Lois discrètes : Bernoulli, binomiale, géométrique
Cours
Combien de bonnes réponses peut-on espérer en répondant au hasard à un QCM (questionnaire à choix multiples) ? Quelle est la probabilité qu'au moins une pièce soit défectueuse dans un lot ? Combien de lancers faut-il en moyenne pour obtenir un \(6\) ? Ces questions reviennent à répéter une même expérience et à compter les succès, ou à attendre le premier succès. Avec ce chapitre, tu sauras :
- calculer l'espérance et la variance d'une variable aléatoire, et reconnaître une loi uniforme ;
- utiliser la loi de Bernoulli et la loi binomiale, avec les coefficients binomiaux ;
- calculer « au moins un succès » et trouver un nombre d'essais suffisant ;
- utiliser la loi géométrique pour un temps d'attente.
1 Variable aléatoire, espérance, variance
En 1ère, tu as associé un nombre à chaque issue d'une expérience aléatoire : c'est une variable aléatoire.
Une variable aléatoire \(X\) prend les valeurs \(x_1, \ldots, x_n\) avec les probabilités \(p_1, \ldots, p_n\) (de somme \(1\)) : c'est sa loi.
- Espérance (valeur moyenne à long terme) : \(E(X) = x_1p_1 + \cdots + x_np_n\).
- Variance (dispersion) : \(V(X) = p_1(x_1 - E(X))^2 + \cdots + p_n(x_n - E(X))^2\) ; écart type : \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\).
\(X\) suit la loi uniforme sur \(\{1, 2, \ldots, n\}\) si chaque valeur a la probabilité \(\dfrac{1}{n}\). Alors \(E(X) = \dfrac{n + 1}{2}\).
On mise \(2\) €, on lance un dé équilibré, et on reçoit \(10\) € si l'on obtient \(6\). On note \(G\) le gain algébrique.
Étape 1 — La loi. \(G = 10 - 2 = 8\) avec la probabilité \(\dfrac{1}{6}\), et \(G = -2\) avec la probabilité \(\dfrac{5}{6}\).
Étape 2 — L'espérance. \(E(G) = 8 \times \dfrac{1}{6} + (-2) \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{8 - 10}{6} = -\dfrac{1}{3}\).
Conclusion : en moyenne, on perd environ \(\boxed{0{,}33 \text{ €}}\) par partie : le jeu est défavorable au joueur.
🔍 Vérification : sur \(600\) parties, on gagne environ \(100\) fois (\(800\) €) et on perd environ \(500\) fois (\(1\,000\) €) : \(-200\) €, soit \(-\dfrac{1}{3}\) € par partie ✓.
- ❌ Oublier la mise dans le gain. ✅ Le gain algébrique tient compte de ce qu'on paie.
- ❌ Croire que l'espérance est une valeur que \(X\) prend forcément. ✅ Le gain n'est jamais \(-\dfrac{1}{3}\) € : c'est une moyenne.
Quelle est l'espérance du résultat d'un dé équilibré à \(6\) faces ?
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\(\dfrac{1 + 2 + \cdots + 6}{6} = \dfrac{21}{6} = 3{,}5\) (loi uniforme, \(\dfrac{6 + 1}{2}\)).
\(E(X) = \sum x_ip_i\) ; \(V(X) = \sum p_i(x_i - E(X))^2\) ; loi uniforme sur \(\{1, \ldots, n\}\) : \(E = \dfrac{n + 1}{2}\).
2 La loi de Bernoulli
Beaucoup d'expériences n'ont que deux issues qui nous intéressent : réussir ou échouer.
Une épreuve de Bernoulli de paramètre \(p\) est une expérience à deux issues : succès (probabilité \(p\)) et échec (probabilité \(1 - p\)). La variable \(X\) qui vaut \(1\) en cas de succès et \(0\) sinon suit la loi de Bernoulli de paramètre \(p\).
\(E(X) = p\) et \(V(X) = p(1 - p)\).
L'idée en une phrase : on applique les formules à deux valeurs.
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Étape 1 — L'espérance. \(E(X) = 1 \times p + 0 \times (1 - p) = p\).
Étape 2 — La variance. \(V(X) = p(1 - p)^2 + (1 - p)(0 - p)^2 = p(1 - p)\big[(1 - p) + p\big] = p(1 - p)\) ✓.
On répond au hasard à une question d'un QCM à \(4\) choix. Le succès est « la réponse est juste ».
Étape 1 — Le paramètre. Une seule bonne réponse sur \(4\) : \(p = 0{,}25\).
Étape 2 — Espérance et variance. \(E(X) = 0{,}25\) et \(V(X) = 0{,}25 \times 0{,}75 = 0{,}1875\).
🔍 Vérification : \(V(X) \leqslant 0{,}25\), la valeur maximale de \(p(1 - p)\) ✓.
