Primitives et équations différentielles
Cours
Souvent, on ne connaît pas directement une grandeur, mais sa vitesse de variation : un café refroidit d'autant plus vite qu'il est chaud, une population croît d'autant plus vite qu'elle est nombreuse, un parachutiste accélère moins quand il va vite. Retrouver la grandeur à partir de sa dérivée, c'est chercher une primitive ou résoudre une équation différentielle. Avec ce chapitre, tu sauras :
- trouver une primitive d'une fonction usuelle, et celle qui vérifie une condition ;
- résoudre les équations \(y' = ay\) et \(y' = ay + b\) ;
- modéliser une évolution (refroidissement, perfusion, chute, population) et en tirer des prévisions.
1 Primitives
Dériver, c'est passer de la position à la vitesse. Chercher une primitive, c'est faire le chemin inverse.
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). Une primitive de \(f\) sur \(I\) est une fonction \(F\) dérivable sur \(I\) telle que \(F' = f\).
- si \(F\) est une primitive de \(f\), les primitives de \(f\) sont les fonctions \(x \mapsto F(x) + C\), où \(C\) est une constante réelle ;
- pour un réel \(x_0\) de \(I\) et un réel \(y_0\), il existe une seule primitive \(F\) telle que \(F(x_0) = y_0\).
L'idée en une phrase : leur différence a une dérivée nulle.
Voir la démonstration pas à pasMasquer la démonstration
Étape 1 — La différence. Si \(F' = f\) et \(G' = f\), alors \((G - F)' = f - f = 0\).
Étape 2 — Conclure. Une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante : \(G = F + C\) ✓.
Trouver la primitive \(F\) de \(f(x) = 3x^2 - 4x + 1\) telle que \(F(1) = 2\).
Étape 1 — Une primitive. \(x^3\) a pour dérivée \(3x^2\), \(-2x^2\) a pour dérivée \(-4x\) : \(F(x) = x^3 - 2x^2 + x + C\).
Étape 2 — La condition. \(F(1) = 1 - 2 + 1 + C = C\), donc \(C = 2\).
Conclusion : \(\boxed{F(x) = x^3 - 2x^2 + x + 2}\).
🔍 Vérification : \(F'(x) = 3x^2 - 4x + 1 = f(x)\) et \(F(1) = 2\) ✓.
- ❌ Oublier la constante \(C\). ✅ Une fonction a une infinité de primitives.
- ❌ Vérifier en intégrant de nouveau. ✅ On vérifie en dérivant la primitive trouvée.
Donne toutes les primitives de \(f(x) = 6x^2 + 2x - 5\).
Voir la réponseMasquer la réponse
\(F(x) = 2x^3 + x^2 - 5x + C\), \(C\) réel.
\(F' = f\) ; primitives \(= F + C\) ; une condition \(F(x_0) = y_0\) fixe la constante ; on vérifie en dérivant.
2 Primitives usuelles
On lit le tableau des dérivées « à l'envers ».
(\(C\) est une constante) :
| \(f(x)\) | Une primitive \(F(x)\) | Intervalle |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(kx\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n\) (\(n \neq -1\)) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n + 1}\) | \(\mathbb{R}\) (ou \(]0 \,;\, +\infty[\) si \(n < 0\)) |
| \(\dfrac{1}{x^2}\) | \(-\dfrac{1}{x}\) | \(]0 \,;\, +\infty[\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln x\) | \(]0 \,;\, +\infty[\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(e^{ax + b}\) (\(a \neq 0\)) | \(\dfrac{1}{a}e^{ax + b}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\dfrac{1}{ax + b}\) (\(a \neq 0\)) | \(\dfrac{1}{a}\ln(ax + b)\) | là où \(ax + b > 0\) |
Linéarité : une primitive de \(f + g\) est \(F + G\) ; une primitive de \(kf\) est \(kF\).
Étape 1 — Une exponentielle. \(f(x) = e^{2x}\) : \(F(x) = \dfrac{1}{2}e^{2x}\).
Étape 2 — Un inverse. \(g(x) = \dfrac{4}{2x + 1}\) sur \(]-\tfrac{1}{2} \,;\, +\infty[\) : \(G(x) = 4 \times \dfrac{1}{2}\ln(2x + 1) = 2\ln(2x + 1)\).
