La fonction logarithme népérien
Cours
Au début du XVIIe siècle, les astronomes passaient des nuits à multiplier des nombres immenses. L'Écossais John Napier (dont le nom a donné « népérien ») a inventé un outil qui transforme les multiplications en additions : le logarithme. Aujourd'hui, il sert surtout à « défaire » une exponentielle : en combien de temps une épargne double-t-elle ? Quel âge a un fossile ? À partir de quelle année une quantité passe-t-elle sous un seuil ? Avec ce chapitre, tu sauras :
- définir \(\ln a\) comme le nombre dont l'exponentielle vaut \(a\) ;
- utiliser les propriétés \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\) et \(\ln(a^n) = n\ln a\) ;
- résoudre des équations et des inéquations, en particulier les seuils des suites géométriques ;
- étudier la fonction \(\ln\) : dérivée, variations, limites, courbe.
1 Définition du logarithme népérien
La fonction exponentielle est continue, strictement croissante, et prend toutes les valeurs strictement positives. Chaque nombre \(a > 0\) est donc l'exponentielle d'un unique nombre.
Pour tout réel \(a > 0\), l'équation \(e^x = a\) a une unique solution, appelée logarithme népérien de \(a\) et notée \(\ln a\). La fonction \(\ln\) est définie sur \(]0 \,;\, +\infty[\). En mots : \(\ln a\) est l'exposant qu'il faut donner à \(e\) pour obtenir \(a\).
- \(\ln 1 = 0\) (car \(e^0 = 1\)) et \(\ln e = 1\) ;
- pour tout \(a > 0\), \(e^{\ln a} = a\) ; pour tout réel \(x\), \(\ln(e^x) = x\) ;
- pour \(a > 0\) et \(x\) réel : \(e^x = a \iff x = \ln a\).
L'idée en une phrase : c'est le théorème des valeurs intermédiaires du chapitre 2.
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Étape 1 — Existence. L'exponentielle est continue, tend vers \(0\) en \(-\infty\) et vers \(+\infty\) en \(+\infty\) : elle prend toute valeur \(a > 0\).
Étape 2 — Unicité. Elle est strictement croissante : elle ne prend chaque valeur qu'une fois ✓.
Résoudre \(e^x = 5\), puis \(e^{2x} = 9\).
Étape 1 — Première équation. \(e^x = 5 \iff x = \ln 5 \approx 1{,}609\).
Étape 2 — Seconde équation. \(e^{2x} = 9 \iff 2x = \ln 9 \iff x = \dfrac{\ln 9}{2} \approx 1{,}099\).
🔍 Vérification : \(e^{1{,}609} \approx 5{,}00\) ✓ ; et \(\dfrac{\ln 9}{2} = \ln 3\), car \(e^{2\ln 3} = (e^{\ln 3})^2 = 9\) ✓.
- ❌ Calculer \(\ln 0\) ou \(\ln(-2)\). ✅ \(\ln\) n'est définie que pour les nombres strictement positifs.
- ❌ « \(e^x = -2\) donne \(x = \ln(-2)\). » ✅ Une exponentielle est toujours positive : l'équation n'a pas de solution.
Donne la valeur exacte de \(\ln(e^3)\) et de \(e^{\ln 7}\).
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\(\ln(e^3) = 3\) et \(e^{\ln 7} = 7\).
Pour \(a > 0\), \(e^x = a \iff x = \ln a\) ; \(\ln 1 = 0\), \(\ln e = 1\) ; \(e^{\ln a} = a\) et \(\ln(e^x) = x\).
2 Propriétés algébriques
L'exponentielle transforme les sommes en produits : \(e^{a + b} = e^a \times e^b\). Le logarithme fait l'inverse.
Pour tous réels \(a > 0\), \(b > 0\) et tout entier \(n\), \[\ln(ab) = \ln a + \ln b, \qquad \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b, \qquad \ln\left(\frac{1}{b}\right) = -\ln b,\] \[\ln(a^n) = n\ln a, \qquad \ln\sqrt{a} = \frac{1}{2}\ln a.\]
L'idée en une phrase : on compare les exponentielles des deux membres.
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Étape 1 — L'exponentielle du membre de droite. \(e^{\ln a + \ln b} = e^{\ln a} \times e^{\ln b} = ab\).
Étape 2 — Conclure. \(\ln a + \ln b\) est donc le nombre dont l'exponentielle vaut \(ab\) : c'est \(\ln(ab)\) ✓. Les autres formules s'en déduisent.
Étape 1 — \(\ln 12\). \(12 = 2^2 \times 3\), donc \(\ln 12 = 2\ln 2 + \ln 3\).
Étape 2 — \(\ln\dfrac{1}{4}\). \(\ln\dfrac{1}{4} = -\ln 4 = -2\ln 2\).
Étape 3 — \(\ln 8 - \ln 2\). \(\ln 8 - \ln 2 = \ln\dfrac{8}{2} = \ln 4 = 2\ln 2\).
🔍 Vérification : \(\ln 12 \approx 2{,}485\) et \(2 \times 0{,}693 + 1{,}099 = 2{,}485\) ✓.