- ❌ Appeler « succès » une issue favorable au sens courant. ✅ Le succès est simplement l'issue qu'on choisit de compter (une panne peut être le « succès »).
On lance une pièce truquée qui tombe sur pile avec la probabilité \(0{,}6\). Le succès est « pile ». Donne \(E(X)\) et \(V(X)\).
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\(E(X) = 0{,}6\) et \(V(X) = 0{,}6 \times 0{,}4 = 0{,}24\).
Bernoulli de paramètre \(p\) : \(X = 1\) (succès, \(p\)) ou \(0\) (échec, \(1 - p\)) ; \(E = p\), \(V = p(1 - p)\).
3 La loi binomiale
On répète la même épreuve de Bernoulli plusieurs fois, de façon indépendante, et on compte les succès.
Un schéma de Bernoulli est la répétition de \(n\) épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de paramètre \(p\). Le nombre \(X\) de succès suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\), notée \(\mathcal{B}(n \,;\, p)\). Le coefficient binomial \(\dbinom{n}{k}\) est le nombre de chemins de l'arbre qui comportent exactement \(k\) succès.
Si \(X\) suit \(\mathcal{B}(n \,;\, p)\), alors pour tout entier \(k\) entre \(0\) et \(n\) : \[P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^k\,(1 - p)^{n - k}, \qquad E(X) = np, \qquad V(X) = np(1 - p).\] Les coefficients binomiaux se lisent dans le triangle de Pascal ou à la calculatrice : par exemple \(\dbinom{5}{0}, \ldots, \dbinom{5}{5}\) valent \(1, 5, 10, 10, 5, 1\).
L'idée en une phrase : on compte les chemins et on multiplie le long de chacun.
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Étape 1 — Un chemin. Un chemin avec \(k\) succès et \(n - k\) échecs a pour probabilité \(p^k(1 - p)^{n - k}\) (épreuves indépendantes).
Étape 2 — Tous les chemins. Il y en a \(\dbinom{n}{k}\), tous de même probabilité : on additionne ✓.
Un QCM a \(10\) questions à \(4\) choix. On répond au hasard. \(X\) est le nombre de bonnes réponses.
Étape 1 — Reconnaître la loi. \(10\) épreuves identiques et indépendantes, succès « réponse juste » de probabilité \(0{,}25\) : \(X\) suit \(\mathcal{B}(10 \,;\, 0{,}25)\).
Étape 2 — Une probabilité. \(P(X = 3) = \dbinom{10}{3} \times 0{,}25^3 \times 0{,}75^7 = 120 \times 0{,}25^3 \times 0{,}75^7 \approx 0{,}250\).
Étape 3 — L'espérance. \(E(X) = 10 \times 0{,}25 = \boxed{2{,}5}\) bonnes réponses en moyenne.
🔍 Vérification : à la calculatrice, \(P(X \geqslant 5) \approx 0{,}078\) : avoir la moyenne au hasard est rare ✓.
- ❌ Utiliser la loi binomiale pour des tirages sans remise dans une petite urne. ✅ Les épreuves doivent être indépendantes et de même paramètre.
- ❌ Oublier le coefficient \(\dbinom{n}{k}\). ✅ Il compte les différentes places possibles des succès.
On lance \(5\) fois une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement \(2\) fois pile ?
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\(\dbinom{5}{2} \times 0{,}5^5 = \dfrac{10}{32} = 0{,}3125\).
\(\mathcal{B}(n \,;\, p)\) = nombre de succès dans \(n\) épreuves indépendantes ; \(P(X = k) = \dbinom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k}\) ; \(E = np\), \(V = np(1 - p)\).
4 Au moins un succès ; probabilités cumulées
La question « au moins un » se traite presque toujours par l'événement contraire.
Si \(X\) suit \(\mathcal{B}(n \,;\, p)\) :
- \(P(X = 0) = (1 - p)^n\), donc \(P(X \geqslant 1) = 1 - (1 - p)^n\) ;
- \(P(X \leqslant k)\) (probabilité cumulée) s'obtient à la calculatrice ; \(P(X \geqslant k) = 1 - P(X \leqslant k - 1)\).
On résout \(1 - (1 - p)^n \geqslant s\), c'est-à-dire \((1 - p)^n \leqslant 1 - s\), avec le logarithme (chapitre 4) ou un tableau de valeurs.
Un jeu à gratter est gagnant avec la probabilité \(0{,}1\). Combien faut-il en acheter pour avoir au moins \(95\,\%\) de chances d'en avoir au moins un gagnant ?
Étape 1 — Traduire. \(1 - 0{,}9^n \geqslant 0{,}95 \iff 0{,}9^n \leqslant 0{,}05\).
Étape 2 — Résoudre. \(n \geqslant \dfrac{\ln 0{,}05}{\ln 0{,}9} \approx 28{,}4\) (le sens change car \(\ln 0{,}9 < 0\)).