🔍 Vérification : \(G'(x) = 2 \times \dfrac{2}{2x + 1} = \dfrac{4}{2x + 1}\) ✓.
- ❌ Une primitive de \(e^{2x}\) est \(e^{2x}\). ✅ Il faut diviser par \(2\) : \(\dfrac{1}{2}e^{2x}\).
- ❌ Une primitive de \(\dfrac{1}{x^2}\) est \(\ln(x^2)\). ✅ C'est \(-\dfrac{1}{x}\).
Donne une primitive de \(f(x) = x^2 + \dfrac{1}{x^2}\) sur \(]0 \,;\, +\infty[\).
Voir la réponseMasquer la réponse
\(F(x) = \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{1}{x}\).
\(x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n + 1}\) ; \(\dfrac{1}{x} \to \ln x\) ; \(e^{ax + b} \to \dfrac{1}{a}e^{ax + b}\) ; toujours vérifier en dérivant.
3 L'équation y' = ay
Quand la vitesse de variation d'une grandeur est proportionnelle à la grandeur elle-même, on obtient la plus simple des équations différentielles.
Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction \(y\), et qui relie \(y\) et sa dérivée \(y'\). Une solution est une fonction dérivable qui vérifie l'équation pour tout \(x\).
Soit \(a\) un réel. Les solutions de \(y' = ay\) sont les fonctions \(x \mapsto C\,e^{ax}\), où \(C\) est une constante réelle. Pour tous réels \(x_0\) et \(y_0\), il en existe une seule telle que \(y(x_0) = y_0\).
L'idée en une phrase : on dérive.
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Étape 1 — Dériver. Si \(y = C\,e^{ax}\), alors \(y' = C \times a\,e^{ax} = a \times C\,e^{ax} = ay\) ✓.
Étape 2 — Il n'y en a pas d'autre. Si \(y\) est une solution, la fonction \(h(x) = y(x)\,e^{-ax}\) a pour dérivée \(y'e^{-ax} - a\,y\,e^{-ax} = (y' - ay)e^{-ax} = 0\) : \(h\) est constante, égale à \(C\), et \(y = C\,e^{ax}\) (exercice 26).
Résoudre \(y' = -0{,}5y\) avec \(y(0) = 8\).
Étape 1 — Les solutions. \(y(x) = C\,e^{-0{,}5x}\).
Étape 2 — La condition. \(y(0) = C = 8\).
Conclusion : \(\boxed{y(x) = 8e^{-0{,}5x}}\).
🔍 Vérification : \(y'(x) = -4e^{-0{,}5x} = -0{,}5 \times 8e^{-0{,}5x}\) ✓.
- ❌ Écrire \(y = e^{ax} + C\). ✅ La constante multiplie : \(y = C\,e^{ax}\).
- ❌ Confondre \(y' = ay\) (proportionnel à \(y\)) et \(y' = a\) (dérivée constante, \(y = ax + C\)).
Résous \(y' = 3y\) avec \(y(0) = 2\).
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\(y(x) = 2e^{3x}\).
\(y' = ay \iff y = C\,e^{ax}\) ; la condition initiale donne \(C\).
4 L'équation y' = ay + b
On ajoute un apport (ou une perte) constant : c'est le modèle continu des suites arithmético-géométriques du chapitre 1.
Soient \(a \neq 0\) et \(b\) deux réels. Les solutions de \(y' = ay + b\) sont les fonctions \[x \mapsto C\,e^{ax} - \frac{b}{a}, \quad C \text{ réel}.\] La fonction constante \(y = -\dfrac{b}{a}\) est la solution d'équilibre. Si \(a < 0\), toutes les solutions tendent vers cet équilibre.
L'idée en une phrase : l'écart à l'équilibre vérifie \(y' = ay\).
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Étape 1 — L'équilibre. La constante \(\ell = -\dfrac{b}{a}\) vérifie \(0 = a\ell + b\) : c'est une solution.
Étape 2 — L'écart. Si \(y\) est solution, \(z = y - \ell\) vérifie \(z' = y' = ay + b = a(z + \ell) + b = az\). Donc \(z = C\,e^{ax}\) et \(y = C\,e^{ax} + \ell\) ✓.
Un café à \(90\) °C refroidit dans une pièce à \(20\) °C. Sa température vérifie \(T' = -0{,}05(T - 20)\), soit \(T' = -0{,}05\,T + 1\).
