Statistique à deux variables
Cours
Une entreprise veut savoir si ses dépenses de publicité font augmenter ses ventes ; un biologiste suit la croissance d'une culture de bactéries ; un économiste cherche le lien entre le prix d'un produit et le nombre d'acheteurs. Dans chaque cas, on mesure deux grandeurs sur les mêmes individus et on cherche une relation entre elles, pour prévoir. Avec ce chapitre, tu sauras :
- représenter une série à deux variables par un nuage de points et calculer son point moyen ;
- trouver la droite d'ajustement par la méthode des moindres carrés ;
- mesurer la qualité d'un ajustement avec le coefficient de corrélation ;
- faire des prévisions, y compris avec un changement de variable, sans confondre corrélation et causalité.
1 Nuage de points et point moyen
On étudie deux grandeurs \(x\) et \(y\) mesurées ensemble : on obtient des couples \((x_1 \,;\, y_1), \ldots, (x_n \,;\, y_n)\).
- le nuage de points est l'ensemble des points \(M_i(x_i \,;\, y_i)\) dans un repère ;
- le point moyen est \(G(\bar{x} \,;\, \bar{y})\), où \(\bar{x} = \dfrac{x_1 + \cdots + x_n}{n}\) et \(\bar{y} = \dfrac{y_1 + \cdots + y_n}{n}\).
Une entreprise relève ses dépenses de publicité \(x\) et ses ventes \(y\) (en milliers d'euros) sur cinq mois.
| \(x_i\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y_i\) | \(12\) | \(15\) | \(21\) | \(22\) | \(30\) |
Étape 1 — Les moyennes. \(\bar{x} = \dfrac{15}{5} = 3\) et \(\bar{y} = \dfrac{100}{5} = 20\).
Étape 2 — Le point moyen. \(\boxed{G(3 \,;\, 20)}\).
Étape 3 — L'allure. Les points sont presque alignés, sur une droite qui monte : on peut tenter un ajustement affine.
🔍 Vérification : \(12 + 15 + 21 + 22 + 30 = 100\) ✓.
- ❌ Relier les points du nuage. ✅ Un nuage reste un ensemble de points isolés.
- ❌ Calculer la moyenne des \(x\) en divisant par la somme des \(y\). ✅ Chaque moyenne se calcule séparément.
Calcule le point moyen de la série \(x\) : \(2, 4, 6, 8\) et \(y\) : \(5, 9, 10, 16\).
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\(\bar{x} = 5\) et \(\bar{y} = 10\), donc \(G(5 \,;\, 10)\).
Nuage = points \(M_i(x_i \,;\, y_i)\) ; point moyen \(G(\bar{x} \,;\, \bar{y})\).
2 La droite des moindres carrés
Plusieurs droites semblent passer « au milieu » du nuage. On choisit celle qui rend les écarts verticaux les plus petits possible.
La droite des moindres carrés (de \(y\) en \(x\)) est la droite \(y = ax + b\) qui rend minimale la somme des carrés des écarts verticaux : \[S = \big(y_1 - (ax_1 + b)\big)^2 + \cdots + \big(y_n - (ax_n + b)\big)^2.\]
On note \(\text{cov}(x, y) = \dfrac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})\) la covariance et \(V(x) = \dfrac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})^2\) la variance de \(x\). Alors \[a = \frac{\text{cov}(x, y)}{V(x)} \qquad \text{et} \qquad b = \bar{y} - a\,\bar{x}.\] La droite passe donc par le point moyen \(G\). En pratique, la calculatrice (mode statistique, « régression linéaire ») donne \(a\) et \(b\).
L'idée en une phrase : c'est le même principe, avec une droite horizontale \(y = c\).
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Étape 1 — La fonction à minimiser. \(S(c) = (y_1 - c)^2 + \cdots + (y_n - c)^2\) est un polynôme du second degré en \(c\), de coefficient \(n > 0\) devant \(c^2\).
Étape 2 — Le minimum. \(S'(c) = -2(y_1 - c) - \cdots - 2(y_n - c) = -2(y_1 + \cdots + y_n) + 2nc\), qui s'annule pour \(c = \bar{y}\) : c'est le minimum ✓. La droite des moindres carrés généralise cette idée.
Étape 1 — Les écarts. \(x_i - \bar{x}\) : \(-2, -1, 0, 1, 2\) ; \(y_i - \bar{y}\) : \(-8, -5, 1, 2, 10\).
Étape 2 — Covariance et variance. \(\text{cov}(x, y) = \dfrac{16 + 5 + 0 + 2 + 20}{5} = 8{,}6\) et \(V(x) = \dfrac{4 + 1 + 0 + 1 + 4}{5} = 2\).
