Fractions, relatifs et priorités

Priorités opératoires6e5e4e

1. Les calculs entre parenthèses (les plus intérieures d'abord).
2. Les puissances (carrés et cubes dès la 5e).
3. Les multiplications et divisions, de gauche à droite.
4. Les additions et soustractions, de gauche à droite.

Exemples : \(5 + 3 \times 4 = 17\) ; \((5 + 3) \times 4 = 32\) ; \(18 \div 3 \times 2 = 12\) ; \(2 \times 5^2 = 50\).

Un trait de fraction remplace des parenthèses en haut et en bas : \(\dfrac{8 + 4}{2 + 1} = 4\).

Distributivité5e4e

\(k \times (a + b) = k \times a + k \times b\) et \(k \times (a - b) = k \times a - k \times b\).

Pour calculer de tête : \(7 \times 102 = 7 \times 100 + 7 \times 2 = 714\) ; \(9 \times 48 = 10 \times 48 - 48 = 432\).

Nombres relatifs : addition et soustraction5e4e

• Même signe : on additionne les distances à zéro, on garde le signe. \((-3) + (-4) = -7\).
• Signes contraires : on soustrait les distances à zéro, on prend le signe du nombre le plus éloigné de zéro. \((-9) + 4 = -5\).
• Soustraire, c'est ajouter l'opposé : \(a - b = a + (-b)\). \(-3 - (-7) = -3 + 7 = 4\).

Distance à zéro : \(|-7| = 7\). Entre deux négatifs, le plus grand est le plus proche de zéro : \(-3 > -5\).

Nombres relatifs : multiplication et division4e

Plusieurs facteurs : un nombre pair de facteurs négatifs donne un résultat positif, un nombre impair un résultat négatif.

Fractions : le sens6e5e4e

\(\dfrac{a}{b} = a \div b\) : on partage en \(b\) parts égales et on en prend \(a\). Ainsi \(b \times \dfrac{a}{b} = a\).

• Fraction décimale : \(\dfrac{47}{100} = 0{,}47\), et \(47\,\%\) signifie \(\dfrac{47}{100}\).
• Plus grande que \(1\) : \(\dfrac{7}{3} = 2 + \dfrac{1}{3}\).
• Fraction d'une quantité : \(\dfrac{2}{5}\) de \(30\), c'est \(30 \div 5 \times 2 = 12\).

Fractions égales et simplification6e5e4e

On multiplie ou on divise le numérateur et le dénominateur par le même nombre (non nul) :

\[\frac{3}{4} = \frac{3 \times 5}{4 \times 5} = \frac{15}{20} \qquad \frac{18}{24} = \frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4}\]

Comparer : avec le même dénominateur, on compare les numérateurs. Avec le même numérateur, la plus grande fraction a le plus petit dénominateur : \(\dfrac{3}{7} < \dfrac{3}{4}\).

Additionner et soustraire6e5e4e

Même dénominateur (dès la 6e) : \(\dfrac{a}{d} + \dfrac{b}{d} = \dfrac{a + b}{d}\).

Sinon (dès la 5e), on met d'abord au même dénominateur :

\[\frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \qquad \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}\]

Multiplier et diviser6e4e

Fraction × entier (dès la 6e) : \(3 \times \dfrac{2}{7} = \dfrac{6}{7}\).

Produit (4e) : \(\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}\), par exemple \(\dfrac{2}{3} \times \dfrac{9}{4} = \dfrac{18}{12} = \dfrac{3}{2}\).

Inverse (4e) : l'inverse de \(\dfrac{a}{b}\) est \(\dfrac{b}{a}\). Diviser, c'est multiplier par l'inverse :

\[\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} \qquad \frac{3}{5} \div \frac{9}{10} = \frac{3}{5} \times \frac{10}{9} = \frac{2}{3}\]