Étape 1 — L'équilibre. \(-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{1}{-0{,}05} = 20\) : la température de la pièce.
Étape 2 — Les solutions. \(T(t) = C\,e^{-0{,}05t} + 20\).
Étape 3 — La condition. \(T(0) = C + 20 = 90\), donc \(C = 70\).
Conclusion : \(\boxed{T(t) = 20 + 70\,e^{-0{,}05t}}\) : c'est la fonction étudiée aux chapitres 2 et 4.
🔍 Vérification : \(T'(t) = -3{,}5\,e^{-0{,}05t}\) et \(-0{,}05(T - 20) = -0{,}05 \times 70e^{-0{,}05t} = -3{,}5\,e^{-0{,}05t}\) ✓.
- ❌ Écrire l'équilibre \(\dfrac{b}{a}\). ✅ C'est \(-\dfrac{b}{a}\) : on résout \(ay + b = 0\).
- ❌ Utiliser la condition initiale avant d'ajouter l'équilibre. ✅ On écrit toute la solution, puis on calcule \(C\).
Résous \(y' = 2y - 6\) avec \(y(0) = 5\).
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Équilibre \(3\), donc \(y = C\,e^{2x} + 3\) ; \(y(0) = C + 3 = 5\) donne \(C = 2\) : \(y(x) = 2e^{2x} + 3\).
\(y' = ay + b \iff y = C\,e^{ax} - \dfrac{b}{a}\) ; équilibre \(-\dfrac{b}{a}\) ; si \(a < 0\), convergence vers l'équilibre.
5 Modéliser avec une équation différentielle
- traduire la phrase « la vitesse de variation de … est … » par une équation \(y' = \ldots\) ;
- résoudre, puis utiliser la condition initiale ;
- répondre aux questions (valeur à un instant, limite, instant où un seuil est atteint, avec \(\ln\)).
Un patient reçoit \(4\) mg de médicament par heure, et son corps élimine \(20\,\%\) par heure de la quantité présente. La quantité \(Q\) (en mg) vérifie \(Q' = -0{,}2\,Q + 4\), avec \(Q(0) = 0\).
Étape 1 — Résoudre. Équilibre \(-\dfrac{4}{-0{,}2} = 20\), donc \(Q(t) = C\,e^{-0{,}2t} + 20\), et \(Q(0) = 0\) donne \(C = -20\) : \(Q(t) = 20 - 20e^{-0{,}2t}\).
Étape 2 — À long terme. \(e^{-0{,}2t} \to 0\), donc \(Q(t) \to 20\) mg.
Étape 3 — Un seuil. \(Q(t) = 10 \iff e^{-0{,}2t} = 0{,}5 \iff t = \dfrac{\ln 2}{0{,}2} = 5\ln 2 \approx 3{,}5\) h.
🔍 Vérification : la moitié de l'équilibre est atteinte au bout d'une « demi-vie » \(\dfrac{\ln 2}{0{,}2}\), comme au chapitre 4 ✓.
- ❌ « Elle élimine \(20\,\%\) » traduit par \(Q' = 0{,}2Q\). ✅ Une perte se traduit par un signe moins : \(-0{,}2\,Q\).
Dans un modèle de chute, \(v' = 9{,}8 - 0{,}2v\) et \(v(0) = 0\). Quelle est la vitesse limite ?
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L'équilibre \(-\dfrac{9{,}8}{-0{,}2} = 49\) m/s ; \(v(t) = 49 - 49e^{-0{,}2t} \to 49\) m/s.
Traduire, résoudre, condition initiale, puis interpréter (limite = équilibre ; seuil = équation avec \(\ln\)).
Quiz du cours
Tu as lu le cours ? Vérifie en 7 questions que tu as retenu l’essentiel. Chaque réponse est corrigée tout de suite, sans chronomètre.
Quelles sont les primitives de \(f(x) = 6x^2 + 2x - 5\) ?
\(x^n\) a pour primitive \(\dfrac{x^{n+1}}{n + 1}\), et la constante \(C\) est quelconque.
Une primitive de \(f(x) = e^{2x}\) est :
\(e^{ax + b}\) a pour primitive \(\dfrac{1}{a}e^{ax + b}\) ; on vérifie en dérivant.
