Calcul intégral
Cours
Le compteur d'une voiture affiche la vitesse ; la distance parcourue s'obtient en « additionnant » cette vitesse à chaque instant. Un compteur d'eau fait de même avec le débit. Ce calcul d'une somme continue, c'est l'intégrale : géométriquement, une aire sous une courbe. Elle sert aussi à calculer une température moyenne sur une journée, ou à mesurer les inégalités de revenus d'un pays avec l'indice de Gini. Avec ce chapitre, tu sauras :
- interpréter une intégrale comme une aire ;
- calculer une intégrale avec une primitive ;
- utiliser la relation de Chasles, la linéarité et l'ordre ;
- calculer une valeur moyenne, une aire entre deux courbes, et approcher une intégrale par des rectangles.
1 Intégrale et aire
On mesure les aires en unités d'aire : une unité d'aire est l'aire du rectangle de côtés \(1\) et \(1\) dans le repère.
Soit \(f\) une fonction continue et positive sur \([a \,;\, b]\). L'intégrale de \(f\) entre \(a\) et \(b\), notée \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\), est l'aire (en unités d'aire) du domaine limité par la courbe de \(f\), l'axe des abscisses et les droites \(x = a\) et \(x = b\). En mots : \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) se lit « intégrale de \(a\) à \(b\) de \(f(x)\,dx\) » ; la lettre \(x\) est muette (on peut la remplacer par \(t\)).
Étape 1 — Une constante. \(\displaystyle\int_1^4 3\,dx\) est l'aire d'un rectangle de largeur \(4 - 1 = 3\) et de hauteur \(3\) : elle vaut \(9\).
Étape 2 — Une droite. \(\displaystyle\int_0^4 x\,dx\) est l'aire d'un triangle rectangle de base \(4\) et de hauteur \(4\) : \(\dfrac{4 \times 4}{2} = 8\).
🔍 Vérification : on retrouvera ces résultats avec les primitives (partie 2) ✓.
- ❌ Oublier les droites verticales \(x = a\) et \(x = b\) : on mesure seulement l'aire entre \(a\) et \(b\).
- ❌ Confondre l'aire et la valeur de \(f\). ✅ L'intégrale est une aire, pas une hauteur.
Calcule \(\displaystyle\int_0^2 (x + 1)\,dx\) en reconnaissant un trapèze.
Voir la réponseMasquer la réponse
Bases \(f(0) = 1\) et \(f(2) = 3\), hauteur \(2\) : \(\dfrac{(1 + 3) \times 2}{2} = 4\).
Pour \(f\) continue et positive, \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) = aire sous la courbe entre \(a\) et \(b\), en unités d'aire.
2 Calculer une intégrale avec une primitive
Les aires se calculent grâce aux primitives du chapitre 5 : c'est le résultat le plus important du calcul intégral.
Si \(f\) est continue sur \([a \,;\, b]\) et si \(F\) est une primitive de \(f\), alors \[\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a), \quad \text{noté } \Big[F(x)\Big]_a^b.\] Pour une fonction continue de signe quelconque, on définit l'intégrale par cette formule.
Trouver une primitive \(F\), l'écrire entre crochets, puis calculer \(F(b) - F(a)\). Le choix de la primitive n'a pas d'importance : la constante disparaît dans la différence.
Étape 1 — Un polynôme. \(\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^2 = \dfrac{8}{3} - 0 = \dfrac{8}{3}\).
Étape 2 — L'inverse. \(\displaystyle\int_1^e \dfrac{1}{x}\,dx = \Big[\ln x\Big]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1\).
Étape 3 — L'exponentielle. \(\displaystyle\int_0^1 e^x\,dx = \Big[e^x\Big]_0^1 = e - 1 \approx 1{,}718\).
🔍 Vérification : \(\displaystyle\int_0^4 x\,dx = \left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^4 = 8\), comme l'aire du triangle de la partie 1 ✓.
- ❌ Calculer \(F(a) - F(b)\). ✅ C'est borne du haut moins borne du bas : \(F(b) - F(a)\).
- ❌ Dériver au lieu de chercher une primitive. ✅ \(\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx\) ne vaut pas \(\Big[2x\Big]_0^2\).
Calcule \(\displaystyle\int_0^3 (2x + 1)\,dx\).
Voir la réponseMasquer la réponse
\(\Big[x^2 + x\Big]_0^3 = 9 + 3 - 0 = 12\).
\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\), avec \(F\) une primitive de \(f\).
3 Propriétés de l'intégrale
Pour \(f\) et \(g\) continues sur un intervalle contenant \(a\), \(b\), \(c\), et \(k\) réel :
- relation de Chasles : \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx\) ;
- linéarité : \(\displaystyle\int_a^b \big(f(x) + k\,g(x)\big)dx = \int_a^b f(x)\,dx + k\int_a^b g(x)\,dx\) ;
- positivité et ordre (avec \(a \leqslant b\)) : si \(f \geqslant 0\) sur \([a \,;\, b]\), l'intégrale est positive ; si \(f \leqslant g\), alors \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \leqslant \int_a^b g(x)\,dx\).
