Écart
1	0,12	0,167	-0,047
2	0,18	0,167	+0,013
3	0,15	0,167	-0,017
4	0,20	0,167	+0,033
5	0,16	0,167	-0,007
6	0,19	0,167	+0,023

Les faces 1 (0,12) et 4 (0,20) s'écartent le plus de la valeur théorique. Sur 1 000 lancers, ces écarts sont significatifs → le dé semble truqué.

b) Face favorisée

La face 4 apparaît le plus souvent (fréquence 0,20).

➡️ Le dé favorise probablement la face 4.

Significance statistique

Sur 1 000 lancers, on attend ~167 fois chaque face. 200 (face 4) et 120 (face 1) sont statistiquement éloignées de 167 → biais probable.

Exercice 19—Jeu de hasardNiveau 2

Un jeu : on lance un dé. Si on obtient 6, on gagne 5 €. Sinon, on perd 1 €.
a) $P(\text{gagner})$ et $P(\text{perdre})$.
b) Sur 30 parties, combien espère-t-on gagner et perdre (en moyenne) ?

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Stratégie

on calcule chaque probabilité, puis on multiplie par le nombre de parties pour avoir l'espérance.

Étape 1 — a) Probabilités

$P(\text{gagner}) = P(6) = \dfrac{1}{6}$ $P(\text{perdre}) = 1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$

Étape 2 — b) Espérance sur 30 parties

Nombre attendu de victoires : $30 \times \dfrac{1}{6} = \mathbf{5 \text{ victoires}}$
Nombre attendu de défaites : $30 \times \dfrac{5}{6} = \mathbf{25 \text{ défaites}}$

Étape 3 — Bilan financier

Gains : $5 \times 5\,\text{€} = +25\,\text{€}$
Pertes : $25 \times (-1)\,\text{€} = -25\,\text{€}$
Solde moyen sur 30 parties : $25 - 25 = \mathbf{0\,\text{€}}$ (jeu équitable en moyenne).

Espérance par partie

$E = \dfrac{1}{6} \times 5 + \dfrac{5}{6} \times (-1) = \dfrac{5}{6} - \dfrac{5}{6} = 0$. Le jeu est équitable sur le long terme.

Exercice 20—La roueNiveau 2

Une roue est partagée en $8$ secteurs égaux : $3$ rouges, $4$ bleus et $1$ jaune. Calcule $P(\text{rouge})$ et $P(\text{pas jaune})$.

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$P(\text{rouge}) = \mathbf{\dfrac{3}{8}}$ ; $P(\text{pas jaune}) = 1 - \dfrac{1}{8} = \mathbf{\dfrac{7}{8}}$.

Exercice 21—Deux piècesNiveau 2

On lance deux pièces équilibrées.
a) Liste toutes les issues.
b) Calcule la probabilité d'obtenir au moins un « pile ».

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a) PP, PF, FP, FF : $4$ issues équiprobables.

b) « Au moins un pile » est le contraire de « FF » : $1 - \dfrac{1}{4} = \mathbf{\dfrac{3}{4}}$.

Exercice 22—Fréquence et probabilitéNiveau 2

On lance un dé $600$ fois ; le $6$ sort $112$ fois.
a) Calcule la fréquence d'apparition du $6$ (au millième).
b) Compare-la à la probabilité. Que se passerait-il avec beaucoup plus de lancers ?

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a) $\dfrac{112}{600} \approx \mathbf{0{,}187}$.

b) La probabilité vaut $\dfrac{1}{6} \approx 0{,}167$. Les deux sont proches ; avec beaucoup plus de lancers, la fréquence se rapprocherait encore de $\dfrac{1}{6}$.

Exercice 23—Compléter l'urneNiveau 2

Une urne contient $4$ boules rouges. Combien faut-il ajouter de boules bleues pour que la probabilité de tirer une rouge soit $\dfrac{1}{5}$ ?

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$\dfrac{4}{\text{total}} = \dfrac{1}{5}$ donne un total de $20$ boules : il faut ajouter $\mathbf{16}$ boules bleues.

Exercice 24—LunettesNiveau 2

Une classe compte $12$ filles, dont $5$ portent des lunettes, et $13$ garçons, dont $4$ portent des lunettes. On choisit un élève au hasard.
a) Calcule la probabilité qu'il porte des lunettes.
b) Calcule la probabilité que ce soit une fille sans lunettes.

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$25$ élèves au total.

a) $5 + 4 = 9$ élèves à lunettes : $P = \dfrac{9}{25} = \mathbf{0{,}36}$.

b) $12 - 5 = 7$ filles sans lunettes : $P = \mathbf{\dfrac{7}{25}}$.