Les solutions de l'équation \(y' = 3y\) sont les fonctions :
\(y' = ay \iff y = C\,e^{ax}\) : la constante multiplie l'exponentielle.
Quelle est la solution d'équilibre (constante) de \(y' = 2y - 6\) ?
Réponse attendue : \(3\)
On résout \(2y - 6 = 0\) : \(y = 3\), c'est-à-dire \(-\dfrac{b}{a}\).
\(T' = -0{,}05\,T + 1\). Vers quelle température tend \(T\) ?
Réponse attendue : \(20\)
L'équilibre vaut \(-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{1}{-0{,}05} = 20\) et \(a < 0\).
Vrai ou faux : la solution de \(y' = 2y - 6\) telle que \(y(0) = 5\) est \(y = 2e^{2x} + 3\).
\(y = C\,e^{2x} + 3\) et \(y(0) = C + 3 = 5\), donc \(C = 2\).
« Le corps élimine \(20\,\%\) par heure du médicament, et en reçoit \(4\) mg par heure. » Quelle équation traduit cette phrase ?
Une perte proportionnelle à \(Q\) donne \(-0{,}2\,Q\), l'apport constant donne \(+4\).
Revoir dans le cours : 5. Modéliser avec une équation différentielle
À revoir dans le cours :
Questions fréquentes
C'est quoi une primitive d'une fonction ?
C'est une fonction \(F\) dont la dérivée est \(f\). Une fonction a une infinité de primitives, qui diffèrent toutes d'une constante ; une condition comme \(F(0) = 3\) permet d'en choisir une seule.
Comment trouver une primitive de e^(ax+b) ?
On divise par le coefficient \(a\) : une primitive de \(e^{ax + b}\) est \(\dfrac{1}{a}e^{ax + b}\). On vérifie toujours en dérivant le résultat.
Comment résoudre une équation différentielle y' = ay ?
Les solutions sont les fonctions \(y = C\,e^{ax}\), où \(C\) est une constante. On trouve \(C\) grâce à la condition initiale : par exemple, si \(y(0) = 4\), alors \(C = 4\).
Comment résoudre une équation différentielle y' = ay + b ?
On cherche d'abord la solution constante \(-\dfrac{b}{a}\), puis on écrit \(y = C\,e^{ax} - \dfrac{b}{a}\). La condition initiale donne la constante \(C\).
Comment traduire un énoncé en équation différentielle ?
« La vitesse de variation de \(y\) » se traduit par \(y'\). Une perte proportionnelle à la quantité donne un terme \(-k\,y\), un apport constant donne un terme \(+b\) : par exemple \(y' = -0{,}1\,y + 5\).
Voir dans le cours : 5. Modéliser avec une équation différentielle
Fiche mémo
L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.
L'essentiel
| Notion | À savoir |
|---|---|
| Primitive | \(F' = f\) ; toutes les primitives : \(F + C\) |
| Condition | \(F(x_0) = y_0\) fixe \(C\) |
| Usuelles | \(x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n + 1}\) ; \(\dfrac{1}{x} \to \ln x\) ; \(\dfrac{1}{x^2} \to -\dfrac{1}{x}\) ; \(e^{ax + b} \to \dfrac{1}{a}e^{ax + b}\) |
| \(y' = ay\) | \(y = C\,e^{ax}\) |
| \(y' = ay + b\) | \(y = C\,e^{ax} - \dfrac{b}{a}\) ; équilibre \(-\dfrac{b}{a}\) |
| Long terme | si \(a < 0\) : \(y \to -\dfrac{b}{a}\) |
Pièges à éviter
- Ne pas oublier la constante, et vérifier en dérivant.
- \(y' = ay\) : la constante multiplie l'exponentielle.
- L'équilibre de \(y' = ay + b\) est \(-\dfrac{b}{a}\).
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Niveau 1Facile (Exercices 1 à 11)
Montre que \(F(x) = x\ln x - x\) est une primitive de \(f(x) = \ln x\) sur \(]0 \,;\, +\infty[\).
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on dérive \(F\).
\(F'(x) = \ln x + x \times \dfrac{1}{x} - 1 = \ln x = f(x)\) ✓.
🔍 Vérification : produit \((x\ln x)' = \ln x + 1\) ✓
Donne toutes les primitives de \(f(x) = 6x^2 + 2x - 5\).
