Le théorème de Thalès

Étape 1 — Identifier la configuration et écrire l'égalité

\(D \in [AB]\), \(E \in [AC]\), \((DE) \parallel (BC)\) → configuration triangle. Thalès donne : \[\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}\]

Étape 2 — Sélectionner les bons rapports

On connaît \(AD = 4\), \(AB = 12\), \(BC = 9\) ; on cherche \(DE\). On utilise : \[\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{4}{12} = \dfrac{DE}{9}\]

Étape 3 — Résoudre (produit en croix)

\[DE = \dfrac{4 \times 9}{12} = \dfrac{36}{12} = \mathbf{3}\]

🔍 Vérification : \(\dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\) et \(\dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}\) ✓ Les deux rapports sont bien égaux.

Étape 1 — Écrire les rapports de Thalès

\(O\), \(A\), \(A'\) alignés et \(O\), \(B\), \(B'\) alignés ; \((A'B') \parallel (AB)\) : \[\dfrac{OA'}{OA} = \dfrac{OB'}{OB} = \dfrac{A'B'}{AB}\]

Étape 2 — Substituer les valeurs connues

\(OA = 6\), \(OA' = 9\), \(OB = 8\) ; on cherche \(OB'\) : \[\dfrac{OB'}{8} = \dfrac{9}{6}\]

Étape 3 — Résoudre

\[OB' = \dfrac{9 \times 8}{6} = \dfrac{72}{6} = \mathbf{12}\]

🔍 Vérification : rapport \(\dfrac{9}{6} = 1{,}5\) et \(\dfrac{12}{8} = 1{,}5\) ✓

Étape 1 — Calculer \(AB\)

\(D\) est sur \([AB]\) entre \(A\) et \(B\) donc : \[AB = AD + DB = 3 + 2 = 5\]

Étape 2 — Appliquer Thalès

\((DE) \parallel (BC)\) dans le triangle \(ABC\) : \[\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{BC}\]

Étape 3 — Résoudre par produit en croix

\[3 \times BC = 5 \times 6 \quad\Rightarrow\quad BC = \dfrac{30}{3} = \mathbf{10}\]

🔍 Vérification : \(\dfrac{3}{5} = 0{,}6\) et \(\dfrac{6}{10} = 0{,}6\) ✓

Étape 1 — Calculer le premier rapport

\[\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\]

Étape 2 — Calculer le second rapport

\[\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\]

Étape 3 — Comparer et conclure

Les deux rapports sont égaux (\(0{,}6 = 0{,}6\)). De plus, \(D\) et \(E\) sont du même côté de \(A\) sur les segments respectifs (configuration valide pour la réciproque).

Par la réciproque du théorème de Thalès : \(\boxed{(DE) \parallel (BC)}\) ✓

Étape 1 — Calcul du rapport

\[k = \dfrac{OA'}{OA} = \dfrac{10}{4} = 2{,}5\]

Étape 2 — Application au segment

Par Thalès (configuration sécantes), tous les rapports valent \(k\) : \[\dfrac{A'B'}{AB} = k = 2{,}5\] \[A'B' = 2{,}5 \times AB = 2{,}5 \times 7 = \mathbf{17{,}5}\]

🔍 Vérification : si \(OA = 4\) et \(OA' = 10\), le triangle grand est bien \(2{,}5\) fois plus loin → tous les segments parallèles aussi.

Étape 1 — Calcul du rapport d'agrandissement

\[k = \dfrac{\text{nouvelle longueur}}{\text{ancienne longueur}} = \dfrac{12}{8} = 1{,}5\]

Étape 2 — Application à la largeur

La nouvelle largeur s'obtient en multipliant l'ancienne par le même rapport : \[\ell' = 6 \times 1{,}5 = \mathbf{9 \text{ cm}}\]

🔍 Vérification : nouveau rapport \(\dfrac{\ell'}{\text{L}'} = \dfrac{9}{12} = 0{,}75\) ; ancien \(\dfrac{6}{8} = 0{,}75\) ✓ Les proportions sont conservées.

🎯 Théorème de Thalès : \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\).

\(\dfrac{3}{9} = \dfrac{MN}{12}\), donc \(MN = \dfrac{3 \times 12}{9} = \mathbf{4}\) cm.

\(\dfrac{4}{10} = \dfrac{AN}{15}\), donc \(AN = \dfrac{4 \times 15}{10} = \mathbf{6}\) cm.

\(\dfrac{2}{8} = \dfrac{MN}{6}\), donc \(MN = \dfrac{2 \times 6}{8} = \mathbf{1{,}5}\) cm.

