Fiche formulaire · Lycée Tle
Primitives et intégrales
Tableau des primitives, intégrale, intégration par parties et équations différentielles
Télécharger le PDFPDF · 2 pages · 158 Ko
Fiche mise à jour le . Usage libre en classe, non commercial, avec mention du site.
Primitive d'une fonctionTle
\(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) si \(F' = f\) sur \(I\). Toute fonction continue sur \(I\) a des primitives, et elles diffèrent d'une constante : \(F + C\).
Pour vérifier une primitive, on la dérive.
Primitives des fonctions usuellesTle
| Fonction | Une primitive | Sur |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(kx\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x\) | \(\dfrac{x^2}{2}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n\) (\(n\) entier, \(n \geqslant 1\)) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n + 1}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\dfrac{1}{x^2}\) | \(-\dfrac{1}{x}\) | \(]-\infty ; 0[\) ou \(]0 ; +\infty[\) |
| \(\dfrac{1}{x^n}\) (\(n\) entier, \(n \geqslant 2\)) | \(-\dfrac{1}{(n - 1)\,x^{n-1}}\) | \(]-\infty ; 0[\) ou \(]0 ; +\infty[\) |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) | \(2\sqrt{x}\) | \(]0 ; +\infty[\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln x\) | \(]0 ; +\infty[\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(e^{ax + b}\) (\(a \neq 0\)) | \(\dfrac{1}{a}\,e^{ax + b}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\cos x\) | \(\sin x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\sin x\) | \(-\cos x\) | \(\mathbb{R}\) |
Primitives et composéesTle
\(u\) dérivable sur \(I\) :
| Fonction | Une primitive | Condition |
|---|---|---|
| \(u'\,e^{u}\) | \(e^{u}\) | |
| \(\dfrac{u'}{u}\) | \(\ln u\) | \(u > 0\) |
| \(u'\,u^n\) | \(\dfrac{u^{n+1}}{n + 1}\) | \(n\) entier, \(n \neq -1\) |
| \(\dfrac{u'}{u^2}\) | \(-\dfrac{1}{u}\) | \(u \neq 0\) |
| \(\dfrac{u'}{\sqrt{u}}\) | \(2\sqrt{u}\) | \(u > 0\) |
Exemple : une primitive de \(x\,e^{x^2}\) est \(\dfrac{1}{2}e^{x^2}\).
IntégraleTle
Pour \(f\) continue sur \([a ; b]\) et \(F\) une primitive de \(f\) :
\[\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a)\]
Si \(f \geqslant 0\), c'est l'aire (en unités d'aire) entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites \(x = a\) et \(x = b\).
Exemple : \(\displaystyle\int_0^2 x^2\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3}\).
Propriétés de l'intégraleTle
- Linéarité : \(\displaystyle\int_a^b (f + g) = \int_a^b f + \int_a^b g\) et \(\displaystyle\int_a^b k f = k\int_a^b f\).
- Chasles : \(\displaystyle\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f\).
- Positivité : si \(f \geqslant 0\) sur \([a ; b]\) (avec \(a \leqslant b\)), alors \(\displaystyle\int_a^b f \geqslant 0\).
- Aire entre deux courbes, si \(f \geqslant g\) sur \([a ; b]\) : \(\displaystyle\int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,\mathrm{d}x\).
- Valeur moyenne de \(f\) sur \([a ; b]\) : \(\mu = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\).
Intégration par partiesTle
\(u\) et \(v\) dérivables, à dérivées continues sur \([a ; b]\) :
\[\int_a^b u(x)\,v'(x)\,\mathrm{d}x = \big[u(x)\,v(x)\big]_a^b - \int_a^b u'(x)\,v(x)\,\mathrm{d}x\]
Exemple : avec \(u = x\) et \(v' = e^x\), \(\displaystyle\int_0^1 x\,e^x\,\mathrm{d}x = \big[x\,e^x\big]_0^1 - \int_0^1 e^x\,\mathrm{d}x = e - (e - 1) = 1\).
Équations différentiellesTle
| Équation | Solutions (\(C\) réel) |
|---|---|
| \(y' = ay\) | \(y = C\,e^{ax}\) |
| \(y' = ay + b\) (\(a \neq 0\)) | \(y = C\,e^{ax} - \dfrac{b}{a}\) |
| \(y' = ay + f\) | \(y = C\,e^{ax} + u\), où \(u\) est une solution particulière |
Une condition initiale \(y(x_0) = y_0\) donne une seule valeur de \(C\).
La constante multiplie : \(C\,e^{ax}\), pas \(e^{ax} + C\). La solution constante est \(-\dfrac{b}{a}\), pas \(\dfrac{b}{a}\).