Limites, continuité et théorème des valeurs intermédiaires
Cours
Un café chaud refroidit vers la température de la pièce sans jamais descendre en dessous ; le coût moyen de fabrication d'un objet baisse quand on en produit beaucoup, mais jamais sous un certain prix. Ces valeurs « vers lesquelles on tend » sont des limites. Et pour savoir si une équation compliquée a une solution, sans savoir la calculer exactement, on utilise le théorème des valeurs intermédiaires. Avec ce chapitre, tu sauras :
- trouver la limite d'une fonction en \(+\infty\), en \(-\infty\) ou en un réel, et l'interpréter par une asymptote ;
- calculer des limites de sommes, produits, quotients et de polynômes ;
- reconnaître une fonction continue ;
- prouver qu'une équation a une solution et l'encadrer, à la main ou avec un programme.
1 Limite en l'infini
Que devient \(f(x)\) quand \(x\) devient très grand ? Il peut s'approcher d'un nombre, ou grandir sans fin.
- \(f(x)\) tend vers \(\ell\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\) si \(f(x)\) devient aussi proche de \(\ell\) qu'on veut pour \(x\) assez grand. On note \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \ell\). La droite d'équation \(y = \ell\) est alors asymptote horizontale à la courbe.
- \(f(x)\) tend vers \(+\infty\) si \(f(x)\) finit par dépasser n'importe quel nombre.
- On définit de même les limites en \(-\infty\).
| Fonction | \(x^2\), \(x^3\), \(\sqrt{x}\), \(e^x\) | \(\dfrac{1}{x}\), \(\dfrac{1}{x^2}\), \(e^{-x}\) |
|---|---|---|
| Limite en \(+\infty\) | \(+\infty\) | \(0\) |
En \(-\infty\) : \(x^2 \to +\infty\), \(x^3 \to -\infty\), \(\dfrac{1}{x} \to 0\) et \(e^x \to 0\).
\(f(x) = 3 + \dfrac{1}{x}\) et \(g(x) = 2 - 5e^{-x}\).
Étape 1 — \(f\). \(\dfrac{1}{x} \to 0\) en \(+\infty\), donc \(f(x) \to 3\) : la droite \(y = 3\) est asymptote horizontale.
Étape 2 — \(g\). \(e^{-x} \to 0\), donc \(5e^{-x} \to 0\) et \(g(x) \to 2\) : asymptote \(y = 2\).
🔍 Vérification : \(f(1\,000) = 3{,}001\) et \(g(10) \approx 1{,}9998\) ✓.
- ❌ « \(f(x)\) tend vers \(3\), donc \(f(x)\) finit par valoir \(3\). » ✅ \(f(x)\) s'approche de \(3\) sans forcément l'atteindre.
- ❌ Croire qu'une courbe ne coupe jamais son asymptote. ✅ Elle peut la couper ; elle s'en rapproche à l'infini.
Quelle est la limite de \(f(x) = 5 + \dfrac{2}{x}\) en \(+\infty\) ? Quelle asymptote en déduis-tu ?
Voir la réponseMasquer la réponse
\(\dfrac{2}{x} \to 0\), donc \(f(x) \to 5\) : asymptote horizontale \(y = 5\).
\(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \ell\) ⟺ asymptote horizontale \(y = \ell\) ; \(\dfrac{1}{x}\), \(\dfrac{1}{x^2}\), \(e^{-x} \to 0\) en \(+\infty\).
2 Limite en un réel, asymptote verticale
Certaines fonctions ne sont pas définies en un point : près de ce point, elles peuvent « exploser ».
Si \(f(x)\) tend vers \(+\infty\) ou \(-\infty\) quand \(x\) tend vers le réel \(a\) (par la gauche ou par la droite), la droite d'équation \(x = a\) est asymptote verticale à la courbe.
\(\dfrac{1}{x} \to +\infty\) quand \(x\) tend vers \(0\) par valeurs positives, et \(\dfrac{1}{x} \to -\infty\) par valeurs négatives ; \(\dfrac{1}{x^2} \to +\infty\) quand \(x \to 0\).
\(f(x) = \dfrac{1}{x - 2}\), définie pour \(x \neq 2\).
Étape 1 — À droite de \(2\). Si \(x > 2\) et proche de \(2\), alors \(x - 2\) est positif et très petit : \(f(x) \to +\infty\).
Étape 2 — À gauche de \(2\). Si \(x < 2\), \(x - 2\) est négatif et très petit : \(f(x) \to -\infty\).
Conclusion : la droite \(x = 2\) est asymptote verticale.
🔍 Vérification : \(f(2{,}01) = 100\) et \(f(1{,}99) = -100\) ✓.
- ❌ Oublier d'étudier les deux côtés. ✅ À gauche et à droite, les limites peuvent être différentes.
- ❌ « Un dénominateur nul donne \(0\). » ✅ Diviser par un nombre très proche de \(0\) donne un nombre très grand (en valeur absolue).