\(MN = 0{,}4 \times 10 = \mathbf{4}\) cm.

\(\dfrac{5}{AB} = \dfrac{4}{10}\), donc \(AB = \dfrac{5 \times 10}{4} = \mathbf{12{,}5}\) cm.

Étape 1 — Calcul de \(AB\) et utilisation du rapport

\[AB = AD + DB = 5 + 3 = \mathbf{8}\]

Rapport de Thalès : \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{5}{8}\).

Étape 2 — Calcul de \(EC\)

On utilise la relation : \(\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}\) (rapports des parties extérieures dans la configuration triangle). \[\dfrac{5}{3} = \dfrac{4}{EC} \quad\Rightarrow\quad EC = \dfrac{4 \times 3}{5} = \mathbf{2{,}4}\]

Étape 3 — Calcul de \(AC\)

\[AC = AE + EC = 4 + 2{,}4 = \mathbf{6{,}4}\]

🔍 Vérification : \(\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{4}{6{,}4} = 0{,}625\) et \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{5}{8} = 0{,}625\) ✓

Étape 1 — Calculer \(PQ\) et le rapport

\[PQ = PS + SQ = 6 + 9 = 15\] \[\dfrac{PS}{PQ} = \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}\]

Étape 2 — a) Calcul de \(ST\)

Par Thalès : \[\dfrac{PS}{PQ} = \dfrac{ST}{QR} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{6}{15} = \dfrac{ST}{20}\] \[ST = \dfrac{6 \times 20}{15} = \dfrac{120}{15} = \mathbf{8}\]

Étape 3 — b) Calcul de \(\dfrac{PT}{TR}\)

D'après Thalès, \(\dfrac{PT}{TR} = \dfrac{PS}{SQ}\) (rapports des morceaux extérieurs aux parallèles) : \[\dfrac{PT}{TR} = \dfrac{6}{9} = \mathbf{\dfrac{2}{3}}\]

🔍 Vérification : si on suppose \(PT = 2k\), \(TR = 3k\), alors \(PR = 5k\) ; donc \(\dfrac{PT}{PR} = \dfrac{2}{5}\) ✓ (= rapport principal).

Étape 1 — Modélisation

Bâton (1 m) et son ombre (1,5 m) forment un triangle rectangle. Arbre (\(h\)) et son ombre (9 m) forment un autre triangle rectangle. Les rayons du soleil étant parallèles, les deux triangles ont les mêmes angles → ils sont semblables.

Étape 2 — Égalité des rapports (Thalès)

\[\dfrac{\text{hauteur arbre}}{\text{hauteur bâton}} = \dfrac{\text{ombre arbre}}{\text{ombre bâton}}\] \[\dfrac{h}{1} = \dfrac{9}{1{,}5}\]

Étape 3 — Calcul

\[h = \dfrac{9}{1{,}5} = 6\]

➡️ L'arbre mesure 6 mètres de hauteur.

🔍 Vérification : rapport bâton/ombre \(= \dfrac{1}{1{,}5} \approx 0{,}667\) ; rapport arbre/ombre \(= \dfrac{6}{9} \approx 0{,}667\) ✓

Étape 1 — Identifier la configuration et écrire le rapport

\[\dfrac{OA}{OA'} = \dfrac{AB}{A'B'}\]

Étape 2 — Substituer les valeurs

\(OA = 30\), \(OA' = 45\), \(A'B' = 20\) : \[\dfrac{30}{45} = \dfrac{AB}{20}\]

Étape 3 — Résoudre par produit en croix

\[AB = \dfrac{30 \times 20}{45} = \dfrac{600}{45} = \dfrac{40}{3} \approx \mathbf{13{,}3 \text{ m}}\]

🔍 Vérification : \(\dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3}\) et \(\dfrac{40/3}{20} = \dfrac{40}{60} = \dfrac{2}{3}\) ✓

Étape 1 — Calculer les deux rapports séparément \[\frac{AM}{AB} = \frac{3}{8} = 0{,}375 \qquad \frac{AN}{AC} = \frac{2{,}25}{6} = 0{,}375\]

Étape 2 — Conclure Les points \(A\), \(M\), \(B\) et \(A\), \(N\), \(C\) sont alignés dans le même ordre, et \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}\). D'après la réciproque du théorème de Thalès, \(\mathbf{(MN) \parallel (BC)}\).

Étape 1 — Coordonnées de \(D\)

\(D\) est le milieu de \([AB]\) avec \(A(0;0)\) et \(B(6;0)\) : \[D\left(\dfrac{0+6}{2}\,;\,\dfrac{0+0}{2}\right) = D(3\,;\,0)\]

Étape 2 — Rapport de Thalès

\(D\) milieu de \([AB]\) → \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{1}{2}\).