Voir la correction›
\(x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n + 1}\).
\(F(x) = 2x^3 + x^2 - 5x + C\), \(C\) réel.
🔍 Vérification : \(F'(x) = 6x^2 + 2x - 5\) ✓
Donne une primitive de : \(f(x) = \dfrac{1}{x} + x\) sur \(]0 \,;\, +\infty[\) ; \(g(x) = e^{3x - 1}\) ; \(h(x) = x^2 + \dfrac{1}{x^2}\) sur \(]0 \,;\, +\infty[\).
Voir la correction›
tableau des primitives usuelles.
\(F(x) = \ln x + \dfrac{x^2}{2}\) ; \(G(x) = \dfrac{1}{3}e^{3x - 1}\) ; \(H(x) = \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{1}{x}\).
🔍 Vérification : \(G'(x) = \dfrac{1}{3} \times 3e^{3x - 1}\) ✓
Trouve la primitive \(F\) de \(f(x) = 2x + 3\) telle que \(F(1) = 0\).
Voir la correction›
primitive générale, puis condition.
\(F(x) = x^2 + 3x + C\) et \(F(1) = 4 + C = 0\), donc \(\boxed{F(x) = x^2 + 3x - 4}\).
🔍 Vérification : \(F(1) = 1 + 3 - 4 = 0\) ✓
Donne une primitive de \(f(x) = \dfrac{2}{x + 1}\) sur \(]-1 \,;\, +\infty[\).
Voir la correction›
\(\dfrac{1}{ax + b} \to \dfrac{1}{a}\ln(ax + b)\).
\(F(x) = 2\ln(x + 1)\).
🔍 Vérification : \(F'(x) = \dfrac{2}{x + 1}\) ✓
Montre que \(y(x) = 5e^{2x}\) est solution de l'équation \(y' = 2y\).
Voir la correction›
dériver et comparer.
\(y'(x) = 10e^{2x} = 2 \times 5e^{2x} = 2y(x)\) ✓.
🔍 Vérification : c'est la forme \(C\,e^{ax}\) avec \(a = 2\), \(C = 5\) ✓
Résous \(y' = 3y\) avec \(y(0) = 2\).
Voir la correction›
\(y = C\,e^{3x}\), puis \(y(0) = C\).
\(\boxed{y(x) = 2e^{3x}}\).
🔍 Vérification : \(y' = 6e^{3x} = 3y\) ✓
Résous \(y' = -0{,}5y\) avec \(y(0) = 8\), puis calcule \(y(2)\).
Voir la correction›
comme dans le cours.
\(y(x) = 8e^{-0{,}5x}\) et \(y(2) = 8e^{-1} \approx \boxed{2{,}94}\).
🔍 Vérification : \(y\) décroît, \(y(2) < y(0) = 8\) ✓
Quelle est la solution constante de \(y' = 2y - 6\) ?
Voir la correction›
résoudre \(2y - 6 = 0\).
\(\boxed{y = 3}\).
🔍 Vérification : \(y' = 0\) et \(2 \times 3 - 6 = 0\) ✓
Résous \(y' = 2y - 6\) avec \(y(0) = 5\).
Voir la correction›
\(y = C\,e^{2x} + 3\).
\(y(0) = C + 3 = 5\), donc \(\boxed{y(x) = 2e^{2x} + 3}\).
🔍 Vérification : \(y' = 4e^{2x}\) et \(2y - 6 = 4e^{2x} + 6 - 6\) ✓
Traduis par une équation différentielle : « la vitesse de croissance d'une population \(P\) est proportionnelle à \(P\), avec un coefficient \(0{,}03\) ».
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« proportionnelle à \(P\) » → \(P' = kP\).
\(\boxed{P' = 0{,}03\,P}\).
🔍 Vérification : les solutions \(C\,e^{0{,}03t}\) croissent d'environ \(3\,\%\) par an ✓
Niveau 2Intermédiaire (Exercices 12 à 24)
\(P' = 0{,}03\,P\), avec \(P(0) = 1\,000\) (\(t\) en années).
a) Exprime \(P(t)\).
b) Calcule \(P(10)\).
c) Au bout de combien de temps la population double-t-elle ?