Quelle est la limite de \(\dfrac{1}{x^2}\) quand \(x\) tend vers \(0\) ?
Voir la réponseMasquer la réponse
\(x^2\) est positif et très petit, donc \(\dfrac{1}{x^2} \to +\infty\) (des deux côtés).
\(f(x) \to \pm\infty\) quand \(x \to a\) ⟺ asymptote verticale \(x = a\) ; regarder le signe du dénominateur de chaque côté.
3 Calculer des limites
On combine les limites de référence avec des règles simples.
(quand les limites de \(f\) et \(g\) sont des réels) : la limite d'une somme, d'un produit, d'un quotient (dénominateur de limite non nulle) est la somme, le produit, le quotient des limites. Avec l'infini :
- \(+\infty + \) (réel ou \(+\infty\)) \(= +\infty\) ;
- (réel non nul ou \(\pm\infty\)) \(\times\, \infty\) \(= \pm\infty\), avec la règle des signes ;
- \(\dfrac{\text{réel}}{\pm\infty} = 0\).
Quatre cas ne permettent pas de conclure directement : \(\infty - \infty\), \(0 \times \infty\), \(\dfrac{\infty}{\infty}\) et \(\dfrac{0}{0}\) (formes indéterminées).
On factorise par le terme de plus haut degré. En \(\pm\infty\), un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré ; un quotient de polynômes a la même limite que le quotient de leurs termes de plus haut degré.
Étape 1 — Un polynôme. \(\lim\limits_{x \to +\infty} (-2x^3 + 5x^2 + 1) = \lim\limits_{x \to +\infty} (-2x^3) = -\infty\).
Étape 2 — Un quotient. \(\dfrac{3x^2 + 1}{x^2 - 4}\) a la même limite en \(+\infty\) que \(\dfrac{3x^2}{x^2} = 3\).
🔍 Vérification : pour \(x = 100\), \(\dfrac{30\,001}{9\,996} \approx 3{,}001\) ✓.
En \(+\infty\), l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de \(x\) : \(\dfrac{e^x}{x} \to +\infty\) et \(x\,e^{-x} \to 0\).
- ❌ « \(x^2 - x\) tend vers \(\infty - \infty = 0\). » ✅ C'est une forme indéterminée : on factorise, \(x(x - 1) \to +\infty\).
- ❌ « \(\dfrac{\infty}{\infty} = 1\). » ✅ Il faut factoriser ; dans l'exemple, la limite vaut \(3\).
Calcule la limite en \(+\infty\) de \(\dfrac{x^2 + 1}{2x^2 - x}\).
Voir la réponseMasquer la réponse
Même limite que \(\dfrac{x^2}{2x^2} = \dfrac{1}{2}\).
Règles des opérations ; quatre formes indéterminées ; en l'infini, seul compte le terme de plus haut degré ; l'exponentielle l'emporte sur les puissances.
4 Continuité
Une fonction continue est une fonction dont la courbe se trace « sans lever le crayon ».
Une fonction \(f\) est continue sur un intervalle \(I\) si sa courbe ne fait aucun saut sur \(I\). En un point \(a\) de \(I\), cela signifie que \(f(x)\) tend vers \(f(a)\) quand \(x\) tend vers \(a\).
- les fonctions polynômes, la fonction exponentielle, la fonction racine carrée sont continues là où elles sont définies ;
- une fonction dérivable sur un intervalle y est continue ;
- sommes, produits, quotients (dénominateur non nul) de fonctions continues sont continus.
\(f(x) = x + 1\) si \(x < 1\), et \(f(x) = ax - 1\) si \(x \geqslant 1\). Pour quelle valeur de \(a\) la fonction est-elle continue ?
Étape 1 — À gauche de \(1\). \(x + 1 \to 2\) quand \(x \to 1\).
Étape 2 — En \(1\). \(f(1) = a - 1\).
Étape 3 — Raccorder. La courbe ne saute pas si \(a - 1 = 2\), soit \(\boxed{a = 3}\).
🔍 Vérification : avec \(a = 3\), \(f(1) = 2\) et \(f(0{,}99) = 1{,}99\) ✓.
- ❌ « Continue » et « dérivable » sont la même chose. ✅ Dérivable entraîne continue, mais pas l'inverse (\(x \mapsto |x|\) est continue en \(0\) sans y être dérivable).
Un parking coûte \(2\) € la première heure, puis \(1{,}50\) € par heure commencée. Le prix en fonction de la durée est-il une fonction continue ?
Voir la réponseMasquer la réponse
Non, le prix fait un saut de \(1{,}50\) € à chaque heure entière : la courbe est un escalier.
Continue = courbe sans saut ; polynômes, exponentielle, racine carrée et fonctions dérivables sont continus.
5 Le théorème des valeurs intermédiaires
Une fonction continue qui passe d'une valeur négative à une valeur positive doit passer par \(0\) : c'est l'idée du théorème.
