Automatismes et évolutions

a) \(10\,\%\) de \(250\) font \(25\), donc \(30\,\%\) font \(3 \times 25 = \boxed{75}\).

b) \(10\,\%\) de \(60\) font \(6\) et \(5\,\%\) font \(3\), donc \(15\,\%\) font \(6 + 3 = \boxed{9}\).

c) \(\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{4} = \boxed{75\,\%}\).

d) \(\dfrac{7}{35} = \dfrac{1}{5} = \boxed{20\,\%}\).

🔍 Vérification : d) \(20\,\%\) de \(35\), c'est \(2 \times 3{,}5 = 7\) ✓

a) \(\boxed{1{,}12}\)
b) \(\boxed{0{,}7}\)
c) \(1 + 0{,}005 = \boxed{1{,}005}\)
d) \(1 - 0{,}025 = \boxed{0{,}975}\)

🔍 Vérification :
a) et
c) sont supérieurs à \(1\) (hausses),
b) et
d) inférieurs à \(1\) (baisses) ✓

a) \(80 \times 1{,}15 = 80 + 12 = \boxed{92 \text{ €}}\) (car \(15\,\%\) de \(80\) font \(8 + 4 = 12\)).

b) \(250 \times 0{,}8 = \boxed{200 \text{ €}}\).

c) \(2{,}5\,\%\) de \(1\,200\) font \(30\) (la moitié de \(5\,\%\), qui fait \(60\)), donc \(\boxed{1\,230 \text{ €}}\).

🔍 Vérification : b) \(20\,\%\) de \(250\) font \(50\), et \(250 - 50 = 200\) ✓

a) \(\dfrac{65 - 50}{50} = \dfrac{15}{50} = 0{,}3\) : \(\boxed{+30\,\%}\).

b) \(\dfrac{60 - 80}{80} = \dfrac{-20}{80} = -0{,}25\) : \(\boxed{-25\,\%}\).

c) \(\dfrac{410 - 400}{400} = \dfrac{10}{400} = 0{,}025\) : \(\boxed{+2{,}5\,\%}\).

🔍 Vérification : b) \(80 \times 0{,}75 = 60\) ✓

a) \(\dfrac{150}{1{,}2} = \boxed{125 \text{ €}}\).

b) \(\dfrac{60}{0{,}75} = \boxed{80 \text{ €}}\).

🔍 Vérification : \(125 \times 1{,}2 = 150\) ✓ et \(80 \times 0{,}75 = 60\) ✓

a) \(3 \times 2x - 3 \times 5 = \boxed{6x - 15}\)

b) \(x^2 - 3x + 2x - 6 = \boxed{x^2 - x - 6}\)

c) \((2x)^2 + 2 \times 2x \times 1 + 1^2 = \boxed{4x^2 + 4x + 1}\)

🔍 Vérification : b) en \(x = 1\) : \((1 + 2)(1 - 3) = -6\) et \(1 - 1 - 6 = -6\) ✓

a) \(6x + 9 = 3 \times 2x + 3 \times 3 = \boxed{3(2x + 3)}\)

b) \(x^2 - 5x = x \times x - 5 \times x = \boxed{x(x - 5)}\)

c) \(x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = \boxed{(x - 4)(x + 4)}\)

🔍 Vérification : c) \((x - 4)(x + 4) = x^2 + 4x - 4x - 16 = x^2 - 16\) ✓

a) \(x - 3 = 0\) ou \(2x + 5 = 0\), donc \(\boxed{x = 3 \text{ ou } x = -\dfrac{5}{2}}\).

b) \(x = 0\) ou \(4 - x = 0\), donc \(\boxed{x = 0 \text{ ou } x = 4}\).

🔍 Vérification : a) \(2 \times \left(-\dfrac{5}{2}\right) + 5 = 0\) ✓

a) \(2x - 6 = 0 \iff x = 3\) ; \(a = 2 > 0\) : \(2x - 6 < 0\) pour \(x < 3\) et \(\boxed{2x - 6 > 0 \text{ pour } x > 3}\).

b) \(-3x + 12 = 0 \iff x = 4\) ; \(a = -3 < 0\) : \(-3x + 12 > 0\) pour \(x < 4\) et \(\boxed{-3x + 12 < 0 \text{ pour } x > 4}\).

