Fiche formulaire · Collège 4e3e
Puissances et racines carrées
Puissances de 10, notation scientifique, préfixes et racines carrées
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Puissances d'un nombre4e3e
\(a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ facteurs}}\), avec \(a^1 = a\) et \(a^0 = 1\) (pour \(a \neq 0\)).
Exemples : \(2^5 = 32\) ; \((-2)^3 = -8\) ; \(0{,}1^2 = 0{,}01\).
\((-3)^2 = 9\) mais \(-3^2 = -9\) : sans parenthèses, la puissance ne porte que sur \(3\).
Puissances de 104e3e
\(10^n = 1\underbrace{0\ldots0}_{n \text{ zéros}}\) et \(10^{-n} = \dfrac{1}{10^n} = 0{,}\underbrace{0\ldots0}_{n-1}1\).
| \(10^{-3}\) | \(10^{-2}\) | \(10^{-1}\) | \(10^0\) | \(10^1\) | \(10^2\) | \(10^3\) | \(10^6\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(0{,}001\) | \(0{,}01\) | \(0{,}1\) | \(1\) | \(10\) | \(100\) | \(1\,000\) | \(1\,000\,000\) |
Multiplier par \(10^n\) décale la virgule de \(n\) rangs vers la droite ; par \(10^{-n}\), de \(n\) rangs vers la gauche.
Règles de calcul4e3e
Pour tous entiers relatifs \(m\) et \(n\) :
| Règle | Exemple |
|---|---|
| \(10^m \times 10^n = 10^{m+n}\) | \(10^5 \times 10^{-2} = 10^3\) |
| \(\dfrac{10^m}{10^n} = 10^{m-n}\) | \(\dfrac{10^2}{10^6} = 10^{-4}\) |
| \((10^m)^n = 10^{m \times n}\) | \((10^3)^2 = 10^6\) |
Ces règles valent aussi pour les puissances d'un même nombre \(a\) : \(2^3 \times 2^4 = 2^7\).
\(10^{-3} = 0{,}001\), ce n'est pas un nombre négatif. Et \(10^2 + 10^3 = 1\,100\) : pas de règle pour la somme.
Notation scientifique4e3e
Un nombre positif s'écrit \(a \times 10^n\) avec \(1 \leqslant a < 10\) et \(n\) entier relatif.
- \(45\,000 = 4{,}5 \times 10^4\)
- \(0{,}000\,72 = 7{,}2 \times 10^{-4}\)
- \(12 \times 10^5 = 1{,}2 \times 10^6\) (le premier n'est pas en notation scientifique)
Produit : \((3 \times 10^4) \times (2 \times 10^{-7}) = 6 \times 10^{-3}\).
Préfixes des unités4e3e
| Préfixe | Symbole | Puissance | Valeur |
|---|---|---|---|
| giga | G | \(10^{9}\) | \(1\,000\,000\,000\) |
| méga | M | \(10^{6}\) | \(1\,000\,000\) |
| kilo | k | \(10^{3}\) | \(1\,000\) |
| hecto | h | \(10^{2}\) | \(100\) |
| déca | da | \(10^{1}\) | \(10\) |
| unité | — | \(10^{0}\) | \(1\) |
| déci | d | \(10^{-1}\) | \(0{,}1\) |
| centi | c | \(10^{-2}\) | \(0{,}01\) |
| milli | m | \(10^{-3}\) | \(0{,}001\) |
| micro | µ | \(10^{-6}\) | \(1e-06\) |
| nano | n | \(10^{-9}\) | \(1e-09\) |
Exemples : \(1\) km \(= 10^3\) m ; \(1\) µm \(= 10^{-6}\) m ; \(1\) Go \(= 10^9\) octets.
Racine carrée4e3e
Pour \(a \geqslant 0\), \(\sqrt{a}\) est le nombre positif dont le carré vaut \(a\) : \(\left(\sqrt{a}\right)^2 = a\).
Carrés parfaits : \(\sqrt{1} = 1\), \(\sqrt{4} = 2\), \(\sqrt{9} = 3\), \(\sqrt{16} = 4\), \(\sqrt{25} = 5\), \(\sqrt{36} = 6\), \(\sqrt{49} = 7\), \(\sqrt{64} = 8\), \(\sqrt{81} = 9\), \(\sqrt{100} = 10\), \(\sqrt{144} = 12\).
Valeurs approchées : \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\) ; \(\sqrt{3} \approx 1{,}732\) ; \(\sqrt{5} \approx 2{,}236\).
Équation \(x^2 = a\) (3e) : si \(a > 0\), deux solutions \(\sqrt{a}\) et \(-\sqrt{a}\) ; si \(a = 0\), une solution \(0\) ; si \(a < 0\), aucune.
\(\sqrt{9 + 16} = 5\), alors que \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7\) : la racine d'une somme n'est pas la somme des racines.