Nombres complexes : module, argument, forme exponentielle
Cours
En électricité, une tension alternative se décrit par son amplitude et son déphasage ; en traitement du son ou de l'image, un signal se découpe en rotations de différentes vitesses. Derrière ces outils, il y a une idée simple : un nombre complexe est un point du plan, repéré par sa distance à l'origine et par un angle. Multiplier deux complexes revient alors à multiplier les distances et additionner les angles. Avec ce chapitre, tu sauras :
- représenter un complexe par un point ou un vecteur, et calculer des distances ;
- trouver le module et un argument d'un complexe, passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique ou exponentielle ;
- calculer des produits, des quotients et de grandes puissances en choisissant la bonne forme ;
- utiliser les formules d'addition, d'Euler et de Moivre pour transformer des expressions trigonométriques.
1 Le plan complexe
On munit le plan d'un repère orthonormé direct \((O \,;\, \vec{u}, \vec{v})\). Chaque complexe devient un point, et chaque point un complexe.
Au complexe \(z = a + ib\) (\(a\), \(b\) réels), on associe le point \(M(a \,;\, b)\), appelé image de \(z\) ; on dit que \(z\) est l'affixe de \(M\). De même, \(z\) est l'affixe du vecteur \(\vec{w}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\). L'axe des abscisses s'appelle l'axe réel, celui des ordonnées l'axe imaginaire.
Si \(A\) et \(B\) ont pour affixes \(z_A\) et \(z_B\),
- le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) a pour affixe \(z_B - z_A\) ;
- le milieu de \([AB]\) a pour affixe \(\dfrac{z_A + z_B}{2}\) ;
- l'image de \(\overline{z}\) est le symétrique de l'image de \(z\) par rapport à l'axe réel.
\(A\) a pour affixe \(1 + 2i\) et \(B\) pour affixe \(4 - 2i\).
Étape 1 — Le vecteur. \(z_{\overrightarrow{AB}} = (4 - 2i) - (1 + 2i) = 3 - 4i\).
Étape 2 — Le milieu. \(\dfrac{(1 + 2i) + (4 - 2i)}{2} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5\) : le milieu est sur l'axe réel.
🔍 Vérification : en coordonnées, \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 - 1 \\ -2 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}\) ✓.
- ❌ \(z_{\overrightarrow{AB}} = z_A - z_B\). ✅ C'est « arrivée moins départ » : \(z_B - z_A\).
Quelle est l'affixe du symétrique de \(A(1 + 2i)\) par rapport à l'axe réel ? par rapport à \(O\) ?
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Par rapport à l'axe réel, \(\overline{z_A} = 1 - 2i\) ; par rapport à \(O\), \(-z_A = -1 - 2i\).
\(z = a + ib \leftrightarrow M(a \,;\, b)\) ; \(z_{\overrightarrow{AB}} = z_B - z_A\) ; milieu \(\dfrac{z_A + z_B}{2}\).
2 Le module
La distance de l'origine au point \(M\) d'affixe \(z\) s'appelle le module de \(z\).
Le module de \(z = a + ib\) est le réel positif \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\). C'est la distance \(OM\). Plus généralement, \(AB = |z_B - z_A|\).
Pour tous complexes \(z\) et \(z'\), et tout entier naturel \(n\), \[|z|^2 = z\,\overline{z}, \qquad |zz'| = |z|\,|z'|, \qquad |z^n| = |z|^n, \qquad \left|\frac{1}{z}\right| = \frac{1}{|z|} \ (z \ne 0).\] En mots : le module d'un produit est le produit des modules ; on peut donc calculer un module sans développer.
L'idée en une phrase : tout repose sur \(|z|^2 = z\,\overline{z}\) et sur les propriétés du conjugué.
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Étape 1 — \(|z|^2 = z\,\overline{z}\). Avec \(z = a + ib\) : \(z\,\overline{z} = (a + ib)(a - ib) = a^2 + b^2 = |z|^2\) ✓.
Étape 2 — Module d'un produit. \(|zz'|^2 = (zz')\overline{(zz')} = z z' \,\overline{z}\,\overline{z'} = (z\,\overline{z})(z'\,\overline{z'}) = |z|^2|z'|^2\), car le conjugué d'un produit est le produit des conjugués. Deux modules étant positifs, \(|zz'| = |z|\,|z'|\) ✓.
Étape 3 — Module d'une puissance. Par récurrence : \(|z^0| = 1 = |z|^0\) ; si \(|z^n| = |z|^n\), alors \(|z^{n+1}| = |z^n \times z| = |z^n|\,|z| = |z|^{n+1}\) (étape 2) ✓.