Niveau 3Difficile/Expert (Exercices 25 à 30)

Exercice 25—Tirage dans un jeu de cartes (32 cartes)Niveau 3

On tire 2 cartes successivement sans remise.
a) $P(\text{deux as})$.
b) $P(\text{au moins un as})$ (utiliser le complémentaire).

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Stratégie

tirage sans remise → on multiplie les probabilités successives en tenant compte de la diminution du jeu.

a) Probabilité de deux as

1er tirage : 4 as sur 32 cartes → $\dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}$. 2e tirage (après avoir tiré un as, il en reste 3 sur 31) : $\dfrac{3}{31}$. $P(2 \text{ as}) = \dfrac{1}{8} \times \dfrac{3}{31} = \mathbf{\dfrac{3}{248}} \approx 0{,}012$

b) Au moins un as (par le complémentaire)

Complémentaire = « aucun as » = « les deux cartes sont non-as ». $P(\text{aucun as}) = \dfrac{28}{32} \times \dfrac{27}{31} = \dfrac{7}{8} \times \dfrac{27}{31} = \dfrac{189}{248}$ $P(\text{au moins 1 as}) = 1 - \dfrac{189}{248} = \mathbf{\dfrac{59}{248}} \approx 0{,}238$

Compter par le contraire

Pour « au moins un X », passer par « aucun X » est presque toujours plus simple.

Exercice 26—Codes PINNiveau 3

Un code à 4 chiffres (de 0 à 9) est choisi au hasard (répétitions autorisées).
a) Combien de codes différents y a-t-il ?
b) $P(\text{code commençant par 1})$.
c) $P(\text{code avec que des chiffres pairs})$.

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Stratégie

on dénombre par le principe multiplicatif (chiffres indépendants, répétitions autorisées).

a) Nombre total de codes

4 chiffres indépendants, chacun avec 10 possibilités : $N = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4 = \mathbf{10\,000 \text{ codes}}$

b) Codes commençant par 1

1er chiffre fixé (= 1), les 3 autres libres : $N_1 = 1 \times 10 \times 10 \times 10 = 1\,000$ $P = \dfrac{1\,000}{10\,000} = \mathbf{\dfrac{1}{10}}$

🔍 Vérification intuitive : un code sur 10 commence par n'importe quel chiffre donné → $P = \dfrac{1}{10}$ ✓

c) Codes avec uniquement des chiffres pairs

Chiffres pairs : $\{0, 2, 4, 6, 8\}$ → 5 chiffres possibles à chaque position. $N_{\text{pair}} = 5^4 = 625$ $P = \dfrac{625}{10\,000} = \mathbf{\dfrac{1}{16} = 0{,}0625}$

Principe multiplicatif

Pour des choix indépendants, on multiplie le nombre de possibilités à chaque étape.

Exercice 27—Paradoxe de Monty Hall (problème célèbre)Niveau 3

Dans un jeu, il y a 3 portes. Derrière l'une se trouve une voiture, les deux autres cachent des chèvres. Tu choisis la porte n°1. L'animateur ouvre la porte n°3 (une chèvre). Il te propose de changer pour la porte n°2.
a) Si tu ne changes pas : $P(\text{gagner})$ ?
b) Si tu changes : $P(\text{gagner})$ ? (Raisonner par arbre ou dénombrement.)

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Stratégie

le paradoxe vient de l'information supplémentaire donnée par l'animateur. Raisonnement par dénombrement.

a) Sans changer

Le joueur a choisi la porte 1 dès le début (avant toute information). La voiture est derrière chaque porte avec probabilité $\dfrac{1}{3}$, donc : $P(\text{gagner sans changer}) = \mathbf{\dfrac{1}{3}}$

b) En changeant

On distingue 3 cas équiprobables (où est la voiture) :

Voiture derrière	Choix initial (porte 1)	Animateur ouvre	Si changement →	Résultat
Porte 1	Bon	Porte 2 ou 3	Porte 3 ou 2	Perd
Porte 2	Mauvais	Porte 3 (chèvre)	Porte 2	Gagne
Porte 3	Mauvais	Porte 2 (chèvre)	Porte 3	Gagne

Donc en changeant, on gagne dans 2 cas sur 3 : $P(\text{gagner en changeant}) = \mathbf{\dfrac{2}{3}}$

➡️ Conclusion : il vaut toujours mieux changer ! La probabilité de gagner double.

Intuition

L'animateur ne choisit pas au hasard — il sait où est la voiture et ouvre toujours une porte avec une chèvre. Cette information "transfère" la probabilité de la porte 3 à la porte 2 si on change.

Exercice 28—Problème de matchingNiveau 3

5 lettres sont mises au hasard dans 5 enveloppes. $P(\text{aucune lettre dans la bonne enveloppe})$ vaut environ $\approx 0{,}367$ (résultat admis). Calcule $P(\text{au moins une lettre dans la bonne enveloppe})$.

