Une population augmente de $5\,\%$ par an. Quel est le modèle adapté ?

Une suite géométrique de raison $1{,}05$

Une suite arithmétique de raison $5$

Une suite géométrique de raison $0{,}05$

Une suite arithmétique de raison $1{,}05$

Tle complémentaires · Chapitre 1 · Analyse

Suites et modèles d'évolution

30 exercices corrigésCours mis à jour le 14 novembre 2026

À quoi ça sert ?

Combien d'habitants aura une ville dans vingt ans ? Combien vaudra une épargne placée à $3\,\%$ ? Quelle quantité de médicament reste dans le sang après plusieurs prises ? Toutes ces questions se traitent avec des suites : on décrit ce qui se passe d'une étape à la suivante, et on en déduit l'évolution à long terme. Avec ce chapitre, tu sauras :

choisir entre un modèle linéaire (suite arithmétique) et un modèle exponentiel (suite géométrique) ;
deviner la limite d'une suite et interpréter ce qu'elle signifie ;
étudier une suite arithmético-géométrique, le modèle des évolutions « avec apport régulier » ;
trouver un seuil avec un tableau de valeurs ou un programme, et calculer une somme de termes.

1 Modèle linéaire, modèle exponentiel

Une grandeur peut augmenter de la même quantité à chaque étape, ou du même pourcentage. Ce sont deux modèles très différents à long terme.

Rappels

une suite est arithmétique de raison $r$ si $u_{n+1} = u_n + r$ ; alors $u_n = u_0 + nr$ (modèle linéaire) ;
une suite est géométrique de raison $q$ si $u_{n+1} = q \times u_n$ ; alors $u_n = u_0 \times q^n$ (modèle exponentiel) ;
une évolution de $t\,\%$ par étape correspond à une suite géométrique de raison $q = 1 + \dfrac{t}{100}$ (ou $1 - \dfrac{t}{100}$ pour une baisse).

Exemple guidé — deux villes

Deux villes ont $2\,000$ habitants en 2026. La ville A gagne $150$ habitants par an, la ville B gagne $5\,\%$ par an.

Étape 1 — Modéliser. A : $a_n = 2\,000 + 150n$ (arithmétique). B : $b_n = 2\,000 \times 1{,}05^n$ (géométrique).

Étape 2 — Dans $10$ ans. $a_{10} = 3\,500$ et $b_{10} \approx 3\,258$ : la ville A est devant.

Étape 3 — Dans $30$ ans. $a_{30} = 6\,500$ et $b_{30} \approx 8\,644$ : la ville B est largement devant.

🔍 Vérification : au tableau de valeurs, $b_n$ dépasse $a_n$ à partir de $n = 17$ ($b_{17} \approx 4\,584 > a_{17} = 4\,550$) ✓.

À retenir sur la forme

Une croissance exponentielle finit toujours par dépasser une croissance linéaire, même si elle démarre plus lentement.

Erreurs fréquentes

❌ « $+5\,\%$ par an pendant $10$ ans, c'est $+50\,\%$. » ✅ Les pourcentages se multiplient : $1{,}05^{10} \approx 1{,}63$, soit environ $+63\,\%$.
❌ Écrire $u_n = u_0 \times q^{n+1}$ quand on part de $u_0$. ✅ L'exposant est le nombre d'étapes : $u_n = u_0 \times q^n$.

À toi !

Une épargne de $50$ € augmente de $2\,\%$ par an. Combien vaut-elle au bout de $3$ ans ?

Voir la réponseMasquer la réponse

$50 \times 1{,}02^3 \approx 53{,}06$ €.

À retenir

Même quantité ajoutée → arithmétique, $u_n = u_0 + nr$ ; même pourcentage → géométrique, $u_n = u_0 \times q^n$ avec $q = 1 + \dfrac{t}{100}$.

2 Limite d'une suite

Que devient la suite quand $n$ devient très grand ? Elle peut s'approcher d'un nombre, ou grandir sans limite.

Définitions (intuitives)

$u_n$ tend vers le réel $\ell$ si les termes finissent par être aussi proches de $\ell$ qu'on veut : on écrit $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \ell$ et on dit que la suite converge ;
$u_n$ tend vers $+\infty$ si les termes finissent par dépasser n'importe quel nombre, aussi grand soit-il.

Limite de $q^n$

(pour $q > 0$) :

si $0 < q < 1$, alors $q^n$ tend vers $0$ ;
si $q > 1$, alors $q^n$ tend vers $+\infty$ ;
si $q = 1$, alors $q^n = 1$ pour tout $n$.

L'intuition

$0{,}8^{10} \approx 0{,}107$, $0{,}8^{20} \approx 0{,}012$ : multiplier sans cesse par $0{,}8$ écrase le nombre. À l'inverse, $1{,}2^{20} \approx 38{,}3$ : multiplier par $1{,}2$ le fait exploser.

Exemple guidé

$u_n = 100 \times 0{,}9^n + 20$.

Étape 1 — La puissance. $0 < 0{,}9 < 1$, donc $0{,}9^n$ tend vers $0$.

Étape 2 — Le reste. $100 \times 0{,}9^n$ tend vers $0$, donc $u_n$ tend vers $\boxed{20}$.

🔍 Vérification : $u_{50} = 100 \times 0{,}9^{50} + 20 \approx 20{,}5$ : on est déjà tout près de $20$ ✓.