Étape 3 — La droite. \(a = \dfrac{8{,}6}{2} = 4{,}3\) et \(b = 20 - 4{,}3 \times 3 = 7{,}1\) : \(\boxed{y = 4{,}3x + 7{,}1}\).
🔍 Vérification : \(G\) est sur la droite : \(4{,}3 \times 3 + 7{,}1 = 20\) ✓.
- ❌ Inverser les rôles : la droite de \(y\) en \(x\) sert à prévoir \(y\) à partir de \(x\).
- ❌ Arrondir \(a\) trop tôt, puis calculer \(b\) avec la valeur arrondie. ✅ On garde les valeurs exactes (ou de la calculatrice) le plus longtemps possible.
Pour \(x\) : \(1, 2, 3, 4\) et \(y\) : \(2, 4, 5, 7\), on trouve \(\text{cov}(x, y) = 2\) et \(V(x) = 1{,}25\). Donne la droite des moindres carrés.
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\(a = \dfrac{2}{1{,}25} = 1{,}6\) ; \(\bar{x} = 2{,}5\) et \(\bar{y} = 4{,}5\), donc \(b = 4{,}5 - 1{,}6 \times 2{,}5 = 0{,}5\) : \(y = 1{,}6x + 0{,}5\).
\(a = \dfrac{\text{cov}(x, y)}{V(x)}\), \(b = \bar{y} - a\bar{x}\) ; la droite passe par \(G\) ; calculatrice : régression linéaire.
3 Le coefficient de corrélation
Un nuage peut être bien aligné ou très dispersé. Un nombre mesure la qualité de l'ajustement affine.
Le coefficient de corrélation linéaire est \[r = \frac{\text{cov}(x, y)}{\sigma(x)\,\sigma(y)},\] où \(\sigma(x)\) et \(\sigma(y)\) sont les écarts types. La calculatrice le donne avec la droite de régression.
- \(-1 \leqslant r \leqslant 1\), et \(r\) a le signe de \(a\) (même signe que la pente) ;
- plus \(|r|\) est proche de \(1\), plus les points sont proches de la droite ; si \(|r| = 1\), ils sont alignés ;
- si \(r\) est proche de \(0\), un ajustement affine n'a pas de sens. En pratique, on considère souvent l'ajustement affine pertinent quand \(|r| \geqslant 0{,}9\) environ.
Étape 1 — La variance de \(y\). \(V(y) = \dfrac{64 + 25 + 1 + 4 + 100}{5} = 38{,}8\).
Étape 2 — Le coefficient. \(r = \dfrac{8{,}6}{\sqrt{2} \times \sqrt{38{,}8}} \approx \boxed{0{,}976}\).
Conclusion : \(r\) est proche de \(1\) : l'ajustement affine est de bonne qualité.
🔍 Vérification : \(r > 0\), comme la pente \(a = 4{,}3\) ✓.
- ❌ « \(r = -0{,}98\), la corrélation est mauvaise. » ✅ Elle est très forte : seul le signe indique que \(y\) diminue quand \(x\) augmente.
- ❌ « \(r\) proche de \(0\) : aucun lien entre \(x\) et \(y\). » ✅ Il n'y a pas de lien affine ; il peut y avoir un autre type de lien.
Trois séries ont pour coefficients \(0{,}99\) ; \(-0{,}98\) ; \(0{,}18\). Pour lesquelles un ajustement affine est-il pertinent ?
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Pour les deux premières (\(|r|\) proche de \(1\)) ; pas pour la troisième.
\(r = \dfrac{\text{cov}(x, y)}{\sigma(x)\sigma(y)} \in [-1 \,;\, 1]\) ; signe de la pente ; ajustement pertinent si \(|r|\) est proche de \(1\).
4 Prévoir : interpolation, extrapolation, changement de variable
Une fois le modèle choisi, on l'utilise pour estimer des valeurs non mesurées.
Estimer une valeur à l'intérieur de la plage des données, c'est interpoler ; à l'extérieur, c'est extrapoler. L'extrapolation suppose que la tendance continue : elle est moins sûre.
Si le nuage a l'allure d'une exponentielle, on pose \(y = \ln z\). Si les points \((x_i \,;\, \ln z_i)\) sont presque alignés sur \(y = ax + b\), alors \(z \approx e^{b} \times e^{ax}\) : un modèle exponentiel, d'évolution de taux \(e^a - 1\) par unité de \(x\).
On compte une culture de bactéries chaque heure.
| \(t_i\) (h) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(z_i\) | \(100\) | \(165\) | \(270\) | \(450\) | \(740\) |
Étape 1 — Changer de variable. \(y_i = \ln z_i\) : environ \(4{,}605\) ; \(5{,}106\) ; \(5{,}598\) ; \(6{,}109\) ; \(6{,}607\). Ces points sont presque alignés.
Étape 2 — L'ajustement. La calculatrice donne \(y \approx 0{,}50\,t + 4{,}60\), avec \(r \approx 1{,}00\).
