Fiche formulaire : Probabilités et statistiques (2de, 1re et Tle), PDF à imprimer

Statistiques2de

Moyenne : $\bar{x} = \dfrac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \cdots + n_p x_p}{N}$ ($N$ : effectif total).
Médiane : partage la série rangée en deux groupes de même effectif.
Quartiles : $Q_1$ (resp. $Q_3$) est la plus petite valeur telle qu'au moins $25\,\%$ (resp. $75\,\%$) des valeurs lui sont inférieures ou égales. Écart interquartile : $Q_3 - Q_1$.
Écart type : $\sigma = \sqrt{\dfrac{n_1(x_1 - \bar{x})^2 + \cdots + n_p(x_p - \bar{x})^2}{N}}$.

Série $2$, $4$, $6$, $8$ : moyenne $5$ et écart type $\sqrt{5} \approx 2{,}24$.

Taux d'évolution : $t = \dfrac{V_{\text{arrivée}} - V_{\text{départ}}}{V_{\text{départ}}}$ ; coefficient multiplicateur : $1 + t$.
Évolutions successives : on multiplie les coefficients. Évolution réciproque : coefficient $\dfrac{1}{1 + t}$.
Une hausse de $25\,\%$ est annulée par une baisse de $20\,\%$ : $1{,}25 \times 0{,}8 = 1$.

$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ ; si $A$ et $B$ sont incompatibles, $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.
Issues équiprobables : $P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues de } A}{\text{nombre d'issues}}$.

$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ (avec $P(A) \neq 0$), donc $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$.
Arbre pondéré : on multiplie le long d'un chemin, on additionne les chemins ; les branches issues d'un même nœud ont une somme égale à $1$.
Probabilités totales (1re) : $P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B)$.
Indépendance (1re) : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$, soit $P_A(B) = P(B)$.

Exemple : $P(A) = 0{,}3$, $P_A(B) = 0{,}5$ et $P_{\overline{A}}(B) = 0{,}2$ donnent $P(B) = 0{,}3 \times 0{,}5 + 0{,}7 \times 0{,}2 = 0{,}29$.

Attention

$P_A(B) \neq P_B(A)$ en général. Indépendants ne veut pas dire incompatibles.

Loi de $X$ : les valeurs $x_i$ et leurs probabilités $p_i$, avec $p_1 + \cdots + p_n = 1$.

Jeu équitable : espérance du gain nulle.

$k$-uplets d'un ensemble à $n$ éléments : $n^k$. Arrangements (sans répétition) : $\dfrac{n!}{(n - k)!}$. Permutations : $n!$.
Combinaisons (parties à $k$ éléments) : $\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n - k)!}$.
$\dbinom{n}{0} = \dbinom{n}{n} = 1$ ; $\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n - k}$ ; Pascal : $\dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k + 1} = \dbinom{n + 1}{k + 1}$.

Exemple : $\dbinom{5}{2} = \dfrac{5 \times 4}{2} = 10$.

$X$ compte les succès dans $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de paramètre $p$ :

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} \qquad E(X) = np \qquad V(X) = np(1 - p)$

Exemple : $n = 10$, $p = 0{,}5$ : $P(X = 5) = \dbinom{10}{5} \times 0{,}5^{10} \approx 0{,}246$.

Pour $X_1$, …, $X_n$ indépendantes, de même loi, d'espérance $\mu$ et de variance $\sigma^2$, $S_n = X_1 + \cdots + X_n$ et $M_n = \dfrac{S_n}{n}$ :

$E(S_n) = n\mu$, $V(S_n) = n\sigma^2$ ; $E(M_n) = \mu$, $V(M_n) = \dfrac{\sigma^2}{n}$.
Bienaymé-Tchebychev : $P\big(|X - E(X)| \geqslant \delta\big) \leqslant \dfrac{V(X)}{\delta^2}$.
Concentration : $P\big(|M_n - \mu| \geqslant \delta\big) \leqslant \dfrac{\sigma^2}{n\,\delta^2}$ ; loi des grands nombres : cette probabilité tend vers $0$.