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\(y' = ay\), puis \(\ln\).
a) \(P(t) = 1\,000\,e^{0{,}03t}\). b) \(P(10) = 1\,000\,e^{0{,}3} \approx 1\,350\). c) \(e^{0{,}03t} = 2 \iff t = \dfrac{\ln 2}{0{,}03} \approx \boxed{23{,}1 \text{ ans}}\).
🔍 Vérification : \(1\,000\,e^{0{,}03 \times 23{,}1} \approx 2\,000\) ✓
\(T' = -0{,}05(T - 20)\) et \(T(0) = 90\).
a) Montre que \(T(t) = 20 + 70e^{-0{,}05t}\).
b) Au bout de combien de minutes le café descend-il sous \(40\) °C ?
Voir la correction›
voir l'exemple du cours, puis \(\ln\).
a) \(T' = -0{,}05\,T + 1\) : équilibre \(20\), \(T = C\,e^{-0{,}05t} + 20\), \(C = 70\).
b) \(70e^{-0{,}05t} < 20 \iff t > 20\ln 3{,}5 \approx \boxed{25{,}1 \text{ min}}\) (chapitre 4).
🔍 Vérification : \(T(26) \approx 39{,}1\) °C ✓
\(Q' = -0{,}2\,Q + 4\) et \(Q(0) = 0\).
a) Montre que \(Q(t) = 20 - 20e^{-0{,}2t}\).
b) Au bout de combien de temps atteint-on \(19\) mg ?
Voir la correction›
équilibre \(20\), puis \(\ln\).
a) Voir l'exemple de la partie 5.
b) \(20 - 20e^{-0{,}2t} = 19 \iff e^{-0{,}2t} = 0{,}05 \iff t = -\dfrac{\ln 0{,}05}{0{,}2} \approx \boxed{15 \text{ h}}\).
🔍 Vérification : \(Q(15) = 20 - 20e^{-3} \approx 19{,}0\) ✓
\(v' = 9{,}8 - 0{,}2v\) et \(v(0) = 0\) (\(v\) en m/s, \(t\) en s).
a) Exprime \(v(t)\).
b) Calcule \(v(10)\).
c) Quelle est la vitesse limite ?
Voir la correction›
équilibre \(\dfrac{9{,}8}{0{,}2} = 49\).
a) \(v(t) = 49 - 49e^{-0{,}2t}\). b) \(v(10) = 49(1 - e^{-2}) \approx 42{,}4\) m/s. c) \(\boxed{49 \text{ m/s}}\) (environ \(176\) km/h).
🔍 Vérification : \(v(0) = 49 - 49 = 0\) ✓
Une culture de \(200\) bactéries vérifie \(N' = 0{,}5\,N\) (\(t\) en heures).
a) Exprime \(N(t)\) et calcule \(N(4)\).
b) Quand dépasse-t-on \(1\,000\) bactéries ?
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\(y' = ay\), puis \(\ln\).
a) \(N(t) = 200e^{0{,}5t}\) et \(N(4) = 200e^2 \approx 1\,478\).
b) \(e^{0{,}5t} > 5 \iff t > 2\ln 5 \approx \boxed{3{,}2 \text{ h}}\).
🔍 Vérification : \(N(3{,}2) \approx 200e^{1{,}6} \approx 991 < 1\,000\) et \(N(3{,}25) \approx 1\,016\) ✓
La tension aux bornes d'un condensateur vérifie \(u' = -10u + 50\), avec \(u(0) = 0\) (\(u\) en volts, \(t\) en secondes).
a) Exprime \(u(t)\).
b) Calcule \(u(0{,}1)\).
c) Vers quelle valeur tend la tension ?
Voir la correction›
équilibre \(\dfrac{50}{10} = 5\).
a) \(u(t) = 5 - 5e^{-10t}\). b) \(u(0{,}1) = 5(1 - e^{-1}) \approx 3{,}16\) V. c) \(\boxed{5 \text{ V}}\).
🔍 Vérification : au bout de \(0{,}1\) s, on a atteint environ \(63\,\%\) de la tension finale ✓
Montre que \(F(x) = (x - 1)e^x\) est une primitive de \(f(x) = x\,e^x\).
Voir la correction›
dériver un produit.
\(F'(x) = e^x + (x - 1)e^x = x\,e^x\) ✓.