Étape 3 — Revenir à \(z\). \(z \approx e^{4{,}60} \times e^{0{,}50\,t} \approx 100 \times 1{,}65^t\) : la population est multipliée par environ \(1{,}65\) chaque heure (\(+65\,\%\)).
Étape 4 — Prévoir. À \(t = 6\) (extrapolation) : \(z \approx 100 \times e^{0{,}5006 \times 6} \approx \boxed{2\,000}\) bactéries.
🔍 Vérification : à \(t = 4\), le modèle donne \(100 \times 1{,}65^4 \approx 741\), très proche de la mesure \(740\) ✓.
- ❌ Faire confiance à une extrapolation lointaine. ✅ Plus on s'éloigne des données, moins la prévision est fiable (une culture finit par manquer de nourriture).
- ❌ Oublier de revenir à \(z\) après le changement de variable : la droite donne \(\ln z\), pas \(z\).
Avec la droite \(y = 1{,}6x + 0{,}5\) (série de l'« À toi » précédent, \(x\) de \(1\) à \(4\)), estime \(y\) pour \(x = 2{,}5\), puis pour \(x = 10\). Lequel des deux calculs est une extrapolation ?
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\(1{,}6 \times 2{,}5 + 0{,}5 = 4{,}5\) (interpolation) et \(1{,}6 \times 10 + 0{,}5 = 16{,}5\) (extrapolation, moins sûre).
Interpoler (dans la plage) ou extrapoler (hors plage, prudence) ; allure exponentielle → \(y = \ln z\), puis \(z = e^{ax + b}\).
5 Corrélation et causalité
Une forte corrélation ne prouve pas que l'une des grandeurs cause l'autre.
Deux grandeurs peuvent être fortement corrélées parce que :
- l'une agit vraiment sur l'autre (causalité) ;
- elles dépendent toutes les deux d'un facteur caché (par exemple la température, ou simplement le temps qui passe) ;
- c'est une coïncidence, surtout avec peu de données. Seule une expérience contrôlée (on fait varier une seule chose à la fois) permet de conclure à une causalité.
Sur une année, les ventes de glaces et le nombre de noyades sont très fortement corrélés.
Étape 1 — La tentation. « Manger une glace fait se noyer » : c'est absurde.
Étape 2 — Le facteur caché. Quand il fait chaud, on achète plus de glaces et on se baigne davantage : la température explique les deux.
Conclusion : la corrélation est réelle, mais il n'y a pas de lien de cause à effet entre glaces et noyades.
🔍 Vérification : à température égale, il n'y a aucune raison que les ventes de glaces changent le nombre de noyades ✓.
- ❌ « \(r = 0{,}99\), donc \(x\) cause \(y\). » ✅ \(r\) mesure un alignement, pas une cause.
- ❌ Oublier le temps : deux grandeurs qui augmentent toutes les deux au fil des années sont toujours corrélées.
Dans plusieurs pays, la consommation de chocolat par habitant est corrélée au nombre de prix Nobel. Propose un facteur caché.
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La richesse du pays, qui permet à la fois de consommer plus de chocolat et de financer la recherche.
Corrélation ≠ causalité ; penser au facteur caché et au temps ; seule une expérience contrôlée prouve une cause.
Quiz du cours
Tu as lu le cours ? Vérifie en 7 questions que tu as retenu l’essentiel. Chaque réponse est corrigée tout de suite, sans chronomètre.
Quel est le point moyen de la série \(x\) : \(1, 2, 3, 4, 5\) et \(y\) : \(12, 15, 21, 22, 30\) ?
\(\bar{x} = \dfrac{15}{5} = 3\) et \(\bar{y} = \dfrac{100}{5} = 20\).
Avec \(\text{cov}(x, y) = 8{,}6\) et \(V(x) = 2\), quel est le coefficient directeur \(a\) de la droite des moindres carrés ?
Réponse attendue : \(4{,}3\)
\(a = \dfrac{\text{cov}(x, y)}{V(x)} = \dfrac{8{,}6}{2}\).
Vrai ou faux : la droite des moindres carrés passe toujours par le point moyen du nuage.
\(b = \bar{y} - a\bar{x}\), donc \(a\bar{x} + b = \bar{y}\).
Un coefficient de corrélation \(r = -0{,}98\) signifie :
\(|r|\) est proche de \(1\) : les points sont presque alignés, sur une droite qui descend.
Après le changement de variable \(y = \ln z\), on obtient \(y = 0{,}5x + 4{,}6\). Que vaut \(z\) ?
\(z = e^y = e^{0{,}5x + 4{,}6} = e^{4{,}6} \times e^{0{,}5x}\).