Conclusion : il faut en acheter au moins \(\boxed{29}\).
🔍 Vérification : \(1 - 0{,}9^{28} \approx 0{,}948\) et \(1 - 0{,}9^{29} \approx 0{,}953\) ✓.
- ❌ « \(10\) tickets à \(10\,\%\), c'est \(100\,\%\) de chances. » ✅ \(1 - 0{,}9^{10} \approx 0{,}65\) seulement.
- ❌ Confondre \(P(X \geqslant 3)\) et \(1 - P(X \leqslant 3)\). ✅ \(P(X \geqslant 3) = 1 - P(X \leqslant 2)\).
On lance \(4\) fois un dé. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un \(6\) ?
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\(1 - \left(\dfrac{5}{6}\right)^4 \approx 0{,}518\).
Au moins un succès : \(1 - (1 - p)^n\) ; \(P(X \geqslant k) = 1 - P(X \leqslant k - 1)\) ; nombre d'essais : résoudre \((1 - p)^n \leqslant 1 - s\).
5 La loi géométrique : attendre le premier succès
Au lieu de fixer le nombre d'essais, on répète jusqu'au premier succès et on compte les essais.
On répète des épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre \(p\) jusqu'au premier succès. Le rang \(X\) du premier succès suit la loi géométrique de paramètre \(p\).
Pour tout entier \(k \geqslant 1\), \[P(X = k) = (1 - p)^{k - 1}\,p, \qquad P(X > k) = (1 - p)^k, \qquad E(X) = \frac{1}{p} \ \text{(admis)}.\] Absence de mémoire : \(P_{X > m}(X > m + k) = P(X > k)\) : avoir déjà échoué ne change pas les chances pour la suite.
L'idée en une phrase : le premier succès au rang \(k\), c'est \(k - 1\) échecs puis un succès.
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Étape 1 — Le chemin. Il n'y a qu'un chemin : \(k - 1\) échecs suivis d'un succès.
Étape 2 — Sa probabilité. Les épreuves sont indépendantes : \((1 - p)^{k - 1} \times p\) ✓. De même, \(X > k\) signifie « \(k\) échecs », de probabilité \((1 - p)^k\).
On lance un dé jusqu'à obtenir \(6\).
Étape 1 — La loi. \(X\) suit la loi géométrique de paramètre \(\dfrac{1}{6}\).
Étape 2 — Des probabilités. \(P(X = 3) = \left(\dfrac{5}{6}\right)^2 \times \dfrac{1}{6} \approx 0{,}116\) et \(P(X > 10) = \left(\dfrac{5}{6}\right)^{10} \approx 0{,}162\).
Étape 3 — L'attente moyenne. \(E(X) = \dfrac{1}{1/6} = \boxed{6}\) lancers.
🔍 Vérification : il y a environ \(16\,\%\) de chances de lancer plus de \(10\) fois : attendre longtemps n'est pas si rare ✓.
- ❌ « Je n'ai pas eu de \(6\) depuis \(10\) lancers, il va forcément sortir. » ✅ Le dé n'a pas de mémoire : la probabilité reste \(\dfrac{1}{6}\).
- ❌ Confondre la loi géométrique (on attend le premier succès) et la loi binomiale (on compte les succès en \(n\) essais).
Un joueur réussit un tir avec la probabilité \(0{,}2\). Quel est le nombre moyen de tirs pour réussir le premier ?
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\(E(X) = \dfrac{1}{0{,}2} = 5\) tirs.
Géométrique de paramètre \(p\) : \(P(X = k) = (1 - p)^{k-1}p\), \(P(X > k) = (1 - p)^k\), \(E = \dfrac{1}{p}\) ; pas de mémoire.
Quiz du cours
Tu as lu le cours ? Vérifie en 7 questions que tu as retenu l’essentiel. Chaque réponse est corrigée tout de suite, sans chronomètre.
On mise \(2\) € et on gagne \(10\) € si un dé donne \(6\). Quelle est l'espérance du gain algébrique, arrondie au centième ?
Réponse attendue : \(-0{,}33\)
\(8 \times \dfrac{1}{6} - 2 \times \dfrac{5}{6} = -\dfrac{1}{3}\).
Revoir dans le cours : 1. Variable aléatoire, espérance, variance
Pour une loi de Bernoulli de paramètre \(p\), la variance vaut :
\(V(X) = p(1 - p)^2 + (1 - p)p^2 = p(1 - p)\).
Vrai ou faux : on tire \(3\) cartes sans remise dans un jeu de \(32\) ; le nombre d'as suit une loi binomiale.
Sans remise, la probabilité de tirer un as change à chaque tirage : les épreuves ne sont pas identiques.
\(X\) suit \(\mathcal{B}(10 \,;\, 0{,}25)\). Combien vaut \(E(X)\) ?
Réponse attendue : \(2{,}5\)
\(E(X) = np = 10 \times 0{,}25\).