🔍 Vérification : \(F(0) = -1\) ; une autre primitive serait \((x - 1)e^x + 1\) ✓
On cherche une primitive de \(f(x) = x\,e^{-x}\) de la forme \(F(x) = (ax + b)e^{-x}\).
a) Calcule \(F'(x)\).
b) Trouve \(a\) et \(b\).
Voir la correction›
identifier les coefficients.
a) \(F'(x) = a\,e^{-x} - (ax + b)e^{-x} = (-ax + a - b)e^{-x}\).
b) Il faut \(-a = 1\) et \(a - b = 0\) : \(a = b = -1\), donc \(\boxed{F(x) = -(x + 1)e^{-x}}\).
🔍 Vérification : \(F'(x) = -e^{-x} + (x + 1)e^{-x} = x\,e^{-x}\) ✓
Trouve la fonction \(y\) définie sur \(]0 \,;\, +\infty[\) telle que \(y' = \dfrac{1}{x}\) et \(y(1) = 2\).
Voir la correction›
primitive de \(\dfrac{1}{x}\), puis condition.
\(y(x) = \ln x + C\) et \(y(1) = C = 2\) : \(\boxed{y(x) = \ln x + 2}\).
🔍 Vérification : \(y'(x) = \dfrac{1}{x}\) ✓
Un mobile a pour vitesse \(v(t) = 3t^2 - 2t\) (m/s) et part de la position \(x(0) = 1\) m. Exprime sa position \(x(t)\), puis calcule \(x(2)\).
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la position est une primitive de la vitesse.
\(x(t) = t^3 - t^2 + C\) et \(x(0) = C = 1\) : \(x(t) = t^3 - t^2 + 1\), donc \(x(2) = 8 - 4 + 1 = \boxed{5 \text{ m}}\).
🔍 Vérification : \(x'(t) = 3t^2 - 2t\) ✓
Donne toutes les solutions de \(y' = -3y + 6\). Laquelle vérifie \(y(0) = 0\) ?
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équilibre \(-\dfrac{6}{-3} = 2\).
Solutions : \(y(x) = C\,e^{-3x} + 2\). Avec \(y(0) = 0\) : \(C = -2\), soit \(y(x) = 2 - 2e^{-3x}\).
🔍 Vérification : \(y' = 6e^{-3x}\) et \(-3y + 6 = -6 + 6e^{-3x} + 6\) ✓
Un capital de \(30\,000\) € placé à \(2\,\%\) par an subit des retraits de \(1\,000\) € par an, répartis sur l'année : \(S' = 0{,}02\,S - 1\,000\).
a) Montre que \(S(t) = 50\,000 - 20\,000\,e^{0{,}02t}\).
b) Calcule \(S(10)\).
c) Quand le capital est-il épuisé ?
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équilibre \(-\dfrac{-1\,000}{0{,}02} = 50\,000\).
a) \(S(t) = C\,e^{0{,}02t} + 50\,000\) et \(S(0) = 30\,000\) donne \(C = -20\,000\).
b) \(S(10) = 50\,000 - 20\,000\,e^{0{,}2} \approx 25\,572\) €.
c) \(S(t) = 0 \iff e^{0{,}02t} = 2{,}5 \iff t = 50\ln 2{,}5 \approx \boxed{45{,}8 \text{ ans}}\).
🔍 Vérification : sous l'équilibre (\(50\,000\) €), les intérêts ne compensent pas les retraits : le capital diminue ✓
Pour \(y(0) = 5\), décris sans calcul le comportement des solutions de :
a) \(y' = 0{,}2y\) ;
b) \(y' = -0{,}2y\) ;
c) \(y' = -0{,}2y + 2\).
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signe de \(a\) et position de l'équilibre.
a) Croissance exponentielle vers \(+\infty\).
b) Décroissance vers \(0\).
c) Équilibre \(10\) : en partant de \(5\), \(y\) augmente et se rapproche de \(10\).
🔍 Vérification : c) \(y = 10 - 5e^{-0{,}2x}\), croissante et de limite \(10\) ✓
Niveau 3Difficile/Expert (Exercices 25 à 30)
Un café vérifie \(T' = -k(T - 20)\), avec \(T(0) = 90\) et \(T(10) = 70\).
a) Montre que \(T(t) = 20 + 70e^{-kt}\).
b) Calcule \(k\).
c) Au bout de combien de temps le café est-il à \(60\) °C ?