- ❌ \(\ln(a + b) = \ln a + \ln b\). ✅ C'est le produit qui devient une somme ; \(\ln(a + b)\) ne se simplifie pas.
- ❌ \(\ln(a^n) = (\ln a)^n\). ✅ L'exposant passe devant : \(n\ln a\).
Écris \(\ln 16\), \(\ln\sqrt{2}\) et \(\ln 0{,}5\) en fonction de \(\ln 2\).
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\(4\ln 2\) ; \(\dfrac{1}{2}\ln 2\) ; \(-\ln 2\).
\(\ln(ab) = \ln a + \ln b\) ; \(\ln\dfrac{a}{b} = \ln a - \ln b\) ; \(\ln(a^n) = n\ln a\) ; le logarithme transforme les produits en sommes.
3 Équations, inéquations et seuils
La fonction \(\ln\) est strictement croissante : elle conserve l'ordre. C'est ce qui permet de résoudre les seuils sans tableau de valeurs.
Pour tous \(a > 0\) et \(b > 0\) :
- \(\ln a = \ln b \iff a = b\) ;
- \(\ln a < \ln b \iff a < b\) ;
- en particulier, \(\ln a < 0 \iff 0 < a < 1\), et \(\ln a > 0 \iff a > 1\).
On applique \(\ln\) aux deux membres, puis \(\ln(q^n) = n\ln q\), et on divise par \(\ln q\). Attention : si \(0 < q < 1\), alors \(\ln q < 0\) et le sens de l'inégalité change.
On cherche le premier \(n\) tel que \(3\,000 - 2\,000 \times 0{,}9^n > 2\,900\).
Étape 1 — Isoler la puissance. \(2\,000 \times 0{,}9^n < 100 \iff 0{,}9^n < 0{,}05\).
Étape 2 — Appliquer \(\ln\). \(n\ln 0{,}9 < \ln 0{,}05\).
Étape 3 — Diviser par \(\ln 0{,}9 < 0\). Le sens change : \(n > \dfrac{\ln 0{,}05}{\ln 0{,}9} \approx 28{,}4\).
Conclusion : le premier entier qui convient est \(\boxed{n = 29}\), comme au chapitre 1.
🔍 Vérification : \(0{,}9^{28} \approx 0{,}052 > 0{,}05\) et \(0{,}9^{29} \approx 0{,}047 < 0{,}05\) ✓.
- ❌ Oublier de changer le sens en divisant par \(\ln 0{,}9\). ✅ \(\ln q < 0\) quand \(0 < q < 1\).
- ❌ Oublier le domaine dans une équation avec \(\ln\). ✅ Dans \(\ln x + \ln(x - 1) = \ln 6\), il faut \(x > 1\) (exercice 12).
Résous \(\ln x = 2\), puis l'inéquation \(2^n > 1\,000\) (\(n\) entier).
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\(x = e^2 \approx 7{,}39\). Puis \(n > \dfrac{\ln 1\,000}{\ln 2} \approx 9{,}97\), donc \(n \geqslant 10\).
\(\ln\) est strictement croissante : \(\ln a < \ln b \iff a < b\) ; seuil : \(n\ln q\) comparé à \(\ln s\), et on change le sens si \(\ln q < 0\).
4 Étude de la fonction ln
- la fonction \(\ln\) est dérivable sur \(]0 \,;\, +\infty[\) et \(\ln'(x) = \dfrac{1}{x}\) ;
- elle est donc strictement croissante ; sa dérivée seconde \(-\dfrac{1}{x^2}\) est négative : elle est concave ;
- limites : \(\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x = -\infty\) (l'axe des ordonnées est asymptote) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x = +\infty\) ;
- la tangente en \(1\) a pour équation \(y = x - 1\), et pour tout \(x > 0\), \(\ln x \leqslant x - 1\) (courbe sous sa tangente).
- Pour \(x \mapsto \ln(ax + b)\) : sa dérivée vaut \(\dfrac{a}{ax + b}\) (chapitre 3).
L'idée en une phrase : on dérive l'égalité \(e^{\ln x} = x\).
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Étape 1 — Dériver les deux membres. On admet que \(\ln\) est dérivable. La dérivée de \(e^{\ln x}\) est \(\ln'(x) \times e^{\ln x} = \ln'(x) \times x\) ; celle de \(x\) est \(1\).
Étape 2 — Conclure. \(\ln'(x) \times x = 1\), donc \(\ln'(x) = \dfrac{1}{x}\) ✓.
Survole la courbe pour lire ses coordonnées. Clique ou touche le graphique pour zoomer et le déplacer.
Est la symétrique de celle de l'exponentielle par rapport à la droite \(y = x\) : échanger \(x\) et \(y\) dans \(y = e^x\) donne \(x = e^y\), soit \(y = \ln x\).
Étudier \(f(x) = \dfrac{\ln x}{x}\) sur \(]0 \,;\, +\infty[\).