Erreurs fréquentes

❌ « La suite est croissante, donc elle tend vers $+\infty$. » ✅ Une suite croissante peut converger : $u_n = 5 - 0{,}5^n$ croît et tend vers $5$.
❌ Confondre « $q^n$ tend vers $0$ » et « $q^n$ vaut $0$ ». ✅ $q^n$ ne vaut jamais $0$ ; il s'en approche.

À toi !

Quelle est la limite de $u_n = 4 + 3 \times 0{,}5^n$ ? Et de $v_n = 2 \times 1{,}1^n$ ?

Voir la réponseMasquer la réponse

$u_n$ tend vers $4$ ; $v_n$ tend vers $+\infty$.

À retenir

$0 < q < 1$ : $q^n \to 0$ ; $q > 1$ : $q^n \to +\infty$. La limite décrit le comportement à long terme du modèle.

3 Suites arithmético-géométriques

Beaucoup de situations combinent un pourcentage et un apport fixe : un abonnement qui perd $10\,\%$ de ses clients mais en gagne $300$ par an, un médicament éliminé en partie mais perfusé régulièrement…

Définition

Une suite est arithmético-géométrique si, pour tout $n$, $u_{n+1} = a\,u_n + b$, avec $a \neq 1$.

Propriété

On note $\ell = \dfrac{b}{1 - a}$ le réel tel que $\ell = a\ell + b$. Alors la suite $v_n = u_n - \ell$ est géométrique de raison $a$, et $u_n = \ell + (u_0 - \ell) \times a^n.$ Si $0 < a < 1$, la suite $(u_n)$ converge vers $\ell$ : c'est l'état d'équilibre.

Pourquoi c'est vrai ?

L'idée en une phrase : on mesure l'écart à l'équilibre, et cet écart est multiplié par $a$ à chaque étape.

Voir la démonstration pas à pasMasquer la démonstration

Étape 1 — L'écart. $v_{n+1} = u_{n+1} - \ell = (a\,u_n + b) - (a\ell + b) = a(u_n - \ell) = a\,v_n$ : $(v_n)$ est géométrique de raison $a$.

Étape 2 — La formule. $v_n = v_0 \times a^n$, donc $u_n = \ell + v_n = \ell + (u_0 - \ell)\,a^n$. Si $0 < a < 1$, $a^n \to 0$ et $u_n \to \ell$ ✓.

Exemple guidé — des abonnés

Une plateforme a $1\,000$ abonnés. Chaque année, $10\,\%$ des abonnés partent et $300$ nouveaux arrivent.

Étape 1 — La relation. Garder $90\,\%$ puis ajouter $300$ : $u_{n+1} = 0{,}9\,u_n + 300$, avec $u_0 = 1\,000$.

Étape 2 — L'équilibre. $\ell = \dfrac{300}{1 - 0{,}9} = \dfrac{300}{0{,}1} = 3\,000$.

Étape 3 — La formule. $u_n = 3\,000 + (1\,000 - 3\,000) \times 0{,}9^n = 3\,000 - 2\,000 \times 0{,}9^n$.

Conclusion : $0{,}9^n \to 0$, donc le nombre d'abonnés tend vers $\boxed{3\,000}$.

🔍 Vérification : $u_1 = 0{,}9 \times 1\,000 + 300 = 1\,200$ et la formule donne $3\,000 - 2\,000 \times 0{,}9 = 1\,200$ ✓.

Erreurs fréquentes

❌ Croire que $(u_n)$ est géométrique. ✅ C'est $v_n = u_n - \ell$ qui l'est.
❌ Oublier de vérifier la formule avec $u_0$ et $u_1$. ✅ Un calcul rapide évite une erreur de signe.

À toi !

Quel est l'équilibre de la suite $u_{n+1} = 0{,}7\,u_n + 12$ ?

Voir la réponseMasquer la réponse

$\ell = \dfrac{12}{1 - 0{,}7} = \dfrac{12}{0{,}3} = 40$.

À retenir

$u_{n+1} = a\,u_n + b$ : équilibre $\ell = \dfrac{b}{1 - a}$ ; $u_n = \ell + (u_0 - \ell)\,a^n$ ; si $0 < a < 1$, $u_n \to \ell$.

4 Seuils : à partir de quand ?

On veut souvent savoir à partir de quelle étape une quantité dépasse (ou passe sous) une valeur fixée.

Méthode — trouver un seuil

on calcule les termes successifs (tableau de valeurs de la calculatrice, tableur ou programme) ;
on donne le premier rang $n$ qui convient ;
on justifie avec le terme d'avant (condition fausse) et le terme trouvé (condition vraie).

Exemple guidé — les abonnés

À partir de quelle année la plateforme dépasse-t-elle $2\,900$ abonnés ?

Étape 1 — Traduire. On cherche le premier $n$ tel que $3\,000 - 2\,000 \times 0{,}9^n > 2\,900$.

Étape 2 — Le tableau de valeurs. $u_{28} \approx 2\,895{,}3$ et $u_{29} \approx 2\,905{,}8$.

Conclusion : la plateforme dépasse $2\,900$ abonnés à partir de $\boxed{n = 29}$.

Le même calcul avec un programme Python : la boucle while répète le calcul tant que le seuil n'est pas atteint.

u = 1000
n = 0
while u <= 2900:
    u = 0.9 * u + 300
    n = n + 1
print(n)          # affiche 29

Erreurs fréquentes

❌ Donner le rang juste avant le franchissement. ✅ On veut le premier rang où la condition est vraie.
❌ Chercher un seuil que la suite n'atteint jamais (par exemple $3\,100$ abonnés ici). ✅ La suite reste sous l'équilibre $3\,000$ : le programme tournerait sans fin.