C'est l'ensemble des complexes de module \(1\), dont les images forment le cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\). Si \(z\) et \(z'\) sont dans \(\mathbb{U}\), alors \(zz'\) et \(\dfrac{1}{z}\) aussi (car \(|zz'| = 1 \times 1\) et \(\left|\dfrac{1}{z}\right| = \dfrac{1}{1}\)).
Étape 1 — \(|3 + 4i|\). \(\sqrt{9 + 16} = 5\).
Étape 2 — \(|(3 + 4i)(1 - i)|\). \(|3 + 4i| \times |1 - i| = 5\sqrt{2}\).
Étape 3 — \(|(2 - i)^{10}|\). \(|2 - i|^{10} = \left(\sqrt{5}\right)^{10} = 5^5 = \boxed{3\,125}\).
🔍 Vérification : \((3 + 4i)(1 - i) = 7 + i\), et \(\sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\) ✓.
- ❌ \(|a + ib| = a + b\) ou \(\sqrt{a^2 - b^2}\). ✅ \(|a + ib| = \sqrt{a^2 + b^2}\).
- ❌ \(|z + z'| = |z| + |z'|\). ✅ C'est faux en général (voir l'exercice 25) : la propriété vaut pour le produit.
Calcule \(|1 - 2i|\) et la distance entre \(A(1 + 2i)\) et \(B(4 - 2i)\).
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\(|1 - 2i| = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\) ; \(AB = |3 - 4i| = 5\).
\(|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = OM\) ; \(|z|^2 = z\,\overline{z}\) ; module d'un produit = produit des modules ; \(AB = |z_B - z_A|\).
3 Argument et forme trigonométrique
Pour repérer un point, on peut donner sa distance à \(O\) et un angle.
Soit \(z\) un complexe non nul d'image \(M\). Un argument de \(z\) est une mesure, en radians, de l'angle orienté \((\vec{u}, \overrightarrow{OM})\). On le note \(\arg(z)\) ; il est défini à \(2\pi\) près. Si \(r = |z|\) et \(\theta = \arg(z)\), alors \(a = r\cos\theta\) et \(b = r\sin\theta\), donc \[z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \qquad \text{(forme trigonométrique).}\]
On calcule \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\), puis on cherche \(\theta\) tel que \(\cos\theta = \dfrac{a}{r}\) et \(\sin\theta = \dfrac{b}{r}\) (valeurs remarquables, ou calculatrice).
Étape 1 — Le module. \(r = \sqrt{1 + 3} = 2\).
Étape 2 — L'argument. \(\cos\theta = \dfrac{1}{2}\) et \(\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), donc \(\theta = \dfrac{\pi}{3}\) (à \(2\pi\) près).
Étape 3 — Conclure. \(\boxed{z = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)}\).
🔍 Vérification : \(2\cos\dfrac{\pi}{3} = 1\) et \(2\sin\dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}\) ✓.
- ❌ Ne regarder que le cosinus : \(\cos\theta = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) donne \(\theta = \dfrac{5\pi}{6}\) ou \(-\dfrac{5\pi}{6}\). ✅ Le signe du sinus (de la partie imaginaire) départage.
- ❌ Chercher un argument de \(0\). ✅ \(0\) n'a pas d'argument.
Donne le module et un argument de \(-2\), puis la forme trigonométrique de \(-1 + i\).
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\(|-2| = 2\) et \(\arg(-2) = \pi\). Pour \(-1 + i\) : \(r = \sqrt{2}\), \(\cos\theta = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) et \(\sin\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), donc \(\theta = \dfrac{3\pi}{4}\) et \(-1 + i = \sqrt{2}\left(\cos\dfrac{3\pi}{4} + i\sin\dfrac{3\pi}{4}\right)\).
\(\arg(z)\) = angle \((\vec{u}, \overrightarrow{OM})\), à \(2\pi\) près ; \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\) ; cosinus et sinus pour trouver \(\theta\).
4 Formules d'addition et de duplication
Pour multiplier deux complexes sous forme trigonométrique, on a besoin de \(\cos(a + b)\) et \(\sin(a + b)\).
Pour tous réels \(a\) et \(b\), \[\cos(a - b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b, \qquad \cos(a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b,\] \[\sin(a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b, \qquad \sin(a - b) = \sin a\cos b - \cos a\sin b.\] Formules de duplication : \(\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a\) et \(\sin(2a) = 2\sin a\cos a\).
L'idée en une phrase : on calcule de deux façons le produit scalaire de deux vecteurs unitaires.
