Fiche formulaire · Lycée 2de1reTle
Vecteurs et géométrie repérée
Coordonnées, colinéarité, droites, produit scalaire, cercle et espace
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Vecteurs2de1reTle
- Chasles : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\).
- \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) si et seulement si \(ABCD\) est un parallélogramme (éventuellement aplati).
- Coordonnées : \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}\) (« arrivée moins départ »).
- Norme : \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\) ; distance \(AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\).
- Milieu de \([AB]\) : \(\left(\dfrac{x_A + x_B}{2} ; \dfrac{y_A + y_B}{2}\right)\).
Exemple : \(A(1 ; 2)\) et \(B(4 ; 6)\) donnent \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\), \(AB = 5\) et le milieu \((2{,}5 ; 4)\).
Colinéarité2de1re
Déterminant de \(\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\) : \(\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y\).
- \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinéaires \(\iff \det(\vec{u}, \vec{v}) = 0\).
- \(A\), \(B\), \(C\) alignés \(\iff \overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) colinéaires.
- \((AB) \parallel (CD) \iff \overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) colinéaires.
Droites du plan2de1re
- Équation cartésienne : \(ax + by + c = 0\), de vecteur directeur \(\vec{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}\).
- Équation réduite (droite non verticale) : \(y = mx + p\), avec \(m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\).
- Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
- Intersection : résoudre le système formé par les deux équations.
- Vecteur normal (1re) : \(\vec{n}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\) est orthogonal à la droite \(ax + by + c = 0\).
Produit scalaire1reTle
| Expression | Formule |
|---|---|
| avec l'angle | \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\vec{u}, \vec{v})\) |
| en coordonnées | \(\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'\) (et \(+ zz'\) dans l'espace) |
| avec les normes | \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)\) |
| par projection | \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}\), \(H\) projeté de \(C\) sur \((AB)\) |
- \(\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2\) ; \(\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0\).
- Al-Kashi : \(BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\,AB \times AC \times \cos\widehat{A}\).
Cercle1reTle
- Cercle de centre \(\Omega(a ; b)\) et de rayon \(r\) : \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\).
- Cercle de diamètre \([AB]\) : ensemble des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\).
- La tangente en \(M\) est perpendiculaire au rayon \([\Omega M]\).
Attention
\((x + 3)^2\) correspond à un centre d'abscisse \(-3\) ; le second membre est \(r^2\), pas \(r\).
Géométrie dans l'espaceTle
- Coordonnées \((x ; y ; z)\) ; \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\).
- Droite passant par \(A(x_A ; y_A ; z_A)\), de vecteur directeur \(\vec{u}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{pmatrix}\) : \(\begin{cases} x = x_A + \alpha t \\ y = y_A + \beta t \\ z = z_A + \gamma t \end{cases}\), \(t \in \mathbb{R}\).
- Plan de vecteur normal \(\vec{n}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\) : \(ax + by + cz + d = 0\).
- Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
- Projeté orthogonal \(H\) de \(M\) sur un plan : \(H\) est dans le plan et \(\overrightarrow{MH}\) est colinéaire à \(\vec{n}\) ; \(MH\) est la distance de \(M\) au plan.