Dérivation et convexité
Cours
Quelles dimensions donner à une boîte pour qu'elle contienne le plus possible ? À quel moment une épidémie progresse-t-elle le plus vite ? La dérivée répond à la première question (on cherche un maximum), la dérivée seconde à la seconde : elle dit si une croissance accélère ou ralentit. Avec ce chapitre, tu sauras :
- calculer des dérivées, y compris celles de \(x \mapsto g(ax + b)\) ;
- étudier des variations et résoudre des problèmes d'optimisation ;
- utiliser la dérivée seconde pour étudier la convexité d'une fonction ;
- trouver un point d'inflexion et l'interpréter.
1 Rappels : dérivées et tangente
En 1ère, tu as appris à dériver les fonctions usuelles et à combiner ces dérivées.
| \(f(x)\) | \(k\) | \(x^n\) | \(\dfrac{1}{x}\) | \(\sqrt{x}\) | \(e^x\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(0\) | \(nx^{n-1}\) | \(-\dfrac{1}{x^2}\) | \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(e^x\) |
Opérations : \((u + v)' = u' + v'\) ; \((ku)' = ku'\) ; \((uv)' = u'v + uv'\) ; \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\).
La tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(a\) a pour équation \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\).
\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\).
Étape 1 — La dérivée. \(f'(x) = 3x^2 - 6x\).
Étape 2 — La tangente en \(1\). \(f(1) = 0\) et \(f'(1) = -3\), donc \(y = -3(x - 1) + 0\), soit \(\boxed{y = -3x + 3}\).
🔍 Vérification : la tangente passe par \((1 \,;\, 0)\) : \(-3 + 3 = 0\) ✓.
- ❌ \((uv)' = u'v'\). ✅ \((uv)' = u'v + uv'\).
- ❌ Oublier le carré au dénominateur dans \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'\).
Dérive \(f(x) = x\,e^x\).
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\(f'(x) = 1 \times e^x + x\,e^x = (1 + x)e^x\).
Dérivées usuelles et formules des opérations ; tangente \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\).
2 Dérivée de x ↦ g(ax + b)
Beaucoup de modèles contiennent une expression comme \(e^{-0{,}5t}\) ou \((2x - 1)^3\) : on dérive une fonction « décalée et étirée ».
Si \(g\) est dérivable, la fonction \(f : x \mapsto g(ax + b)\) est dérivable et \[f'(x) = a \times g'(ax + b).\] En particulier : \(\left(e^{ax + b}\right)' = a\,e^{ax + b}\) et \(\left((ax + b)^n\right)' = na(ax + b)^{n-1}\).
Étape 1 — Une exponentielle. \(f(x) = e^{-0{,}5x}\) : ici \(a = -0{,}5\), donc \(f'(x) = -0{,}5\,e^{-0{,}5x}\).
Étape 2 — Une puissance. \(g(x) = (2x - 1)^3\) : \(g'(x) = 3 \times 2 \times (2x - 1)^2 = 6(2x - 1)^2\).
🔍 Vérification : en \(x = 1\), \(g(x) = (2x - 1)^3\) vaut \(1\) et le taux \(\dfrac{g(1{,}001) - g(1)}{0{,}001} \approx 6{,}01\), proche de \(g'(1) = 6\) ✓.
- ❌ \(\left(e^{3x}\right)' = e^{3x}\). ✅ Il faut multiplier par \(3\) : \(3e^{3x}\).
- ❌ \(\left((5 - 2x)^4\right)' = 4(5 - 2x)^3\). ✅ On multiplie aussi par \(a = -2\) : \(-8(5 - 2x)^3\).
Dérive \(f(x) = \sqrt{4x + 1}\).
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\(f'(x) = 4 \times \dfrac{1}{2\sqrt{4x + 1}} = \dfrac{2}{\sqrt{4x + 1}}\).
\(\left(g(ax + b)\right)' = a\,g'(ax + b)\) ; on n'oublie pas le facteur \(a\).
3 Variations et optimisation
Le signe de la dérivée donne le sens de variation ; un changement de signe signale un maximum ou un minimum.
Sur un intervalle,
- si \(f' > 0\) (sauf en des points isolés), \(f\) est strictement croissante ; si \(f' < 0\), elle est strictement décroissante ;
- si \(f'\) s'annule en changeant de signe en \(a\), \(f\) admet un extremum en \(a\) (maximum si \(f'\) passe de \(+\) à \(-\)).
Exprimer la grandeur à optimiser en fonction d'une seule variable, préciser l'intervalle, dériver, étudier le signe de la dérivée, conclure avec le tableau de variations.
Dans un carton carré de \(30\) cm de côté, on découpe un carré de côté \(x\) à chaque coin, puis on replie les bords. Quelle valeur de \(x\) donne le plus grand volume ?
