Pythagore, Thalès et trigonométrie

Le théorème de Pythagore4e3e

Si le triangle \(ABC\) est rectangle en \(C\), alors \(AB^2 = AC^2 + BC^2\). L'hypoténuse \([AB]\) est le côté opposé à l'angle droit, le plus long.

• Chercher l'hypoténuse : on additionne. \(AB^2 = 3^2 + 4^2 = 25\), donc \(AB = \sqrt{25} = 5\).
• Chercher un côté de l'angle droit : on soustrait. \(AC^2 = AB^2 - BC^2\).

Réciproque et contraposée4e3e

On calcule séparément le carré du plus grand côté et la somme des carrés des deux autres :

• s'ils sont égaux, le triangle est rectangle (réciproque) : \(6^2 = 36\) et \(4{,}8^2 + 3{,}6^2 = 36\), donc un triangle de côtés \(6\), \(4{,}8\) et \(3{,}6\) est rectangle ;
• s'ils sont différents, il n'est pas rectangle (contraposée).

Triplets à connaître : \((3 ; 4 ; 5)\), \((5 ; 12 ; 13)\), \((8 ; 15 ; 17)\).

Cercle (3e) : un triangle inscrit dans un cercle, dont un côté est un diamètre, est rectangle ; l'hypoténuse est ce diamètre.

Le théorème de Thalès4e3e

Si \(M \in [AB]\), \(N \in [AC]\) et \((MN) \parallel (BC)\), alors

\[\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}\]

En 3e, il s'applique aussi dans la configuration « papillon » (\(M\) et \(N\) de l'autre côté de \(A\)). On part toujours du sommet commun \(A\) ; le petit triangle en haut, le grand en bas.

Calculer une longueur : on garde deux rapports, puis on fait un produit en croix. Avec \(AM = 3\), \(AB = 5\) et \(BC = 10\) : \(MN = \dfrac{3 \times 10}{5} = 6\).

Réciproque de Thalès4e3e

Si \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}\) et si les points \(A\), \(M\), \(B\) et \(A\), \(N\), \(C\) sont dans le même ordre, alors \((MN) \parallel (BC)\).

Si les rapports sont différents, les droites ne sont pas parallèles (contraposée).

Droite des milieux : la droite qui passe par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième, et le segment mesure la moitié de ce côté.

Cosinus, sinus, tangente4e3e

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu \(\widehat{A}\) : le cosinus dès la 4e, le sinus et la tangente en 3e.

Calculer avec la trigonométrie4e3e

• Une longueur : on choisit le rapport qui contient la longueur connue et la longueur cherchée. Hypoténuse \(10\) cm, \(\widehat{A} = 60°\) : côté adjacent \(= 10 \times \cos 60° = 5\) cm.
• Un angle : on calcule le rapport, puis on utilise \(\cos^{-1}\), \(\sin^{-1}\) ou \(\tan^{-1}\) (touches « Arccos », « Arcsin », « Arctan »).