(admis) : si \(f\) est continue sur \([a \,;\, b]\), alors pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), l'équation \(f(x) = k\) a au moins une solution dans \([a \,;\, b]\).
Si de plus \(f\) est strictement croissante (ou strictement décroissante) sur \([a \,;\, b]\), cette solution est unique.
Étape 1 — Continuité et sens de variation. \(f(x) = x^3 + x - 1\) est un polynôme, donc continue. \(f'(x) = 3x^2 + 1 > 0\) : \(f\) est strictement croissante.
Étape 2 — Changement de signe. \(f(0) = -1 < 0\) et \(f(1) = 1 > 0\). D'après le théorème, l'équation \(f(x) = 0\) a une unique solution \(\alpha\) dans \([0 \,;\, 1]\).
Étape 3 — L'encadrer (balayage). \(f(0{,}6) \approx -0{,}184 < 0\) et \(f(0{,}7) \approx 0{,}043 > 0\), donc \(0{,}6 < \alpha < 0{,}7\). Au centième : \(f(0{,}68) < 0 < f(0{,}69)\), donc \(\boxed{0{,}68 < \alpha < 0{,}69}\).
🔍 Vérification : une calculatrice donne \(\alpha \approx 0{,}6823\) ✓.
La dichotomie encadre la solution en coupant l'intervalle en deux à chaque étape : on garde la moitié où le signe change.
def f(x):
return x**3 + x - 1
a, b = 0, 1
while b - a > 0.01:
m = (a + b) / 2
if f(m) < 0: # f(a) < 0 : la solution est entre m et b
a = m
else:
b = m
print(a, b) # encadrement d'amplitude inférieure à 0,01
- ❌ Appliquer le théorème à une fonction non continue. ✅ \(\dfrac{1}{x}\) passe de \(-1\) à \(1\) entre \(-1\) et \(1\) sans jamais s'annuler : elle n'est pas continue en \(0\).
- ❌ Conclure à l'unicité sans monotonie. ✅ Sans stricte monotonie, il peut y avoir plusieurs solutions.
Montre que \(x^2 = 2\) a une solution dans \([1 \,;\, 2]\), puis encadre-la au dixième.
Voir la réponseMasquer la réponse
\(x \mapsto x^2 - 2\) est continue, vaut \(-1\) en \(1\) et \(2\) en \(2\). Comme \(1{,}4^2 = 1{,}96 < 2 < 2{,}25 = 1{,}5^2\), la solution (\(\sqrt{2}\)) est entre \(1{,}4\) et \(1{,}5\).
\(f\) continue sur \([a \,;\, b]\), \(k\) entre \(f(a)\) et \(f(b)\) → au moins une solution de \(f(x) = k\) ; si \(f\) est strictement monotone, la solution est unique. On l'encadre par balayage ou par dichotomie.
Quiz du cours
Tu as lu le cours ? Vérifie en 7 questions que tu as retenu l’essentiel. Chaque réponse est corrigée tout de suite, sans chronomètre.
Quelle est la limite en \(+\infty\) de \(f(x) = 2 - 5e^{-x}\) ?
\(e^{-x} \to 0\) en \(+\infty\), donc \(f(x) \to 2\) : asymptote horizontale \(y = 2\).
La droite \(x = 2\) est, pour la courbe de \(f(x) = \dfrac{1}{x - 2}\) :
\(f(x) \to \pm\infty\) quand \(x \to 2\) : la droite \(x = 2\) est asymptote verticale.
Revoir dans le cours : 2. Limite en un réel, asymptote verticale
Quelle est la limite en \(+\infty\) de \(\dfrac{3x^2 + 1}{x^2 - 4}\) ?
Réponse attendue : \(3\)
Même limite que le quotient des termes de plus haut degré : \(\dfrac{3x^2}{x^2} = 3\).
Vrai ou faux : \(x^2 - x\) tend vers \(0\) en \(+\infty\), car « \(\infty - \infty = 0\) ».
C'est une forme indéterminée : \(x^2 - x = x(x - 1) \to +\infty\).
\(f(x) = x + 1\) si \(x < 1\) et \(f(x) = ax - 1\) si \(x \geqslant 1\). Pour quelle valeur de \(a\) la fonction est-elle continue ?
Réponse attendue : \(3\)
Il faut \(a - 1 = 1 + 1 = 2\), soit \(a = 3\).
\(f\) est continue sur \([0 \,;\, 1]\), \(f(0) = -1\) et \(f(1) = 1\). Que peut-on affirmer ?
Théorème des valeurs intermédiaires : \(0\) est entre \(f(0)\) et \(f(1)\). L'unicité demanderait la stricte monotonie.
Revoir dans le cours : 5. Le théorème des valeurs intermédiaires
Vrai ou faux : \(x^3 + x - 1 = 0\) a une unique solution dans \([0 \,;\, 1]\).