(avec \(a \leqslant b\)) :
- si \(f \leqslant 0\) sur \([a \,;\, b]\), l'aire entre la courbe et l'axe vaut \(-\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) ;
- si \(g \leqslant f\) sur \([a \,;\, b]\), l'aire entre les deux courbes vaut \(\displaystyle\int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)dx\).
\(f(x) = x + 2\) et \(g(x) = x^2\) se coupent en \(x = -1\) et \(x = 2\) (solutions de \(x^2 = x + 2\)), et \(g \leqslant f\) entre les deux.
Étape 1 — L'intégrale de la différence. \(\displaystyle\int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2)\,dx = \left[\dfrac{x^2}{2} + 2x - \dfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2}\).
Étape 2 — Calculer. En \(2\) : \(2 + 4 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{10}{3}\). En \(-1\) : \(\dfrac{1}{2} - 2 + \dfrac{1}{3} = -\dfrac{7}{6}\). Différence : \(\dfrac{10}{3} + \dfrac{7}{6} = \dfrac{27}{6}\).
Conclusion : l'aire vaut \(\boxed{\dfrac{9}{2}}\) unités d'aire.
🔍 Vérification : en \(x = 0\), \(f(0) = 2 \geqslant g(0) = 0\) : la droite est bien au-dessus ✓.
- ❌ Donner une aire négative. ✅ Une aire est toujours positive : si \(f \leqslant 0\), on prend l'opposé de l'intégrale.
- ❌ Calculer \(\displaystyle\int (g - f)\) quand \(f\) est au-dessus. ✅ On intègre « courbe du haut moins courbe du bas ».
Calcule \(\displaystyle\int_0^4 (x^2 - 4x)\,dx\), puis l'aire entre la courbe et l'axe des abscisses sur \([0 \,;\, 4]\).
Voir la réponseMasquer la réponse
\(\left[\dfrac{x^3}{3} - 2x^2\right]_0^4 = \dfrac{64}{3} - 32 = -\dfrac{32}{3}\). La fonction est négative sur \([0 \,;\, 4]\) : l'aire vaut \(\dfrac{32}{3}\).
Chasles, linéarité, ordre ; aire \(= -\displaystyle\int f\) si \(f \leqslant 0\) ; entre deux courbes : \(\displaystyle\int (\text{haut} - \text{bas})\).
4 Valeur moyenne
Comment résumer par un seul nombre une température qui varie toute la journée ? On cherche la hauteur du rectangle qui a la même aire que le domaine sous la courbe.
La valeur moyenne d'une fonction \(f\) continue sur \([a \,;\, b]\) (avec \(a < b\)) est \[\mu = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx.\] En mots : c'est la hauteur du rectangle de base \([a \,;\, b]\) qui a la même aire que le domaine sous la courbe.
\(T(t) = -\dfrac{1}{8}t^2 + 3t + 10\) (en °C), pour \(t \in [0 \,;\, 24]\) (en heures).
Étape 1 — L'intégrale. \(\displaystyle\int_0^{24} T(t)\,dt = \left[-\dfrac{t^3}{24} + \dfrac{3t^2}{2} + 10t\right]_0^{24} = -576 + 864 + 240 = 528\).
Étape 2 — La moyenne. \(\mu = \dfrac{528}{24} = \boxed{22 \text{ °C}}\).
🔍 Vérification : la température varie entre \(10\) °C (à \(0\) h et à \(24\) h) et \(28\) °C (à midi) : \(22\) °C est bien entre les deux ✓.
- ❌ Faire la moyenne des valeurs extrêmes : \(\dfrac{10 + 28}{2} = 19\). ✅ La moyenne tient compte de toutes les valeurs : \(22\) °C.
- ❌ Oublier de diviser par \(b - a\).
Quelle est la valeur moyenne de \(x \mapsto x^2\) sur \([0 \,;\, 3]\) ?
Voir la réponseMasquer la réponse
\(\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx = \dfrac{1}{3} \times 9 = 3\).
\(\mu = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) : hauteur du rectangle de même aire.
5 Approcher une intégrale ; inégalités de revenus
Quand on ne connaît pas de primitive, on approche l'aire par des rectangles.
On découpe \([a \,;\, b]\) en \(n\) intervalles de largeur \(h = \dfrac{b - a}{n}\), et on additionne les aires des rectangles dont la hauteur est la valeur de \(f\) au bord gauche (ou au bord droit) de chaque intervalle. Si \(f\) est croissante, les rectangles « à gauche » donnent une valeur par défaut, les rectangles « à droite » une valeur par excès.
- Avec \(4\) rectangles « à droite », l'aire totale vaut \(3{,}75\) : c'est une approximation grossière.
- Avec \(8\) rectangles, elle vaut environ \(3{,}19\), puis environ \(2{,}92\) avec \(16\) rectangles.