Étape 1 — La fonction. Le fond est un carré de côté \(30 - 2x\) et la hauteur vaut \(x\) : \(V(x) = x(30 - 2x)^2\), pour \(x \in [0 \,;\, 15]\).
Étape 2 — La dérivée. Produit : \(V'(x) = (30 - 2x)^2 + x \times 2 \times (-2)(30 - 2x) = (30 - 2x)(30 - 6x)\).
Étape 3 — Le signe. Sur \([0 \,;\, 15]\), \(30 - 2x \geqslant 0\) ; \(30 - 6x\) est positif avant \(5\), négatif après. \(V\) croît sur \([0 \,;\, 5]\) puis décroît.
Conclusion : volume maximal pour \(\boxed{x = 5 \text{ cm}}\) : \(V(5) = 5 \times 20^2 = 2\,000\) cm³.
🔍 Vérification : \(V(4) = 4 \times 22^2 = 1\,936\) et \(V(6) = 6 \times 18^2 = 1\,944\), tous deux inférieurs à \(2\,000\) ✓.
- ❌ Oublier l'intervalle d'étude. ✅ Ici, \(x\) ne peut pas dépasser \(15\) cm.
- ❌ Donner la valeur de \(x\) sans le maximum (ou l'inverse). ✅ On répond à la question posée, avec les deux si besoin.
Étudie les variations de \(f(x) = x^2 - 6x + 5\).
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\(f'(x) = 2x - 6\) : \(f\) décroît sur \(]-\infty \,;\, 3]\), croît sur \([3 \,;\, +\infty[\), minimum \(f(3) = -4\).
Signe de \(f'\) → variations ; changement de signe de \(f'\) → extremum ; optimiser = une variable, un intervalle, une dérivée, un tableau.
4 Dérivée seconde et convexité
Deux fonctions peuvent croître toutes les deux, l'une de plus en plus vite, l'autre de moins en moins vite. La dérivée seconde fait la différence.
- la dérivée seconde \(f''\) est la dérivée de \(f'\) ;
- \(f\) est convexe sur un intervalle si sa courbe est située au-dessus de ses tangentes (elle « tourne vers le haut ») ; elle est concave si sa courbe est en dessous de ses tangentes.
Sur un intervalle,
- \(f\) est convexe si, et seulement si, \(f'\) est croissante, c'est-à-dire si \(f'' \geqslant 0\) ;
- \(f\) est concave si, et seulement si, \(f'\) est décroissante, c'est-à-dire si \(f'' \leqslant 0\).
Une fonction convexe a aussi sa courbe en dessous de ses cordes (les segments qui joignent deux de ses points).
\(x \mapsto x^2\) et \(x \mapsto e^x\) sont convexes sur \(\mathbb{R}\) ; \(x \mapsto \sqrt{x}\) est concave sur \([0 \,;\, +\infty[\) ; \(x \mapsto x^3\) est concave sur \(]-\infty \,;\, 0]\) et convexe sur \([0 \,;\, +\infty[\).
Survole la courbe pour lire ses coordonnées. Clique ou touche le graphique pour zoomer et le déplacer.
\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\).
Étape 1 — La dérivée seconde. \(f'(x) = 3x^2 - 6x\), donc \(f''(x) = 6x - 6\).
Étape 2 — Le signe. \(f''(x) \leqslant 0\) pour \(x \leqslant 1\) et \(f''(x) \geqslant 0\) pour \(x \geqslant 1\).
Conclusion : \(f\) est concave sur \(]-\infty \,;\, 1]\) et convexe sur \([1 \,;\, +\infty[\).
🔍 Vérification : la pente \(f'\) décroît jusqu'à \(f'(1) = -3\), puis augmente ✓.
- ❌ « Convexe » veut dire « croissante ». ✅ Une fonction peut être décroissante et convexe, comme \(x \mapsto e^{-x}\).
- ❌ Étudier le signe de \(f'\) pour la convexité. ✅ C'est le signe de \(f''\).
\(f''(x) = 2x - 4\). Sur quel intervalle \(f\) est-elle convexe ?
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\(f''(x) \geqslant 0\) pour \(x \geqslant 2\) : \(f\) est convexe sur \([2 \,;\, +\infty[\) (et concave sur \(]-\infty \,;\, 2]\)).
Convexe ⟺ \(f'\) croissante ⟺ \(f'' \geqslant 0\) ⟺ courbe au-dessus de ses tangentes ; concave : le contraire.
5 Point d'inflexion
Le point où la courbe passe de « tourner vers le bas » à « tourner vers le haut » a une signification forte dans les modèles.
Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente : la fonction change de convexité.
Si \(f''\) s'annule en changeant de signe en \(a\), le point de la courbe d'abscisse \(a\) est un point d'inflexion. En ce point, \(f'\) atteint un extremum : la croissance est la plus rapide (ou la plus lente).
Survole la courbe pour lire ses coordonnées. Clique ou touche le graphique pour zoomer et le déplacer.
