Fiche formulaire · Collège 6e5e4e3e
Périmètres, aires et volumes
Les formules des figures planes et des solides
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Périmètres6e5e4e3e
Le périmètre est la longueur du contour (en cm, m…).
| Figure | Périmètre |
|---|---|
| Carré de côté \(c\) | \(4 \times c\) |
| Rectangle de longueur \(L\) et de largeur \(\ell\) | \(2 \times (L + \ell)\) |
| Cercle de diamètre \(d\) (rayon \(r\)) | \(\pi \times d = 2 \times \pi \times r\) |
| Autre polygone | la somme des longueurs des côtés |
\(\pi \approx 3{,}14\). Exemple : un cercle de rayon \(5\) cm mesure \(2 \times \pi \times 5 \approx 31{,}4\) cm.
Aires des figures planes6e5e4e3e
| Figure | Aire | Classe |
|---|---|---|
| Carré de côté \(c\) | \(c \times c = c^2\) | 6e |
| Rectangle | \(L \times \ell\) | 6e |
| Triangle | \(\dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}\) | 5e |
| Parallélogramme | \(\text{base} \times \text{hauteur}\) | 5e |
| Disque de rayon \(r\) | \(\pi \times r^2\) | 5e |
La hauteur est perpendiculaire à la base choisie. L'aire du disque utilise le rayon : un disque de rayon \(3\) cm a pour aire \(\pi \times 3^2 \approx 28{,}27\) cm².
Volumes des solides droits6e5e4e3e
En 6e, on compte les cubes-unités : cubes d'une couche \(\times\) nombre de couches.
| Solide | Volume | Classe |
|---|---|---|
| Cube d'arête \(a\) | \(a \times a \times a = a^3\) | 5e |
| Pavé droit | \(L \times \ell \times h\) | 5e |
| Prisme droit | \(\text{aire de la base} \times h\) | 5e |
| Cylindre de rayon \(r\) | \(\pi \times r^2 \times h\) | 5e |
Exemple : un pavé de \(5\) cm sur \(4\) cm sur \(3\) cm a pour volume \(5 \times 4 \times 3 = 60\) cm³.
Volumes des solides « pointus »4e3e
| Solide | Volume |
|---|---|
| Pyramide | \(\dfrac{\text{aire de la base} \times h}{3}\) |
| Cône de rayon \(r\) | \(\dfrac{\pi \times r^2 \times h}{3}\) |
C'est le tiers du prisme (ou du cylindre) de même base et de même hauteur. La hauteur \(h\) va du sommet à la base, perpendiculairement : ce n'est pas une arête.
Sphère et boule3e
Pour une sphère (ou une boule) de rayon \(R\) :
- aire de la sphère : \(4 \times \pi \times R^2\) ;
- volume de la boule : \(\dfrac{4}{3} \times \pi \times R^3\).
Section par un plan à la distance \(d\) du centre : un cercle de rayon \(r\) avec \(r^2 = R^2 - d^2\).
Agrandissement et réduction3e
Dans un agrandissement ou une réduction de rapport \(k\) :
| Les longueurs | Les aires | Les volumes |
|---|---|---|
| sont multipliées par \(k\) | par \(k^2\) | par \(k^3\) |
Exemple : avec \(k = 2\), les aires sont multipliées par \(4\) et les volumes par \(8\). Une section d'une pyramide parallèle à sa base est une réduction de la base.
Unités6e5e4e3e
- Longueurs en m, aires en m², volumes en m³ : toutes les longueurs dans la même unité avant de calculer.
- \(1 \text{ m}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2\) ; \(1 \text{ m}^3 = 1\,000 \text{ dm}^3\).
- Contenances (dès la 5e) : \(1 \text{ dm}^3 = 1\) L ; \(1 \text{ cm}^3 = 1\) mL ; \(1 \text{ m}^3 = 1\,000\) L.