À toi !

Une épargne de $1\,000$ € placée à $2{,}5\,\%$ par an : à partir de quelle année dépasse-t-elle $1\,500$ € ?

Voir la réponseMasquer la réponse

$1{,}025^{16} \approx 1{,}4845$ et $1{,}025^{17} \approx 1{,}5216$ : à partir de $n = 17$.

À retenir

Seuil = premier rang qui convient, justifié par le terme d'avant et celui d'après ; boucle while en Python.

5 Sommes de termes et modèles cumulés

Pour connaître un total (adhérents recrutés en plusieurs années, distance parcourue par une balle qui rebondit…), on additionne les termes d'une suite.

Propriété

Pour $q \neq 1$ et tout entier $n$, $1 + q + q^2 + \cdots + q^n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.$ Pour une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q \neq 1$ : $u_0 + u_1 + \cdots + u_n = u_0 \times \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.$ En mots : premier terme $\times \dfrac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}$.

Pourquoi c'est vrai ?

L'idée en une phrase : en multipliant la somme par $q$, presque tous les termes se retrouvent.

Voir la démonstration pas à pasMasquer la démonstration

Étape 1 — Deux sommes. $S = 1 + q + \cdots + q^n$ et $qS = q + q^2 + \cdots + q^{n+1}$.

Étape 2 — Soustraire. $S - qS = 1 - q^{n+1}$, donc $S(1 - q) = 1 - q^{n+1}$, et on divise par $1 - q \neq 0$ ✓.

Exemple guidé — un club

Un club recrute $100$ adhérents la première année, puis chaque année $10\,\%$ de plus que l'année précédente. Combien en a-t-il recruté en $10$ ans ?

Étape 1 — La suite. Recrues de l'année $k$ : $100 \times 1{,}1^k$ pour $k = 0, \ldots, 9$ ($10$ termes).

Étape 2 — La somme. $S = 100 \times \dfrac{1 - 1{,}1^{10}}{1 - 1{,}1} \approx 1\,593{,}7$.

Conclusion : environ $\boxed{1\,594}$ adhérents recrutés.

🔍 Vérification : au tableur, la somme des dix termes donne aussi $1\,593{,}74$ ✓.

Erreurs fréquentes

❌ Mettre $q^n$ au lieu de $q^{n+1}$ quand on part de $u_0$. ✅ L'exposant est le nombre de termes.
❌ Appliquer la formule à une suite arithmétique. ✅ Pour une suite arithmétique, somme $=$ nombre de termes $\times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$.

À toi !

Calcule $1 + 2 + 4 + \cdots + 512$ (les puissances de $2$ jusqu'à $2^9$).

Voir la réponseMasquer la réponse

$\dfrac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = 2^{10} - 1 = 1\,023$.

À retenir

$1 + q + \cdots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ ; somme géométrique $=$ premier terme $\times \dfrac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}$.

Pour aller plus loin

Contenu facultatif, non exigible.

(hors programme) : une population ne peut pas croître indéfiniment. Le modèle logistique $u_{n+1} = u_n + r\,u_n\left(1 - \dfrac{u_n}{K}\right)$ freine la croissance quand $u_n$ s'approche d'une capacité maximale $K$ (exercice 28).

Quiz du cours

Tu as lu le cours ? Vérifie en 7 questions que tu as retenu l’essentiel. Chaque réponse est corrigée tout de suite, sans chronomètre.

Questions fréquentes

Comment savoir si une suite est arithmétique ou géométrique ?

On regarde ce qui se passe d'un terme au suivant. Si on ajoute toujours le même nombre, la suite est arithmétique ; si on multiplie toujours par le même nombre, elle est géométrique. Dans un énoncé, « $+50$ € par an » donne une suite arithmétique, « $+3\,\%$ par an » une suite géométrique.

Voir dans le cours : 1. Modèle linéaire, modèle exponentiel

Pourquoi une croissance exponentielle dépasse-t-elle toujours une croissance linéaire ?

Une suite linéaire gagne toujours la même quantité, alors qu'une suite géométrique de raison supérieure à $1$ gagne un pourcentage d'une quantité qui grandit. Ses gains augmentent à chaque étape, donc elle finit par passer devant, même si elle démarre plus bas.

Voir dans le cours : 1. Modèle linéaire, modèle exponentiel

C'est quoi l'état d'équilibre d'une suite arithmético-géométrique ?

C'est le nombre $\ell = \dfrac{b}{1 - a}$ qui ne change pas quand on applique la relation $u_{n+1} = a\,u_n + b$. Si $0 < a < 1$, la suite s'en rapproche à long terme, quel que soit son premier terme.

Voir dans le cours : 3. Suites arithmético-géométriques

Comment trouver un seuil avec la calculatrice ?

On affiche le tableau de valeurs de la suite et on cherche le premier rang où la condition est vraie. On justifie en donnant le terme juste avant (condition fausse) et le terme trouvé (condition vraie).

Voir dans le cours : 4. Seuils : à partir de quand ?

Comment calculer la somme des termes d'une suite géométrique ?

On utilise premier terme $\times \dfrac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}$, valable pour une raison $q \neq 1$. Par exemple, $3 + 6 + 12 + 24 = 3 \times \dfrac{1 - 2^4}{1 - 2} = 45$.

Voir dans le cours : 5. Sommes de termes et modèles cumulés

Et maintenant ?Voir la fiche mémo →

L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.