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résoudre, puis utiliser la mesure à \(t = 10\).
a) Équilibre \(20\) et \(T(0) = 90\) : \(T(t) = 20 + 70e^{-kt}\).
b) \(T(10) = 70 \iff e^{-10k} = \dfrac{50}{70} = \dfrac{5}{7} \iff k = \dfrac{\ln(7/5)}{10} \approx 0{,}0336\).
c) \(70e^{-kt} = 40 \iff e^{-kt} = \dfrac{4}{7} \iff t = \dfrac{\ln(7/4)}{k} \approx \boxed{16{,}6 \text{ min}}\).
🔍 Vérification : \(60\) °C est atteint entre \(10\) min (\(70\) °C) et \(20\) min ✓
Soit \(y\) une solution de \(y' = ay\), et \(h(x) = y(x)\,e^{-ax}\).
a) Calcule \(h'(x)\).
b) Déduis-en que \(y(x) = C\,e^{ax}\) pour une constante \(C\).
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dériver un produit.
a) \(h'(x) = y'(x)\,e^{-ax} - a\,y(x)\,e^{-ax} = (y' - ay)e^{-ax} = 0\).
b) \(h\) est constante, égale à un réel \(C\) : \(y(x)\,e^{-ax} = C\), donc \(y(x) = C\,e^{ax}\) ✓.
🔍 Vérification : pour \(y = C\,e^{ax}\), \(h(x) = C\) ✓
Une population vérifie \(P' = 0{,}01\,P + 50\), avec \(P(0) = 10\,000\).
a) Résous l'équation.
b) Calcule \(P(20)\).
c) La solution d'équilibre est-elle « réaliste » ? Que fait la population à long terme ?
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équilibre \(-\dfrac{50}{0{,}01} = -5\,000\).
a) \(P(t) = C\,e^{0{,}01t} - 5\,000\), et \(P(0) = 10\,000\) donne \(C = 15\,000\).
b) \(P(20) = 15\,000\,e^{0{,}2} - 5\,000 \approx 13\,321\).
c) Une population négative n'a pas de sens : l'équilibre n'est qu'un outil de calcul. Comme \(a > 0\), la population tend vers \(+\infty\).
🔍 Vérification : \(P'(0) = 0{,}01 \times 10\,000 + 50 = 150\) habitants par an ✓
Trouve la primitive \(F\) de \(f(x) = e^{2x} + \dfrac{1}{x}\) sur \(]0 \,;\, +\infty[\) telle que \(F(1) = \dfrac{e^2}{2}\).
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primitive générale, puis condition.
\(F(x) = \dfrac{1}{2}e^{2x} + \ln x + C\) et \(F(1) = \dfrac{e^2}{2} + 0 + C\), donc \(C = 0\) : \(\boxed{F(x) = \dfrac{1}{2}e^{2x} + \ln x}\).
🔍 Vérification : \(F'(x) = e^{2x} + \dfrac{1}{x}\) ✓
Un parachutiste, parachute ouvert, vérifie \(v' = 9{,}8 - 1{,}4v\), avec \(v(0) = 0\).
a) Calcule la vitesse limite.
b) Au bout de combien de temps atteint-il \(95\,\%\) de cette vitesse ?
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équilibre, puis \(\ln\).
a) \(\dfrac{9{,}8}{1{,}4} = \boxed{7 \text{ m/s}}\) (environ \(25\) km/h).
b) \(v(t) = 7 - 7e^{-1{,}4t}\) ; \(v(t) = 0{,}95 \times 7 \iff e^{-1{,}4t} = 0{,}05 \iff t = -\dfrac{\ln 0{,}05}{1{,}4} \approx \boxed{2{,}1 \text{ s}}\).
🔍 Vérification : avec un frottement plus fort que dans l'exercice 15, la vitesse limite est atteinte bien plus vite ✓
Une fonction \(y\) vérifie \(y' = ay\), avec \(y(0) = 3\) et \(y'(0) = -6\). Trouve \(a\), puis \(y\).
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\(y'(0) = a\,y(0)\).
\(-6 = a \times 3\), donc \(a = -2\) ; \(y(x) = C\,e^{-2x}\) avec \(y(0) = 3\) : \(\boxed{y(x) = 3e^{-2x}}\).
🔍 Vérification : \(y'(0) = -6e^0 = -6\) ✓
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