Étape 1 — La dérivée. Quotient : \(f'(x) = \dfrac{\frac{1}{x} \times x - \ln x \times 1}{x^2} = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}\).
Étape 2 — Le signe. \(1 - \ln x > 0 \iff \ln x < 1 \iff x < e\). Donc \(f\) croît sur \(]0 \,;\, e]\) et décroît sur \([e \,;\, +\infty[\).
Conclusion : maximum \(f(e) = \dfrac{1}{e} \approx 0{,}368\).
🔍 Vérification : \(f(2) = \dfrac{\ln 2}{2} \approx 0{,}347\) et \(f(3) \approx 0{,}366\), tous deux inférieurs à \(0{,}368\) ✓.
- ❌ \(\left(\ln(2x + 1)\right)' = \dfrac{1}{2x + 1}\). ✅ On multiplie par \(a = 2\) : \(\dfrac{2}{2x + 1}\).
- ❌ « \(\ln x\) est toujours positif. » ✅ Il est négatif sur \(]0 \,;\, 1[\).
Dérive \(f(x) = x\ln x - x\).
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\(f'(x) = \ln x + x \times \dfrac{1}{x} - 1 = \ln x\).
\(\ln'(x) = \dfrac{1}{x}\) ; \(\ln\) croissante et concave ; \(\ln x \to -\infty\) en \(0^+\), \(+\infty\) en \(+\infty\) ; \(\ln x \leqslant x - 1\).
5 Temps de doublement et demi-vie
Le logarithme répond à la question « combien de temps faut-il pour que… ? » dans tous les modèles exponentiels.
- une quantité qui augmente de \(t\,\%\) par an double en \(n\) années, avec \((1 + t/100)^n = 2\), soit \(n = \dfrac{\ln 2}{\ln(1 + t/100)}\) ;
- une quantité \(N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}\) est divisée par \(2\) au bout de la demi-vie \(T = \dfrac{\ln 2}{\lambda}\).
Étape 1 — L'équation. On cherche \(n\) tel que \(1{,}03^n \geqslant 2\), soit \(n\ln 1{,}03 \geqslant \ln 2\).
Étape 2 — Résoudre. \(\ln 1{,}03 > 0\), donc \(n \geqslant \dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}03} \approx 23{,}4\).
Conclusion : l'épargne double au bout de \(\boxed{24 \text{ ans}}\).
🔍 Vérification : la « règle de 72 » des banquiers donne \(\dfrac{72}{3} = 24\) ✓ (exercice 25).
- ❌ Croire que la demi-vie dépend de la quantité de départ. ✅ \(T = \dfrac{\ln 2}{\lambda}\) ne dépend que de \(\lambda\).
\(N(t) = 1\,000\,e^{-0{,}1t}\). Calcule la demi-vie.
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\(T = \dfrac{\ln 2}{0{,}1} = 10\ln 2 \approx 6{,}93\) (on retrouve l'encadrement du chapitre 2).
Doublement en \(\dfrac{\ln 2}{\ln(1 + t/100)}\) périodes ; demi-vie \(\dfrac{\ln 2}{\lambda}\).
Les maths cachées · L’âge d’un fossileComment sait-on qu’un os a 4 000 ans ?Voir la réponse et l’essai ▾Refermer ▴
Tous les êtres vivants contiennent un peu de carbone 14, un carbone radioactif. Tant qu'ils vivent, ils le renouvellent en respirant et en se nourrissant ; à leur mort, ce carbone 14 n'est plus remplacé et se désintègre lentement. Mesurer ce qu'il en reste permet de dater un os, un charbon de bois ou un tissu.
La loi de désintégration. La proportion de carbone 14 restante au bout de \(t\) années est
\[p(t) = e^{-\lambda t}, \quad \text{avec } \lambda = \frac{\ln 2}{5\,730}.\]
Ici \(\lambda \approx 0{,}000121\). Le nombre \(5\,730\) ans est la demi-vie : au bout de ce temps, il ne reste que la moitié du carbone 14 ; au bout de \(10\,000\) ans, il en reste environ \(29{,}8\,\%\).
Retrouver l'âge avec le logarithme. Si un fossile contient encore la proportion \(p\) de son carbone 14, on résout \(e^{-\lambda t} = p\) :
\[t = -\frac{\ln p}{\lambda} = -\frac{5\,730 \times \ln p}{\ln 2}.\]
| Carbone 14 restant | \(60\,\%\) | \(50\,\%\) | \(25\,\%\) | \(10\,\%\) | \(1\,\%\) |
|---|---|---|---|---|---|
| Âge (années) | \(4\,223\) | \(5\,730\) | \(11\,460\) | \(19\,035\) | \(38\,069\) |
Un charbon de bois qui contient encore \(60\,\%\) de son carbone 14 a donc environ \(4\,223\) ans.
Chaque demi-vie divise la quantité par \(2\) ; le logarithme transforme cette division répétée en une simple multiplication par le temps.
Au-delà d'environ \(50\,000\) ans, il reste trop peu de carbone 14 pour le mesurer. Pour les roches et les fossiles de dinosaures, les géologues utilisent d'autres atomes, à demi-vie beaucoup plus longue.
