Fiche formulaire : Suites numériques (1re et Tle), PDF à imprimer

Suites arithmétiques1reTle

On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$, la raison : $u_{n+1} = u_n + r$.

Terme général : $u_n = u_0 + nr$, ou $u_n = u_p + (n - p)r$.
Croissante si $r > 0$, décroissante si $r < 0$.
Points $(n ; u_n)$ alignés : croissance linéaire.

Exemple : $u_0 = 5$ et $r = 3$ donnent $u_{10} = 5 + 10 \times 3 = 35$.

Suites géométriques1reTle

On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$, la raison : $u_{n+1} = q\,u_n$.

Terme général : $u_n = u_0 \times q^n$, ou $u_n = u_p \times q^{n - p}$.
Avec $u_0 > 0$ : croissante si $q > 1$, décroissante si $0 < q < 1$.
Une hausse de $t\,\%$ par an donne une suite géométrique de raison $1 + \dfrac{t}{100}$.

Exemple : $1\,000$ € placés à $2\,\%$ par an : $u_n = 1\,000 \times 1{,}02^n$, et $u_{10} \approx 1\,218{,}99$ €.

Sommes de termes1reTle

$1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2} \qquad 1 + q + q^2 + \cdots + q^n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \quad (q \neq 1)$

Somme de termes consécutifs :

arithmétique : $S = \text{nombre de termes} \times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$ ;
géométrique : $S = \text{premier} \times \dfrac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}$.

Exemple : $1 + 2 + \cdots + 100 = \dfrac{100 \times 101}{2} = 5\,050$.

Attention

De $u_0$ à $u_n$, il y a $n + 1$ termes.

Sens de variation1reTle

Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ : positif, la suite est croissante ; négatif, décroissante.
Si $u_n = f(n)$ avec $f$ monotone sur $[0 ; +\infty[$, la suite a le même sens de variation que $f$.
Termes strictement positifs : comparer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$.

LimitesTle

Raison $q$	Limite de $q^n$
$q > 1$	$+\infty$
$q = 1$	$1$
$-1 < q < 1$	$0$
$q \leqslant -1$	pas de limite

Opérations sur les limites, comme pour les fonctions ; formes indéterminées : $\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $\dfrac{0}{0}$.
Gendarmes : si $v_n \leqslant u_n \leqslant w_n$ et si $v_n$ et $w_n$ tendent vers $\ell$, alors $u_n$ tend vers $\ell$.
Comparaison : si $u_n \geqslant v_n$ et $v_n \to +\infty$, alors $u_n \to +\infty$.
Toute suite croissante majorée converge ; toute suite décroissante minorée converge.

Récurrence et suites arithmético-géométriquesTle

Raisonnement par récurrence : initialisation (la propriété est vraie au premier rang), hérédité (si elle est vraie au rang $n$, elle l'est au rang $n + 1$), conclusion.

Suite $u_{n+1} = a\,u_n + b$ ($a \neq 1$) : le point fixe est $\ell = \dfrac{b}{1 - a}$, la suite $v_n = u_n - \ell$ est géométrique de raison $a$, donc $u_n = \ell + (u_0 - \ell)\,a^n$.

Si $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $f$ continue et si $(u_n)$ converge vers $\ell$, alors $f(\ell) = \ell$.

Raison \(q\)	Limite de \(q^n\)
\(q > 1\)	\(+\infty\)
\(q = 1\)	\(1\)
\(-1 < q < 1\)	\(0\)
\(q \leqslant -1\)	pas de limite