Fiche formulaire · Lycée 1reTle
Trigonométrie
Radians, cercle trigonométrique, valeurs remarquables, angles associés, sinus et cosinus
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Radians1reTle
\(\pi\) rad \(= 180°\) : un tour complet mesure \(2\pi\) rad. Pour convertir, on utilise la proportionnalité : \(x\) rad \(= \dfrac{180\,x}{\pi}\) degrés.
| Degrés | \(0°\) | \(30°\) | \(45°\) | \(60°\) | \(90°\) | \(180°\) | \(360°\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Radians | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(2\pi\) |
Cercle trigonométrique1reTle
Sur le cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\), parcouru dans le sens direct, le réel \(x\) correspond au point \(M(\cos x ; \sin x)\) : \(\cos x\) se lit sur l'axe des abscisses, \(\sin x\) sur l'axe des ordonnées.
- \(-1 \leqslant \cos x \leqslant 1\) et \(-1 \leqslant \sin x \leqslant 1\).
- \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\).
- \(x\) et \(x + 2k\pi\) (\(k\) entier) donnent le même point.
Valeurs remarquables1reTle
| \(x\) | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\pi\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\cos x\) | \(1\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(0\) | \(-1\) |
| \(\sin x\) | \(0\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(1\) | \(0\) |
Angles associés1reTle
| Angle | Cosinus | Sinus |
|---|---|---|
| \(-x\) | \(\cos x\) | \(-\sin x\) |
| \(\pi - x\) | \(-\cos x\) | \(\sin x\) |
| \(\pi + x\) | \(-\cos x\) | \(-\sin x\) |
| \(\dfrac{\pi}{2} - x\) | \(\sin x\) | \(\cos x\) |
Exemple : \(\cos\dfrac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) = -\cos\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}\).
Équations1reTle
- \(\cos x = \cos a \iff x = a + 2k\pi\) ou \(x = -a + 2k\pi\) (\(k\) entier).
- \(\sin x = \sin a \iff x = a + 2k\pi\) ou \(x = \pi - a + 2k\pi\).
Sur un tour, il y a en général deux solutions : sur \(]-\pi ; \pi]\), \(\cos x = \dfrac{1}{2}\) donne \(x = -\dfrac{\pi}{3}\) ou \(x = \dfrac{\pi}{3}\).
Calculatrice en mode radians.
Fonctions sinus et cosinusTle
- Définies sur \(\mathbb{R}\), périodiques de période \(2\pi\).
- \(\cos\) est paire (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées), \(\sin\) est impaire (courbe symétrique par rapport à l'origine).
- \(\cos' = -\sin\) et \(\sin' = \cos\) ; \((\cos u)' = -u'\sin u\) et \((\sin u)' = u'\cos u\).
- Primitives : \(\sin x\) pour \(\cos x\), et \(-\cos x\) pour \(\sin x\).
- \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1\).
Sur \([0 ; \pi]\), \(\cos\) décroît de \(1\) à \(-1\) ; \(\sin\) croît de \(0\) à \(1\) sur \(\left[0 ; \dfrac{\pi}{2}\right]\), puis décroît de \(1\) à \(0\).