- La fonction est croissante : les rectangles dépassent de la courbe, leur aire est un peu trop grande, mais l'écart diminue.
- Quand leur nombre augmente, on se rapproche de l'aire exacte \(\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx = \dfrac{8}{3} \approx 2{,}67\).
from math import exp
def f(x):
return x**2
a, b, n = 0, 1, 100
h = (b - a) / n
gauche = sum(f(a + k * h) * h for k in range(n)) # par défaut (f croissante)
droite = sum(f(a + k * h) * h for k in range(1, n + 1)) # par excès
print(gauche, droite) # environ 0,32835 et 0,33835
Exemple guidé — \(\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx\) avec \(4\) rectangles
Étape 1 — À gauche. \(h = 0{,}25\) : \(0{,}25 \times (0 + 0{,}0625 + 0{,}25 + 0{,}5625) = 0{,}21875\).
Étape 2 — À droite. \(0{,}25 \times (0{,}0625 + 0{,}25 + 0{,}5625 + 1) = 0{,}46875\).
Conclusion : \(0{,}21875 \leqslant \displaystyle\int_0^1 x^2\,dx \leqslant 0{,}46875\) ; la valeur exacte est \(\dfrac{1}{3}\).
🔍 Vérification : avec \(100\) rectangles, l'encadrement devient \([0{,}32835 \,;\, 0{,}33835]\) ✓.
On range la population par revenu croissant. La courbe de Lorenz \(L\) donne, pour la part \(x\) la plus pauvre de la population, la part \(L(x)\) des revenus qu'elle reçoit. Si les revenus étaient parfaitement égaux, on aurait \(L(x) = x\). L'indice de Gini mesure l'écart à cette égalité : \[G = 2\int_0^1 \big(x - L(x)\big)\,dx, \quad \text{compris entre } 0 \text{ (égalité parfaite) et } 1.\]
Survole la courbe pour lire ses coordonnées. Clique ou touche le graphique pour zoomer et le déplacer.
Un pays a pour courbe de Lorenz \(L(x) = x^2\).
Étape 1 — Lire la courbe. \(L(0{,}5) = 0{,}25\) : la moitié la plus pauvre de la population reçoit \(25\,\%\) des revenus.
Étape 2 — L'indice. \(G = 2\displaystyle\int_0^1 (x - x^2)\,dx = 2\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) = \boxed{\dfrac{1}{3}} \approx 0{,}33\).
🔍 Vérification : l'indice de Gini de la France est d'environ \(0{,}29\) à \(0{,}30\) : l'ordre de grandeur est réaliste ✓.
- ❌ Croire que plus de rectangles donne toujours la valeur exacte. ✅ On obtient une approximation, de plus en plus précise.
- ❌ Oublier le facteur \(2\) dans l'indice de Gini.
Calcule l'indice de Gini d'un pays dont la courbe de Lorenz est \(L(x) = x^3\).
Voir la réponseMasquer la réponse
\(G = 2\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{1}{2}\) : plus inégalitaire que le précédent.
Rectangles à gauche et à droite pour encadrer ; Gini \(= 2\displaystyle\int_0^1 (x - L(x))\,dx\).
Les maths cachées · Les inégalités de revenusComment mesure-t-on les inégalités entre riches et pauvres ?Voir la réponse et l’essai ▾Refermer ▴
Les journaux comparent souvent les pays avec leur indice de Gini : environ \(0{,}3\) en France, près de \(0{,}4\) aux États-Unis. Que mesure ce nombre ?
La courbe de Lorenz. On range la population du plus pauvre au plus riche. Pour chaque part \(x\) de la population (les \(10\,\%\) les plus pauvres, les \(50\,\%\) les plus pauvres…), on note la part \(L(x)\) de tous les revenus qu'elle reçoit. Si tout le monde gagnait pareil, la moitié de la population recevrait la moitié des revenus : on aurait \(L(x) = x\), la diagonale.
Un modèle simple. Prenons \(L(x) = x^2\). Alors \(L(0{,}5) = 0{,}25\) : la moitié la plus pauvre de la population ne reçoit que \(25\,\%\) des revenus.
L'indice de Gini. Il mesure l'écart entre la courbe de Lorenz et la diagonale, avec une intégrale :
\[G = 2\int_0^1 \big(x - L(x)\big)\,dx.\]
Pour \(L(x) = x^2\) : \(G = 2\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) \approx 0{,}333\). Plus généralement, pour \(L(x) = x^k\) (\(k \geqslant 1\)), on trouve \(G = \dfrac{k - 1}{k + 1}\).
| \(k\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|
| Indice de Gini | \(0\) | \(0{,}333\) | \(0{,}5\) | \(0{,}6\) |
| Part des \(50\,\%\) les plus pauvres | \(50\,\%\) | \(25\,\%\) | \(12{,}5\,\%\) | \(6{,}25\,\%\) |
L'indice de Gini vaut \(0\) quand tout le monde a le même revenu, et se rapproche de \(1\) quand une toute petite partie de la population reçoit presque tout.