La fonction est continue, strictement croissante (\(3x^2 + 1 > 0\)), négative en \(0\) et positive en \(1\).
Revoir dans le cours : 5. Le théorème des valeurs intermédiaires
À revoir dans le cours :
Questions fréquentes
C'est quoi une asymptote horizontale ?
C'est une droite d'équation \(y = \ell\) dont la courbe se rapproche quand \(x\) tend vers \(+\infty\) ou \(-\infty\), c'est-à-dire quand \(f(x)\) tend vers \(\ell\). La courbe peut la couper, mais elle s'en rapproche de plus en plus.
Comment trouver une asymptote verticale ?
On cherche une valeur \(a\) où le dénominateur s'annule et où \(f(x)\) tend vers \(+\infty\) ou \(-\infty\). On étudie le signe du dénominateur juste à gauche et juste à droite de \(a\) : la droite \(x = a\) est alors asymptote verticale.
Voir dans le cours : 2. Limite en un réel, asymptote verticale
Qu'est-ce qu'une forme indéterminée ?
C'est un calcul de limite où les règles ne permettent pas de conclure directement : \(\infty - \infty\), \(0 \times \infty\), \(\dfrac{\infty}{\infty}\) ou \(\dfrac{0}{0}\). On transforme alors l'expression, souvent en factorisant par le terme de plus haut degré.
Comment savoir si une fonction est continue ?
Une fonction est continue sur un intervalle si sa courbe se trace sans lever le crayon. Les polynômes, l'exponentielle et la racine carrée le sont là où elles sont définies, ainsi que toute fonction dérivable.
À quoi sert le théorème des valeurs intermédiaires ?
Il permet de prouver qu'une équation \(f(x) = k\) a une solution sans savoir la calculer : il suffit que \(f\) soit continue et que \(k\) soit compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\). Si \(f\) est en plus strictement monotone, la solution est unique.
Voir dans le cours : 5. Le théorème des valeurs intermédiaires
Fiche mémo
L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.
L'essentiel
| Notion | À savoir |
|---|---|
| Asymptote horizontale | \(\lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x) = \ell\) → droite \(y = \ell\) |
| Asymptote verticale | \(f(x) \to \pm\infty\) quand \(x \to a\) → droite \(x = a\) |
| Références | \(\dfrac{1}{x}\), \(\dfrac{1}{x^2}\), \(e^{-x} \to 0\) en \(+\infty\) ; \(x^n\), \(e^x \to +\infty\) |
| Formes indéterminées | \(\infty - \infty\), \(0 \times \infty\), \(\dfrac{\infty}{\infty}\), \(\dfrac{0}{0}\) : factoriser |
| Polynôme, quotient | même limite que le(s) terme(s) de plus haut degré |
| Exponentielle | l'emporte sur les puissances : \(x\,e^{-x} \to 0\) |
| Continuité | courbe sans saut ; dérivable ⇒ continue |
| TVI (théorème des valeurs intermédiaires) | \(f\) continue, \(k\) entre \(f(a)\) et \(f(b)\) : au moins une solution ; unique si \(f\) strictement monotone |
Pièges à éviter
- Une limite n'est pas forcément atteinte.
- Étudier la limite des deux côtés d'une valeur interdite.
- Le TVI exige la continuité ; l'unicité exige la stricte monotonie.
Contrôle demain ? Prépare ton plan de révision de 30 minutes sur ce chapitre →
Niveau 1Facile (Exercices 1 à 11)
Donne la limite en \(+\infty\) de : \(x^2\) ; \(\sqrt{x}\) ; \(\dfrac{1}{x}\) ; \(e^{-x}\) ; \(e^x\).
Voir la correction›
limites de référence.
\(x^2 \to +\infty\) ; \(\sqrt{x} \to +\infty\) ; \(\dfrac{1}{x} \to 0\) ; \(e^{-x} \to 0\) ; \(e^x \to +\infty\).
🔍 Vérification : \(e^{-10} \approx 0{,}000045\) ✓
Donne la limite en \(+\infty\) et l'asymptote correspondante pour \(f(x) = 5 + \dfrac{2}{x}\) et \(g(x) = -3 + e^{-x}\).
Voir la correction›
le terme variable tend vers \(0\).
\(f(x) \to 5\) : asymptote \(y = 5\). \(g(x) \to -3\) : asymptote \(y = -3\).
🔍 Vérification : \(f(100) = 5{,}02\) ✓
Calcule les limites de \(x^2 - 3x\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
Voir la correction›
terme de plus haut degré.
En \(+\infty\) et en \(-\infty\), \(x^2 - 3x\) a la même limite que \(x^2\) : \(\boxed{+\infty}\) dans les deux cas.
🔍 Vérification : pour \(x = -100\), \(10\,000 + 300 = 10\,300\) ✓
Soit \(f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}\) pour \(x \neq 3\).
a) Calcule la limite de \(f\) en \(+\infty\).
b) Étudie les limites en \(3\), à gauche et à droite.
c) Donne les asymptotes.