Revoir dans le cours : 4. Prévoir : interpolation, extrapolation, changement de variable
Les données vont de 2015 à 2025. Estimer la valeur de 2030, c'est :
2030 est en dehors de la plage des données : on suppose que la tendance continue.
Revoir dans le cours : 4. Prévoir : interpolation, extrapolation, changement de variable
Vrai ou faux : si \(r = 0{,}99\), alors \(x\) est la cause des variations de \(y\).
Une corrélation n'est pas une causalité : un facteur caché peut expliquer les deux grandeurs.
À revoir dans le cours :
Questions fréquentes
À quoi sert la droite de régression ?
Elle résume un nuage de points presque alignés par une droite \(y = ax + b\). On s'en sert pour estimer \(y\) à partir d'une valeur de \(x\). Elle passe toujours par le point moyen du nuage.
Comment obtenir la droite des moindres carrés à la calculatrice ?
On entre les \(x\) dans une liste et les \(y\) dans une autre, puis on choisit « régression linéaire » (ou « RegLin ») dans le menu statistique. La calculatrice affiche \(a\), \(b\) et souvent le coefficient \(r\).
Que signifie un coefficient de corrélation proche de 1 ?
Les points du nuage sont très proches d'une droite qui monte : l'ajustement affine est de bonne qualité. Proche de \(-1\), l'ajustement est aussi bon, mais la droite descend.
Quand faut-il utiliser un ajustement exponentiel ?
Quand le nuage a l'allure d'une exponentielle, par exemple pour une grandeur qui augmente d'un même pourcentage à chaque étape. On ajuste alors \(\ln z\) en fonction de \(x\), puis on revient à \(z = e^{ax + b}\).
Voir dans le cours : 4. Prévoir : interpolation, extrapolation, changement de variable
Une forte corrélation prouve-t-elle un lien de cause à effet ?
Non. Deux grandeurs peuvent évoluer ensemble à cause d'un facteur caché, comme la température ou le temps qui passe. Seule une expérience contrôlée permet de conclure à une cause.
Fiche mémo
L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.
L'essentiel
| Notion | À savoir |
|---|---|
| Point moyen | \(G(\bar{x} \,;\, \bar{y})\) |
| Covariance | \(\text{cov}(x, y) = \dfrac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})\) |
| Moindres carrés | \(a = \dfrac{\text{cov}(x, y)}{V(x)}\) ; \(b = \bar{y} - a\bar{x}\) ; passe par \(G\) |
| Corrélation | \(r = \dfrac{\text{cov}(x, y)}{\sigma(x)\sigma(y)} \in [-1 \,;\, 1]\) ; pertinent si \(\lvert r \rvert\) proche de \(1\) |
| Prévision | interpolation (dans la plage) ; extrapolation (hors plage, prudence) |
| Changement de variable | \(y = \ln z\) alignés → \(z = e^{b}e^{ax}\) |
| Causalité | corrélation ≠ causalité ; facteur caché |
Pièges à éviter
- Ne pas arrondir \(a\) avant de calculer \(b\).
- \(r\) négatif proche de \(-1\) : corrélation forte, décroissante.
- Revenir à la variable de départ après un changement de variable.
Contrôle demain ? Prépare ton plan de révision de 30 minutes sur ce chapitre →
Niveau 1Facile (Exercices 1 à 11)
Calcule le point moyen de la série \(x\) : \(2, 4, 6, 8\) et \(y\) : \(5, 9, 10, 16\).
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moyenne de chaque variable.
\(\bar{x} = \dfrac{20}{4} = 5\) et \(\bar{y} = \dfrac{40}{4} = 10\) : \(\boxed{G(5 \,;\, 10)}\).
🔍 Vérification : \(5 + 9 + 10 + 16 = 40\) ✓
Série \(x\) : \(1, 2, 3, 4\) et \(y\) : \(2, 4, 5, 7\).
a) Calcule \(\bar{x}\) et \(\bar{y}\).
b) Calcule \(\text{cov}(x, y)\) et \(V(x)\).
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écarts à la moyenne.
a) \(\bar{x} = 2{,}5\) et \(\bar{y} = 4{,}5\).
b) Écarts de \(x\) : \(-1{,}5\) ; \(-0{,}5\) ; \(0{,}5\) ; \(1{,}5\). Écarts de \(y\) : \(-2{,}5\) ; \(-0{,}5\) ; \(0{,}5\) ; \(2{,}5\). \(\text{cov}(x, y) = \dfrac{3{,}75 + 0{,}25 + 0{,}25 + 3{,}75}{4} = 2\) et \(V(x) = \dfrac{2{,}25 + 0{,}25 + 0{,}25 + 2{,}25}{4} = 1{,}25\).
🔍 Vérification : la somme des écarts de \(x\) est nulle ✓
Avec l'exercice 2, calcule \(a\) et \(b\), puis écris la droite des moindres carrés.