Pour aller plus loin
Contenu facultatif, non exigible.
(hors programme) : le logarithme décimal \(\log x = \dfrac{\ln x}{\ln 10}\) vérifie \(\log 10 = 1\), \(\log 100 = 2\)… Il sert à mesurer le pH (\(\text{pH} = -\log[\text{H}_3\text{O}^+]\)), les décibels ou la magnitude des séismes (exercice 28).
Quiz du cours
Tu as lu le cours ? Vérifie en 7 questions que tu as retenu l’essentiel. Chaque réponse est corrigée tout de suite, sans chronomètre.
Quelle est la solution de l'équation \(e^x = 5\) ?
Pour \(a > 0\), \(e^x = a \iff x = \ln a\).
Vrai ou faux : l'équation \(e^x = -2\) a pour solution \(x = \ln(-2)\).
Une exponentielle est toujours strictement positive, et \(\ln\) n'est définie que pour les nombres strictement positifs.
\(\ln 12\) est égal à :
\(12 = 2^2 \times 3\), donc \(\ln 12 = 2\ln 2 + \ln 3\).
Vrai ou faux : \(\ln(a + b) = \ln a + \ln b\) pour tous \(a, b > 0\).
C'est le produit qui devient une somme : \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\).
Quel est le plus petit entier \(n\) tel que \(2^n > 1\,000\) ?
Réponse attendue : \(10\)
\(n > \dfrac{\ln 1\,000}{\ln 2} \approx 9{,}97\).
Quelle est la dérivée de \(f(x) = \ln(2x + 1)\) ?
\(\left(\ln(ax + b)\right)' = \dfrac{a}{ax + b}\) avec \(a = 2\).
Une quantité \(N(t) = 1\,000\,e^{-0{,}1t}\) a une demi-vie \(T = \dfrac{\ln 2}{0{,}1}\). Donne \(T\) arrondi au dixième.
Réponse attendue : \(6{,}9\)
\(10\ln 2 \approx 6{,}93\).
À revoir dans le cours :
Questions fréquentes
C'est quoi le logarithme népérien d'un nombre ?
Pour un nombre \(a > 0\), \(\ln a\) est le seul nombre dont l'exponentielle vaut \(a\) : \(e^{\ln a} = a\). Par exemple \(\ln 1 = 0\) et \(\ln e = 1\). Le logarithme d'un nombre négatif ou nul n'existe pas.
Quelles sont les propriétés du logarithme à connaître ?
Le logarithme transforme les produits en sommes : \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\), \(\ln\dfrac{a}{b} = \ln a - \ln b\) et \(\ln(a^n) = n\ln a\). En revanche, \(\ln(a + b)\) ne se simplifie pas.
Comment résoudre une inéquation avec une puissance inconnue ?
On applique \(\ln\) aux deux membres, puis on utilise \(\ln(q^n) = n\ln q\) et on divise par \(\ln q\). Si \(q\) est compris entre \(0\) et \(1\), \(\ln q\) est négatif : il faut changer le sens de l'inégalité.
Comment dériver la fonction logarithme népérien ?
La dérivée de \(\ln x\) est \(\dfrac{1}{x}\), sur \(]0 \,;\, +\infty[\). La fonction \(\ln\) est donc croissante, et sa courbe est sous sa tangente en \(1\), la droite \(y = x - 1\).
Comment calculer une demi-vie ?
Pour une quantité \(N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}\), on résout \(e^{-\lambda t} = \dfrac{1}{2}\), ce qui donne \(T = \dfrac{\ln 2}{\lambda}\). La demi-vie ne dépend pas de la quantité de départ.
Fiche mémo
L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.
L'essentiel
| Notion | À savoir |
|---|---|
| Définition | pour \(a > 0\) : \(e^x = a \iff x = \ln a\) |
| Valeurs | \(\ln 1 = 0\) ; \(\ln e = 1\) ; \(e^{\ln a} = a\) ; \(\ln(e^x) = x\) |
| Produits | \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\) ; \(\ln\dfrac{a}{b} = \ln a - \ln b\) ; \(\ln(a^n) = n\ln a\) |
| Ordre | \(\ln a < \ln b \iff a < b\) ; \(\ln a < 0 \iff 0 < a < 1\) |
| Seuil | \(q^n < s \iff n\ln q < \ln s\) ; changer le sens si \(\ln q < 0\) |
| Dérivée | \(\ln'(x) = \dfrac{1}{x}\) ; \(\left(\ln(ax + b)\right)' = \dfrac{a}{ax + b}\) |
| Courbe | croissante, concave ; \(-\infty\) en \(0^+\), \(+\infty\) en \(+\infty\) ; \(\ln x \leqslant x - 1\) |
| Modèles | doublement \(\dfrac{\ln 2}{\ln(1 + t/100)}\) ; demi-vie \(\dfrac{\ln 2}{\lambda}\) |
Pièges à éviter
- \(\ln\) n'est définie que sur \(]0 \,;\, +\infty[\) : vérifier le domaine.
