Fiche formulaire · Lycée 1re
Le second degré
Formes d’un trinôme, discriminant, racines, signe et parabole
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Trois écritures d'un trinôme1re
\(f(x) = ax^2 + bx + c\) avec \(a \neq 0\).
| Forme | Écriture | Ce qu'elle donne |
|---|---|---|
| développée | \(ax^2 + bx + c\) | l'image de \(0\) : \(f(0) = c\) |
| canonique | \(a(x - \alpha)^2 + \beta\) | le sommet \(S(\alpha ; \beta)\) |
| factorisée | \(a(x - x_1)(x - x_2)\) | les racines \(x_1\) et \(x_2\) |
Avec \(\alpha = -\dfrac{b}{2a}\) et \(\beta = f(\alpha)\).
Exemple : \(f(x) = 2x^2 - 8x + 6 = 2(x - 2)^2 - 2 = 2(x - 1)(x - 3)\).
Parabole et variations1re
La courbe est une parabole de sommet \(S(\alpha ; \beta)\) et d'axe de symétrie la droite d'équation \(x = \alpha\).
| \(a > 0\) | \(a < 0\) | |
|---|---|---|
| allure | tournée vers le haut | tournée vers le bas |
| variations | décroissante puis croissante | croissante puis décroissante |
| extremum | minimum \(\beta\) atteint en \(\alpha\) | maximum \(\beta\) atteint en \(\alpha\) |
Discriminant et racines1re
\(\Delta = b^2 - 4ac\).
| Signe de \(\Delta\) | Racines de \(ax^2 + bx + c = 0\) | Factorisation |
|---|---|---|
| \(\Delta > 0\) | \(x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\) | \(a(x - x_1)(x - x_2)\) |
| \(\Delta = 0\) | une racine double \(x_0 = -\dfrac{b}{2a}\) | \(a(x - x_0)^2\) |
| \(\Delta < 0\) | aucune racine réelle | impossible |
Exemple : \(x^2 - 5x + 6 = 0\) ; \(\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 1\), donc \(x_1 = \dfrac{5 - 1}{2} = 2\) et \(x_2 = \dfrac{5 + 1}{2} = 3\).
Signe du trinôme1re
Le trinôme est du signe de \(a\), sauf entre ses racines (quand il en a).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(ax^2 + bx + c\) | signe de \(a\) | \(0\) | signe de \(-a\) | \(0\) | signe de \(a\) |
Si \(\Delta \leqslant 0\), le trinôme garde le signe de \(a\) partout (il s'annule en \(x_0\) si \(\Delta = 0\)).
Somme et produit des racines1re
Si le trinôme a deux racines \(x_1\) et \(x_2\) : \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\) et \(x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}\).
Racine évidente : si \(1\) est racine, l'autre vaut \(\dfrac{c}{a}\). Pour \(x^2 - 5x + 6\) : \(2 + 3 = 5\) et \(2 \times 3 = 6\).
Lire \(a\), \(b\), \(c\) avec leurs signes : dans \(3 - x^2\), \(a = -1\), \(b = 0\), \(c = 3\). Ne pas oublier \(a\) dans la factorisation.