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\(a = \dfrac{\text{cov}}{V(x)}\), \(b = \bar{y} - a\bar{x}\).
\(a = 1{,}6\) et \(b = 4{,}5 - 4 = 0{,}5\) : \(\boxed{y = 1{,}6x + 0{,}5}\).
🔍 Vérification : \(1{,}6 \times 2{,}5 + 0{,}5 = 4{,}5 = \bar{y}\) ✓
Avec la droite \(y = 1{,}6x + 0{,}5\) obtenue pour \(x\) entre \(1\) et \(4\), estime \(y\) pour \(x = 2{,}5\) et pour \(x = 10\). Quelle estimation est la plus fiable ?
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remplacer \(x\) ; repérer la plage des données.
\(x = 2{,}5\) : \(y = 4{,}5\) (interpolation, fiable). \(x = 10\) : \(y = 16{,}5\) (extrapolation loin des données, moins fiable).
🔍 Vérification : \(2{,}5\) est entre \(1\) et \(4\) ; \(10\) est loin au-delà ✓
Que peut-on dire de trois séries de coefficients \(r = 0{,}99\), \(r = -0{,}98\) et \(r = 0{,}18\) ?
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regarder \(|r|\) et le signe.
\(0{,}99\) : très forte corrélation croissante. \(-0{,}98\) : très forte corrélation décroissante. \(0{,}18\) : corrélation très faible, ajustement affine non pertinent.
🔍 Vérification : seul \(|r|\) mesure la qualité ✓
Une droite des moindres carrés a pour équation \(y = -4{,}06x + 53{,}9\). Quel est le signe de \(r\) ? Pourquoi ?
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\(r\) a le signe de \(a\).
La pente \(-4{,}06\) est négative, donc \(r < 0\) : \(y\) diminue quand \(x\) augmente.
🔍 Vérification : \(r\) et \(a\) ont le même numérateur, \(\text{cov}(x, y)\) ✓
Vérifie que le point \(G(3 \,;\, 20)\) est sur la droite \(y = 4{,}3x + 7{,}1\).
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remplacer \(x\) par \(3\).
\(4{,}3 \times 3 + 7{,}1 = 12{,}9 + 7{,}1 = 20\) ✓ : \(G\) est sur la droite.
🔍 Vérification : c'est vrai pour toute droite des moindres carrés (exercice 26) ✓
Un glacier relève la température \(x\) (°C) et ses ventes \(y\) (glaces) :
| \(x_i\) | \(18\) | \(22\) | \(25\) | \(28\) | \(31\) | \(35\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y_i\) | \(120\) | \(180\) | \(210\) | \(260\) | \(300\) | \(370\) |
a) À la calculatrice, donne la droite des moindres carrés (coefficients arrondis au centième) et \(r\).
b) Estime les ventes pour \(30\) °C.
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régression linéaire à la calculatrice.
a) \(y \approx 14{,}46x - 143{,}17\) et \(r \approx 0{,}998\).
b) \(14{,}46 \times 30 - 143{,}17 \approx \boxed{291 \text{ glaces}}\).
🔍 Vérification : \(30\) °C est entre \(28\) et \(31\) °C, et \(291\) est entre \(260\) et \(300\) ✓
Les ventes de glaces et le nombre de noyades sont fortement corrélés. Peut-on dire que les glaces provoquent des noyades ? Explique.
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chercher un facteur caché.
Non : la chaleur fait augmenter à la fois les ventes de glaces et les baignades (donc les noyades). Corrélation ne veut pas dire causalité.
🔍 Vérification : voir l'exemple de la partie 5 ✓
Après le changement de variable \(y = \ln z\), on obtient la droite \(y = 0{,}5x + 4{,}6\). Exprime \(z\) en fonction de \(x\).
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\(z = e^y\).
\(z = e^{0{,}5x + 4{,}6} = e^{4{,}6} \times e^{0{,}5x} \approx \boxed{99{,}5 \times 1{,}65^x}\).
🔍 Vérification : \(e^{0{,}5} \approx 1{,}649\) et \(e^{4{,}6} \approx 99{,}5\) ✓
Des données vont de 2015 à 2025. Estimer la valeur de 2020, est-ce interpoler ou extrapoler ? Et celle de 2030 ?
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dans la plage ou hors de la plage.
2020 : interpolation. 2030 : extrapolation.
🔍 Vérification : 2020 est entre 2015 et 2025 ✓
Niveau 2Intermédiaire (Exercices 12 à 24)
On reprend la série du cours (\(x\) : \(1\) à \(5\) ; \(y\) : \(12, 15, 21, 22, 30\)).
a) Retrouve la droite des moindres carrés et le coefficient \(r\).
b) Estime les ventes pour \(7\) milliers d'euros de publicité. Est-ce fiable ?