On lance \(4\) fois un dé. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un \(6\), arrondie au centième ?
Réponse attendue : \(0{,}52\)
\(1 - \left(\dfrac{5}{6}\right)^4 \approx 0{,}518\).
Revoir dans le cours : 4. Au moins un succès ; probabilités cumulées
On lance un dé jusqu'à obtenir \(6\). Combien de lancers faut-il en moyenne ?
Loi géométrique de paramètre \(\dfrac{1}{6}\) : \(E(X) = \dfrac{1}{p} = 6\).
Revoir dans le cours : 5. La loi géométrique : attendre le premier succès
Vrai ou faux : après \(10\) lancers sans \(6\), la probabilité d'obtenir \(6\) au lancer suivant est plus grande que \(\dfrac{1}{6}\).
Les lancers sont indépendants : la loi géométrique est sans mémoire, la probabilité reste \(\dfrac{1}{6}\).
Revoir dans le cours : 5. La loi géométrique : attendre le premier succès
À revoir dans le cours :
Questions fréquentes
Comment savoir si une variable aléatoire suit une loi binomiale ?
Il faut répéter \(n\) fois la même expérience à deux issues (succès ou échec), de façon indépendante, avec la même probabilité de succès \(p\) à chaque fois. Le nombre de succès suit alors la loi binomiale \(\mathcal{B}(n \,;\, p)\). Des tirages sans remise dans une petite urne ne conviennent pas.
Comment calculer un coefficient binomial sans formule ?
On le lit dans le triangle de Pascal : chaque nombre est la somme des deux nombres situés au-dessus de lui. La calculatrice le donne aussi directement (touche « Combinaison » ou « nCr »).
Pourquoi utiliser l'événement contraire pour « au moins un » ?
« Au moins un succès » regroupe beaucoup de cas, alors que son contraire, « aucun succès », n'en a qu'un seul, de probabilité \((1 - p)^n\). On calcule donc \(1 - (1 - p)^n\).
Voir dans le cours : 4. Au moins un succès ; probabilités cumulées
Quelle est la différence entre la loi binomiale et la loi géométrique ?
Avec la loi binomiale, le nombre d'essais est fixé et on compte les succès. Avec la loi géométrique, on répète jusqu'au premier succès et on compte les essais nécessaires.
Voir dans le cours : 5. La loi géométrique : attendre le premier succès
Que veut dire « sans mémoire » pour la loi géométrique ?
Cela signifie que les échecs passés ne changent pas les chances pour la suite. Après dix lancers sans \(6\), la probabilité d'obtenir \(6\) au lancer suivant reste \(\dfrac{1}{6}\).
Voir dans le cours : 5. La loi géométrique : attendre le premier succès
Fiche mémo
L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.
L'essentiel
| Notion | À savoir |
|---|---|
| Espérance, variance | \(E = \sum x_ip_i\) ; \(V = \sum p_i(x_i - E)^2\) ; \(\sigma = \sqrt{V}\) |
| Loi uniforme sur \(\{1, \ldots, n\}\) | chaque valeur : \(\dfrac{1}{n}\) ; \(E = \dfrac{n + 1}{2}\) |
| Bernoulli \(p\) | \(E = p\) ; \(V = p(1 - p)\) |
| Binomiale \(\mathcal{B}(n \,;\, p)\) | \(P(X = k) = \dbinom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k}\) ; \(E = np\) ; \(V = np(1 - p)\) |
| Au moins un | \(1 - (1 - p)^n\) |
| Géométrique \(p\) | \(P(X = k) = (1 - p)^{k-1}p\) ; \(P(X > k) = (1 - p)^k\) ; \(E = \dfrac{1}{p}\) |
Pièges à éviter
- Binomiale : épreuves identiques et indépendantes.
- \(P(X \geqslant k) = 1 - P(X \leqslant k - 1)\).
- Le hasard n'a pas de mémoire.
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Niveau 1Facile (Exercices 1 à 11)
On mise \(2\) €, on lance un dé équilibré et on reçoit \(10\) € si l'on obtient \(6\). Donne la loi du gain \(G\) et son espérance. Le jeu est-il favorable ?
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gain algébrique, puis espérance.
\(G = 8\) avec la probabilité \(\dfrac{1}{6}\), \(G = -2\) avec la probabilité \(\dfrac{5}{6}\). \(E(G) = -\dfrac{1}{3}\) : jeu défavorable.
🔍 Vérification : voir l'exemple du cours ✓
Calcule l'espérance et la variance du résultat d'un dé équilibré à \(6\) faces.
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formules de l'espérance et de la variance.
\(E = 3{,}5\) et \(V = \dfrac{(1 - 3{,}5)^2 + \cdots + (6 - 3{,}5)^2}{6} = \dfrac{17{,}5}{6} \approx \boxed{2{,}92}\).