L'essentiel

Notion	À savoir
Arithmétique	$u_{n+1} = u_n + r$ ; $u_n = u_0 + nr$ (linéaire)
Géométrique	$u_{n+1} = q\,u_n$ ; $u_n = u_0\,q^n$ (exponentiel) ; $t\,\%$ → $q = 1 \pm \dfrac{t}{100}$
Limite de $q^n$	$0 < q < 1$ : $0$ ; $q > 1$ : $+\infty$
Arithmético-géométrique	$u_{n+1} = a\,u_n + b$ ; $\ell = \dfrac{b}{1 - a}$ ; $u_n = \ell + (u_0 - \ell)\,a^n$
Équilibre	si $0 < a < 1$ : $u_n \to \ell$
Seuil	premier rang qui convient ; boucle `while`
Somme géométrique	$1 + q + \cdots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$

Pièges à éviter

Les pourcentages successifs se multiplient, ils ne s'additionnent pas.
Une suite croissante n'a pas forcément pour limite $+\infty$.
Dans $u_{n+1} = a\,u_n + b$, c'est $u_n - \ell$ qui est géométrique, pas $u_n$.

Prêt à t’entraîner ?Faire les exercices →

Contrôle demain ? Prépare ton plan de révision de 30 minutes sur ce chapitre →

Niveau 1Facile (Exercices 1 à 11)

Exercice 1—Calculer un termeNiveau 1

a) $(u_n)$ est arithmétique, $u_0 = 7$, raison $4$. Calcule $u_{20}$.
b) $(v_n)$ est géométrique, $v_0 = 3$, raison $2$. Calcule $v_6$.

Voir la correction›

Méthode

formules explicites.

a) $u_{20} = 7 + 20 \times 4 = \boxed{87}$.
b) $v_6 = 3 \times 2^6 = \boxed{192}$.

🔍 Vérification : $2^6 = 64$ et $3 \times 64 = 192$ ✓

Exercice 2—Un loyer qui augmenteNiveau 1

Un loyer de $1\,500$ € augmente de $4\,\%$ par an.
a) Quel est le loyer au bout d'un an ?
b) Exprime le loyer $L_n$ au bout de $n$ ans, puis calcule $L_5$.

Voir la correction›

Méthode

$+4\,\%$ → on multiplie par $1{,}04$.

a) $1\,500 \times 1{,}04 = 1\,560$ €.
b) $L_n = 1\,500 \times 1{,}04^n$ et $L_5 \approx \boxed{1\,824{,}98}$ €.

🔍 Vérification : le loyer augmente de plus de $5 \times 60 = 300$ € car les hausses se cumulent ✓

Exercice 3—Une baisse régulièreNiveau 1

Une voiture perd $5\,\%$ de sa valeur chaque année. Par quel nombre est multipliée sa valeur chaque année ? Quelle est la nature de la suite des valeurs ?

Voir la correction›

Méthode

baisse de $t\,\%$ → coefficient $1 - \dfrac{t}{100}$.

La valeur est multipliée par $\boxed{0{,}95}$ : les valeurs forment une suite géométrique de raison $0{,}95$.

🔍 Vérification : après deux ans, $0{,}95^2 = 0{,}9025$, soit une baisse de $9{,}75\,\%$ et non de $10\,\%$ ✓

Exercice 4—Linéaire ou exponentiel ?Niveau 1

Pour chaque situation, dis si le modèle est arithmétique ou géométrique.
a) Un réservoir perd $3$ litres par heure.
b) Une population de bactéries double chaque heure.
c) Un salaire augmente de $50$ € par an.
d) Un prix baisse de $2\,\%$ par mois.

Voir la correction›

Méthode

quantité fixe → arithmétique ; pourcentage ou facteur fixe → géométrique.

a) Arithmétique (raison $-3$).
b) Géométrique (raison $2$).
c) Arithmétique (raison $50$).
d) Géométrique (raison $0{,}98$).

🔍 Vérification : « doubler » est multiplier par $2$, donc géométrique ✓

Exercice 5—Limites de puissancesNiveau 1

Donne la limite de $0{,}6^n$, de $1{,}01^n$ et de $3 \times 0{,}99^n$.

Voir la correction›

Méthode

comparer $q$ à $1$.

$0{,}6^n \to 0$ ; $1{,}01^n \to +\infty$ ; $3 \times 0{,}99^n \to 0$.

🔍 Vérification : même avec $q = 1{,}01$, très proche de $1$, la croissance finit par exploser ✓

Exercice 6—Limites de suitesNiveau 1

Donne la limite de $u_n = 2 - 5 \times 0{,}3^n$ et de $v_n = 4 + 3 \times 0{,}5^n$.

Voir la correction›

Méthode

la puissance tend vers $0$.

$0{,}3^n \to 0$, donc $u_n \to \boxed{2}$ ; $0{,}5^n \to 0$, donc $v_n \to \boxed{4}$.

🔍 Vérification : $u_{10} = 2 - 5 \times 0{,}3^{10} \approx 1{,}9997$ ✓

Exercice 7—Trouver l'équilibreNiveau 1

Calcule l'état d'équilibre $\ell$ de :
a) $u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 6$ ;
b) $v_{n+1} = 3\,v_n - 4$.

Voir la correction›

Méthode

$\ell = \dfrac{b}{1 - a}$.

a) $\ell = \dfrac{6}{0{,}5} = \boxed{12}$.
b) $\ell = \dfrac{-4}{1 - 3} = \boxed{2}$.