Les vraies courbes de Lorenz ne sont pas exactement de la forme \(x^k\) : elles sont tracées à partir des déclarations de revenus. Et un même indice peut cacher des situations différentes.
Quiz du cours
Tu as lu le cours ? Vérifie en 7 questions que tu as retenu l’essentiel. Chaque réponse est corrigée tout de suite, sans chronomètre.
Que vaut \(\displaystyle\int_0^4 x\,dx\) ? (C'est l'aire d'un triangle.)
Réponse attendue : \(8\)
Triangle de base \(4\) et de hauteur \(4\) : \(\dfrac{4 \times 4}{2} = 8\).
Calcule \(\displaystyle\int_0^3 (2x + 1)\,dx\).
Réponse attendue : \(12\)
\(\Big[x^2 + x\Big]_0^3 = 9 + 3 = 12\).
Revoir dans le cours : 2. Calculer une intégrale avec une primitive
Que vaut \(\displaystyle\int_1^e \dfrac{1}{x}\,dx\) ?
\(\Big[\ln x\Big]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1\).
Revoir dans le cours : 2. Calculer une intégrale avec une primitive
Vrai ou faux : une intégrale est toujours positive.
\(\displaystyle\int_0^4 (x^2 - 4x)\,dx = -\dfrac{32}{3}\) : la fonction est négative. Une aire, elle, est toujours positive.
Quelle est l'aire entre la droite \(y = x + 2\) et la parabole \(y = x^2\) ? (Donne un nombre décimal.)
Réponse attendue : \(4{,}5\)
\(\displaystyle\int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2)\,dx = \dfrac{9}{2}\).
Quelle est la valeur moyenne de \(x \mapsto x^2\) sur \([0 \,;\, 3]\) ?
Réponse attendue : \(3\)
\(\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx = \dfrac{1}{3} \times 9 = 3\).
Un pays a pour courbe de Lorenz \(L(x) = x^2\). Quel est son indice de Gini ?
\(G = 2\displaystyle\int_0^1 (x - x^2)\,dx = 2\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{1}{3}\).
Revoir dans le cours : 5. Approcher une intégrale ; inégalités de revenus
À revoir dans le cours :
Questions fréquentes
Que représente une intégrale ?
Pour une fonction positive, \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) est l'aire du domaine situé sous sa courbe, entre les droites \(x = a\) et \(x = b\), mesurée en unités d'aire.
Comment calculer une intégrale ?
On cherche une primitive \(F\) de \(f\), puis on calcule \(F(b) - F(a)\) : borne du haut moins borne du bas. Par exemple, \(\displaystyle\int_1^3 2x\,dx = 3^2 - 1^2 = 8\).
Voir dans le cours : 2. Calculer une intégrale avec une primitive
Comment calculer l'aire entre deux courbes ?
Sur un intervalle où la courbe de \(f\) est au-dessus de celle de \(g\), l'aire vaut \(\displaystyle\int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx\). Les bornes sont souvent les abscisses des points d'intersection.
Comment calculer la valeur moyenne d'une fonction ?
On divise l'intégrale par la longueur de l'intervalle : \(\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\). C'est la hauteur du rectangle qui a la même aire que le domaine sous la courbe.
C'est quoi l'indice de Gini ?
C'est un nombre entre \(0\) et \(1\) qui mesure les inégalités de revenus d'un pays : \(0\) correspond à l'égalité parfaite. On le calcule avec la courbe de Lorenz \(L\) : \(G = 2\displaystyle\int_0^1 \big(x - L(x)\big)\,dx\).
Voir dans le cours : 5. Approcher une intégrale ; inégalités de revenus
Fiche mémo
L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.
L'essentiel
| Notion | À savoir |
|---|---|
| Intégrale et aire | \(f\) continue positive : \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) = aire sous la courbe |
| Calcul | \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)\) |
| Chasles | \(\displaystyle\int_a^b + \int_b^c = \int_a^c\) |
| Linéarité, ordre | \(\displaystyle\int (f + kg) = \int f + k\int g\) ; \(f \leqslant g \Rightarrow \int f \leqslant \int g\) |
| Aires | \(f \leqslant 0\) : aire \(= -\displaystyle\int f\) ; entre deux courbes : \(\displaystyle\int (\text{haut} - \text{bas})\) |
| Valeur moyenne | \(\mu = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) |
| Rectangles | encadrement par défaut et par excès (si \(f\) est monotone) |
| Gini | \(G = 2\displaystyle\int_0^1 (x - L(x))\,dx\) |
Pièges à éviter
- \(F(b) - F(a)\), dans cet ordre.
- Une aire est positive ; une intégrale peut être négative.
- La valeur moyenne n'est pas la moyenne des valeurs extrêmes.