- \(\ln(a + b) \neq \ln a + \ln b\).
- Diviser par \(\ln q < 0\) change le sens de l'inégalité.
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Niveau 1Facile (Exercices 1 à 11)
Donne la valeur de \(\ln 1\), \(\ln e\), \(\ln(e^3)\) et \(e^{\ln 7}\).
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définition du logarithme.
\(\ln 1 = 0\) ; \(\ln e = 1\) ; \(\ln(e^3) = 3\) ; \(e^{\ln 7} = 7\).
🔍 Vérification : \(e^0 = 1\) et \(e^1 = e\) ✓
Simplifie \(\ln 8 - \ln 2\), puis écris \(\ln 12\) et \(\ln\dfrac{1}{4}\) en fonction de \(\ln 2\) et \(\ln 3\).
Voir la correction›
décomposer en facteurs premiers.
\(\ln 8 - \ln 2 = \ln 4 = 2\ln 2\) ; \(\ln 12 = 2\ln 2 + \ln 3\) ; \(\ln\dfrac{1}{4} = -2\ln 2\).
🔍 Vérification : \(2 \times 0{,}693 = 1{,}386 \approx \ln 4\) ✓
Écris en fonction de \(\ln 2\) : \(\ln 16\) ; \(\ln\sqrt{2}\) ; \(\ln 0{,}5\) ; \(\ln 32 - \ln 4\).
Voir la correction›
\(\ln(a^n) = n\ln a\).
\(\ln 16 = 4\ln 2\) ; \(\ln\sqrt{2} = \dfrac{1}{2}\ln 2\) ; \(\ln 0{,}5 = -\ln 2\) ; \(\ln 32 - \ln 4 = \ln 8 = 3\ln 2\).
🔍 Vérification : \(\ln 0{,}5 \approx -0{,}693\) ✓
Résous :
a) \(e^x = 5\) ;
b) \(e^x = -2\) ;
c) \(e^{2x} = 9\).
Voir la correction›
\(e^x = a \iff x = \ln a\), pour \(a > 0\).
a) \(x = \ln 5 \approx 1{,}609\).
b) Pas de solution (\(e^x > 0\)).
c) \(2x = \ln 9\), donc \(x = \dfrac{\ln 9}{2} = \ln 3 \approx 1{,}099\).
🔍 Vérification : \(\ln 9 = 2\ln 3\) ✓
Résous :
a) \(\ln x = 2\) ;
b) \(\ln x = -1\) ;
c) \(\ln x = 0\).
Voir la correction›
\(\ln x = b \iff x = e^b\).
a) \(x = e^2 \approx 7{,}389\).
b) \(x = e^{-1} = \dfrac{1}{e} \approx 0{,}368\).
c) \(x = 1\).
🔍 Vérification : \(\ln(e^2) = 2\) ✓
Pour quelles valeurs de \(x\) a-t-on \(\ln x < 0\) ? \(\ln x > 0\) ?
Voir la correction›
\(\ln\) est strictement croissante et \(\ln 1 = 0\).
\(\ln x < 0 \iff 0 < x < 1\) ; \(\ln x > 0 \iff x > 1\).
🔍 Vérification : \(\ln 0{,}5 \approx -0{,}69 < 0\) ✓
Dérive : \(f(x) = \ln x + x^2\) ; \(g(x) = 3\ln x\) ; \(h(x) = \ln(2x + 1)\) sur \(]-\tfrac{1}{2} \,;\, +\infty[\).
Voir la correction›
\(\ln'(x) = \dfrac{1}{x}\) ; \(\left(\ln(ax + b)\right)' = \dfrac{a}{ax + b}\).
\(f'(x) = \dfrac{1}{x} + 2x\) ; \(g'(x) = \dfrac{3}{x}\) ; \(h'(x) = \dfrac{2}{2x + 1}\).
🔍 Vérification : pour \(h\), le facteur \(a = 2\) est bien présent ✓
Donne l'équation de la tangente à la courbe de \(\ln\) au point d'abscisse \(1\).
Voir la correction›
\(y = \ln'(1)(x - 1) + \ln 1\).
\(\ln 1 = 0\) et \(\ln'(1) = 1\) : \(\boxed{y = x - 1}\).
🔍 Vérification : \(\ln\) est concave, sa courbe est sous cette tangente : \(\ln 2 \approx 0{,}69 \leqslant 1\) ✓
Résous \(2^n > 1\,000\) pour \(n\) entier naturel.
Voir la correction›
appliquer \(\ln\), puis diviser par \(\ln 2 > 0\).
\(n\ln 2 > \ln 1\,000\), donc \(n > \dfrac{\ln 1\,000}{\ln 2} \approx 9{,}97\) : \(\boxed{n \geqslant 10}\).
🔍 Vérification : \(2^9 = 512\) et \(2^{10} = 1\,024\) ✓
Résous \(3e^x - 6 = 0\).
Voir la correction›
isoler l'exponentielle.
\(3e^x = 6 \iff e^x = 2 \iff \boxed{x = \ln 2} \approx 0{,}693\).