Le nombre de malades (en milliers) est modélisé par \(N(t) = -t^3 + 9t^2\), pour \(t \in [0 \,;\, 6]\) (en semaines).
Étape 1 — Les dérivées. \(N'(t) = -3t^2 + 18t\) (vitesse de propagation) et \(N''(t) = -6t + 18\).
Étape 2 — Le signe de \(N''\). \(N''(t) \geqslant 0\) pour \(t \leqslant 3\) et \(N''(t) \leqslant 0\) pour \(t \geqslant 3\) : changement de signe en \(3\).
Conclusion : point d'inflexion en \(t = 3\). C'est le moment où l'épidémie progresse le plus vite : \(N'(3) = 27\) milliers de malades par semaine. Après, elle progresse encore, mais de moins en moins vite.
🔍 Vérification : \(N'(2) = 24\) et \(N'(4) = 24\), tous deux inférieurs à \(N'(3) = 27\) ✓.
- ❌ « \(f''(a) = 0\), donc point d'inflexion. » ✅ Il faut que \(f''\) change de signe : pour \(f(x) = x^4\), \(f''(0) = 0\) mais \(f\) est convexe partout.
- ❌ Confondre le maximum de \(N\) et le maximum de \(N'\). ✅ Le point d'inflexion est le maximum de la vitesse, pas de la quantité.
Trouve le point d'inflexion de \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 1\).
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\(f''(x) = 6x - 12\) change de signe en \(2\) ; \(f(2) = 8 - 24 + 1 = -15\) : point d'inflexion \((2 \,;\, -15)\).
Point d'inflexion ⟺ \(f''\) s'annule en changeant de signe ; la courbe traverse sa tangente ; la vitesse \(f'\) y est extrémale.
Quiz du cours
Tu as lu le cours ? Vérifie en 7 questions que tu as retenu l’essentiel. Chaque réponse est corrigée tout de suite, sans chronomètre.
Quelle est la dérivée de \(f(x) = x\,e^x\) ?
\((uv)' = u'v + uv' = e^x + x\,e^x\).
Quelle est la dérivée de \(f(x) = e^{-0{,}5x}\) ?
\(\left(e^{ax + b}\right)' = a\,e^{ax + b}\) avec \(a = -0{,}5\).
Dans un carton carré de \(30\) cm de côté, on découpe un carré de côté \(x\) à chaque coin pour former une boîte. Quelle valeur de \(x\) (en cm) rend le volume maximal ?
Réponse attendue : \(5\)
\(V'(x) = (30 - 2x)(30 - 6x)\) change de signe en \(x = 5\).
Vrai ou faux : une fonction convexe est forcément croissante.
\(x \mapsto e^{-x}\) est convexe et décroissante. Convexe signifie que la dérivée est croissante.
Si \(f''(x) \geqslant 0\) sur un intervalle, alors sur cet intervalle :
\(f'' \geqslant 0\) signifie que \(f'\) est croissante : \(f\) est convexe.
Quelle est l'abscisse du point d'inflexion de la courbe de \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 1\) ?
Réponse attendue : \(2\)
\(f''(x) = 6x - 12\) s'annule en changeant de signe en \(x = 2\).
Vrai ou faux : si \(f''(a) = 0\), la courbe a forcément un point d'inflexion en \(a\).
Il faut que \(f''\) change de signe : pour \(f(x) = x^4\), \(f''(0) = 0\) mais \(f\) est convexe partout.
À revoir dans le cours :
Questions fréquentes
Comment trouver l'équation d'une tangente ?
La tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(a\) a pour équation \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\). Il suffit de calculer \(f(a)\) et \(f'(a)\), puis de développer.
Comment dériver une fonction de la forme g(ax + b) ?
On dérive \(g\), on remplace \(x\) par \(ax + b\), puis on multiplie par \(a\) : \(\left(g(ax + b)\right)' = a\,g'(ax + b)\). Par exemple, la dérivée de \(e^{5x + 1}\) est \(5e^{5x + 1}\).
Comment résoudre un problème d'optimisation ?
On exprime la grandeur à rendre maximale ou minimale en fonction d'une seule variable, on précise l'intervalle, puis on étudie le signe de la dérivée. Le tableau de variations donne la valeur qui réalise l'optimum.
Que veut dire qu'une fonction est convexe ?
Sa courbe est au-dessus de toutes ses tangentes : elle « tourne vers le haut ». C'est le cas quand la dérivée seconde est positive, c'est-à-dire quand la dérivée est croissante.
À quoi correspond un point d'inflexion dans un problème concret ?
C'est le moment où la vitesse d'évolution est la plus grande (ou la plus petite) : par exemple le pic d'une épidémie, quand le nombre de malades augmente le plus vite. Après ce point, la grandeur continue d'augmenter, mais de moins en moins vite.
Fiche mémo
L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.