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voir les parties 2 et 3.
a) \(y = 4{,}3x + 7{,}1\) et \(r \approx 0{,}976\).
b) \(4{,}3 \times 7 + 7{,}1 = 37{,}2\) milliers d'euros. C'est une extrapolation : la tendance peut ne pas continuer (la publicité finit par moins rapporter).
🔍 Vérification : \(37{,}2 > 30\), cohérent avec une tendance croissante ✓
On relève le prix \(x\) d'un produit (en euros) et le nombre \(y\) d'acheteurs (en centaines) :
| \(x_i\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y_i\) | \(50\) | \(46\) | \(41\) | \(38\) | \(33\) | \(30\) |
a) À la calculatrice, donne la droite des moindres carrés et \(r\).
b) Estime le nombre d'acheteurs pour un prix de \(7\) €.
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régression linéaire.
a) \(y \approx -4{,}06x + 53{,}87\) et \(r \approx -0{,}998\) (très forte corrélation décroissante).
b) \(-4{,}0571 \times 7 + 53{,}8667 \approx \boxed{25{,}5}\) centaines d'acheteurs.
🔍 Vérification : chaque euro de plus fait perdre environ \(400\) acheteurs ✓
Série \(x\) : \(1, 2, 3, 4, 5\) et \(y\) : \(3, 7, 2, 8, 4\). La calculatrice donne \(r \approx 0{,}18\). Un ajustement affine est-il pertinent ?
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regarder \(|r|\).
\(|r| \approx 0{,}18\) est loin de \(1\) : les points sont très dispersés, un ajustement affine n'est pas pertinent.
🔍 Vérification : les \(y\) montent et descendent sans tendance claire ✓
Cinq élèves ont eu en maths (\(x\)) : \(8, 10, 12, 14, 16\) et en physique (\(y\)) : \(9, 11, 11, 15, 17\).
a) Calcule \(\text{cov}(x, y)\) et \(V(x)\), puis la droite des moindres carrés.
b) La calculatrice donne \(r \approx 0{,}96\). Interprète.
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formules de la partie 2.
a) \(\bar{x} = 12\), \(\bar{y} = 12{,}6\). Écarts de \(x\) : \(-4, -2, 0, 2, 4\) ; de \(y\) : \(-3{,}6\) ; \(-1{,}6\) ; \(-1{,}6\) ; \(2{,}4\) ; \(4{,}4\). \(\text{cov} = \dfrac{14{,}4 + 3{,}2 + 0 + 4{,}8 + 17{,}6}{5} = 8\) et \(V(x) = \dfrac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{5} = 8\). Donc \(a = 1\), \(b = 12{,}6 - 12 = 0{,}6\) : \(\boxed{y = x + 0{,}6}\).
b) Forte corrélation : les élèves qui réussissent en maths réussissent aussi en physique, mais cela ne dit pas que l'un cause l'autre.
🔍 Vérification : \(12 + 0{,}6 = 12{,}6 = \bar{y}\) ✓
On reprend la culture du cours (\(z\) : \(100, 165, 270, 450, 740\) pour \(t = 0\) à \(4\)).
a) Calcule les \(y_i = \ln z_i\) à \(10^{-3}\) près.
b) Donne l'ajustement de \(y\) en \(t\) et le modèle pour \(z\).
c) Estime \(z\) pour \(t = 6\).
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voir l'exemple de la partie 4.
a) \(4{,}605\) ; \(5{,}106\) ; \(5{,}598\) ; \(6{,}109\) ; \(6{,}607\).
b) \(y \approx 0{,}5006t + 4{,}6038\) (\(r \approx 1{,}00\)) ; \(z \approx 99{,}9 \times e^{0{,}5006t} \approx 100 \times 1{,}65^t\).
c) \(z(6) \approx \boxed{2\,013}\).
🔍 Vérification : \(e^{0{,}5006} \approx 1{,}650\) ✓
Avec le modèle \(z = e^{0{,}5006t + 4{,}6038}\), résous \(z > 2\,000\). À partir de quelle heure entière la culture dépasse-t-elle \(2\,000\) bactéries ?
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appliquer \(\ln\).
\(0{,}5006t + 4{,}6038 > \ln 2\,000 \iff t > \dfrac{\ln 2\,000 - 4{,}6038}{0{,}5006} \approx 5{,}99\) : à partir de \(\boxed{t = 6}\) h.
🔍 Vérification : \(z(6) \approx 2\,013 > 2\,000\) ✓
La cote d'une voiture d'occasion selon son âge \(t\) (années) :
| \(t_i\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(z_i\) (€) | \(20\,000\) | \(17\,000\) | \(14\,600\) | \(12\,400\) | \(10\,500\) | \(9\,000\) |
a) La calculatrice donne pour l'ajustement affine de \(z\) en \(t\) : \(r \approx -0{,}994\) ; pour l'ajustement de \(\ln z\) en \(t\) : \(\ln z \approx -0{,}16t + 9{,}904\), avec \(r \approx -0{,}9999\). Quel modèle choisir ?
b) Écris le modèle exponentiel sous la forme \(z = k \times q^t\) et interprète \(q\).