🔍 Vérification : \(3e^{\ln 2} - 6 = 3 \times 2 - 6 = 0\) ✓
Donne les limites de \(\ln x\) en \(0^+\) et en \(+\infty\), puis la limite de \(\ln x + x\) en \(+\infty\).
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limites du cours, puis somme.
\(\ln x \to -\infty\) en \(0^+\) et \(+\infty\) en \(+\infty\). Donc \(\ln x + x \to +\infty\) en \(+\infty\).
🔍 Vérification : \(\ln 0{,}001 \approx -6{,}9\) ✓
Niveau 2Intermédiaire (Exercices 12 à 24)
Résous l'équation \(\ln x + \ln(x - 1) = \ln 6\).
Voir la correction›
domaine, puis \(\ln a + \ln b = \ln(ab)\).
Il faut \(x > 0\) et \(x - 1 > 0\), soit \(x > 1\). L'équation devient \(\ln(x(x - 1)) = \ln 6\), donc \(x^2 - x - 6 = 0\), soit \((x - 3)(x + 2) = 0\). Seul \(\boxed{x = 3}\) est dans le domaine.
🔍 Vérification : \(\ln 3 + \ln 2 = \ln 6\) ✓
\(x = -2\) vérifie \(x(x - 1) = 6\), mais \(\ln(-2)\) n'existe pas.
Résous \(\ln(2x - 1) = \ln(x + 2)\).
Voir la correction›
domaine, puis \(\ln a = \ln b \iff a = b\).
Domaine : \(x > \dfrac{1}{2}\). \(2x - 1 = x + 2 \iff \boxed{x = 3}\), qui est dans le domaine.
🔍 Vérification : \(\ln 5 = \ln 5\) ✓
Résous \(e^{2x} - 3e^x + 2 = 0\) en posant \(X = e^x\).
Voir la correction›
\(e^{2x} = (e^x)^2\).
Avec \(X = e^x\) : \(X^2 - 3X + 2 = 0\), soit \((X - 1)(X - 2) = 0\). \(e^x = 1\) donne \(x = 0\) ; \(e^x = 2\) donne \(x = \ln 2\). Solutions : \(\boxed{0 \text{ et } \ln 2}\).
🔍 Vérification : \(x = \ln 2\) : \(4 - 6 + 2 = 0\) ✓
On reprend \(u_n = 3\,000 - 2\,000 \times 0{,}9^n\) (chapitre 1). Résous par le calcul l'inéquation \(u_n > 2\,990\).
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isoler \(0{,}9^n\), puis \(\ln\).
\(2\,000 \times 0{,}9^n < 10 \iff 0{,}9^n < 0{,}005 \iff n > \dfrac{\ln 0{,}005}{\ln 0{,}9} \approx 50{,}3\) (le sens change car \(\ln 0{,}9 < 0\)). Donc \(\boxed{n \geqslant 51}\).
🔍 Vérification : on retrouve le résultat obtenu au tableau de valeurs au chapitre 1 ✓
\(N(t) = 1\,000\,e^{-0{,}1t}\). Résous \(N(t) = 500\) et donne la valeur exacte de la demi-vie.
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isoler l'exponentielle.
\(e^{-0{,}1t} = 0{,}5 \iff -0{,}1t = \ln 0{,}5 = -\ln 2 \iff \boxed{t = 10\ln 2} \approx 6{,}93\).
🔍 Vérification : c'est la formule \(T = \dfrac{\ln 2}{\lambda}\) avec \(\lambda = 0{,}1\) ✓
a) En combien d'années une épargne à \(2\,\%\) double-t-elle ?
b) Et à \(8\,\%\) ?
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\(n \geqslant \dfrac{\ln 2}{\ln(1 + t/100)}\).
a) \(\dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}02} \approx 35{,}0\) : \(35\) ans.
b) \(\dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}08} \approx 9{,}006\) : il faut \(10\) ans (\(1{,}08^9 \approx 1{,}999 < 2\)).
🔍 Vérification : la règle de \(72\) donne \(36\) et \(9\) ans : très proche ✓
Soit \(f(x) = x\ln x - x\) sur \(]0 \,;\, +\infty[\).
a) Montre que \(f'(x) = \ln x\).
b) Étudie les variations de \(f\) et donne son minimum.
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produit, puis signe de \(\ln x\).
a) \(f'(x) = \ln x + x \times \dfrac{1}{x} - 1 = \ln x\).
b) \(f'(x) < 0\) sur \(]0 \,;\, 1[\) et \(> 0\) sur \(]1 \,;\, +\infty[\) : minimum \(f(1) = \boxed{-1}\).
🔍 Vérification : \(f(e) = e - e = 0 > -1\) ✓
Soit \(f(x) = \dfrac{\ln x}{x}\) sur \(]0 \,;\, +\infty[\).
a) Montre que \(f'(x) = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}\).
b) Donne le maximum de \(f\).
c) Compare \(2^3\) et \(3^2\), puis \(e^\pi\) et \(\pi^e\) grâce à \(f\).