L'essentiel
| Notion | À savoir |
|---|---|
| Opérations | \((uv)' = u'v + uv'\) ; \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\) |
| Tangente | \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\) |
| Fonction décalée | \(\left(g(ax + b)\right)' = a\,g'(ax + b)\) ; \(\left(e^{ax + b}\right)' = a\,e^{ax + b}\) |
| Variations | signe de \(f'\) ; extremum quand \(f'\) change de signe |
| Convexe | \(f'' \geqslant 0\) ; \(f'\) croissante ; courbe au-dessus des tangentes, en dessous des cordes |
| Concave | \(f'' \leqslant 0\) ; \(f'\) décroissante ; courbe en dessous des tangentes |
| Point d'inflexion | \(f''\) s'annule en changeant de signe ; la courbe traverse sa tangente |
Pièges à éviter
- Ne pas oublier le facteur \(a\) dans \(\left(g(ax + b)\right)'\).
- Convexe ne veut pas dire croissante.
- \(f''(a) = 0\) ne suffit pas : il faut un changement de signe.
Contrôle demain ? Prépare ton plan de révision de 30 minutes sur ce chapitre →
Niveau 1Facile (Exercices 1 à 11)
Dérive : \(f(x) = 4x^3 - 2x + 7\) ; \(g(x) = \dfrac{1}{x}\) ; \(h(x) = \sqrt{x}\) ; \(k(x) = 3e^x\).
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tableau des dérivées usuelles.
\(f'(x) = 12x^2 - 2\) ; \(g'(x) = -\dfrac{1}{x^2}\) ; \(h'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) ; \(k'(x) = 3e^x\).
🔍 Vérification : la constante \(7\) disparaît en dérivant ✓
Dérive \(f(x) = x\,e^x\).
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\((uv)' = u'v + uv'\) avec \(u = x\) et \(v = e^x\).
\(f'(x) = e^x + x\,e^x = \boxed{(1 + x)e^x}\).
🔍 Vérification : \(f'(0) = 1\) ; le taux \(\dfrac{f(0{,}001) - f(0)}{0{,}001} \approx 1{,}001\) ✓
Dérive \(f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}\) pour \(x \neq 3\).
Voir la correction›
\(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\).
\(f'(x) = \dfrac{2(x - 3) - (2x + 1)}{(x - 3)^2} = \boxed{\dfrac{-7}{(x - 3)^2}}\).
🔍 Vérification : \(f'(x) < 0\) : \(f\) décroît sur chaque intervalle, cohérent avec l'hyperbole ✓
Donne l'équation de la tangente à la courbe de \(f(x) = x^2 - 4x + 1\) au point d'abscisse \(3\).
Voir la correction›
\(y = f'(3)(x - 3) + f(3)\).
\(f(3) = -2\) et \(f'(x) = 2x - 4\), donc \(f'(3) = 2\) : \(y = 2(x - 3) - 2\), soit \(\boxed{y = 2x - 8}\).
🔍 Vérification : en \(x = 3\), \(2 \times 3 - 8 = -2 = f(3)\) ✓
Dérive : \(f(x) = e^{3x - 1}\) ; \(g(x) = (5 - 2x)^4\) ; \(h(x) = \sqrt{4x + 1}\).
Voir la correction›
\(\left(g(ax + b)\right)' = a\,g'(ax + b)\).
- \(f'(x) = 3e^{3x - 1}\) ;
- \(g'(x) = 4 \times (-2)(5 - 2x)^3 = -8(5 - 2x)^3\) ;
- \(h'(x) = 4 \times \dfrac{1}{2\sqrt{4x + 1}} = \dfrac{2}{\sqrt{4x + 1}}\).
🔍 Vérification : pour \(g\), le facteur \(a = -2\) est bien présent ✓
Étudie les variations de \(f(x) = x^2 - 6x + 5\) et donne son minimum.
Voir la correction›
signe de \(f'(x) = 2x - 6\).
\(f\) décroît sur \(]-\infty \,;\, 3]\) et croît sur \([3 \,;\, +\infty[\). Minimum : \(f(3) = 9 - 18 + 5 = \boxed{-4}\).
🔍 Vérification : sommet de la parabole en \(x = -\dfrac{b}{2a} = 3\) ✓
Calcule \(f'\) et \(f''\) pour \(f(x) = x^4 - 2x^3\).
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dériver deux fois.
\(f'(x) = 4x^3 - 6x^2\) et \(f''(x) = 12x^2 - 12x\).
🔍 Vérification : \(f''(x) = 12x(x - 1)\) s'annule en \(0\) et en \(1\) ✓
Pour chaque fonction, dis si elle est convexe, concave, ou ni l'une ni l'autre sur l'intervalle indiqué : \(x^2\) sur \(\mathbb{R}\) ; \(e^x\) sur \(\mathbb{R}\) ; \(\sqrt{x}\) sur \([0 \,;\, +\infty[\) ; \(x^3\) sur \(\mathbb{R}\).