Par Thalès, comme \((DE) \parallel (BC)\) : \[\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{1}{2}\]

→ \(E\) est le milieu de \([AC]\).

Étape 3 — Coordonnées de \(E\)

\(A(0;0)\) et \(C(0;8)\) → \(E\) milieu : \[E\left(\dfrac{0+0}{2}\,;\,\dfrac{0+8}{2}\right) = \mathbf{E(0\,;\,4)}\]

🔍 Vérification : \(AE = 4\) et \(AC = 8\), donc \(\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{1}{2}\) ✓

a) Dimensions réelles à l'échelle \(\frac{1}{50}\)

Chaque cm sur le plan correspond à 50 cm réels :

• Longueur réelle : \(8 \times 50 = 400\) cm \(= \mathbf{4 \text{ m}}\)
• Largeur réelle : \(6 \times 50 = 300\) cm \(= \mathbf{3 \text{ m}}\)

b) Aire réelle

\[\mathcal{A} = 4 \times 3 = \mathbf{12 \text{ m}^2}\]

c) Nouvelle échelle \(\frac{1}{25}\)

Échelle \(\frac{1}{25}\) : 1 cm plan = 25 cm réels. Donc dimensions sur le nouveau plan :

• Longueur : \(400 \div 25 = \mathbf{16 \text{ cm}}\)
• Largeur : \(300 \div 25 = \mathbf{12 \text{ cm}}\)

Étape 1 — Calcul du rapport

\[\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{3}{5}\]

Étape 2 — a) Calcul de \(AE\) par Thalès

\[\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{3}{5}\] \[AE = \dfrac{3}{5} \times AC = \dfrac{3}{5} \times 4 = \mathbf{2{,}4}\]

Étape 3 — b) Calcul de \(BC\) par Pythagore puis \(DE\) par Thalès

Triangle \(ABC\) rectangle en \(A\) → Pythagore : \[BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}\]

Par Thalès : \[DE = \dfrac{3}{5} \times BC = \dfrac{3\sqrt{41}}{5} \approx \mathbf{3{,}84}\]

Étape 4 — c) Vérification par Pythagore dans \(ADE\)

Le triangle \(ADE\) est également rectangle en \(A\) (même angle droit). On doit avoir : \[DE^2 = AD^2 + AE^2\]

Calcul direct : \(AD^2 + AE^2 = 3^2 + 2{,}4^2 = 9 + 5{,}76 = 14{,}76\)

Calcul via Thalès : \(DE^2 = \left(\dfrac{3}{5}\sqrt{41}\right)^2 = \dfrac{9}{25} \times 41 = \dfrac{369}{25} = 14{,}76\) ✓

Les rayons du soleil sont parallèles : \(\dfrac{h}{1{,}5} = \dfrac{12}{2}\), donc \(h = 1{,}5 \times 6 = \mathbf{9}\) m.

\(AB = 6 + 4 = 10\) cm. \(\dfrac{6}{10} = \dfrac{4{,}5}{AC}\), donc \(AC = \dfrac{10 \times 4{,}5}{6} = 7{,}5\) cm et \(NC = 7{,}5 - 4{,}5 = \mathbf{3}\) cm.

Rapport : \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\). Donc \(AN = 4\) cm et \(MN = 5\) cm. Périmètre : \(3 + 4 + 5 = \mathbf{12}\) cm (la moitié de celui de \(ABC\)).

\(\dfrac{9}{12} = \dfrac{MN}{4}\), donc \(MN = \dfrac{9 \times 4}{12} = \mathbf{3}\) m.

\(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{3}{7{,}5} = 0{,}4\) et \(\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{4}{10} = 0{,}4\). Les rapports sont égaux, et les points sont dans le même ordre : d'après la réciproque du théorème de Thalès, \(\mathbf{(MN) \parallel (BC)}\).

\[\frac{AM}{AB} = \frac{4}{10} = 0{,}4 \qquad \frac{AN}{AC} = \frac{3}{8} = 0{,}375\]

\(0{,}4 \neq 0{,}375\). D'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites \((MN)\) et \((BC)\) ne sont pas parallèles.

a) Montrer que \((DE) \parallel (BC)\)

\[\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{2}{3} \quad\text{et}\quad \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{2}{3}\]

Les deux rapports sont égaux et \(D, E\) sont sur les côtés (et du même côté de \(A\)).