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comparer les \(|r|\), puis \(z = e^{b}(e^{a})^t\).
a) \(|-0{,}9999| > |-0{,}994|\) : le modèle exponentiel est meilleur.
b) \(z \approx e^{9{,}904} \times (e^{-0{,}16})^t \approx 20\,008 \times 0{,}852^t\). La voiture perd environ \(15\,\%\) de sa valeur chaque année.
🔍 Vérification : \(20\,008 \times 0{,}852 \approx 17\,047\), proche de \(17\,000\) ✓
Série \(x\) : \(1, 2, 3, 4, 5\) et \(y\) : \(2{,}1\) ; \(5{,}0\) ; \(10{,}2\) ; \(16{,}8\) ; \(26{,}0\). On pose \(X = x^2\).
a) Calcule les \(X_i\).
b) La calculatrice donne \(y \approx 0{,}99X + 1{,}09\) avec \(r \approx 0{,}9999\). Écris le modèle de \(y\) en fonction de \(x\) et estime \(y\) pour \(x = 6\).
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changement de variable \(X = x^2\).
a) \(X_i\) : \(1, 4, 9, 16, 25\).
b) \(y \approx 0{,}99x^2 + 1{,}09\) ; pour \(x = 6\) : \(0{,}99 \times 36 + 1{,}09 \approx \boxed{36{,}7}\).
🔍 Vérification : pour \(x = 5\), le modèle donne \(25{,}84\), proche de \(26{,}0\) ✓
Pour la série de l'exercice 2 et la droite \(y = 1{,}6x + 0{,}5\) :
a) Calcule les écarts \(y_i - (1{,}6x_i + 0{,}5)\) et leur somme.
b) Calcule la somme \(S\) de leurs carrés.
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écart = valeur mesurée − valeur de la droite.
a) \(2 - 2{,}1 = -0{,}1\) ; \(4 - 3{,}7 = 0{,}3\) ; \(5 - 5{,}3 = -0{,}3\) ; \(7 - 6{,}9 = 0{,}1\). Somme : \(0\).
b) \(S = 0{,}01 + 0{,}09 + 0{,}09 + 0{,}01 = \boxed{0{,}2}\).
🔍 Vérification : la somme des écarts est nulle car la droite passe par \(G\) ✓
Même série. On essaie la droite \(y = 1{,}5x + 0{,}75\), qui passe aussi par \(G\).
a) Calcule la somme des carrés des écarts.
b) Compare avec l'exercice 20. Conclus.
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même calcul.
a) Écarts : \(-0{,}25\) ; \(0{,}25\) ; \(-0{,}25\) ; \(0{,}25\) ; somme des carrés : \(4 \times 0{,}0625 = 0{,}25\).
b) \(0{,}25 > 0{,}2\) : cette droite est moins bonne. La droite des moindres carrés donne la plus petite somme possible.
🔍 Vérification : passer par \(G\) ne suffit pas, la pente compte aussi ✓
Une population vaut \(50, 61, 74, 90, 110, 134\) (en milliers) aux instants \(t = 0\) à \(5\) (décennies). L'ajustement de \(\ln z\) en \(t\) donne une pente \(a \approx 0{,}197\). Quel est le taux d'évolution par décennie ?
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taux \(= e^a - 1\).
\(e^{0{,}197} - 1 \approx 0{,}218\) : environ \(\boxed{+22\,\%}\) par décennie.
🔍 Vérification : \(50 \times 1{,}218 \approx 61\) ✓
En Alsace, entre 1960 et 1990, le nombre de cigognes et le nombre de naissances ont diminué ensemble. Faut-il en conclure que les cigognes apportent les bébés ? Propose une explication.
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facteur caché.
Non. L'urbanisation et les changements de mode de vie ont fait baisser à la fois le nombre de cigognes (moins d'habitats) et la natalité. Les deux baisses suivent le temps, sans lien de cause à effet.
🔍 Vérification : c'est un exemple célèbre de corrélation sans causalité ✓
Une calculatrice affiche : \(a = 2{,}35\) ; \(b = 12{,}8\) ; \(r = 0{,}97\), pour \(x\) = heures de révision et \(y\) = note sur \(20\).
a) Écris la droite et interprète \(a\).
b) Estime la note pour \(3\) heures de révision.
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lire \(a\) comme « pour une unité de \(x\) en plus ».
a) \(y = 2{,}35x + 12{,}8\) : chaque heure de révision supplémentaire est associée à environ \(2{,}35\) points de plus (dans ce groupe).
b) \(2{,}35 \times 3 + 12{,}8 = \boxed{19{,}85}\), environ \(19{,}9\) sur \(20\).