Voir la correction›
termes de plus haut degré, puis signe du dénominateur.
a) \(\dfrac{2x}{x} = 2\) : \(f(x) \to 2\).
b) En \(3\), le numérateur tend vers \(7 > 0\). À droite (\(x > 3\)), \(x - 3 > 0\) : \(f(x) \to +\infty\). À gauche, \(f(x) \to -\infty\).
c) Asymptote horizontale \(y = 2\) et asymptote verticale \(x = 3\).
🔍 Vérification : \(f(3{,}01) = \dfrac{7{,}02}{0{,}01} = 702\) ✓
Calcule les limites en \(+\infty\) de \(\dfrac{5}{x^2 + 1}\) et de \(4 - e^{-2x}\).
Voir la correction›
\(\dfrac{\text{réel}}{\infty} = 0\) et \(e^{-2x} \to 0\).
\(\dfrac{5}{x^2 + 1} \to \boxed{0}\) et \(4 - e^{-2x} \to \boxed{4}\).
🔍 Vérification : \(\dfrac{5}{101} \approx 0{,}05\) pour \(x = 10\) ✓
Calcule la limite en \(+\infty\) de \(\dfrac{x^2 + 1}{2x^2 - x}\).
Voir la correction›
quotient des termes de plus haut degré.
\(\dfrac{x^2}{2x^2} = \dfrac{1}{2}\) : la limite vaut \(\boxed{\dfrac{1}{2}}\).
🔍 Vérification : \(x = 100\) : \(\dfrac{10\,001}{19\,900} \approx 0{,}5026\) ✓
Quelle est la limite de \(\dfrac{1}{x^2}\) quand \(x\) tend vers \(0\) ? Quelle asymptote en déduis-tu ?
Voir la correction›
dénominateur positif et très petit.
\(\dfrac{1}{x^2} \to +\infty\) quand \(x \to 0\) : la droite \(x = 0\) (l'axe des ordonnées) est asymptote verticale.
🔍 Vérification : \(\dfrac{1}{0{,}01^2} = 10\,000\) ✓
Un parking coûte \(2\) € la première heure, puis \(1{,}50\) € par heure commencée. Dessine l'allure du prix en fonction de la durée sur \([0 \,;\, 4]\). Cette fonction est-elle continue ?
Voir la correction›
une fonction en escalier.
Prix : \(2\) € sur \(]0 \,;\, 1]\), \(3{,}50\) € sur \(]1 \,;\, 2]\), \(5\) € sur \(]2 \,;\, 3]\), \(6{,}50\) € sur \(]3 \,;\, 4]\). La courbe saute de \(1{,}50\) € à chaque heure entière : pas continue.
🔍 Vérification : \(1\) h donne \(2\) €, \(1\) h \(01\) min donne \(3{,}50\) € ✓
Soit \(f(x) = x^3 + x - 1\). Calcule \(f(0)\) et \(f(1)\). Que peut-on en déduire, et pourquoi ?
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théorème des valeurs intermédiaires.
\(f(0) = -1 < 0\) et \(f(1) = 1 > 0\). Comme \(f\) est continue (polynôme), l'équation \(f(x) = 0\) a au moins une solution dans \([0 \,;\, 1]\).
🔍 Vérification : \(0\) est bien compris entre \(-1\) et \(1\) ✓
Avec la fonction de l'exercice 9, calcule \(f(0{,}6)\) et \(f(0{,}7)\). Donne un encadrement de la solution.
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chercher le changement de signe.
\(f(0{,}6) \approx -0{,}184\) et \(f(0{,}7) \approx 0{,}043\) : la solution est entre \(\boxed{0{,}6 \text{ et } 0{,}7}\).
🔍 Vérification : \(0{,}7^3 = 0{,}343\), et \(0{,}343 + 0{,}7 - 1 = 0{,}043\) ✓
Avec \(g(x) = x^2 - 2\), calcule \(g(1{,}4)\), \(g(1{,}5)\), \(g(1{,}41)\) et \(g(1{,}42)\). Encadre \(\sqrt{2}\) au centième.
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balayage au dixième, puis au centième.
\(g(1{,}4) = -0{,}04\), \(g(1{,}5) = 0{,}25\), \(g(1{,}41) = -0{,}0119\), \(g(1{,}42) = 0{,}0164\). Donc \(\boxed{1{,}41 < \sqrt{2} < 1{,}42}\).
🔍 Vérification : \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\) ✓
Niveau 2Intermédiaire (Exercices 12 à 24)
\(f(x) = x + 1\) si \(x < 1\) et \(f(x) = ax - 1\) si \(x \geqslant 1\). Pour quelle valeur de \(a\) la fonction \(f\) est-elle continue ?
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la valeur de gauche doit rejoindre \(f(1)\).