Par la réciproque de Thalès : \(\boxed{(DE) \parallel (BC)}\) ✓

b) Calcul de \(\dfrac{DE}{BC}\)

Puisque \((DE) \parallel (BC)\), par le théorème direct de Thalès : \[\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{AD}{AB} = \mathbf{\dfrac{2}{3}}\]

c) Calcul de \(DE\)

\[DE = \frac{2}{3} \times BC = \frac{2}{3} \times 12 = \mathbf{8 \text{ cm}}\]

a) Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\), donc d'après le théorème de Pythagore : \[AC^2 = AB^2 + BC^2 = 16 + 9 = 25 \qquad AC = \mathbf{5 \text{ cm}}\]

b) \(M \in [AB]\), \(N \in [AC]\) et \((MN) \parallel (BC)\). D'après le théorème de Thalès : \[\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC} \qquad \text{avec} \qquad \frac{AM}{AB} = \frac{1{,}6}{4} = 0{,}4\] Donc \(AN = 0{,}4 \times 5 = \mathbf{2 \text{ cm}}\) et \(MN = 0{,}4 \times 3 = \mathbf{1{,}2 \text{ cm}}\).

c) \((MN) \parallel (BC)\) et \((BC) \perp (AB)\), donc \((MN) \perp (AB)\) : le triangle \(AMN\) est rectangle en \(M\). \[AM^2 + MN^2 = 1{,}6^2 + 1{,}2^2 = 2{,}56 + 1{,}44 = 4 = 2^2 = AN^2 \;\checkmark\]

Étape 1 — Identifier le sommet de la configuration

\(D \in [AB]\) et \(E \in [BC]\), \((DE) \parallel (AC)\) : le sommet à utiliser est \(B\) (sommet opposé à \((AC)\)).

\[\dfrac{BD}{BA} = \dfrac{BE}{BC} = \dfrac{DE}{AC}\]

Étape 2 — Calcul de \(BA\) et premier rapport

\[BA = BD + DA = 4 + 6 = 10\] \[\dfrac{BD}{BA} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}\]

Étape 3 — Calcul de \(BC\) puis \(EC\)

\[\dfrac{BE}{BC} = \dfrac{2}{5} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{5}{BC} = \dfrac{2}{5} \quad\Rightarrow\quad BC = \dfrac{5 \times 5}{2} = 12{,}5\] \[EC = BC - BE = 12{,}5 - 5 = \mathbf{7{,}5}\]

Étape 4 — Expression de \(DE\)

Sans information sur \(AC\), on ne peut donner que le rapport : \[\dfrac{DE}{AC} = \dfrac{2}{5} \quad\Rightarrow\quad DE = \dfrac{2}{5} \times AC\]

🔍 Vérification : \(\dfrac{BE}{EC} = \dfrac{5}{7{,}5} = \dfrac{2}{3}\) et \(\dfrac{BD}{DA} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\) ✓ (rapport des morceaux extérieurs égaux).

a) On note \(O\) l'œil de Léo (au sol), \(B\) le pied du bâton, \(E\) son sommet, \(T\) le pied de la tour et \(H\) son sommet. Les points \(O\), \(B\), \(T\) sont alignés (au sol) et \(O\), \(E\), \(H\) aussi (alignement des sommets). Le bâton et la tour sont verticaux, donc perpendiculaires au sol : \((BE) \parallel (TH)\). Le petit triangle \(OBE\) est emboîté dans le grand triangle \(OTH\).

b) D'après le théorème de Thalès : \[\frac{OB}{OT} = \frac{BE}{TH} \qquad \text{donc} \qquad \frac{2}{30} = \frac{1{,}5}{TH} \qquad TH = \frac{1{,}5 \times 30}{2} = \mathbf{22{,}5 \text{ m}}\]

a) \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\) et \(\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{2{,}5}{7{,}5} = \dfrac{1}{3}\). Les points sont alignés dans le même ordre et les rapports sont égaux : d'après la réciproque du théorème de Thalès, \(\mathbf{(MN) \parallel (BC)}\).

b) D'après le théorème de Thalès : \(\dfrac{MN}{BC} = \dfrac{1}{3}\), donc \(MN = \dfrac{4{,}5}{3} = \mathbf{1{,}5 \text{ m}}\).

c) Le plus grand côté est \([AC]\) : \(AC^2 = 7{,}5^2 = 56{,}25\) et \(AB^2 + BC^2 = 36 + 20{,}25 = 56{,}25\). D'après la réciproque du théorème de Pythagore, \(ABC\) est rectangle en \(B\).

d) \((MN) \parallel (BC)\) et \((BC) \perp (AB)\). Or si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre : \((MN) \perp (AB)\). Le triangle \(AMN\) est rectangle en \(M\).