Voir la correction›
signe de la dérivée seconde.
- \(x^2\) : \(f'' = 2 > 0\), convexe.
- \(e^x\) : \(f'' = e^x > 0\), convexe.
- \(\sqrt{x}\) : concave (sa pente diminue).
- \(x^3\) : \(f'' = 6x\) change de signe : ni l'une ni l'autre sur \(\mathbb{R}\) (concave puis convexe).
🔍 Vérification : \(x^3\) a un point d'inflexion en \(0\) ✓
On sait que \(f''(x) = 2x - 4\). Sur quels intervalles \(f\) est-elle convexe ? concave ?
Voir la correction›
signe de \(f''\).
\(2x - 4 \geqslant 0 \iff x \geqslant 2\) : \(f\) est convexe sur \([2 \,;\, +\infty[\) et concave sur \(]-\infty \,;\, 2]\).
🔍 Vérification : en \(x = 2\), la courbe change de convexité (point d'inflexion) ✓
Trouve le point d'inflexion de la courbe de \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 1\).
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\(f''\) s'annule en changeant de signe.
\(f''(x) = 6x - 12\), négatif avant \(2\), positif après. \(f(2) = -15\) : point d'inflexion \(\boxed{(2 \,;\, -15)}\).
🔍 Vérification : \(8 - 24 + 1 = -15\) ✓
a) Donne l'équation de la tangente à la courbe de l'exponentielle en \(0\).
b) Déduis-en, grâce à la convexité, que \(e^x \geqslant 1 + x\) pour tout réel \(x\).
Voir la correction›
une fonction convexe est au-dessus de ses tangentes.
a) \(\exp(0) = 1\) et \(\exp'(0) = 1\) : \(y = x + 1\).
b) L'exponentielle est convexe sur \(\mathbb{R}\), donc sa courbe est au-dessus de cette tangente : \(e^x \geqslant 1 + x\).
🔍 Vérification : \(e^{1} \approx 2{,}718 \geqslant 2\) et \(e^{-1} \approx 0{,}368 \geqslant 0\) ✓
Niveau 2Intermédiaire (Exercices 12 à 24)
Soit \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\) sur \([-1 \,;\, 3]\).
a) Étudie les variations de \(f\) et dresse son tableau de variations.
b) Étudie sa convexité et donne son point d'inflexion.
Voir la correction›
signe de \(f'\), puis signe de \(f''\).
a) \(f'(x) = 3x(x - 2)\) : positive sur \([-1 \,;\, 0]\), négative sur \([0 \,;\, 2]\), positive sur \([2 \,;\, 3]\).
| \(x\) | \(-1\) | \(0\) | \(2\) | \(3\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(f(x)\) | \(-2\) | ↗︎ | \(2\) | ↘︎ | \(-2\) | ↗︎ | \(2\) |
b) \(f''(x) = 6x - 6\) : concave sur \([-1 \,;\, 1]\), convexe sur \([1 \,;\, 3]\) ; point d'inflexion \((1 \,;\, 0)\).
🔍 Vérification : \(f(3) = 27 - 27 + 2 = 2\) ✓
Soit \(f(x) = (x - 1)e^x\).
a) Montre que \(f'(x) = x\,e^x\) et étudie les variations de \(f\).
b) Calcule \(f''(x)\) et trouve le point d'inflexion de la courbe.
Voir la correction›
produit, puis signe.
a) \(f'(x) = e^x + (x - 1)e^x = x\,e^x\), du signe de \(x\) : \(f\) décroît sur \(]-\infty \,;\, 0]\), croît sur \([0 \,;\, +\infty[\), minimum \(f(0) = -1\).
b) \(f''(x) = e^x + x\,e^x = (x + 1)e^x\), qui change de signe en \(-1\) : point d'inflexion \((-1 \,;\, -2e^{-1}) \approx (-1 \,;\, -0{,}74)\).
🔍 Vérification : \(f(-1) = -2e^{-1}\) ✓
Dans un carton carré de \(24\) cm de côté, on découpe un carré de côté \(x\) à chaque coin pour former une boîte.
a) Exprime le volume \(V(x)\).
b) Trouve la valeur de \(x\) qui rend le volume maximal, et ce volume.
Voir la correction›
comme dans le cours.
a) \(V(x) = x(24 - 2x)^2\) pour \(x \in [0 \,;\, 12]\).
b) \(V'(x) = (24 - 2x)(24 - 6x)\) : \(V\) croît sur \([0 \,;\, 4]\) et décroît sur \([4 \,;\, 12]\). Maximum pour \(\boxed{x = 4 \text{ cm}}\) : \(V(4) = 4 \times 16^2 = 1\,024\) cm³.