\(x + 1 \to 2\) quand \(x \to 1\) et \(f(1) = a - 1\) : continuité si \(a - 1 = 2\), soit \(\boxed{a = 3}\).
🔍 Vérification : voir l'exemple du cours ✓
Soit \(h(x) = x^3 - 3x + 1\).
a) Calcule \(h(-2)\), \(h(-1)\), \(h(0)\), \(h(1)\) et \(h(2)\).
b) Montre que l'équation \(h(x) = 0\) a au moins trois solutions dans \([-2 \,;\, 2]\).
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trois changements de signe.
a) \(h(-2) = -1\), \(h(-1) = 3\), \(h(0) = 1\), \(h(1) = -1\), \(h(2) = 3\).
b) \(h\) est continue et change de signe sur \([-2 \,;\, -1]\), sur \([0 \,;\, 1]\) et sur \([1 \,;\, 2]\) : au moins une solution dans chacun, donc au moins trois.
🔍 Vérification : les solutions sont environ \(-1{,}879\) ; \(0{,}347\) ; \(1{,}532\) ✓
Soit \(g(x) = e^x + x - 3\).
a) Justifie que \(g\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
b) Calcule \(g(0)\) et \(g(1)\). Montre que \(g(x) = 0\) a une unique solution dans \([0 \,;\, 1]\).
Voir la correction›
dérivée, puis théorème avec stricte monotonie.
a) \(g'(x) = e^x + 1 > 0\) : \(g\) est strictement croissante.
b) \(g(0) = -2 < 0\) et \(g(1) = e - 2 \approx 0{,}72 > 0\). \(g\) est continue et strictement croissante : une unique solution dans \([0 \,;\, 1]\).
🔍 Vérification : la calculatrice donne \(\approx 0{,}792\) ✓
La température d'un café est \(T(t) = 20 + 70e^{-0{,}05t}\) (en °C, \(t\) en minutes).
a) Calcule \(T(0)\) et \(T(30)\).
b) Calcule la limite de \(T\) en \(+\infty\) et interprète.
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\(e^{-0{,}05t} \to 0\).
a) \(T(0) = 90\) °C et \(T(30) = 20 + 70e^{-1{,}5} \approx 35{,}6\) °C.
b) \(T(t) \to \boxed{20}\) : le café se rapproche de la température de la pièce (\(20\) °C) sans descendre en dessous.
🔍 Vérification : \(70e^{-0{,}05t} > 0\), donc \(T(t) > 20\) pour tout \(t\) ✓
La concentration d'un médicament est \(C(t) = 10\,t\,e^{-t}\) (en mg/L, \(t\) en heures).
a) Calcule \(C(1)\).
b) Quelle est la limite de \(C(t)\) quand \(t \to +\infty\) ? Interprète.
Voir la correction›
l'exponentielle l'emporte.
a) \(C(1) = 10e^{-1} \approx 3{,}68\) mg/L.
b) \(t\,e^{-t} \to 0\) (admis), donc \(C(t) \to 0\) : le médicament finit par être éliminé.
🔍 Vérification : \(C(10) = 100e^{-10} \approx 0{,}0045\) ✓
Calcule la limite en \(+\infty\) de \(f(x) = \left(2 + \dfrac{1}{x}\right)\left(3 - e^{-x}\right)\).
Voir la correction›
limite d'un produit.
\(2 + \dfrac{1}{x} \to 2\) et \(3 - e^{-x} \to 3\), donc \(f(x) \to \boxed{6}\).
🔍 Vérification : \(f(100) \approx 2{,}01 \times 3 = 6{,}03\) ✓
Pourquoi ne peut-on pas conclure directement pour \(\lim\limits_{x \to +\infty} (x^2 - x)\) ? Lève l'indétermination.
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factoriser.
\(x^2 \to +\infty\) et \(-x \to -\infty\) : forme « \(\infty - \infty\) ». Or \(x^2 - x = x(x - 1)\), produit de deux facteurs qui tendent vers \(+\infty\) : la limite vaut \(\boxed{+\infty}\).
🔍 Vérification : terme de plus haut degré \(x^2 \to +\infty\) ✓
Soit \(f(x) = \dfrac{x + 1}{x - 1}\) pour \(x \neq 1\). Donne toutes les limites utiles et les asymptotes de sa courbe.
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limites en \(\pm\infty\) et en la valeur interdite.
En \(\pm\infty\) : \(\dfrac{x}{x} = 1\), asymptote \(y = 1\). En \(1\) : numérateur \(\to 2 > 0\) ; à droite \(f(x) \to +\infty\), à gauche \(f(x) \to -\infty\) : asymptote \(x = 1\).
🔍 Vérification : \(f(1{,}1) = \dfrac{2{,}1}{0{,}1} = 21\) ✓
Soit \(h(x) = e^{-x} - x\).
a) Justifie que \(h\) est strictement décroissante.
b) Montre que \(e^{-x} = x\) a une unique solution \(\alpha\) dans \([0 \,;\, 1]\), et encadre-la au centième.