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Stratégie

on utilise le complémentaire — "au moins une bonne" = contraire de "aucune bonne".

Étape 1 — Probabilité du complémentaire (donnée)

$P(\text{aucune lettre dans la bonne enveloppe}) \approx 0{,}367$

Étape 2 — Au moins une bonne

$P(\text{au moins une bonne}) = 1 - 0{,}367 = \mathbf{0{,}633}$

➡️ Soit environ 63,3 % de chances.

Curiosité mathématique

Pour $n$ lettres et $n$ enveloppes, la probabilité « aucune au bon endroit » tend vers $\dfrac{1}{e} \approx 0{,}368$ quand $n$ devient grand. C'est l'un des résultats les plus surprenants en combinatoire (problème des dérangements).

Exercice 29—Répétitions indépendantesNiveau 3

On lance 3 fois une pièce équilibrée.
a) Combien d'issues y a-t-il en tout ?
b) $P(\text{exactement 2 faces})$.
c) $P(\text{au moins 1 pile})$.

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Stratégie

on dénombre toutes les issues équiprobables (PFF, etc.), puis on compte les cas favorables.

a) Nombre total d'issues

3 lancers indépendants, 2 issues chacun : $N = 2^3 = \mathbf{8 \text{ issues}}$

Liste : PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF.

b) Exactement 2 faces

Issues favorables (exactement 2 F) : PFF, FPF, FFP → 3 issues. $P(\text{exactement 2 F}) = \mathbf{\dfrac{3}{8}}$

c) Au moins 1 pile (par complémentaire)

Complémentaire = « aucun pile » = FFF → 1 seule issue, donc $P = \dfrac{1}{8}$. $P(\text{au moins 1 P}) = 1 - \dfrac{1}{8} = \mathbf{\dfrac{7}{8}}$

🔍 Vérification : aucun pile = FFF (1 cas). Tous les autres (7 cas) ont au moins 1 P → $\dfrac{7}{8}$ ✓

Distribution binomiale

Pour $n$ lancers indépendants équilibrés, $P(\text{exactement } k \text{ piles}) = \dfrac{\binom{n}{k}}{2^n}$. Programme du lycée.

Exercice 30—SynthèseNiveau 3

Un QCM comporte 4 questions. Chaque question a 3 réponses dont une seule est juste. Un élève répond au hasard.
a) $P(\text{bonne réponse à la 1ère question})$.
b) $P(\text{toutes les réponses fausses})$.
c) $P(\text{exactement une bonne réponse})$.
d) $P(\text{au moins une bonne réponse})$.

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Stratégie

les 4 questions sont indépendantes. On utilise les probabilités élémentaires multipliées.

Étape 1 — Probabilités élémentaires

$p = P(\text{bonne}) = \dfrac{1}{3} \quad ; \quad q = P(\text{mauvaise}) = \dfrac{2}{3}$

Étape 2 — a) Bonne à la 1ère question

$P = \mathbf{\dfrac{1}{3}}$

Étape 3 — b) Toutes fausses (4 mauvaises)

Indépendance → produit des probabilités : $P = q^4 = \left(\dfrac{2}{3}\right)^4 = \dfrac{16}{81} \approx \mathbf{0{,}198}$

Étape 4 — c) Exactement une bonne réponse

Il y a 4 positions possibles pour la bonne réponse (1ère, 2e, 3e, ou 4e question). Chaque cas : 1 bonne × 3 mauvaises avec probabilité $p \cdot q^3$. $P = 4 \times p \times q^3 = 4 \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{8}{27} = \dfrac{32}{81} \approx \mathbf{0{,}395}$

Étape 5 — d) Au moins une bonne (complémentaire)

$P(\text{au moins 1}) = 1 - P(\text{toutes fausses}) = 1 - \dfrac{16}{81} = \mathbf{\dfrac{65}{81} \approx 0{,}802}$

➡️ Un élève répondant au hasard a tout de même 80 % de chances d'avoir au moins une réponse juste !

Implication pour un QCM

C'est pourquoi les évaluateurs utilisent souvent un malus sur les mauvaises réponses (sinon, on peut « gagner » en répondant aléatoirement).

1 Vocabulaire

2 Calculer une probabilité

3 « \(A\) et \(B\) », « \(A\) ou \(B\) »

4 Expériences à deux épreuves

5 Fréquence et probabilité

L'essentiel

Pièges à éviter

Niveau 1Facile (Exercices 1 à 11)

Niveau 2Intermédiaire (Exercices 12 à 24)

Niveau 3Difficile/Expert (Exercices 25 à 30)