🔍 Vérification : $0{,}5 \times 12 + 6 = 12$ et $3 \times 2 - 4 = 2$ ✓

Exercice 8—Premiers termesNiveau 1

$u_0 = 1\,000$ et $u_{n+1} = 0{,}9\,u_n + 300$. Calcule $u_1$, $u_2$ et $u_3$.

Voir la correction›

Méthode

appliquer la relation pas à pas.

$u_1 = 900 + 300 = 1\,200$ ; $u_2 = 1\,080 + 300 = 1\,380$ ; $u_3 = 1\,242 + 300 = 1\,542$.

🔍 Vérification : formule du cours, $3\,000 - 2\,000 \times 0{,}9^3 = 3\,000 - 1\,458 = 1\,542$ ✓

Exercice 9—Un placementNiveau 1

On place $250$ € à $3\,\%$ par an (intérêts composés). Quelle somme a-t-on au bout de $12$ ans ?

Voir la correction›

Méthode

$C_n = C_0 \times 1{,}03^n$.

$250 \times 1{,}03^{12} \approx \boxed{356{,}44}$ €.

🔍 Vérification : $1{,}03^{12} \approx 1{,}426$ : environ $+43\,\%$ ✓

Exercice 10—Un premier seuilNiveau 1

Une population de bactéries vaut $5$ millions au départ et double chaque heure. Au bout de combien d'heures dépasse-t-elle $1$ milliard ($1\,000$ millions) ?

Voir la correction›

Méthode

tableau de valeurs de $5 \times 2^n$.

$5 \times 2^7 = 640 < 1\,000$ et $5 \times 2^8 = 1\,280 > 1\,000$ : au bout de $\boxed{8 \text{ heures}}$.

🔍 Vérification : $2^8 = 256$ ✓

Exercice 11—Sommes géométriquesNiveau 1

Calcule $1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^9$, puis $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \cdots + \dfrac{1}{32}$.

Voir la correction›

Méthode

$\dfrac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}$.

$\dfrac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = \boxed{1\,023}$ ($10$ termes).
$\dfrac{1 - (1/2)^6}{1 - 1/2} = 2 \times \dfrac{63}{64} = \boxed{\dfrac{63}{32}}$ ($6$ termes).

🔍 Vérification : $1 + 0{,}5 + 0{,}25 + 0{,}125 + 0{,}0625 + 0{,}03125 = 1{,}96875 = \dfrac{63}{32}$ ✓

Niveau 2Intermédiaire (Exercices 12 à 24)

Exercice 12—Une suite arithmético-géométrique complèteNiveau 2

$u_0 = 100$ et $u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 40$.
a) Calcule $u_1$, $u_2$, $u_3$.
b) Calcule l'équilibre $\ell$ et montre que $v_n = u_n - \ell$ est géométrique.
c) Exprime $u_n$ en fonction de $n$, puis donne sa limite.

Voir la correction›

Méthode

équilibre, écart géométrique, formule.

a) $u_1 = 120$, $u_2 = 136$, $u_3 = 148{,}8$.

b) $\ell = \dfrac{40}{0{,}2} = 200$. $v_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 40 - 200 = 0{,}8(u_n - 200) = 0{,}8\,v_n$ : géométrique de raison $0{,}8$, $v_0 = -100$.

c) $u_n = 200 - 100 \times 0{,}8^n$, qui tend vers $\boxed{200}$.

🔍 Vérification : $200 - 100 \times 0{,}8^3 = 200 - 51{,}2 = 148{,}8$ ✓

Exercice 13—Une suite qui s'éloigneNiveau 2

$u_0 = 50$ et $u_{n+1} = 1{,}5\,u_n - 10$.
a) Calcule l'équilibre $\ell$.
b) Montre que $u_n = 20 + 30 \times 1{,}5^n$. Quelle est la limite de $u_n$ ?

Voir la correction›

Méthode

ici $a = 1{,}5 > 1$.

a) $\ell = \dfrac{-10}{1 - 1{,}5} = 20$.

b) $u_n = 20 + (50 - 20) \times 1{,}5^n = 20 + 30 \times 1{,}5^n$. Comme $1{,}5^n \to +\infty$, $u_n \to \boxed{+\infty}$.

🔍 Vérification : $u_1 = 1{,}5 \times 50 - 10 = 65 = 20 + 45$ ✓

Astuce

Avec $a > 1$, l'écart à l'équilibre est multiplié par $a$ : la suite s'en éloigne.

Exercice 14—Une suite qui oscilleNiveau 2

$u_0 = 6$ et $u_{n+1} = -0{,}5\,u_n + 3$.
a) Calcule $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$.
b) Montre que $u_n = 2 + 4 \times (-0{,}5)^n$. Vers quoi tend $u_n$ ? Comment s'en approche-t-elle ?

Voir la correction›

Méthode

$a = -0{,}5$, compris entre $-1$ et $1$.

a) $u_1 = 0$, $u_2 = 3$, $u_3 = 1{,}5$, $u_4 = 2{,}25$.

b) $\ell = \dfrac{3}{1{,}5} = 2$ et $u_n = 2 + 4 \times (-0{,}5)^n$. Comme $|-0{,}5|^n = 0{,}5^n \to 0$, $u_n \to \boxed{2}$, en passant alternativement au-dessus et au-dessous de $2$.

🔍 Vérification : $2 + 4 \times 0{,}0625 = 2{,}25 = u_4$ ✓

Exercice 15—Un seuil d'épargneNiveau 2

On place $1\,000$ € à $2{,}5\,\%$ par an. À partir de quelle année l'épargne dépasse-t-elle $1\,500$ € ? Justifie.

