Fiche formulaire : Exponentielle et logarithme (1re et Tle), PDF à imprimer

La fonction exponentielle1reTle

C'est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $\exp' = \exp$ et $\exp(0) = 1$. On note $\exp(x) = e^x$, avec $e \approx 2{,}718$.

Pour tout réel $x$ : $e^x > 0$.
Strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
$(e^{ax + b})' = a\,e^{ax + b}$ (1re) ; $(e^{u})' = u'\,e^{u}$ (Tle).

Règles de calcul avec l'exponentielle1reTle

Règle	Exemple
$e^{a + b} = e^a \times e^b$	$e^{x + 2} = e^2\,e^x$
$e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}$	$e^{-3} = \dfrac{1}{e^3}$
$e^{a - b} = \dfrac{e^a}{e^b}$	$\dfrac{e^{5}}{e^{2}} = e^{3}$
$(e^a)^n = e^{na}$	$(e^x)^2 = e^{2x}$

Équations et inéquations : $e^a = e^b \iff a = b$ et $e^a < e^b \iff a < b$.

Attention

$e^{a + b} \neq e^a + e^b$ ; $(e^x)^2 = e^{2x}$, pas $e^{x^2}$ ; $e^x = 0$ n'a pas de solution.

Le logarithme népérienTle

$\ln$ est définie sur $]0 ; +\infty[$ : pour $x > 0$, $\ln x$ est l'unique réel $y$ tel que $e^y = x$.

$\ln 1 = 0$, $\ln e = 1$ ; $\ln(e^x) = x$ pour tout $x$, et $e^{\ln x} = x$ pour $x > 0$.
$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ : strictement croissante sur $]0 ; +\infty[$.
$\ln x < 0$ sur $]0 ; 1[$ et $\ln x > 0$ sur $]1 ; +\infty[$.
$(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ pour $u > 0$.

Règles de calcul avec le logarithmeTle

Pour $a > 0$, $b > 0$ et $n$ entier relatif :

Règle	Exemple
$\ln(ab) = \ln a + \ln b$	$\ln 6 = \ln 2 + \ln 3$
$\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$	$\ln\left(\dfrac{1}{2}\right) = -\ln 2$
$\ln(a^n) = n \ln a$	$\ln 8 = 3 \ln 2$
$\ln \sqrt{a} = \dfrac{1}{2}\ln a$

Équations : $\ln a = \ln b \iff a = b$ (avec $a$, $b > 0$) ; $e^x = k \iff x = \ln k$ (pour $k > 0$).

Exemple : $2^n > 1\,000 \iff n \ln 2 > \ln 1\,000 \iff n > \dfrac{\ln 1\,000}{\ln 2} \approx 9{,}97$, donc $n \geqslant 10$.

Attention

$\ln(a + b) \neq \ln a + \ln b$. Pour $\ln\big(f(x)\big)$, il faut $f(x) > 0$.

Limites et croissances comparéesTle

	en $-\infty$	en $0$	en $+\infty$
$e^x$	$0$	$1$	$+\infty$
$\ln x$		$-\infty$ (à droite)	$+\infty$

Croissances comparées, pour tout entier $n \geqslant 1$ :

$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \qquad \lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0 \qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0 \qquad \lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$

« L'exponentielle l'emporte sur les puissances, les puissances l'emportent sur le logarithme. »

Limites utiles : $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = 1$ et $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(1 + x)}{x} = 1$.

Règle	Exemple
\(e^{a + b} = e^a \times e^b\)	\(e^{x + 2} = e^2\,e^x\)
\(e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}\)	\(e^{-3} = \dfrac{1}{e^3}\)
\(e^{a - b} = \dfrac{e^a}{e^b}\)	\(\dfrac{e^{5}}{e^{2}} = e^{3}\)
\((e^a)^n = e^{na}\)	\((e^x)^2 = e^{2x}\)

Règle	Exemple
\(\ln(ab) = \ln a + \ln b\)	\(\ln 6 = \ln 2 + \ln 3\)
\(\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b\)	\(\ln\left(\dfrac{1}{2}\right) = -\ln 2\)
\(\ln(a^n) = n \ln a\)	\(\ln 8 = 3 \ln 2\)
\(\ln \sqrt{a} = \dfrac{1}{2}\ln a\)

	en \(-\infty\)	en \(0\)	en \(+\infty\)
\(e^x\)	\(0\)	\(1\)	\(+\infty\)
\(\ln x\)		\(-\infty\) (à droite)	\(+\infty\)