🔍 Vérification : \(6{,}25 + 2{,}25 + 0{,}25 + 0{,}25 + 2{,}25 + 6{,}25 = 17{,}5\) ✓
Une machine produit une pièce défectueuse avec la probabilité \(0{,}05\). On prélève une pièce ; \(X\) vaut \(1\) si elle est défectueuse. Donne la loi de \(X\), son espérance et sa variance.
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loi de Bernoulli.
\(X\) suit la loi de Bernoulli de paramètre \(0{,}05\) : \(E(X) = 0{,}05\) et \(V(X) = 0{,}05 \times 0{,}95 = \boxed{0{,}0475}\).
🔍 Vérification : ici, le « succès » est une pièce défectueuse ✓
Écris les lignes \(0\) à \(6\) du triangle de Pascal. Donne \(\dbinom{5}{2}\) et \(\dbinom{6}{3}\).
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chaque nombre est la somme des deux nombres au-dessus.
| \(n\) | Coefficients |
|---|---|
| \(0\) | \(1\) |
| \(1\) | \(1 \quad 1\) |
| \(2\) | \(1 \quad 2 \quad 1\) |
| \(3\) | \(1 \quad 3 \quad 3 \quad 1\) |
| \(4\) | \(1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1\) |
| \(5\) | \(1 \quad 5 \quad 10 \quad 10 \quad 5 \quad 1\) |
| \(6\) | \(1 \quad 6 \quad 15 \quad 20 \quad 15 \quad 6 \quad 1\) |
\(\dbinom{5}{2} = 10\) et \(\dbinom{6}{3} = 20\).
🔍 Vérification : \(10 + 10 = 20\) ✓
Dans chaque cas, dis si \(X\) suit une loi binomiale et donne ses paramètres.
a) On lance \(8\) fois un dé ; \(X\) est le nombre de \(6\).
b) On tire successivement et sans remise \(3\) cartes d'un jeu de \(32\) ; \(X\) est le nombre d'as.
c) On interroge au hasard \(100\) personnes d'un très grand pays où \(30\,\%\) des gens portent des lunettes ; \(X\) est le nombre de porteurs.
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épreuves identiques, indépendantes, deux issues.
a) Oui : \(\mathcal{B}\left(8 \,;\, \dfrac{1}{6}\right)\).
b) Non : sans remise, la probabilité d'avoir un as change à chaque tirage.
c) Oui en bonne approximation (très grande population) : \(\mathcal{B}(100 \,;\, 0{,}3)\).
🔍 Vérification : en b), après un as tiré, il reste \(3\) as sur \(31\) cartes ✓
On lance \(5\) fois une pièce équilibrée. Calcule la probabilité d'obtenir exactement \(2\) piles.
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\(\mathcal{B}(5 \,;\, 0{,}5)\).
\(\dbinom{5}{2} \times 0{,}5^2 \times 0{,}5^3 = \dfrac{10}{32} = \boxed{0{,}3125}\).
🔍 Vérification : \(2^5 = 32\) chemins équiprobables ✓
On lance \(4\) fois un dé. Calcule la probabilité d'obtenir exactement un \(6\).
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\(\mathcal{B}\left(4 \,;\, \dfrac{1}{6}\right)\), \(k = 1\).
\(4 \times \dfrac{1}{6} \times \left(\dfrac{5}{6}\right)^3 = \dfrac{500}{1\,296} \approx \boxed{0{,}386}\).
🔍 Vérification : \(4 \times 125 = 500\) et \(6^4 = 1\,296\) ✓
\(X\) suit \(\mathcal{B}(8 \,;\, 0{,}3)\). Calcule \(E(X)\) et \(V(X)\).
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\(E = np\), \(V = np(1 - p)\).
\(E(X) = 8 \times 0{,}3 = 2{,}4\) et \(V(X) = 2{,}4 \times 0{,}7 = 1{,}68\).
🔍 Vérification : \(V \leqslant E\) car \(1 - p < 1\) ✓
On lance \(4\) fois un dé. Calcule la probabilité d'obtenir au moins un \(6\).
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événement contraire.
\(1 - \left(\dfrac{5}{6}\right)^4 \approx \boxed{0{,}518}\).
🔍 Vérification : un peu plus d'une chance sur deux ✓
Un joueur réussit un tir avec la probabilité \(0{,}2\), ses tirs étant indépendants. \(X\) est le rang du premier tir réussi.
a) Calcule \(P(X = 3)\).
b) Calcule \(P(X > 5)\).
c) Calcule \(E(X)\).
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loi géométrique de paramètre \(0{,}2\).
a) \(0{,}8^2 \times 0{,}2 = \boxed{0{,}128}\).
b) \(0{,}8^5 \approx \boxed{0{,}328}\).
c) \(\dfrac{1}{0{,}2} = \boxed{5}\).