🔍 Vérification : b) en \(x = 0\) : \(12 > 0\) ✓ (on est à gauche de \(4\))

a) \(m = \dfrac{9 - 3}{4 - 1} = \dfrac{6}{3} = \boxed{2}\).

b) \(3 = 2 \times 1 + p\), donc \(p = 1\) : \(\boxed{y = 2x + 1}\).

🔍 Vérification : \(2 \times 4 + 1 = 9\) ✓ (\(B\) est bien sur la droite)

a) \(f(0) = \boxed{2}\), \(f(-1) = \boxed{5}\), \(f(5) = \boxed{2}\).

b) La courbe coupe l'axe des abscisses en \(x = 1\) et \(x = 4\) : \(\boxed{S = \{1 \,;\, 4\}}\).

c)

🔍 Vérification : la courbe est sous l'axe entre \(1\) et \(4\) ✓

\(CM = 1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96\), donc \(t = 0{,}96 - 1 = -0{,}04\) : une baisse de \(\boxed{4\,\%}\).

🔍 Vérification : \(100 \to 120 \to 120 \times 0{,}8 = 96\) ✓

\(CM = 1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21\) : une hausse de \(\boxed{21\,\%}\) (et non \(20\,\%\)).

🔍 Vérification : \(100 \to 110 \to 121\) ✓

a) \(\dfrac{1}{1{,}25} = 0{,}8\) : une baisse de \(\boxed{20\,\%}\).

b) \(\dfrac{1}{0{,}8} = 1{,}25\) : une hausse de \(\boxed{25\,\%}\).

c) \(\dfrac{1}{0{,}5} = 2\) : une hausse de \(\boxed{100\,\%}\) (il faut doubler).

🔍 Vérification : c) \(100 \to 50 \to 100\) ✓

a) \(\dfrac{96}{1{,}2} = \boxed{80 \text{ €}}\).

b) TVA \(= 96 - 80 = \boxed{16 \text{ €}}\).

🔍 Vérification : \(20\,\%\) de \(80\) font \(16\) ✓

a) \(CM = 0{,}7 \times 0{,}8 = 0{,}56\), donc \(t = -0{,}44\) : une baisse globale de \(\boxed{44\,\%}\) (et non \(50\,\%\)).

b) \(150 \times 0{,}56 = \boxed{84 \text{ €}}\).

🔍 Vérification : \(150 \times 0{,}7 = 105\), puis \(105 \times 0{,}8 = 84\) ✓

\(CM = 1{,}05^3 = 1{,}157625\), donc une hausse d'environ \(\boxed{15{,}76\,\%}\).

🔍 Vérification : c'est un peu plus que \(3 \times 5\,\% = 15\,\%\), car chaque hausse porte sur une population plus grande ✓

\((x - 2)(x + 3) < 0 \iff \boxed{x \in\, ]-3 \,;\, 2[}\).

🔍 Vérification : en \(x = 0\), le produit vaut \(-6 < 0\) ✓

L'inégalité est large : on garde les valeurs qui annulent. \(\boxed{S = \left[\dfrac{1}{2} \,;\, 3\right]}\).

🔍 Vérification : en \(x = 1\) : \((2 - 1)(3 - 1) = 2 \geqslant 0\) ✓

a) \(m = \dfrac{-3 - 5}{2 - (-2)} = \dfrac{-8}{4} = -2\). Avec \(A\) : \(5 = -2 \times (-2) + p = 4 + p\), donc \(p = 1\) : \(\boxed{y = -2x + 1}\).

b) \(-2 \times 4 + 1 = -7\) : oui, \(C\) est sur la droite.

🔍 Vérification : avec \(B\), \(-2 \times 2 + 1 = -3\) ✓

a) \(m = -\dfrac{1}{2}\) et \(p = 3\).

b) Pour \(x = 0\) : \(y = 3\) ; pour \(x = 2\) : \(y = -1 + 3 = 2\) ; pour \(x = 6\) : \(y = -3 + 3 = 0\). Points \((0 \,;\, 3)\), \((2 \,;\, 2)\), \((6 \,;\, 0)\). On place deux de ces points et on trace la droite qui les relie (le troisième sert de vérification).

🔍 Vérification : quand \(x\) augmente de \(2\), \(y\) diminue de \(1\) : c'est bien une pente de \(-\dfrac{1}{2}\) ✓

a) Somme : \(8 + 10 + 12 + 12 + 14 + 15 + 17 = 88\). Moyenne : \(\dfrac{88}{7} \approx \boxed{12{,}57}\).

b) Il y a \(7\) valeurs, la médiane est la \(4^\text{e}\) : \(\boxed{12}\). Étendue : \(17 - 8 = \boxed{9}\).

