Fiche formulaire · Lycée 1reTle
Dérivées
Tableau des dérivées, opérations, composées, tangente, variations et convexité
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Nombre dérivé et tangente1reTle
\(f'(a) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}\) : c'est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse \(a\).
Tangente en \(a\) : \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\).
Approximation affine (1re) : pour \(h\) proche de \(0\), \(f(a + h) \approx f(a) + f'(a)\,h\).
Dérivées des fonctions usuelles1reTle
| Fonction | Dérivée | Sur | Classe |
|---|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(0\) | \(\mathbb{R}\) | 1re |
| \(x\) | \(1\) | \(\mathbb{R}\) | 1re |
| \(x^2\) | \(2x\) | \(\mathbb{R}\) | 1re |
| \(x^n\) (\(n\) entier, \(n \geqslant 1\)) | \(n\,x^{n-1}\) | \(\mathbb{R}\) | 1re |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(-\dfrac{1}{x^2}\) | \(]-\infty ; 0[\) ou \(]0 ; +\infty[\) | 1re |
| \(\dfrac{1}{x^n}\) (\(n\) entier, \(n \geqslant 1\)) | \(-\dfrac{n}{x^{n+1}}\) | \(]-\infty ; 0[\) ou \(]0 ; +\infty[\) | 1re |
| \(\sqrt{x}\) | \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(]0 ; +\infty[\) | 1re |
| \(e^x\) | \(e^x\) | \(\mathbb{R}\) | 1re |
| \(\ln x\) | \(\dfrac{1}{x}\) | \(]0 ; +\infty[\) | Tle |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) | \(\mathbb{R}\) | Tle |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) | \(\mathbb{R}\) | Tle |
Opérations1reTle
\(u\) et \(v\) dérivables, \(k\) un réel :
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| \(u + v\) | \(u' + v'\) |
| \(k\,u\) | \(k\,u'\) |
| \(u\,v\) | \(u'v + uv'\) |
| \(\dfrac{1}{v}\) (\(v \neq 0\)) | \(-\dfrac{v'}{v^2}\) |
| \(\dfrac{u}{v}\) (\(v \neq 0\)) | \(\dfrac{u'v - uv'}{v^2}\) |
| \(g(ax + b)\) | \(a\,g'(ax + b)\) |
\((uv)' \neq u'v'\). Dans un quotient, l'ordre compte : \(u'v - uv'\).
Fonctions composéesTle
\((g \circ u)'(x) = u'(x) \times g'\big(u(x)\big)\), d'où :
| Fonction | Dérivée | Condition |
|---|---|---|
| \(e^{u}\) | \(u'\,e^{u}\) | |
| \(\ln u\) | \(\dfrac{u'}{u}\) | \(u > 0\) |
| \(u^n\) | \(n\,u'\,u^{n-1}\) | \(n\) entier non nul |
| \(\sqrt{u}\) | \(\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\) | \(u > 0\) |
| \(\cos u\) | \(-u'\sin u\) | |
| \(\sin u\) | \(u'\cos u\) |
Exemple : \(\left(e^{x^2}\right)' = 2x\,e^{x^2}\).
Variations et extremums1reTle
- \(f' > 0\) sur un intervalle : \(f\) y est strictement croissante ; \(f' < 0\) : strictement décroissante.
- Extremum local en \(a\) : \(f'\) s'annule en changeant de signe.
Méthode : calculer \(f'(x)\), le factoriser, étudier son signe (tableau de signes), en déduire le tableau de variations.
\(f'(a) = 0\) ne suffit pas : \(x \mapsto x^3\) a une dérivée nulle en \(0\), sans extremum.
ConvexitéTle
- \(f'' \geqslant 0\) sur \(I\) : \(f\) est convexe (courbe au-dessus de ses tangentes, \(f'\) croissante).
- \(f'' \leqslant 0\) sur \(I\) : \(f\) est concave (courbe au-dessous de ses tangentes).
- Point d'inflexion : \(f''\) s'annule en changeant de signe ; la courbe traverse sa tangente.
Continuité et valeurs intermédiairesTle
Une fonction dérivable est continue (la réciproque est fausse : \(x \mapsto |x|\) en \(0\)).
Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \([a ; b]\), pour tout \(k\) entre \(f(a)\) et \(f(b)\), l'équation \(f(x) = k\) a une unique solution dans \([a ; b]\).