Voir la correction›

Méthode

tableau de valeurs de $1\,000 \times 1{,}025^n$.

$1\,000 \times 1{,}025^{16} \approx 1\,484{,}5 < 1\,500$ et $1\,000 \times 1{,}025^{17} \approx 1\,521{,}6 > 1\,500$ : à partir de $\boxed{n = 17}$.

🔍 Vérification : la règle de $72$ donne un doublement en environ $\dfrac{72}{2{,}5} \approx 29$ ans ; $+50\,\%$ en $17$ ans est cohérent ✓

Exercice 16—Un seuil très proche de l'équilibreNiveau 2

On reprend les abonnés du cours : $u_n = 3\,000 - 2\,000 \times 0{,}9^n$. À partir de quelle année dépasse-t-on $2\,990$ abonnés ?

Voir la correction›

Méthode

tableau de valeurs.

$u_{50} \approx 2\,989{,}7 \leqslant 2\,990$ et $u_{51} \approx 2\,990{,}7 > 2\,990$ : à partir de $\boxed{n = 51}$.

🔍 Vérification : plus on s'approche de l'équilibre, plus il faut d'années pour gagner quelques abonnés ✓

Exercice 17—Une voiture qui perd de la valeurNiveau 2

Une voiture achetée $20\,000$ € perd $15\,\%$ de sa valeur chaque année.
a) Quelle est sa valeur au bout de $5$ ans ?
b) À partir de quelle année vaut-elle moins de $5\,000$ € ?

Voir la correction›

Méthode

$V_n = 20\,000 \times 0{,}85^n$.

a) $V_5 \approx \boxed{8\,874{,}11}$ €.

b) $V_8 \approx 5\,449{,}81$ et $V_9 \approx 4\,632{,}34$ : moins de $5\,000$ € à partir de $\boxed{9 \text{ ans}}$.

🔍 Vérification : la valeur est divisée par environ $2$ en $4$ ans ($0{,}85^4 \approx 0{,}52$) ✓

Exercice 18—Intérêts simples ou composés ?Niveau 2

On place $1\,000$ €. Offre A : $30$ € d'intérêts chaque année (intérêts simples). Offre B : $3\,\%$ par an (intérêts composés).
a) Compare les deux offres au bout de $10$ ans.
b) À partir de quelle année l'offre B rapporte-t-elle au moins $100$ € de plus que l'offre A ?

Voir la correction›

Méthode

modèle linéaire contre modèle exponentiel.

a) A : $1\,000 + 30 \times 10 = 1\,300$ €. B : $1\,000 \times 1{,}03^{10} \approx 1\,343{,}92$ €. B rapporte plus.

b) Écart après $14$ ans : $\approx 92{,}59$ € ; après $15$ ans : $\approx 107{,}97$ €. À partir de $\boxed{15 \text{ ans}}$.

🔍 Vérification : la première année, les deux offres rapportent exactement $30$ € : l'écart vient des intérêts des intérêts ✓

Exercice 19—Une balle qui rebonditNiveau 2

On lâche une balle de $2$ m de haut. À chaque rebond, elle remonte à $60\,\%$ de la hauteur précédente.
a) Quelle hauteur atteint-elle après le premier, puis le deuxième rebond ?
b) Quelle distance totale a-t-elle parcourue quand elle touche le sol pour la cinquième fois ?

Voir la correction›

Méthode

hauteurs géométriques de raison $0{,}6$ ; chaque rebond compte une montée et une descente.

a) $2 \times 0{,}6 = 1{,}2$ m, puis $1{,}2 \times 0{,}6 = 0{,}72$ m.

b) Descente initiale $2$ m, puis $4$ rebonds complets (montée et descente) avant le cinquième contact : $2 + 2(1{,}2 + 0{,}72 + 0{,}432 + 0{,}2592) = 2 + 2 \times 2{,}6112 = \boxed{7{,}2224 \text{ m}}$.

🔍 Vérification : $1{,}2 \times \dfrac{1 - 0{,}6^4}{1 - 0{,}6} = 1{,}2 \times \dfrac{0{,}8704}{0{,}4} = 2{,}6112$ ✓

Exercice 20—Une forêtNiveau 2

Une forêt compte $1\,000$ arbres. Chaque année, $2\,\%$ des arbres sont abattus et on en plante $800$.
a) Écris la relation entre $a_{n+1}$ et $a_n$.
b) Montre que $a_n = 40\,000 - 39\,000 \times 0{,}98^n$.
c) Que se passe-t-il à long terme ?

Voir la correction›

Méthode

arithmético-géométrique.

a) $a_{n+1} = 0{,}98\,a_n + 800$.

b) $\ell = \dfrac{800}{0{,}02} = 40\,000$, donc $a_n = 40\,000 + (1\,000 - 40\,000) \times 0{,}98^n = 40\,000 - 39\,000 \times 0{,}98^n$.

c) $0{,}98^n \to 0$ : la forêt s'approche de $\boxed{40\,000}$ arbres, très lentement.

🔍 Vérification : $a_1 = 980 + 800 = 1\,780 = 40\,000 - 38\,220$ ✓

Exercice 21—Lire une limite sur un tableau de valeursNiveau 2

Une suite, avec $u_0 = 0$, a les valeurs suivantes (arrondies au dix-millième) : $u_{10} \approx 4{,}9698$ ; $u_{20} \approx 4{,}9998$ ; $u_{50} \approx 5{,}0000$.
a) Que peut-on conjecturer ?
b) Vérifie que $u_n = 5 - 5 \times 0{,}6^n$ est compatible avec ces valeurs et justifie la conjecture.