Contrôle demain ? Prépare ton plan de révision de 30 minutes sur ce chapitre →
Niveau 1Facile (Exercices 1 à 11)
Calcule, en reconnaissant une figure :
a) \(\displaystyle\int_1^4 3\,dx\) ;
b) \(\displaystyle\int_0^4 x\,dx\) ;
c) \(\displaystyle\int_0^2 (x + 1)\,dx\).
Voir la correction›
rectangle, triangle, trapèze.
a) Rectangle \(3 \times 3\) : \(\boxed{9}\).
b) Triangle de base \(4\), hauteur \(4\) : \(\boxed{8}\).
c) Trapèze de bases \(1\) et \(3\), hauteur \(2\) : \(\boxed{4}\).
🔍 Vérification : c) \(\Big[\dfrac{x^2}{2} + x\Big]_0^2 = 2 + 2 = 4\) ✓
Calcule \(\displaystyle\int_0^3 (2x + 1)\,dx\).
Voir la correction›
primitive \(x^2 + x\).
\(\Big[x^2 + x\Big]_0^3 = 12 - 0 = \boxed{12}\).
🔍 Vérification : trapèze de bases \(1\) et \(7\), hauteur \(3\) : \(\dfrac{8 \times 3}{2} = 12\) ✓
Calcule \(\displaystyle\int_1^2 x^3\,dx\).
Voir la correction›
primitive \(\dfrac{x^4}{4}\).
\(\dfrac{16}{4} - \dfrac{1}{4} = \boxed{\dfrac{15}{4}}\).
🔍 Vérification : \(x^3\) est entre \(1\) et \(8\) sur \([1 \,;\, 2]\), donc l'intégrale est entre \(1\) et \(8\) ✓
Calcule \(\displaystyle\int_1^2 \dfrac{1}{x^2}\,dx\).
Voir la correction›
primitive \(-\dfrac{1}{x}\).
\(\left[-\dfrac{1}{x}\right]_1^2 = -\dfrac{1}{2} + 1 = \boxed{\dfrac{1}{2}}\).
🔍 Vérification : la fonction est entre \(\dfrac{1}{4}\) et \(1\) sur un intervalle de longueur \(1\) ✓
Calcule \(\displaystyle\int_0^1 e^{-x}\,dx\) (valeur exacte et valeur approchée).
Voir la correction›
primitive \(-e^{-x}\).
\(\Big[-e^{-x}\Big]_0^1 = -e^{-1} + 1 = \boxed{1 - e^{-1}} \approx 0{,}632\).
🔍 Vérification : \(e^{-x}\) est entre \(0{,}37\) et \(1\) sur \([0 \,;\, 1]\) ✓
Calcule \(\displaystyle\int_1^e \dfrac{1}{x}\,dx\) et \(\displaystyle\int_1^4 \dfrac{1}{x}\,dx\).
Voir la correction›
primitive \(\ln x\).
\(\ln e - \ln 1 = \boxed{1}\) et \(\ln 4 - \ln 1 = \ln 4 \approx \boxed{1{,}386}\).
🔍 Vérification : \(\ln 4 = 2\ln 2 \approx 1{,}386\) ✓
Sachant que \(\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}\) est une primitive de \(\sqrt{x}\) sur \([0 \,;\, +\infty[\), calcule \(\displaystyle\int_0^4 \sqrt{x}\,dx\).
Voir la correction›
\(F(4) - F(0)\).
\(F(4) = \dfrac{2}{3} \times 4 \times 2 = \dfrac{16}{3}\) et \(F(0) = 0\) : \(\boxed{\dfrac{16}{3}} \approx 5{,}33\).
🔍 Vérification : \(\sqrt{x}\) est entre \(0\) et \(2\) sur \([0 \,;\, 4]\), l'intégrale est entre \(0\) et \(8\) ✓
Calcule \(\displaystyle\int_{-1}^{0} x\,dx\), \(\displaystyle\int_{0}^{2} x\,dx\) et \(\displaystyle\int_{-1}^{2} x\,dx\). Vérifie la relation de Chasles.
Voir la correction›
primitive \(\dfrac{x^2}{2}\).
\(\displaystyle\int_{-1}^{0} x\,dx = 0 - \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{2}\) ; \(\displaystyle\int_{0}^{2} x\,dx = 2\) ; \(\displaystyle\int_{-1}^{2} x\,dx = 2 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}\). Et \(-\dfrac{1}{2} + 2 = \dfrac{3}{2}\) ✓.
🔍 Vérification : sur \([-1 \,;\, 0]\), la fonction est négative, d'où une intégrale négative ✓
Calcule \(\displaystyle\int_0^4 (x^2 - 4x)\,dx\). Quelle est l'aire entre la courbe et l'axe des abscisses sur \([0 \,;\, 4]\) ?
Voir la correction›
intégrale négative → aire = opposé.
\(\left[\dfrac{x^3}{3} - 2x^2\right]_0^4 = \dfrac{64}{3} - 32 = -\dfrac{32}{3}\). Comme \(x^2 - 4x = x(x - 4) \leqslant 0\) sur \([0 \,;\, 4]\), l'aire vaut \(\boxed{\dfrac{32}{3}}\).