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stricte monotonie, puis balayage.
a) \(h'(x) = -e^{-x} - 1 < 0\) : strictement décroissante.
b) \(h(0) = 1 > 0\) et \(h(1) = e^{-1} - 1 \approx -0{,}63 < 0\) : une unique solution \(\alpha\). \(h(0{,}56) \approx 0{,}011 > 0\) et \(h(0{,}57) \approx -0{,}004 < 0\), donc \(\boxed{0{,}56 < \alpha < 0{,}57}\).
🔍 Vérification : la calculatrice donne \(\alpha \approx 0{,}5671\) ✓
On cherche la solution de \(x^3 + x - 1 = 0\) dans \([0 \,;\, 1]\). Fais les quatre premières étapes de la dichotomie et donne l'encadrement obtenu.
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signe de \(f\) au milieu de l'intervalle.
| Étape | Intervalle | Milieu \(m\) | \(f(m)\) | Nouvel intervalle |
|---|---|---|---|---|
| 1 | \([0 \,;\, 1]\) | \(0{,}5\) | \(-0{,}375\) | \([0{,}5 \,;\, 1]\) |
| 2 | \([0{,}5 \,;\, 1]\) | \(0{,}75\) | \(\approx 0{,}172\) | \([0{,}5 \,;\, 0{,}75]\) |
| 3 | \([0{,}5 \,;\, 0{,}75]\) | \(0{,}625\) | \(\approx -0{,}131\) | \([0{,}625 \,;\, 0{,}75]\) |
| 4 | \([0{,}625 \,;\, 0{,}75]\) | \(0{,}6875\) | \(\approx 0{,}012\) | \([0{,}625 \,;\, 0{,}6875]\) |
Encadrement : \(\boxed{0{,}625 < \alpha < 0{,}6875}\).
🔍 Vérification : \(\alpha \approx 0{,}6823\) est bien dans l'intervalle ✓
On utilise le programme du cours (partie 5).
a) Que contiennent a et b après le premier passage dans la boucle ?
b) Pourquoi la boucle s'arrête-t-elle forcément ?
c) Comment le modifier pour obtenir un encadrement au millième ?
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suivre le programme.
a) \(m = 0{,}5\) et \(f(0{,}5) < 0\) : a vaut \(0{,}5\) et b vaut \(1\).
b) La longueur de l'intervalle est divisée par \(2\) à chaque passage : elle finit par être inférieure à \(0{,}01\).
c) Remplacer 0.01 par 0.001 dans la condition du while.
🔍 Vérification : après \(7\) passages, la longueur vaut \(\dfrac{1}{128} < 0{,}01\) ✓
Fabriquer \(x\) objets coûte \(C(x) = 2x + 500\) euros. Le coût moyen est \(M(x) = \dfrac{C(x)}{x}\).
a) Calcule \(M(10)\) et \(M(1\,000)\).
b) Calcule la limite de \(M\) en \(+\infty\) et interprète.
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\(M(x) = 2 + \dfrac{500}{x}\).
a) \(M(10) = 52\) € et \(M(1\,000) = 2{,}50\) €.
b) \(\dfrac{500}{x} \to 0\), donc \(M(x) \to \boxed{2}\) : le coût par objet ne descend jamais sous \(2\) €, le coût de fabrication d'un objet ; les \(500\) € de frais fixes se partagent entre de plus en plus d'objets.
🔍 Vérification : \(\dfrac{2 \times 1\,000 + 500}{1\,000} = 2{,}5\) ✓
Une population de bactéries suit \(P(t) = \dfrac{1\,000}{1 + 9e^{-0{,}5t}}\) (\(t\) en heures).
a) Calcule \(P(0)\) et \(P(4)\).
b) Calcule la limite de \(P\) en \(+\infty\) et interprète.
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\(e^{-0{,}5t} \to 0\).
a) \(P(0) = \dfrac{1\,000}{10} = 100\) et \(P(4) = \dfrac{1\,000}{1 + 9e^{-2}} \approx 451\).
b) \(9e^{-0{,}5t} \to 0\), donc \(P(t) \to \boxed{1\,000}\) : la population se stabilise à \(1\,000\) bactéries (capacité du milieu).
🔍 Vérification : \(P(t) < 1\,000\) pour tout \(t\), car le dénominateur est supérieur à \(1\) ✓
Niveau 3Difficile/Expert (Exercices 25 à 30)
a) Montre que les équations \(e^{-x} = x\) et \(x\,e^x = 1\) ont les mêmes solutions.
b) Étudie le sens de variation de \(k(x) = x\,e^x\) sur \([0 \,;\, 1]\) et retrouve l'existence et l'unicité de la solution.