Voir la correction›

Méthode

lire la tendance.

a) On conjecture que $u_n$ tend vers $5$, en restant en dessous.

b) $u_0 = 5 - 5 = 0$ ✓ ; $u_{10} = 5 - 5 \times 0{,}6^{10} \approx 5 - 0{,}0302 = 4{,}9698$ ✓ ; $u_{20} \approx 5 - 0{,}0002 = 4{,}9998$ ✓. Comme $0 < 0{,}6 < 1$, $0{,}6^n \to 0$ et $u_n \to \boxed{5}$.

🔍 Vérification : $5 \times 0{,}6^{50} \approx 4 \times 10^{-11}$ : $u_{50}$ vaut $5{,}0000$ au dix-millième ✓

Astuce

Un tableau de valeurs suggère une limite, il ne la prouve pas : il faut une formule.

Exercice 22—Au moins un succèsNiveau 2

Une personne tente sa chance à un jeu, avec une probabilité $0{,}3$ de gagner à chaque partie. La probabilité de perdre $n$ parties de suite vaut $0{,}7^n$.
a) Calcule la probabilité de gagner au moins une fois en $3$ parties.
b) Que devient la probabilité de gagner au moins une fois quand $n$ devient grand ?

Voir la correction›

Méthode

événement contraire.

a) $1 - 0{,}7^3 = 1 - 0{,}343 = \boxed{0{,}657}$.

b) $0{,}7^n \to 0$, donc $1 - 0{,}7^n \to 1$ : on finit presque sûrement par gagner.

🔍 Vérification : la probabilité augmente avec $n$, mais reste toujours inférieure à $1$ ✓

Exercice 23—Reconnaître une suiteNiveau 2

Les suites suivantes sont-elles arithmétiques, géométriques ou aucune des deux ?
a) $u_n = 2n + 3$ ;
b) $v_n = 3 \times 2^n$ ;
c) $w_n = n^2$.

Voir la correction›

Méthode

différences constantes ou quotients constants.

a) Arithmétique de raison $2$.
b) Géométrique de raison $2$.
c) Aucune des deux : différences $1, 3, 5, \ldots$ et quotients non constants.

🔍 Vérification : $w_1 - w_0 = 1$ et $w_2 - w_1 = 3$ ✓

Exercice 24—Deux placements sur 8 ansNiveau 2

On place $5\,000$ € pendant $8$ ans. Compare un placement à $6\,\%$ en intérêts composés et un placement à $6\,\%$ en intérêts simples.

Voir la correction›

Méthode

comparer $5\,000 \times 1{,}06^8$ et $5\,000 \times (1 + 8 \times 0{,}06)$.

Composés : $\approx 7\,969{,}24$ €. Simples : $5\,000 \times 1{,}48 = 7\,400$ €. Les intérêts composés rapportent environ $569$ € de plus.

🔍 Vérification : $1{,}06^8 \approx 1{,}594$ ✓

Niveau 3Difficile/Expert (Exercices 25 à 30)

Exercice 25—Programmer une suiteNiveau 3

On considère le programme Python ci-dessous.

x = 0
for k in range(5):
    x = 0.5 * x + 2
print(x)

a) Quelles valeurs prend x au fil de la boucle ? Qu'affiche le programme ?
b) Quelle suite ce programme calcule-t-il ? Quelle est sa limite ?

Voir la correction›

Méthode

suivre la boucle.

a) x prend les valeurs $2$ ; $3$ ; $3{,}5$ ; $3{,}75$ ; $3{,}875$. Le programme affiche $3{,}875$.

b) Il calcule $u_5$ pour $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 2$. L'équilibre vaut $\dfrac{2}{0{,}5} = 4$ et $u_n = 4 - 4 \times 0{,}5^n \to \boxed{4}$.

🔍 Vérification : $4 - 4 \times 0{,}5^5 = 4 - 0{,}125 = 3{,}875$ ✓

Exercice 26—Épargner chaque annéeNiveau 3

Le $1^{\text{er}}$ janvier 2026, on place $1\,000$ € à $2\,\%$ par an, puis on ajoute $1\,000$ € chaque $1^{\text{er}}$ janvier. On note $C_n$ le capital juste après le versement de l'année $2026 + n$.
a) Justifie que $C_{n+1} = 1{,}02\,C_n + 1\,000$, avec $C_0 = 1\,000$.
b) Montre que $C_n = 51\,000 \times 1{,}02^n - 50\,000$.
c) Calcule le capital dix ans après le premier versement.

Voir la correction›

Méthode

un an d'intérêts, puis le versement.

a) Le capital gagne $2\,\%$ (on multiplie par $1{,}02$), puis on ajoute $1\,000$ €.

b) $\ell = \dfrac{1\,000}{1 - 1{,}02} = -50\,000$, donc $C_n = -50\,000 + (1\,000 + 50\,000) \times 1{,}02^n = 51\,000 \times 1{,}02^n - 50\,000$.

c) $C_{10} \approx \boxed{12\,168{,}72}$ € (pour $11$ versements, soit $11\,000$ € versés).