🔍 Vérification : pour un carton de côté \(c\), l'optimum est \(x = \dfrac{c}{6}\) ; ici \(\dfrac{24}{6} = 4\) ✓
Une entreprise fabrique \(x\) centaines d'objets (\(0 \leqslant x \leqslant 10\)). Son bénéfice, en milliers d'euros, est \(B(x) = -x^3 + 15x^2 - 48x + 10\).
a) Montre que \(B'(x) = -3(x - 2)(x - 8)\).
b) Pour quelle production le bénéfice est-il maximal ? Combien vaut-il ?
Voir la correction›
signe de \(B'\), puis comparer avec les bornes.
a) \(B'(x) = -3x^2 + 30x - 48 = -3(x^2 - 10x + 16) = -3(x - 2)(x - 8)\).
b) \(B\) décroît sur \([0 \,;\, 2]\), croît sur \([2 \,;\, 8]\), décroît sur \([8 \,;\, 10]\). \(B(8) = 74\) et \(B(0) = 10\) : maximum pour \(\boxed{800 \text{ objets}}\), soit \(74\,000\) €.
🔍 Vérification : \(B(10) = 30 < 74\) ✓
Une quantité vaut \(f(t) = 100e^{-0{,}2t}\).
a) Calcule \(f'\) et \(f''\).
b) Montre que \(f\) est décroissante et convexe. Interprète.
Voir la correction›
dériver \(e^{-0{,}2t}\).
a) \(f'(t) = -20e^{-0{,}2t}\) et \(f''(t) = 4e^{-0{,}2t}\).
b) \(f' < 0\) : décroissante. \(f'' > 0\) : convexe. La quantité diminue de moins en moins vite.
🔍 Vérification : \(f'(0) = -20\) et \(f'(10) \approx -2{,}7\) : la pente se rapproche de \(0\) ✓
Le nombre de malades est \(N(t) = -2t^3 + 30t^2\) pour \(t \in [0 \,;\, 10]\) (jours).
a) Calcule la vitesse de propagation \(N'(t)\).
b) Trouve le point d'inflexion. Quand l'épidémie progresse-t-elle le plus vite ?
Voir la correction›
maximum de la vitesse = point d'inflexion.
a) \(N'(t) = -6t^2 + 60t\).
b) \(N''(t) = -12t + 60\) change de signe en \(t = 5\) : point d'inflexion. L'épidémie progresse le plus vite au \(5^{\text{e}}\) jour : \(N'(5) = 150\) malades par jour.
🔍 Vérification : \(N'(4) = 144\) et \(N'(6) = 144\) ✓
a) Donne la tangente à la courbe de \(f(x) = x^3\) au point d'abscisse \(1\).
b) Montre que \(x^3 - 3x + 2 = (x - 1)^2(x + 2)\) et déduis-en la position de la courbe par rapport à cette tangente sur \([-2 \,;\, +\infty[\).
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signe de la différence courbe − tangente.
a) \(f(1) = 1\) et \(f'(1) = 3\) : \(y = 3x - 2\).
b) En développant, \((x - 1)^2(x + 2) = x^3 - 3x + 2\). Or \(x^3 - (3x - 2) = (x - 1)^2(x + 2) \geqslant 0\) pour \(x \geqslant -2\) : la courbe est au-dessus de la tangente sur \([-2 \,;\, +\infty[\).
🔍 Vérification : \(x = 0\) : \(0 \geqslant -2\) ✓
a) Justifie que \(x \mapsto \sqrt{x}\) est concave sur \([0 \,;\, +\infty[\).
b) Quelle est la corde qui joint les points d'abscisses \(0\) et \(1\) ? Déduis-en que \(\sqrt{x} \geqslant x\) sur \([0 \,;\, 1]\).
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une fonction concave est au-dessus de ses cordes.
a) Sa dérivée \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) est décroissante (le dénominateur augmente) : \(\sqrt{x}\) est concave.
b) La corde passe par \((0 \,;\, 0)\) et \((1 \,;\, 1)\) : c'est \(y = x\). La courbe d'une fonction concave est au-dessus de ses cordes, donc \(\sqrt{x} \geqslant x\) sur \([0 \,;\, 1]\).
🔍 Vérification : \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5 \geqslant 0{,}25\) ✓
Soit \(f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}\).
a) Montre que \(f'(x) = \dfrac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}\).
b) Donne le maximum et le minimum de \(f\).
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formule du quotient.
a) \(f'(x) = \dfrac{(x^2 + 1) - x \times 2x}{(x^2 + 1)^2} = \dfrac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}\).
b) \(f'\) est du signe de \(1 - x^2\) : \(f\) décroît, croît sur \([-1 \,;\, 1]\), puis décroît. Minimum \(f(-1) = -\dfrac{1}{2}\), maximum \(f(1) = \boxed{\dfrac{1}{2}}\).