🔍 Vérification : la moyenne est proche de la médiane, et entre le minimum et le maximum ✓

a) \(Q_3 - Q_1 = 16 - 10 = \boxed{6 \text{ minutes}}\).

b) Au moins \(\boxed{50\,\%}\) des élèves mettent entre \(10\) et \(16\) minutes.

c) Vrai : au plus un quart des valeurs sont strictement inférieures à \(Q_1 = 10\), donc au moins trois quarts sont supérieures ou égales à \(10\).

🔍 Vérification : la médiane \(13\) est bien entre \(Q_1\) et \(Q_3\) ✓

a) La courbe coupe la droite \(y = 2\) en \(x = 0\) et \(x = 5\) : \(\boxed{S = \{0 \,;\, 5\}}\).

b) La courbe est au-dessus de (ou sur) la droite pour \(x \in [-1 \,;\, 0]\) et pour \(x \in [5 \,;\, 6]\) : \(\boxed{S = [-1 \,;\, 0] \cup [5 \,;\, 6]}\).

c) \(f\) est décroissante sur \(\boxed{[-1 \,;\, 2{,}5]}\).

🔍 Vérification : \(f(-1) = 5 \geqslant 2\) ✓ et \(f(6) = 5 \geqslant 2\) ✓

a) \(\dfrac{118 - 100}{100} = 0{,}18\) : \(\boxed{+18\,\%}\).

b) \(\dfrac{118 - 110}{110} = \dfrac{8}{110} \approx 0{,}0727\) : environ \(\boxed{+7{,}27\,\%}\).

c) On divise par la valeur de départ de la période, \(110\), et non par \(100\) : \(8\) points d'indice représentent moins de \(8\,\%\) de \(110\).

🔍 Vérification : \(110 \times 1{,}0727 \approx 118\) ✓

a) \(10 - 8 = \boxed{2 \text{ points}}\).

b) \(\dfrac{10 - 8}{8} = \dfrac{2}{8} = 0{,}25\) : \(\boxed{+25\,\%}\).

c) Le titre est faux : le taux a augmenté de \(2\) points, soit de \(25\,\%\). Il confond points et pourcentage.

🔍 Vérification : \(8 \times 1{,}25 = 10\) ✓

Le coefficient global est \((1 + t)(1 + t) = (1 + t)^2\), et une hausse de \(44\,\%\) correspond à \(1{,}44\) : \((1 + t)^2 = 1{,}44\).

Comme \(1 + t > 0\) et \(1{,}2^2 = 1{,}44\), on a \(1 + t = 1{,}2\), donc \(\boxed{t = 0{,}2 = 20\,\%}\).

🔍 Vérification : \(1{,}2 \times 1{,}2 = 1{,}44\) ✓

a) \(-2(x - 3)(x - 5) = -2(x^2 - 5x - 3x + 15) = -2(x^2 - 8x + 15) = -2x^2 + 16x - 30\) ✓.

b)

c) Bénéfice (\(B(x) > 0\)) pour une production strictement comprise entre \(\boxed{3 \text{ et } 5 \text{ tonnes}}\).

🔍 Vérification : \(B(4) = -32 + 64 - 30 = 2 > 0\) ✓

a) Formule A : \(A(x) = 2x + 20\) (\(m = 2\), \(p = 20\)). Formule B : \(B(x) = 5x\) (\(m = 5\), \(p = 0\)).

b) \(2x + 20 = 5x \iff 20 = 3x \iff \boxed{x = \dfrac{20}{3} \approx 6{,}67}\).

c) Pour \(6\) séances : A coûte \(32\) €, B coûte \(30\) € ; pour \(7\) séances : A coûte \(34\) €, B coûte \(35\) €. Donc B est plus avantageuse jusqu'à \(6\) séances, A à partir de \(7\) séances.

🔍 Vérification : B a la plus grande pente : elle finit toujours par coûter plus cher ✓

\(0{,}8 \times (1 + t) = 1{,}08 \iff 1 + t = \dfrac{1{,}08}{0{,}8} = 1{,}35 \iff \boxed{t = 0{,}35 = 35\,\%}\).

🔍 Vérification : \(100 \to 80 \to 80 \times 1{,}35 = 108\) ✓