🔍 Vérification : \(-(x^2 - 4x) = 4 - (x - 2)^2\) : c'est la parabole de l'exercice 12 décalée de \(2\) vers la droite, et on retrouve son aire \(\dfrac{32}{3}\) ✓
Calcule la valeur moyenne de \(x \mapsto x^2\) sur \([0 \,;\, 3]\).
Voir la correction›
\(\mu = \dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx\).
\(\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx = 9\), donc \(\mu = \boxed{3}\).
🔍 Vérification : \(x^2\) varie de \(0\) à \(9\) ; \(3\) est bien entre les deux ✓
On sait que \(\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx = 5\) et \(\displaystyle\int_0^1 g(x)\,dx = -1\). Calcule \(\displaystyle\int_0^1 \big(f(x) + 2g(x)\big)\,dx\).
Voir la correction›
linéarité.
\(5 + 2 \times (-1) = \boxed{3}\).
🔍 Vérification : on n'a pas besoin de connaître \(f\) et \(g\) ✓
Niveau 2Intermédiaire (Exercices 12 à 24)
Calcule l'aire du domaine compris entre la courbe de \(f(x) = 4 - x^2\) et l'axe des abscisses.
Voir la correction›
\(f\) est positive entre ses racines \(-2\) et \(2\).
\(\displaystyle\int_{-2}^{2} (4 - x^2)\,dx = \left[4x - \dfrac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2} = \left(8 - \dfrac{8}{3}\right) - \left(-8 + \dfrac{8}{3}\right) = \boxed{\dfrac{32}{3}}\).
🔍 Vérification : l'aire est inférieure à celle du rectangle \(4 \times 4 = 16\) ✓
Calcule l'aire du domaine compris entre la droite \(y = x + 2\) et la parabole \(y = x^2\).
Voir la correction›
voir l'exemple de la partie 3.
Points d'intersection \(-1\) et \(2\) ; aire \(\boxed{\dfrac{9}{2}}\).
🔍 Vérification : \(x^2 - x - 2 = (x + 1)(x - 2)\) ✓
a) Calcule l'aire entre les courbes de \(x \mapsto x\) et \(x \mapsto x^2\) sur \([0 \,;\, 1]\).
b) Même question avec \(x \mapsto \sqrt{x}\) et \(x \mapsto x^2\) (utilise l'exercice 7).
Voir la correction›
courbe du haut moins courbe du bas.
a) Sur \([0 \,;\, 1]\), \(x^2 \leqslant x\) : \(\displaystyle\int_0^1 (x - x^2)\,dx = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \boxed{\dfrac{1}{6}}\).
b) \(x^2 \leqslant \sqrt{x}\) : \(\displaystyle\int_0^1 (\sqrt{x} - x^2)\,dx = \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{3} = \boxed{\dfrac{1}{3}}\).
🔍 Vérification : la courbe de \(\sqrt{x}\) est au-dessus de la droite \(y = x\) sur \([0 \,;\, 1]\), l'aire b) est plus grande ✓
\(T(t) = -\dfrac{1}{8}t^2 + 3t + 10\) pour \(t \in [0 \,;\, 24]\). Calcule \(T(0)\), \(T(12)\), puis la température moyenne sur la journée.
Voir la correction›
voir l'exemple de la partie 4.
\(T(0) = 10\) °C, \(T(12) = -18 + 36 + 10 = 28\) °C ; moyenne \(\dfrac{528}{24} = \boxed{22 \text{ °C}}\).
🔍 Vérification : la moyenne est plus proche du maximum car il fait chaud longtemps autour de midi ✓
Un objet en chute libre a pour vitesse \(v(t) = 9{,}8\,t\) (m/s). Quelle distance parcourt-il pendant les \(3\) premières secondes ?
Voir la correction›
la distance est l'intégrale de la vitesse.
\(\displaystyle\int_0^3 9{,}8\,t\,dt = \Big[4{,}9\,t^2\Big]_0^3 = \boxed{44{,}1 \text{ m}}\).
🔍 Vérification : c'est la formule \(d = \dfrac{1}{2}g\,t^2\) de physique ✓
Calcule la valeur moyenne de \(x \mapsto e^x\) sur \([0 \,;\, 2]\).
Voir la correction›
\(\mu = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^2 e^x\,dx\).
\(\mu = \dfrac{e^2 - 1}{2} \approx \boxed{3{,}19}\).
🔍 Vérification : \(e^x\) varie de \(1\) à \(e^2 \approx 7{,}39\) ✓
Encadre \(\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx\) avec \(4\) rectangles à gauche et \(4\) rectangles à droite. Compare avec la valeur exacte.
Voir la correction›
voir l'exemple de la partie 5.