🔍 Vérification : $C_1 = 1\,020 + 1\,000 = 2\,020 = 52\,020 - 50\,000$ ✓

Exercice 27—Rembourser un empruntNiveau 3

On emprunte $10\,000$ € à $0{,}4\,\%$ par mois. Chaque mois, la dette augmente de $0{,}4\,\%$, puis on rembourse $200$ €.
a) Montre que $D_{n+1} = 1{,}004\,D_n - 200$, avec $D_0 = 10\,000$.
b) Montre que $D_n = 50\,000 - 40\,000 \times 1{,}004^n$.
c) Au bout de combien de mois l'emprunt est-il remboursé ?

Voir la correction›

Méthode

arithmético-géométrique avec $a = 1{,}004 > 1$.

a) Les intérêts multiplient la dette par $1{,}004$, puis on retire $200$ €.

b) $\ell = \dfrac{-200}{1 - 1{,}004} = 50\,000$, donc $D_n = 50\,000 + (10\,000 - 50\,000) \times 1{,}004^n = 50\,000 - 40\,000 \times 1{,}004^n$.

c) $D_{55} \approx 178{,}80 > 0$ et $D_{56} \approx -20{,}49 \leqslant 0$ : remboursé au bout de $\boxed{56 \text{ mois}}$ (la dernière mensualité est plus petite).

🔍 Vérification : $56 \times 200 = 11\,200$ € remboursés pour $10\,000$ € empruntés : environ $1\,180$ € d'intérêts ✓

Exercice 28—Le modèle logistiqueNiveau 3

Une population vaut $100$ individus. Le modèle exponentiel prévoit $+10\,\%$ par an ; le modèle logistique prévoit $u_{n+1} = u_n + 0{,}5\,u_n\left(1 - \dfrac{u_n}{1\,000}\right)$.
a) Calcule les premiers termes du modèle logistique jusqu'à $u_5$.
b) Que vaut l'accroissement $u_{n+1} - u_n$ quand $u_n = 1\,000$ ? Interprète.

Voir la correction›

Méthode

appliquer la relation, puis interpréter le facteur $1 - \dfrac{u_n}{1\,000}$.

a) $u_1 = 145$, $u_2 \approx 206{,}99$, $u_3 \approx 289{,}06$, $u_4 \approx 391{,}81$, $u_5 \approx 510{,}96$.

b) Si $u_n = 1\,000$, l'accroissement vaut $0{,}5 \times 1\,000 \times 0 = 0$ : la population ne change plus. $1\,000$ est la capacité maximale du milieu.

🔍 Vérification : $u_1 = 100 + 0{,}5 \times 100 \times 0{,}9 = 145$ ✓

Exercice 29—Un paradoxe de ZénonNiveau 3

Une tortue parcourt $10$ m, puis $5$ m, puis $2{,}5$ m… chaque étape étant la moitié de la précédente.
a) Quelle distance a-t-elle parcourue après $10$ étapes ?
b) Montre qu'elle ne dépassera jamais $20$ m. Vers quoi tend la distance parcourue ?

Voir la correction›

Méthode

somme géométrique de raison $0{,}5$.

a) $10 \times \dfrac{1 - 0{,}5^{10}}{0{,}5} = 20(1 - 0{,}5^{10}) \approx \boxed{19{,}98 \text{ m}}$.

b) Après $n$ étapes, la distance vaut $20(1 - 0{,}5^n) < 20$. Comme $0{,}5^n \to 0$, elle tend vers $\boxed{20 \text{ m}}$ sans jamais l'atteindre.

🔍 Vérification : $10 + 5 + 2{,}5 + 1{,}25 = 18{,}75$ après $4$ étapes ✓

Exercice 30—Un médicament pris chaque jourNiveau 3

Un patient prend $6$ mg d'un médicament chaque matin. Pendant une journée, le corps en élimine $75\,\%$. On note $m_n$ la quantité juste après la prise du jour $n$, avec $m_0 = 6$.
a) Justifie que $m_{n+1} = 0{,}25\,m_n + 6$.
b) Montre que $m_n = 8 - 2 \times 0{,}25^n$.
c) Le médicament est toxique au-delà de $10$ mg. Y a-t-il un danger à le prendre longtemps ?

Voir la correction›

Méthode

on garde $25\,\%$, puis on ajoute $6$ mg.

a) Après une journée, il reste $0{,}25\,m_n$ ; la prise ajoute $6$ mg.

b) $\ell = \dfrac{6}{0{,}75} = 8$, donc $m_n = 8 + (6 - 8) \times 0{,}25^n = 8 - 2 \times 0{,}25^n$.

c) $m_n < 8$ pour tout $n$, et $m_n \to 8$ : la quantité reste toujours sous $10$ mg. Pas de danger.

🔍 Vérification : $m_1 = 1{,}5 + 6 = 7{,}5 = 8 - 0{,}5$ ✓

Un avis sur ce chapitre ? Donne-le en quelques mots

Cours

1 Modèle linéaire, modèle exponentiel

2 Limite d'une suite

3 Suites arithmético-géométriques

4 Seuils : à partir de quand ?

5 Sommes de termes et modèles cumulés

Quiz du cours

Questions fréquentes

Comment savoir si une suite est arithmétique ou géométrique ?

Pourquoi une croissance exponentielle dépasse-t-elle toujours une croissance linéaire ?

C'est quoi l'état d'équilibre d'une suite arithmético-géométrique ?

Comment trouver un seuil avec la calculatrice ?

Comment calculer la somme des termes d'une suite géométrique ?

Fiche mémo

L'essentiel

Pièges à éviter

Niveau 1Facile (Exercices 1 à 11)

Niveau 2Intermédiaire (Exercices 12 à 24)

Niveau 3Difficile/Expert (Exercices 25 à 30)