🔍 Vérification : \(f(x) \to 0\) en \(\pm\infty\), donc ces extremums sont bien globaux ✓
Le coût total de production est \(C(x) = x^2 + 100\) (en euros, \(x > 0\)). Le coût moyen est \(M(x) = \dfrac{C(x)}{x}\).
a) Montre que \(M(x) = x + \dfrac{100}{x}\).
b) Pour quelle production le coût moyen est-il minimal ?
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dériver \(M\).
a) \(M(x) = \dfrac{x^2 + 100}{x} = x + \dfrac{100}{x}\).
b) \(M'(x) = 1 - \dfrac{100}{x^2} = \dfrac{x^2 - 100}{x^2}\) : négatif pour \(x < 10\), positif après. Coût moyen minimal pour \(\boxed{x = 10}\) : \(M(10) = 20\) €.
🔍 Vérification : \(M(5) = 25\) et \(M(20) = 25\) ✓
Le chiffre d'affaires \(f(t)\) d'un site web est croissant et convexe sur \([0 \,;\, 2]\), puis croissant et concave sur \([2 \,;\, 5]\). Décris l'évolution des ventes en une phrase, et dis ce qui se passe en \(t = 2\).
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convexe = la croissance accélère ; concave = elle ralentit.
Les ventes augmentent de plus en plus vite jusqu'à \(t = 2\), puis continuent d'augmenter de moins en moins vite. En \(t = 2\), il y a un point d'inflexion : c'est le moment où les ventes progressent le plus vite.
🔍 Vérification : \(f'\) est croissante sur \([0 \,;\, 2]\) et décroissante sur \([2 \,;\, 5]\), donc maximale en \(2\) ✓
Soit \(f(x) = 5 - 3e^{-2x}\).
a) Calcule \(f'(x)\) et \(f''(x)\).
b) Montre que \(f\) est croissante et concave, et donne sa limite en \(+\infty\).
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dériver \(e^{-2x}\).
a) \(f'(x) = 6e^{-2x}\) et \(f''(x) = -12e^{-2x}\).
b) \(f' > 0\) : croissante ; \(f'' < 0\) : concave. \(e^{-2x} \to 0\), donc \(f(x) \to 5\) : la croissance ralentit et sature à \(5\).
🔍 Vérification : \(f(0) = 2\) et \(f(3) \approx 4{,}99\) ✓
La position d'un mobile est \(x(t) = -t^3 + 6t^2\) (en mètres, \(t\) en secondes, \(0 \leqslant t \leqslant 4\)).
a) Calcule la vitesse \(v(t) = x'(t)\) et l'accélération \(a(t) = v'(t)\).
b) À quel instant la vitesse est-elle maximale ? Que vaut-elle ?
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maximum de \(v\) là où \(a\) change de signe.
a) \(v(t) = -3t^2 + 12t\) et \(a(t) = -6t + 12\).
b) \(a(t) > 0\) avant \(2\), \(< 0\) après : la vitesse est maximale à \(\boxed{t = 2 \text{ s}}\), avec \(v(2) = 12\) m/s.
🔍 Vérification : \(v(1) = 9\) et \(v(3) = 9\) ✓
Niveau 3Difficile/Expert (Exercices 25 à 30)
Une canette cylindrique doit contenir \(330\) cm³. On note \(r\) son rayon et \(h\) sa hauteur (en cm).
a) Montre que \(h = \dfrac{330}{\pi r^2}\) et que sa surface vaut \(S(r) = 2\pi r^2 + \dfrac{660}{r}\).
b) Calcule \(S'(r)\) et montre que \(S\) est minimale quand \(r^3 = \dfrac{165}{\pi}\).
c) Donne \(r\) et \(h\) au millimètre. Que remarques-tu ?
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une seule variable, \(r\).
a) Volume : \(\pi r^2 h = 330\), donc \(h = \dfrac{330}{\pi r^2}\). Surface : deux disques et un rectangle, \(S = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r^2 + \dfrac{660}{r}\).
b) \(S'(r) = 4\pi r - \dfrac{660}{r^2} = \dfrac{4\pi r^3 - 660}{r^2}\), qui s'annule pour \(r^3 = \dfrac{165}{\pi}\), négatif avant, positif après : c'est un minimum.
c) \(r \approx 3{,}7\) cm et \(h \approx 7{,}5\) cm : la hauteur est égale au diamètre (\(h = 2r\)).
🔍 Vérification : \(\pi \times 3{,}745^2 \times 7{,}49 \approx 330\) ✓
Les vraies canettes sont plus hautes que ce modèle : leur forme tient aussi compte de la prise en main et de l'épaisseur du métal.
Soit \(g(x) = e^x - 1 - x\).
a) Étudie les variations de \(g\).
b) Déduis-en que \(e^x \geqslant 1 + x\) pour tout réel \(x\) (sans utiliser la convexité).
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étudier le signe de \(g\) grâce à son minimum.
a) \(g'(x) = e^x - 1\) : négative pour \(x < 0\), positive pour \(x > 0\). \(g\) admet un minimum en \(0\) : \(g(0) = 0\).
b) \(g(x) \geqslant g(0) = 0\) pour tout \(x\), donc \(e^x \geqslant 1 + x\).