\(0{,}21875 \leqslant \displaystyle\int_0^1 x^2\,dx \leqslant 0{,}46875\), et la valeur exacte \(\dfrac{1}{3} \approx 0{,}333\) est bien dans l'encadrement.
🔍 Vérification : l'écart entre les deux sommes vaut \(h \times (f(1) - f(0)) = 0{,}25\) ✓
On utilise le programme du cours (partie 5).
a) Que vaut h ? Combien de termes la somme gauche contient-elle ?
b) Pourquoi gauche est-il inférieur à l'intégrale ?
c) Comment l'adapter pour approcher \(\displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}\,dx\) ?
Voir la correction›
lire le programme.
a) \(h = 0{,}01\) ; la somme contient \(100\) termes (\(k\) de \(0\) à \(99\)).
b) \(f\) est croissante sur \([0 \,;\, 1]\) : sur chaque petit intervalle, la valeur au bord gauche est la plus petite ; chaque rectangle est sous la courbe.
c) Remplacer return x**2 par return exp(-x**2). Comme cette fonction est décroissante, gauche devient une valeur par excès et droite une valeur par défaut.
🔍 Vérification : l'écart entre les deux sommes vaut \(h \times |f(1) - f(0)|\) ✓
a) Justifie que \(e^x \geqslant 1 + x\) (chapitre 3) et déduis-en que \(\displaystyle\int_0^1 e^x\,dx \geqslant \int_0^1 (1 + x)\,dx\).
b) Déduis-en que \(e \geqslant 2{,}5\). Calcule l'aire entre les deux courbes sur \([0 \,;\, 1]\).
Voir la correction›
ordre et intégrale.
a) \(e^x \geqslant 1 + x\) pour tout \(x\) (convexité). En intégrant entre \(0\) et \(1\) : \(e - 1 \geqslant \Big[x + \dfrac{x^2}{2}\Big]_0^1 = 1{,}5\).
b) Donc \(e \geqslant 2{,}5\). L'aire entre les courbes vaut \((e - 1) - 1{,}5 = e - 2{,}5 \approx \boxed{0{,}218}\).
🔍 Vérification : \(e \approx 2{,}718 \geqslant 2{,}5\) ✓
Le débit d'un robinet qu'on ferme progressivement est \(d(t) = 20e^{-0{,}1t}\) litres par minute. Quel volume d'eau s'écoule pendant les \(10\) premières minutes ?
Voir la correction›
volume = intégrale du débit.
\(\displaystyle\int_0^{10} 20e^{-0{,}1t}\,dt = \Big[-200e^{-0{,}1t}\Big]_0^{10} = 200(1 - e^{-1}) \approx \boxed{126{,}4 \text{ L}}\).
🔍 Vérification : à débit constant de \(20\) L/min, on aurait eu \(200\) L ; le débit diminue, le volume est plus petit ✓
On a vu que \(F(x) = -(x + 1)e^{-x}\) est une primitive de \(f(x) = x\,e^{-x}\). Calcule \(\displaystyle\int_0^1 x\,e^{-x}\,dx\).
Voir la correction›
\(F(1) - F(0)\).
\(F(1) = -2e^{-1}\) et \(F(0) = -1\) : \(\displaystyle\int_0^1 x\,e^{-x}\,dx = 1 - \dfrac{2}{e} \approx \boxed{0{,}264}\).
🔍 Vérification : \(x\,e^{-x}\) est entre \(0\) et \(e^{-1} \approx 0{,}37\) sur \([0 \,;\, 1]\) ✓
La courbe de Lorenz d'un pays est \(L(x) = x^2\).
a) Calcule \(L(0{,}5)\) et \(L(0{,}9)\). Interprète.
b) Calcule l'indice de Gini.
Voir la correction›
lire \(L\), puis appliquer la formule.
a) \(L(0{,}5) = 0{,}25\) : la moitié la plus pauvre reçoit \(25\,\%\) des revenus. \(L(0{,}9) = 0{,}81\) : les \(90\,\%\) les plus pauvres reçoivent \(81\,\%\) des revenus, donc les \(10\,\%\) les plus riches en reçoivent \(19\,\%\).
b) \(G = 2\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) = \boxed{\dfrac{1}{3}}\).
🔍 Vérification : \(0 < G < 1\) ✓
Le pays A a pour courbe de Lorenz \(L_A(x) = x^2\), le pays B \(L_B(x) = x^3\). Calcule leurs indices de Gini. Lequel est le plus inégalitaire ?
Voir la correction›
\(G = 2\left(\dfrac{1}{2} - \displaystyle\int_0^1 L(x)\,dx\right)\).
\(G_A = 2\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{1}{3}\) et \(G_B = 2\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{1}{2}\). Le pays B est le plus inégalitaire.
🔍 Vérification : \(x^3 \leqslant x^2\) sur \([0 \,;\, 1]\) : la courbe de B est plus loin de la diagonale ✓
Niveau 3Difficile/Expert (Exercices 25 à 30)
Trouve le réel \(a > 0\) tel que \(\displaystyle\int_0^a x^2\,dx = 9\).