🔍 Vérification : avec \(4\) heures, le modèle dépasserait \(20\) : il ne vaut que dans la plage des données ✓
Niveau 3Difficile/Expert (Exercices 25 à 30)
Pour une série \(y_1, \ldots, y_n\), on pose \(S(c) = \sum (y_i - c)^2\).
a) Montre que \(S'(c) = 2nc - 2\sum y_i\).
b) Déduis-en que \(S\) est minimale pour \(c = \bar{y}\).
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dériver un polynôme en \(c\).
a) \(S'(c) = \sum -2(y_i - c) = -2\sum y_i + 2nc\).
b) \(S'(c) = 0 \iff c = \dfrac{\sum y_i}{n} = \bar{y}\) ; \(S'\) est négative avant, positive après : minimum en \(\bar{y}\).
🔍 Vérification : voir la démonstration de la partie 2 ✓
Montre, à partir de \(b = \bar{y} - a\bar{x}\), que le point moyen \(G\) est toujours sur la droite des moindres carrés.
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remplacer \(x\) par \(\bar{x}\).
\(a\bar{x} + b = a\bar{x} + \bar{y} - a\bar{x} = \bar{y}\) : le point \(G(\bar{x} \,;\, \bar{y})\) est sur la droite ✓.
🔍 Vérification : exercice 7 ✓
Dans la série du cours, on a tapé par erreur \(3\) au lieu de \(30\) pour la dernière valeur de \(y\).
a) Calcule le nouveau point moyen.
b) La calculatrice donne alors \(r \approx -0{,}23\). Que remarques-tu ?
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recalculer, puis comparer.
a) \(\bar{y} = \dfrac{12 + 15 + 21 + 22 + 3}{5} = 14{,}6\) : \(G(3 \,;\, 14{,}6)\).
b) Une seule valeur aberrante fait passer \(r\) de \(0{,}976\) à environ \(-0{,}23\) : le coefficient est très sensible aux erreurs. Il faut toujours regarder le nuage avant de calculer.
🔍 Vérification : le point \((5 \,;\, 3)\) est très loin de la tendance ✓
Le nombre de transistors d'un processeur (en millions) a évolué ainsi :
| \(t_i\) (années) | \(0\) | \(2\) | \(4\) | \(6\) | \(8\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(N_i\) | \(1\) | \(2{,}1\) | \(3{,}9\) | \(8{,}2\) | \(15{,}8\) |
a) À la calculatrice, ajuste \(\ln N\) en \(t\) (on trouve une pente \(a \approx 0{,}344\)).
b) Quel est le temps de doublement ?
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doublement quand \(at = \ln 2\).
a) \(\ln N \approx 0{,}344t + 0{,}017\), avec \(r \approx 0{,}9997\).
b) \(N\) double quand \(t\) augmente de \(\dfrac{\ln 2}{0{,}344} \approx \boxed{2 \text{ ans}}\) : c'est la « loi de Moore ».
🔍 Vérification : \(N\) passe de \(1\) à \(2{,}1\) en \(2\) ans ✓
Entre 2000 et 2020, le nombre d'abonnés à Internet et le nombre de voitures électriques ont tous deux augmenté, avec \(r \approx 0{,}95\). Explique pourquoi cela ne prouve aucun lien entre les deux.
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le temps comme facteur caché.
Les deux grandeurs augmentent avec le temps, pour des raisons indépendantes (progrès techniques différents). Leur corrélation vient du temps qui passe, pas d'un lien entre Internet et les voitures électriques.
🔍 Vérification : n'importe quelles grandeurs qui croissent toutes deux sur la même période seraient corrélées ✓
On reprend la voiture de l'exercice 18. L'ajustement affine est \(z \approx -2\,191{,}4t + 19\,395{,}2\).
a) Avec ce modèle, à partir de quel âge la voiture vaudrait-elle moins de \(0\) € ?
b) Compare les prévisions des deux modèles pour \(t = 8\). Lequel est le plus réaliste ?
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résoudre, puis comparer.
a) \(-2\,191{,}4t + 19\,395{,}2 < 0 \iff t > \dfrac{19\,395{,}2}{2\,191{,}4} \approx 8{,}85\) : à partir de \(9\) ans, ce qui est absurde.
b) Pour \(t = 8\) : modèle affine \(\approx 1\,864\) € ; modèle exponentiel \(\approx 20\,008 \times 0{,}852^8 \approx 5\,563\) €. Le modèle exponentiel est plus réaliste : une voiture perd un pourcentage de sa valeur, elle ne tombe jamais à \(0\).
🔍 Vérification : le modèle exponentiel avait déjà le meilleur coefficient de corrélation (exercice 18) ✓
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