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multiplier par \(e^x > 0\), puis étudier \(k\).
a) \(e^{-x} = x \iff 1 = x\,e^x\) (en multipliant par \(e^x\), qui n'est jamais nul).
b) \(k'(x) = e^x + x\,e^x = (1 + x)e^x > 0\) sur \([0 \,;\, 1]\) : \(k\) est strictement croissante et continue, \(k(0) = 0 < 1\) et \(k(1) = e > 1\). Donc \(k(x) = 1\) a une unique solution dans \([0 \,;\, 1]\) : c'est le même \(\alpha \approx 0{,}567\) qu'à l'exercice 20.
🔍 Vérification : \(0{,}567 \times e^{0{,}567} \approx 1{,}000\) ✓
\(f(x) = x^2\) si \(x \leqslant 2\), et \(f(x) = ax + b\) si \(x > 2\). Trouve \(a\) et \(b\) pour que \(f\) soit continue et que \(f(3) = 7\).
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deux conditions, deux inconnues.
Continuité en \(2\) : \(2a + b = 2^2 = 4\). Condition \(f(3) = 7\) : \(3a + b = 7\). En soustrayant : \(a = 3\), puis \(b = -2\). \(\boxed{a = 3,\ b = -2}\).
🔍 Vérification : \(3 \times 2 - 2 = 4\) et \(3 \times 3 - 2 = 7\) ✓
Une fonction \(f\) est continue sur \([0 \,;\, 2]\), avec \(f(0) = -1\) et \(f(2) = 3\).
a) Peut-on affirmer que \(f(x) = 0\) a une solution ?
b) Peut-on affirmer qu'elle n'en a qu'une ? Donne un exemple ou un contre-exemple.
c) Et l'équation \(f(x) = 5\) ?
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distinguer existence et unicité.
a) Oui : \(f\) est continue et \(0\) est entre \(-1\) et \(3\).
b) Non. Par exemple, une fonction qui monte de \(-1\) à \(1\), redescend à \(-0{,}5\), puis remonte à \(3\) s'annule trois fois. En revanche, \(f(x) = 2x - 1\) s'annule une seule fois.
c) On ne peut rien affirmer : \(5\) n'est pas entre \(-1\) et \(3\) (\(f\) peut dépasser \(5\) ou non).
🔍 Vérification : \(f(x) = 2x - 1\) vérifie bien \(f(0) = -1\) et \(f(2) = 3\) ✓
a) Calcule \(\dfrac{1}{x}\) pour \(x = -1\) et \(x = 1\). L'équation \(\dfrac{1}{x} = 0\) a-t-elle une solution ?
b) Explique pourquoi cela ne contredit pas le théorème des valeurs intermédiaires.
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vérifier l'hypothèse de continuité.
a) \(\dfrac{1}{-1} = -1\) et \(\dfrac{1}{1} = 1\), mais \(\dfrac{1}{x}\) ne vaut jamais \(0\).
b) La fonction \(x \mapsto \dfrac{1}{x}\) n'est pas définie en \(0\), donc pas continue sur \([-1 \,;\, 1]\) : le théorème ne s'applique pas.
🔍 Vérification : sa courbe a deux branches séparées par l'asymptote \(x = 0\) ✓
Le nombre de noyaux radioactifs d'un échantillon est \(N(t) = 1\,000\,e^{-0{,}1t}\) (\(t\) en années).
a) Montre que l'équation \(N(t) = 500\) a une unique solution dans \([0 \,;\, 10]\).
b) Encadre-la au dixième par balayage.
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stricte monotonie, puis balayage.
a) \(N\) est continue et strictement décroissante (\(N'(t) = -100e^{-0{,}1t} < 0\)). \(N(0) = 1\,000\) et \(N(10) = 1\,000e^{-1} \approx 368\) : \(500\) est entre les deux, d'où une unique solution.
b) \(N(6{,}9) \approx 501{,}6 > 500\) et \(N(7) \approx 496{,}6 < 500\) : la solution est entre \(\boxed{6{,}9 \text{ et } 7}\) ans.
🔍 Vérification : le chapitre sur le logarithme donnera la valeur exacte, \(10\ln 2 \approx 6{,}93\) ✓
On définit \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = e^{-u_n}\).
a) Calcule \(u_1\) à \(u_7\) (à \(10^{-4}\) près).
b) Que semble faire la suite ? Quel lien avec l'exercice 20 ?
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calculer pas à pas.
a) \(u_1 = 1\) ; \(u_2 \approx 0{,}3679\) ; \(u_3 \approx 0{,}6922\) ; \(u_4 \approx 0{,}5005\) ; \(u_5 \approx 0{,}6062\) ; \(u_6 \approx 0{,}5454\) ; \(u_7 \approx 0{,}5796\).
b) La suite oscille en se resserrant autour de \(0{,}567\) environ : elle semble converger vers la solution \(\alpha\) de \(e^{-x} = x\) (exercice 20). En effet, si \(u_n\) tend vers \(\ell\), alors \(\ell = e^{-\ell}\).
🔍 Vérification : \(e^{-0{,}5671} \approx 0{,}5671\) ✓
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