Fiche formulaire : Calcul et fonctions de référence (2de), PDF à imprimer

Ensembles et intervalles2de

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$. $\dfrac{1}{3}$ est rationnel mais pas décimal ; $\sqrt{2}$ et $\pi$ sont irrationnels.

Intervalle	Inégalités
$[a ; b]$	$a \leqslant x \leqslant b$
$]a ; b[$	$a < x < b$
$[a ; +\infty[$	$x \geqslant a$
$]-\infty ; b[$	$x < b$

Valeur absolue : $|x - a|$ est la distance entre $x$ et $a$ ; $|x - a| \leqslant r \iff x \in [a - r ; a + r]$.

Puissances et racines2de

Pour $a$, $b$ non nuls et $m$, $n$ entiers relatifs :

$a^m \times a^n = a^{m+n}$ ; $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ ; $(a^m)^n = a^{mn}$ ; $(ab)^n = a^n b^n$ ; $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$.
Pour $a$, $b$ positifs : $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ et $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ ($b > 0$) ; $\sqrt{a^2} = |a|$ pour tout réel $a$.

Exemple : $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$.

Attention

$\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ ; $(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$.

Identités remarquables2de

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \qquad (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \qquad (a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

Factoriser : chercher un facteur commun, ou reconnaître une identité. $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ ; $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$.

Équations et inéquations2de

Multiplier ou diviser les deux membres d'une inéquation par un nombre négatif change le sens.
Produit nul : $A \times B = 0 \iff A = 0$ ou $B = 0$.
Quotient nul : $\dfrac{A}{B} = 0 \iff A = 0$ et $B \neq 0$ (chercher d'abord les valeurs interdites).
$x^2 = a$ : deux solutions $\pm\sqrt{a}$ si $a > 0$, une solution $0$ si $a = 0$, aucune si $a < 0$.

Signe et tableaux de signes2de

$ax + b$ ($a \neq 0$) s'annule en $-\dfrac{b}{a}$ et a le signe de $a$ à droite de ce nombre.

$x$	$-\infty$		$-\dfrac{b}{a}$		$+\infty$
$ax + b$		signe de $-a$	$0$	signe de $a$

Signe d'un produit ou d'un quotient : un tableau avec une ligne par facteur, puis la règle des signes colonne par colonne.

Fonctions affines2de

$f(x) = mx + p$ : une droite de coefficient directeur $m = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ et d'ordonnée à l'origine $p = f(0)$.

Croissante si $m > 0$, décroissante si $m < 0$, constante si $m = 0$. Exemple : la droite qui passe par $A(1 ; 3)$ et $B(3 ; 7)$ a pour équation $y = 2x + 1$.

Fonctions de référence2de

Fonction	Définie sur	Variations	Courbe
$x \mapsto x^2$	$\mathbb{R}$	décroissante sur $]-\infty ; 0]$, croissante sur $[0 ; +\infty[$	parabole, minimum $0$ en $0$
$x \mapsto \dfrac{1}{x}$	$\mathbb{R}^*$	décroissante sur $]-\infty ; 0[$ et sur $]0 ; +\infty[$	hyperbole
$x \mapsto \sqrt{x}$	$[0 ; +\infty[$	croissante	demi-parabole couchée
$x \mapsto x^3$	$\mathbb{R}$	croissante	courbe en S, symétrique par rapport à $O$
$x \mapsto \|x\|$	$\mathbb{R}$	décroissante sur $]-\infty ; 0]$, croissante sur $[0 ; +\infty[$	deux demi-droites, minimum $0$ en $0$

Positions : pour $0 < x < 1$, $x^3 < x^2 < x < \sqrt{x}$ ; pour $x > 1$, $\sqrt{x} < x < x^2 < x^3$.

Attention

$x^2 = 9$ a deux solutions ($3$ et $-3$), $x^3 = 8$ n'en a qu'une ($2$).

Intervalle	Inégalités
\([a ; b]\)	\(a \leqslant x \leqslant b\)
\(]a ; b[\)	\(a < x < b\)
\([a ; +\infty[\)	\(x \geqslant a\)
\(]-\infty ; b[\)	\(x < b\)

Fonction	Définie sur	Variations	Courbe
\(x \mapsto x^2\)	\(\mathbb{R}\)	décroissante sur \(]-\infty ; 0]\), croissante sur \([0 ; +\infty[\)	parabole, minimum \(0\) en \(0\)
\(x \mapsto \dfrac{1}{x}\)	\(\mathbb{R}^*\)	décroissante sur \(]-\infty ; 0[\) et sur \(]0 ; +\infty[\)	hyperbole
\(x \mapsto \sqrt{x}\)	\([0 ; +\infty[\)	croissante	demi-parabole couchée
\(x \mapsto x^3\)	\(\mathbb{R}\)	croissante	courbe en S, symétrique par rapport à \(O\)
\(x \mapsto \|x\|\)	\(\mathbb{R}\)	décroissante sur \(]-\infty ; 0]\), croissante sur \([0 ; +\infty[\)	deux demi-droites, minimum \(0\) en \(0\)