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voir l'exemple du cours.
a) Formule du quotient (partie 4).
b) Maximum \(f(e) = \dfrac{1}{e} \approx 0{,}368\).
c) \(f\) décroît sur \([e \,;\, +\infty[\) et \(e < 3 < 4\) : \(f(3) > f(4)\), c'est-à-dire \(\dfrac{\ln 3}{3} > \dfrac{\ln 4}{4} = \dfrac{\ln 2}{2}\), soit \(2\ln 3 > 3\ln 2\) et \(3^2 > 2^3\) (\(9 > 8\)). De même \(f(e) > f(\pi)\) donne \(\pi\ln e > e\ln \pi\), soit \(\boxed{e^\pi > \pi^e}\).
🔍 Vérification : \(e^\pi \approx 23{,}14\) et \(\pi^e \approx 22{,}46\) ✓
Soit \(f(x) = x^2 - 8\ln x\) sur \(]0 \,;\, +\infty[\). Étudie ses variations et donne son minimum.
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\(f'(x) = 2x - \dfrac{8}{x} = \dfrac{2(x^2 - 4)}{x}\).
Sur \(]0 \,;\, +\infty[\), \(f'\) est du signe de \(x^2 - 4\) : négative avant \(2\), positive après. Minimum \(f(2) = 4 - 8\ln 2 \approx \boxed{-1{,}545}\).
🔍 Vérification : \(f(1) = 1 > -1{,}545\) ✓
Soit \(g(x) = \ln x - x + 1\) sur \(]0 \,;\, +\infty[\). Étudie ses variations et déduis-en que \(\ln x \leqslant x - 1\).
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un maximum égal à \(0\).
\(g'(x) = \dfrac{1}{x} - 1 = \dfrac{1 - x}{x}\) : \(g\) croît sur \(]0 \,;\, 1]\) et décroît ensuite. Maximum \(g(1) = 0\). Donc \(g(x) \leqslant 0\), c'est-à-dire \(\ln x \leqslant x - 1\).
🔍 Vérification : la tangente en \(1\) est \(y = x - 1\) et \(\ln\) est concave : même conclusion ✓
Résous :
a) \(1{,}2^n > 3\) ;
b) \(0{,}8^n < 0{,}2\) (\(n\) entier naturel).
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appliquer \(\ln\) ; attention au signe de \(\ln q\).
a) \(n > \dfrac{\ln 3}{\ln 1{,}2} \approx 6{,}03\) : \(\boxed{n \geqslant 7}\).
b) \(\ln 0{,}8 < 0\), donc \(n > \dfrac{\ln 0{,}2}{\ln 0{,}8} \approx 7{,}21\) : \(\boxed{n \geqslant 8}\).
🔍 Vérification : \(1{,}2^7 \approx 3{,}58 > 3\) et \(0{,}8^8 \approx 0{,}168 < 0{,}2\) ✓
La quantité de carbone 14 d'un échantillon est \(N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}\) (\(t\) en années), avec une demi-vie de \(5\,730\) ans.
a) Montre que \(\lambda = \dfrac{\ln 2}{5\,730}\).
b) Un fossile contient encore \(60\,\%\) de son carbone 14. Quel est son âge ?
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demi-vie, puis équation exponentielle.
a) \(N(5\,730) = \dfrac{N_0}{2}\) donne \(e^{-5\,730\lambda} = \dfrac{1}{2}\), soit \(\lambda = \dfrac{\ln 2}{5\,730}\).
b) \(e^{-\lambda t} = 0{,}6 \iff t = -\dfrac{\ln 0{,}6}{\lambda} = -\dfrac{5\,730 \times \ln 0{,}6}{\ln 2} \approx \boxed{4\,223 \text{ ans}}\).
🔍 Vérification : \(60\,\%\) est plus que la moitié : l'âge est inférieur à une demi-vie ✓
On sait que \(\ln 1{,}1 \approx 0{,}0953\) et \(\ln 1{,}21 \approx 0{,}1906\).
a) Vérifie que \(\ln 1{,}21 = 2\ln 1{,}1\). Pourquoi ?
b) Calcule \(\ln 1{,}1 + \ln 1{,}21\). De quel nombre est-ce le logarithme ? Vérifie à la calculatrice.
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le logarithme transforme les produits en sommes.
a) \(1{,}21 = 1{,}1^2\), donc \(\ln 1{,}21 = 2\ln 1{,}1 \approx 0{,}1906\) ✓.
b) \(0{,}0953 + 0{,}1906 = 0{,}2859 = \ln(1{,}1 \times 1{,}21) = \ln 1{,}331\). La calculatrice donne \(\ln 1{,}331 \approx 0{,}2859\) ✓. Avec une table de logarithmes, Napier remplaçait la multiplication par une addition.