🔍 Vérification : on retrouve le résultat de l'exercice 11 ✓
On cherche \(f(x) = x^3 + ax^2 + bx\) dont la courbe a un point d'inflexion en \(x = 1\), avec une tangente horizontale en ce point.
a) Traduis ces conditions sur \(f''(1)\) et \(f'(1)\).
b) Trouve \(a\) et \(b\), et vérifie que \(f(x) = (x - 1)^3 + 1\).
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deux conditions, deux inconnues.
a) Point d'inflexion : \(f''(1) = 0\) ; tangente horizontale : \(f'(1) = 0\).
b) \(f''(x) = 6x + 2a\), donc \(6 + 2a = 0\) : \(a = -3\). \(f'(x) = 3x^2 - 6x + b\), donc \(3 - 6 + b = 0\) : \(b = 3\). Et \((x - 1)^3 + 1 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 + 1 = x^3 - 3x^2 + 3x\) ✓.
🔍 Vérification : \(f''(x) = 6x - 6\) change bien de signe en \(1\) ✓
Une fonction convexe vérifie \(f\left(\dfrac{x + y}{2}\right) \leqslant \dfrac{f(x) + f(y)}{2}\) (la courbe est sous la corde).
a) Illustre cette propriété avec l'exponentielle, \(x = 0\) et \(y = 2\).
b) Déduis-en que \(e^{\frac{x + y}{2}} \leqslant \dfrac{e^x + e^y}{2}\) pour tous réels \(x\) et \(y\).
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la courbe convexe est sous la corde.
a) \(f(1) = e \approx 2{,}718\) et \(\dfrac{f(0) + f(2)}{2} = \dfrac{1 + e^2}{2} \approx 4{,}19\) : on a bien \(2{,}718 \leqslant 4{,}19\).
b) L'exponentielle est convexe, donc pour tous \(x\) et \(y\) : \(e^{\frac{x + y}{2}} \leqslant \dfrac{e^x + e^y}{2}\).
🔍 Vérification : avec \(a = e^x\) et \(b = e^y\), on retrouve \(\sqrt{ab} \leqslant \dfrac{a + b}{2}\) ✓
Un agriculteur utilise \(x\) tonnes d'engrais ; sa récolte vaut \(P(x) = 10\sqrt{x}\) tonnes.
a) Calcule \(P'(x)\), puis \(P'(4)\) et \(P'(16)\). Interprète.
b) Montre que \(P\) est concave. Que signifie cette concavité pour l'agriculteur ?
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\(P'\) mesure ce que rapporte une tonne d'engrais en plus.
a) \(P'(x) = \dfrac{5}{\sqrt{x}}\) ; \(P'(4) = 2{,}5\) et \(P'(16) = 1{,}25\). Une tonne supplémentaire rapporte environ \(2{,}5\) tonnes de récolte quand on en met \(4\), mais seulement \(1{,}25\) quand on en met \(16\).
b) \(P'\) est décroissante (ou \(P''(x) = -\dfrac{5}{2x\sqrt{x}} < 0\)) : \(P\) est concave. Chaque tonne d'engrais ajoutée rapporte de moins en moins : ce sont des rendements décroissants.
🔍 Vérification : \(P(4) = 20\) et \(P(16) = 40\) : quatre fois plus d'engrais pour seulement deux fois plus de récolte ✓
Soit \(f(x) = (x^2 - 2x)e^x\).
a) Montre que \(f'(x) = (x^2 - 2)e^x\) et étudie les variations de \(f\).
b) Montre que \(f''(x) = (x^2 + 2x - 2)e^x\) et trouve les abscisses des points d'inflexion.
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produit, puis signe d'un trinôme.
a) \(f'(x) = (2x - 2)e^x + (x^2 - 2x)e^x = (x^2 - 2)e^x\), du signe de \(x^2 - 2\) : \(f\) croît sur \(]-\infty \,;\, -\sqrt{2}]\), décroît sur \([-\sqrt{2} \,;\, \sqrt{2}]\), croît ensuite. Maximum local \(f(-\sqrt{2}) \approx 1{,}17\), minimum local \(f(\sqrt{2}) \approx -3{,}41\).
b) \(f''(x) = 2x\,e^x + (x^2 - 2)e^x = (x^2 + 2x - 2)e^x\). Le trinôme a pour discriminant \(12\) et pour racines \(-1 - \sqrt{3} \approx -2{,}73\) et \(-1 + \sqrt{3} \approx 0{,}73\), où il change de signe : deux points d'inflexion.
🔍 Vérification : \((-1 + \sqrt{3})^2 + 2(-1 + \sqrt{3}) - 2 = 4 - 2\sqrt{3} - 2 + 2\sqrt{3} - 2 = 0\) ✓
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