🔍 Vérification : \(0{,}8^5 = 0{,}32768\) ✓
On choisit au hasard un nombre entier entre \(1\) et \(20\). Quelle est la probabilité de chaque nombre ? Quelle est l'espérance ?
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loi uniforme sur \(\{1, \ldots, 20\}\).
Chaque nombre a la probabilité \(\dfrac{1}{20}\) ; \(E = \dfrac{20 + 1}{2} = \boxed{10{,}5}\).
🔍 Vérification : \(\dfrac{1 + 2 + \cdots + 20}{20} = \dfrac{210}{20} = 10{,}5\) ✓
Niveau 2Intermédiaire (Exercices 12 à 24)
Un QCM a \(10\) questions à \(4\) choix, on répond au hasard. \(X\) est le nombre de bonnes réponses.
a) Justifie que \(X\) suit une loi binomiale.
b) Calcule \(P(X = 3)\) et \(P(X = 0)\).
c) Calcule \(E(X)\) et l'écart type.
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voir l'exemple du cours.
a) \(10\) épreuves identiques et indépendantes, succès de probabilité \(0{,}25\) : \(\mathcal{B}(10 \,;\, 0{,}25)\).
b) \(P(X = 3) \approx 0{,}250\) et \(P(X = 0) = 0{,}75^{10} \approx 0{,}056\).
c) \(E(X) = 2{,}5\) ; \(V(X) = 1{,}875\) ; \(\sigma \approx \boxed{1{,}37}\).
🔍 Vérification : \(\sqrt{1{,}875} \approx 1{,}369\) ✓
\(5\,\%\) des pièces d'une usine sont défectueuses. On en prélève \(20\), ce qu'on assimile à des tirages avec remise.
a) Quelle est la probabilité qu'aucune ne soit défectueuse ?
b) Quelle est la probabilité qu'au moins deux le soient ?
c) Combien de pièces défectueuses en moyenne ?
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\(\mathcal{B}(20 \,;\, 0{,}05)\).
a) \(0{,}95^{20} \approx \boxed{0{,}358}\).
b) \(1 - P(X = 0) - P(X = 1) = 1 - 0{,}95^{20} - 20 \times 0{,}05 \times 0{,}95^{19} \approx \boxed{0{,}264}\).
c) \(E(X) = 20 \times 0{,}05 = 1\).
🔍 Vérification : \(P(X = 1) \approx 0{,}377\), et \(0{,}358 + 0{,}377 + 0{,}264 \approx 1\) ✓
\(X\) suit \(\mathcal{B}(8 \,;\, 0{,}3)\). Calcule \(P(X = 2)\), puis \(P(X \leqslant 2)\), puis \(P(X \geqslant 3)\).
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formule, puis calculatrice, puis contraire.
\(P(X = 2) = \dbinom{8}{2} \times 0{,}3^2 \times 0{,}7^6 \approx 0{,}296\) ; \(P(X \leqslant 2) \approx 0{,}552\) ; \(P(X \geqslant 3) = 1 - P(X \leqslant 2) \approx \boxed{0{,}448}\).
🔍 Vérification : \(\dbinom{8}{2} = 28\) ✓
Un ticket est gagnant avec la probabilité \(0{,}1\).
a) Avec \(10\) tickets, quelle est la probabilité d'avoir au moins un gagnant ?
b) Combien de tickets faut-il pour en avoir au moins un gagnant avec une probabilité d'au moins \(95\,\%\) ?
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au moins un, puis \(\ln\).
a) \(1 - 0{,}9^{10} \approx \boxed{0{,}651}\). b) Voir l'exemple de la partie 4 : \(\boxed{29}\) tickets.
🔍 Vérification : \(0{,}9^{29} \approx 0{,}047 \leqslant 0{,}05\) ✓
Un basketteur réussit \(70\,\%\) de ses lancers francs. Il en tire \(10\).
a) Quel nombre moyen de réussites peut-on attendre ?
b) Calcule la probabilité de réussir exactement \(7\) lancers, puis au moins \(8\).
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\(\mathcal{B}(10 \,;\, 0{,}7)\).
a) \(E = 7\). b) \(P(X = 7) = \dbinom{10}{7} \times 0{,}7^7 \times 0{,}3^3 \approx 0{,}267\) ; \(P(X \geqslant 8) \approx \boxed{0{,}383}\) (calculatrice).
🔍 Vérification : \(\dbinom{10}{7} = \dbinom{10}{3} = 120\) ✓
On lance un dé jusqu'à obtenir \(6\). Calcule \(P(X = 3)\), \(P(X > 10)\) et \(E(X)\).
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loi géométrique de paramètre \(\dfrac{1}{6}\).
\(P(X = 3) \approx 0{,}116\) ; \(P(X > 10) \approx 0{,}162\) ; \(E(X) = 6\).