🔍 Vérification : \(1{,}1^3 = 1{,}331\) ✓
Niveau 3Difficile/Expert (Exercices 25 à 30)
a) Calcule le temps de doublement exact \(n = \dfrac{\ln 2}{\ln(1 + t/100)}\) pour \(t = 1\), \(3\), \(8\), \(12\), et compare avec \(\dfrac{72}{t}\).
b) On admet que \(\ln(1 + x) \approx x\) pour \(x\) proche de \(0\). Explique d'où vient une règle « de \(70\) » ; pourquoi les banquiers préfèrent-ils \(72\) ?
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calculer, puis approcher \(\ln(1 + x)\) par \(x\).
a)
| \(t\) (%) | \(1\) | \(3\) | \(8\) | \(12\) |
|---|---|---|---|---|
| \(n\) exact | \(69{,}7\) | \(23{,}4\) | \(9{,}0\) | \(6{,}1\) |
| \(\dfrac{72}{t}\) | \(72\) | \(24\) | \(9\) | \(6\) |
b) \(\ln(1 + t/100) \approx \dfrac{t}{100}\), donc \(n \approx \dfrac{100\ln 2}{t} \approx \dfrac{69{,}3}{t}\) : une règle « de \(70\) ». Pour les taux courants (\(3\) à \(10\,\%\)), \(\ln(1 + x)\) est un peu plus petit que \(x\), ce qui allonge le temps : \(72\) est plus juste, et il se divise par \(2\), \(3\), \(4\), \(6\), \(8\), \(9\), \(12\).
🔍 Vérification : \(100 \ln 1{,}08 \approx 7{,}70 < 8\) ✓
Soit \(h(x) = x - \ln x\) sur \(]0 \,;\, +\infty[\).
a) Étudie ses variations.
b) Déduis-en que \(\ln x < x\) pour tout \(x > 0\).
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minimum strictement positif.
a) \(h'(x) = 1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x - 1}{x}\) : \(h\) décroît sur \(]0 \,;\, 1]\) et croît ensuite. Minimum \(h(1) = 1\).
b) \(h(x) \geqslant 1 > 0\), donc \(x - \ln x > 0\) : \(\ln x < x\).
🔍 Vérification : c'est aussi une conséquence de \(\ln x \leqslant x - 1 < x\) ✓
Une population vaut \(P(t) = 100\,e^{0{,}02t}\) (\(t\) en années).
a) Calcule son temps de doublement.
b) Au bout de combien d'années dépasse-t-elle \(500\) ?
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isoler l'exponentielle.
a) \(e^{0{,}02t} = 2 \iff t = \dfrac{\ln 2}{0{,}02} \approx 34{,}7\) ans.
b) \(100\,e^{0{,}02t} > 500 \iff e^{0{,}02t} > 5 \iff t > \dfrac{\ln 5}{0{,}02} \approx 80{,}5\) : au bout de \(81\) ans environ.
🔍 Vérification : \(5\) est un peu plus que \(2^2\) : un peu plus de deux doublements (\(69\) ans) ✓
Le niveau sonore d'un bruit d'intensité \(I\) est \(L = 10 \times \dfrac{\ln(I/I_0)}{\ln 10}\) décibels, où \(I_0\) est une intensité de référence.
a) Quel est le niveau sonore si \(I = 1\,000 \times I_0\) ?
b) De combien augmente le niveau sonore quand l'intensité double ?
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\(\ln(1\,000) = 3\ln 10\).
a) \(L = 10 \times \dfrac{3\ln 10}{\ln 10} = \boxed{30 \text{ dB}}\).
b) Si \(I\) double, \(L\) augmente de \(10 \times \dfrac{\ln 2}{\ln 10} \approx \boxed{3 \text{ dB}}\) (\(\ln(2I/I_0) = \ln 2 + \ln(I/I_0)\)).
🔍 Vérification : deux machines identiques font \(3\) dB de plus qu'une seule, pas le double ✓
Résous \((\ln x)^2 - 3\ln x + 2 = 0\).
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poser \(X = \ln x\), avec \(x > 0\).
\(X^2 - 3X + 2 = 0 \iff X = 1\) ou \(X = 2\). Donc \(\ln x = 1\) (\(x = e\)) ou \(\ln x = 2\) (\(x = e^2\)). Solutions : \(\boxed{e \text{ et } e^2}\).
🔍 Vérification : \(x = e^2\) : \(4 - 6 + 2 = 0\) ✓
La température d'un café est \(T(t) = 20 + 70\,e^{-0{,}05t}\) (°C, \(t\) en minutes). À partir de quand descend-elle sous \(40\) °C ? Donne la valeur exacte, puis une valeur approchée.
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isoler l'exponentielle, puis \(\ln\).
\(20 + 70e^{-0{,}05t} < 40 \iff e^{-0{,}05t} < \dfrac{2}{7} \iff -0{,}05t < \ln\dfrac{2}{7} \iff t > -20\ln\dfrac{2}{7} = 20\ln 3{,}5\).
Valeur exacte : \(\boxed{t = 20\ln 3{,}5}\), soit environ \(25{,}1\) minutes.
🔍 Vérification : \(T(25) = 20 + 70e^{-1{,}25} \approx 40{,}06\) et \(T(26) \approx 39{,}08\) ✓
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