Fiche formulaire · Collège 6e5e4e3e
Proportionnalité et pourcentages
Tableaux, quatrième proportionnelle, pourcentages, vitesses et échelles
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Reconnaître la proportionnalité6e5e4e3e
Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre.
| Masse de pommes (kg) | \(2\) | \(3\) | \(5\) |
|---|---|---|---|
| Prix (€) | \(5\) | \(7{,}5\) | \(12{,}5\) |
Ici, on multiplie toujours par \(2{,}5\) : c'est le coefficient de proportionnalité (dès la 5e), le prix d'un kilo.
Graphique (dès la 5e) : proportionnalité si et seulement si les points sont alignés avec l'origine du repère.
Calculer une valeur manquante6e5e4e3e
- Additionner deux colonnes : \(2\) kg et \(3\) kg coûtent \(5\) € et \(7{,}5\) €, donc \(5\) kg coûtent \(12{,}5\) €.
- Multiplier une colonne : \(3\) kg coûtent \(7{,}5\) €, donc \(6\) kg coûtent \(15\) €.
- Retour à l'unité : \(3\) kg coûtent \(7{,}5\) €, donc \(1\) kg coûte \(2{,}5\) €, puis \(8\) kg coûtent \(20\) €.
- Coefficient (dès la 5e) : prix \(=\) masse \(\times 2{,}5\).
- Produit en croix (dès la 4e) : \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) équivaut à \(a \times d = b \times c\). Si \(4\) cahiers coûtent \(6\) €, \(10\) cahiers coûtent \(\dfrac{10 \times 6}{4} = 15\) €.
Pourcentages6e5e4e3e
\(t\,\%\) d'une quantité, c'est \(\dfrac{t}{100}\) de cette quantité : \(15\,\%\) de \(80\) €, c'est \(\dfrac{15}{100} \times 80 = 12\) €.
| \(10\,\%\) | \(25\,\%\) | \(50\,\%\) | \(75\,\%\) | \(100\,\%\) |
|---|---|---|---|---|
| diviser par \(10\) | diviser par \(4\) | diviser par \(2\) | les trois quarts | le tout |
Proportion (dès la 5e) : \(\dfrac{\text{partie}}{\text{total}}\), écrite sur \(100\). \(6\) élèves sur \(24\) : \(\dfrac{6}{24} = \dfrac{25}{100}\), soit \(25\,\%\).
Augmentations et réductions5e4e3e
Dès la 5e : on calcule le montant, puis on l'ajoute ou on le retire. Un article à \(40\) € soldé à \(-25\,\%\) : réduction de \(10\) €, nouveau prix \(30\) €.
En 3e, avec le coefficient multiplicateur :
| Évolution | On multiplie par | Exemple |
|---|---|---|
| hausse de \(t\,\%\) | \(1 + \dfrac{t}{100}\) | \(+20\,\%\) : \(\times 1{,}2\) |
| baisse de \(t\,\%\) | \(1 - \dfrac{t}{100}\) | \(-30\,\%\) : \(\times 0{,}7\) |
Évolutions en 3e3e
- Taux d'évolution : \(\dfrac{V_{\text{arrivée}} - V_{\text{départ}}}{V_{\text{départ}}} \times 100\). De \(50\) à \(60\) : \(+20\,\%\).
- Valeur de départ : on divise par le coefficient. Après \(+20\,\%\), le prix est \(60\) € ; avant, il était de \(60 \div 1{,}2 = 50\) €.
- Évolutions successives : on multiplie les coefficients. \(+10\,\%\) puis \(-10\,\%\) : \(1{,}1 \times 0{,}9 = 0{,}99\), soit \(-1\,\%\).
Une hausse puis une baisse du même pourcentage ne s'annulent pas.
Échelles6e5e4e3e
Échelle \(\dfrac{1}{n}\) : \(1\) cm sur le plan représente \(n\) cm en réalité.
Échelle \(=\) longueur sur le plan \(\div\) longueur réelle, dans la même unité. Sur une carte au \(\dfrac{1}{25\,000}\), \(4\) cm représentent \(100\,000\) cm, soit \(1\) km.
Vitesse4e3e
La distance parcourue à vitesse constante est proportionnelle à la durée : \(d = v \times t\), \(v = \dfrac{d}{t}\), \(t = \dfrac{d}{v}\).
À \(80\) km/h, on parcourt \(120\) km en \(1{,}5\) h, soit \(1\) h \(30\) min.