🔍 Vérification : voir l'exemple du cours ✓
Un composant tombe en panne chaque jour avec la probabilité \(0{,}1\), indépendamment des autres jours. \(X\) est le jour de la première panne.
a) Calcule \(P(X > 5)\).
b) Le composant fonctionne encore au bout de \(3\) jours. Quelle est la probabilité qu'il fonctionne encore au bout de \(8\) jours ? Compare avec a).
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\(P(X > k) = 0{,}9^k\), puis probabilité conditionnelle.
a) \(0{,}9^5 \approx \boxed{0{,}590}\).
b) \(P_{X > 3}(X > 8) = \dfrac{P(X > 8)}{P(X > 3)} = \dfrac{0{,}9^8}{0{,}9^3} = 0{,}9^5 \approx 0{,}590\) : la même probabilité qu'en a). Le composant « ne vieillit pas ».
🔍 Vérification : c'est l'absence de mémoire ✓
\(2\,\%\) d'une population est porteuse d'un virus. On teste \(50\) personnes prises au hasard.
a) Calcule la probabilité qu'aucune ne soit porteuse, puis qu'exactement une le soit.
b) Calcule la probabilité qu'au moins deux le soient.
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\(\mathcal{B}(50 \,;\, 0{,}02)\).
a) \(0{,}98^{50} \approx 0{,}364\) et \(50 \times 0{,}02 \times 0{,}98^{49} \approx 0{,}372\).
b) \(1 - 0{,}364 - 0{,}372 \approx \boxed{0{,}264}\).
🔍 Vérification : \(E(X) = 1\) : on s'attend à environ un porteur ✓
Combien de fois faut-il lancer un dé pour que la probabilité d'obtenir au moins un \(6\) dépasse \(0{,}99\) ?
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\(1 - \left(\dfrac{5}{6}\right)^n \geqslant 0{,}99\).
\(\left(\dfrac{5}{6}\right)^n \leqslant 0{,}01 \iff n \geqslant \dfrac{\ln 0{,}01}{\ln(5/6)} \approx 25{,}3\) : \(\boxed{26 \text{ lancers}}\).
🔍 Vérification : \(1 - (5/6)^{25} \approx 0{,}9895\) et \(1 - (5/6)^{26} \approx 0{,}9913\) ✓
Une ampoule est défectueuse avec la probabilité \(0{,}02\). Un carton contient \(100\) ampoules (tirages assimilés à des tirages avec remise).
a) Quel est le nombre moyen d'ampoules défectueuses par carton ?
b) À la calculatrice, quelle est la probabilité qu'un carton contienne au plus \(2\) ampoules défectueuses ?
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\(\mathcal{B}(100 \,;\, 0{,}02)\).
a) \(E = 2\). b) \(P(X \leqslant 2) \approx \boxed{0{,}677}\).
🔍 Vérification : la probabilité est un peu supérieure à \(\dfrac{1}{2}\), cohérent avec une moyenne de \(2\) ✓
On suppose qu'une naissance donne une fille ou un garçon avec la même probabilité, de façon indépendante. Dans une famille de \(4\) enfants, quelle est la probabilité d'avoir exactement \(2\) filles ? Est-ce le cas le plus probable ?
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\(\mathcal{B}(4 \,;\, 0{,}5)\).
\(\dbinom{4}{2} \times 0{,}5^4 = \dfrac{6}{16} = \boxed{0{,}375}\). C'est le cas le plus probable (\(P(X = 1) = P(X = 3) = 0{,}25\) et \(P(X = 0) = P(X = 4) = 0{,}0625\)).
🔍 Vérification : \(0{,}0625 + 0{,}25 + 0{,}375 + 0{,}25 + 0{,}0625 = 1\) ✓
On lance \(10\) fois une pièce équilibrée.
a) Calcule la probabilité d'obtenir exactement \(5\) piles.
b) À la calculatrice, calcule la probabilité d'obtenir entre \(4\) et \(6\) piles.
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\(\mathcal{B}(10 \,;\, 0{,}5)\).
a) \(\dbinom{10}{5} \times 0{,}5^{10} = \dfrac{252}{1\,024} \approx \boxed{0{,}246}\). b) \(P(4 \leqslant X \leqslant 6) \approx \boxed{0{,}656}\).
🔍 Vérification : même le résultat le plus probable n'arrive qu'une fois sur quatre ✓
Pour chaque situation, donne la loi de \(X\) et ses paramètres.
a) On tire \(12\) fois avec remise une boule dans une urne contenant \(30\,\%\) de boules rouges ; \(X\) est le nombre de rouges.
b) On tire avec remise jusqu'à obtenir une boule rouge ; \(X\) est le nombre de tirages.
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nombre d'essais fixé → binomiale ; on attend le premier succès → géométrique.
a) \(\mathcal{B}(12 \,;\, 0{,}3)\).
b) Loi géométrique de paramètre \(0{,}3\).