Voir la correction›
écrire l'intégrale en fonction de \(a\).
\(\dfrac{a^3}{3} = 9 \iff a^3 = 27 \iff \boxed{a = 3}\).
🔍 Vérification : \(\dfrac{27}{3} = 9\) ✓
Calcule la valeur moyenne de \(x \mapsto \dfrac{1}{x}\) sur \([1 \,;\, e]\) (valeur exacte, puis approchée).
Voir la correction›
\(\mu = \dfrac{1}{e - 1}\displaystyle\int_1^e \dfrac{1}{x}\,dx\).
\(\mu = \dfrac{1}{e - 1} \approx \boxed{0{,}582}\).
🔍 Vérification : \(\dfrac{1}{x}\) varie de \(1\) à \(\dfrac{1}{e} \approx 0{,}37\) ✓
On propose \(L(x) = \dfrac{e^x - 1}{e - 1}\) sur \([0 \,;\, 1]\).
a) Vérifie que \(L(0) = 0\) et \(L(1) = 1\).
b) Calcule \(\displaystyle\int_0^1 L(x)\,dx\), puis l'indice de Gini (valeur approchée).
Voir la correction›
primitive de \(e^x - 1\), puis la formule de Gini.
a) \(L(0) = \dfrac{1 - 1}{e - 1} = 0\) et \(L(1) = \dfrac{e - 1}{e - 1} = 1\) ✓.
b) \(\displaystyle\int_0^1 L(x)\,dx = \dfrac{1}{e - 1}\Big[e^x - x\Big]_0^1 = \dfrac{(e - 1) - 1}{e - 1} = \dfrac{e - 2}{e - 1} \approx 0{,}418\). Donc \(G = 2(0{,}5 - 0{,}418) \approx \boxed{0{,}16}\).
🔍 Vérification : un indice faible : répartition assez égalitaire (la courbe est proche de la diagonale) ✓
Sachant que \(x\ln x - x\) est une primitive de \(\ln x\) (chapitre 5), calcule \(\displaystyle\int_1^e \ln x\,dx\). Interprète ce nombre comme une aire.
Voir la correction›
\(F(e) - F(1)\).
\(F(e) = e - e = 0\) et \(F(1) = 0 - 1 = -1\) : \(\displaystyle\int_1^e \ln x\,dx = \boxed{1}\). Comme \(\ln x \geqslant 0\) sur \([1 \,;\, e]\), c'est l'aire sous la courbe de \(\ln\) entre \(1\) et \(e\) : une unité d'aire.
🔍 Vérification : \(\ln\) croît de \(0\) à \(1\) sur un intervalle de longueur \(e - 1 \approx 1{,}72\) : l'aire est entre \(0\) et \(1{,}72\) ✓
Pour tout entier \(n \geqslant 0\), on pose \(u_n = \displaystyle\int_0^1 x^n\,dx\).
a) Calcule \(u_n\) en fonction de \(n\).
b) Montre que la suite est décroissante et donne sa limite.
Voir la correction›
primitive \(\dfrac{x^{n+1}}{n + 1}\).
a) \(u_n = \dfrac{1}{n + 1}\).
b) \(u_{n+1} = \dfrac{1}{n + 2} < \dfrac{1}{n + 1} = u_n\) : décroissante, et \(u_n \to \boxed{0}\).
🔍 Vérification : sur \([0 \,;\, 1]\), \(x^{n+1} \leqslant x^n\), donc l'aire diminue ✓
On ne sait pas trouver de primitive de \(x \mapsto e^{-x^2}\).
a) Montre que cette fonction est décroissante sur \([0 \,;\, 1]\).
b) Encadre \(\displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}\,dx\) avec \(2\) rectangles à gauche et \(2\) à droite.
c) Une calculatrice donne \(0{,}7468\). Cet encadrement est-il cohérent ?
Voir la correction›
fonction décroissante → rectangles à droite par défaut, à gauche par excès.
a) Sur \([0 \,;\, 1]\), quand \(x\) augmente, \(x^2\) augmente, donc \(-x^2\) diminue ; comme l'exponentielle est croissante, \(e^{-x^2}\) diminue : la fonction est décroissante.
b) \(h = 0{,}5\). À droite : \(0{,}5\left(e^{-0{,}25} + e^{-1}\right) \approx 0{,}573\). À gauche : \(0{,}5\left(1 + e^{-0{,}25}\right) \approx 0{,}889\). Donc \(0{,}573 \leqslant \displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}\,dx \leqslant 0{,}889\).
c) \(0{,}7468\) est bien dans l'encadrement ✓. Pour être plus précis, il faut plus de rectangles (exercice 19).
🔍 Vérification : même sans calcul, \(e^{-1} \leqslant e^{-x^2} \leqslant 1\) donne \(0{,}37 \leqslant\) intégrale \(\leqslant 1\) ✓
Un avis sur ce chapitre ? Donne-le en quelques mots