🔍 Vérification : en b), \(X\) peut être aussi grand qu'on veut ✓
Niveau 3Difficile/Expert (Exercices 25 à 30)
a) Calcule la somme des coefficients \(\dbinom{6}{0}, \ldots, \dbinom{6}{6}\).
b) En comptant les chemins d'un arbre de \(n\) épreuves, explique pourquoi \(\dbinom{n}{0} + \cdots + \dbinom{n}{n} = 2^n\).
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compter tous les chemins.
a) \(1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = \boxed{64} = 2^6\).
b) L'arbre de \(n\) épreuves a \(2^n\) chemins. Chaque chemin a un nombre \(k\) de succès entre \(0\) et \(n\), et il y en a \(\dbinom{n}{k}\) pour chaque \(k\) : en les regroupant, \(\dbinom{n}{0} + \cdots + \dbinom{n}{n} = 2^n\).
🔍 Vérification : ligne \(4\) : \(1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^4\) ✓
On lance \(3\) pièces équilibrées. On gagne \(8\) € si les trois tombent sur pile, sinon on perd \(m\) €. Pour quelle valeur de \(m\) le jeu est-il équitable (espérance nulle) ?
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espérance nulle.
\(P(\text{3 piles}) = \dfrac{1}{8}\). \(E(G) = 8 \times \dfrac{1}{8} - m \times \dfrac{7}{8} = 1 - \dfrac{7m}{8} = 0 \iff \boxed{m = \dfrac{8}{7}} \approx 1{,}14\) €.
🔍 Vérification : \(8 \times \dfrac{1}{8} = 1\) et \(\dfrac{8}{7} \times \dfrac{7}{8} = 1\) ✓
Pour \(p = 0{,}2\), calcule à la calculatrice ou au tableur la somme \(\sum_{k=1}^{N} k \times 0{,}2 \times 0{,}8^{k-1}\) pour \(N = 10\), \(50\), \(200\). Vers quoi semble-t-elle tendre ?
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somme partielle au tableur.
Les sommes valent environ \(3{,}39\) (\(N = 10\)), \(4{,}999\) (\(N = 50\)), \(5{,}000\) (\(N = 200\)) : elles tendent vers \(\boxed{5} = \dfrac{1}{0{,}2}\).
🔍 Vérification : c'est bien \(E(X) = \dfrac{1}{p}\) ✓
\(X\) suit \(\mathcal{B}(n \,;\, p)\).
a) Pour quelle valeur de \(p\) la variance \(np(1 - p)\) est-elle maximale ?
b) Interprète : pour quelles valeurs de \(p\) le nombre de succès est-il le plus imprévisible ?
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étudier \(f(p) = p(1 - p)\) sur \([0 \,;\, 1]\).
a) \(f(p) = p - p^2\), \(f'(p) = 1 - 2p\) : maximum pour \(\boxed{p = 0{,}5}\).
b) Le nombre de succès est le plus dispersé quand \(p = 0{,}5\) ; il est très prévisible quand \(p\) est proche de \(0\) ou de \(1\).
🔍 Vérification : \(f(0{,}5) = 0{,}25\) et \(f(0{,}1) = 0{,}09\) ✓
Une machine bien réglée produit \(5\,\%\) de pièces défectueuses. On prélève \(20\) pièces : on arrête la machine s'il y en a au moins \(3\) défectueuses.
a) Quelle est la probabilité d'arrêter la machine alors qu'elle est bien réglée ?
b) Ce risque te semble-t-il acceptable ?
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\(P(X \geqslant 3) = 1 - P(X \leqslant 2)\) avec \(\mathcal{B}(20 \,;\, 0{,}05)\).
a) \(P(X \leqslant 2) \approx 0{,}925\), donc \(P(X \geqslant 3) \approx \boxed{0{,}075}\).
b) On arrête une machine bien réglée environ \(7{,}5\,\%\) des fois : c'est le prix à payer pour repérer une machine déréglée. On peut le réduire en prélevant plus de pièces.
🔍 Vérification : \(0{,}358 + 0{,}377 + 0{,}189 \approx 0{,}925\) ✓
Un joueur de roulette remarque que le rouge est sorti \(5\) fois de suite (probabilité du rouge : \(\dfrac{18}{37}\) à chaque tour). Il pense que le noir est « dû ».
a) Quelle était la probabilité, avant de jouer, d'obtenir \(5\) rouges de suite ?
b) Quelle est la probabilité que le tour suivant donne rouge ? Explique l'erreur du joueur.
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épreuves indépendantes.
a) \(\left(\dfrac{18}{37}\right)^5 \approx \boxed{0{,}027}\).
b) \(\dfrac{18}{37} \approx 0{,}486\) : les tours sont indépendants, la roulette n'a pas de mémoire. L'erreur du joueur est de confondre « \(5\) rouges de suite est rare » (avant de jouer) avec « le \(6^{\text{e}}\) tour dépend des précédents ».
🔍 Vérification : \(0{,}486^5 \approx 0{,}027\) ✓
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