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Étape 1 — Deux vecteurs. Soient \(\vec{w_1}\begin{pmatrix} \cos a \\ \sin a \end{pmatrix}\) et \(\vec{w_2}\begin{pmatrix} \cos b \\ \sin b \end{pmatrix}\), de norme \(1\), qui font avec \(\vec{u}\) les angles \(a\) et \(b\).
Étape 2 — Avec les coordonnées. Dans la base orthonormée, \(\vec{w_1} \cdot \vec{w_2} = \cos a\cos b + \sin a\sin b\).
Étape 3 — Avec l'angle. L'angle entre les deux vecteurs a pour mesure \(a - b\) (au signe près, sans effet sur le cosinus), donc \(\vec{w_1} \cdot \vec{w_2} = 1 \times 1 \times \cos(a - b)\).
Étape 4 — Conclure. \(\cos(a - b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\) ✓. En remplaçant \(b\) par \(-b\) (et \(\cos(-b) = \cos b\), \(\sin(-b) = -\sin b\)), on obtient \(\cos(a + b)\) ; les formules pour \(\sin\) s'en déduisent avec \(\sin x = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)\), et la duplication avec \(b = a\).
Étape 1 — Décomposer. \(\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{4}\).
Étape 2 — Appliquer. \(\cos\dfrac{\pi}{12} = \cos\dfrac{\pi}{3}\cos\dfrac{\pi}{4} + \sin\dfrac{\pi}{3}\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \boxed{\dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}\).
🔍 Vérification : \(\dfrac{1{,}414 + 2{,}449}{4} \approx 0{,}966\) et la calculatrice donne \(\cos\dfrac{\pi}{12} \approx 0{,}966\) ✓.
- ❌ \(\cos(a + b) = \cos a + \cos b\). ✅ Il faut la formule d'addition.
- ❌ Signe dans \(\cos(a + b)\) : « \(+\sin a\sin b\) ». ✅ Pour \(\cos(a + b)\), c'est moins ; pour \(\cos(a - b)\), c'est plus.
Sachant que \(\cos a = \dfrac{1}{3}\), calcule \(\cos(2a)\).
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\(\cos(2a) = 2\cos^2 a - 1 = 2 \times \dfrac{1}{9} - 1 = -\dfrac{7}{9}\).
\(\cos(a \pm b)\), \(\sin(a \pm b)\), \(\cos(2a) = 2\cos^2 a - 1\), \(\sin(2a) = 2\sin a\cos a\) ; démonstration par le produit scalaire.
5 Forme exponentielle
On note \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\). Cette notation se comporte comme une exponentielle : les arguments s'additionnent quand on multiplie.
Pour tout réel \(\theta\), \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\). C'est un complexe de module \(1\), d'argument \(\theta\). Tout complexe non nul de module \(r\) et d'argument \(\theta\) s'écrit \[z = r\,e^{i\theta} \qquad \text{(forme exponentielle).}\]
- Le point \(M\) d'affixe \(e^{i\theta}\) tourne sur le cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\), dans le sens direct : son module reste égal à \(1\).
- Sa projection sur l'axe des réels (en pointillés verts) donne la partie réelle \(\cos\theta\).
- Sa projection sur l'axe des imaginaires (en pointillés rouges) donne la partie imaginaire \(\sin\theta\).
- Après un tour complet, \(\theta\) a augmenté de \(2\pi\) et le point revient au même endroit : \(e^{i(\theta + 2\pi)} = e^{i\theta}\).
\(e^{i\theta} \times e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')}\). Par conséquent, pour \(z = r e^{i\theta}\) et \(z' = r' e^{i\theta'}\) non nuls, et \(n\) entier naturel : \[zz' = rr'\,e^{i(\theta + \theta')}, \qquad \frac{z}{z'} = \frac{r}{r'}\,e^{i(\theta - \theta')}, \qquad z^n = r^n\,e^{in\theta}, \qquad \overline{z} = r\,e^{-i\theta}.\] En mots : on multiplie les modules et on additionne les arguments.
L'idée en une phrase : on développe et on reconnaît les formules d'addition.
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Étape 1 — Développer. \((\cos\theta + i\sin\theta)(\cos\theta' + i\sin\theta') = (\cos\theta\cos\theta' - \sin\theta\sin\theta') + i(\sin\theta\cos\theta' + \cos\theta\sin\theta')\), car \(i^2 = -1\).
Étape 2 — Reconnaître. La partie réelle est \(\cos(\theta + \theta')\) et la partie imaginaire \(\sin(\theta + \theta')\) (partie 4) : le produit vaut \(e^{i(\theta + \theta')}\) ✓.
Calculer \((1 + i)^8\).
Étape 1 — Forme exponentielle. \(|1 + i| = \sqrt{2}\) et \(\arg(1 + i) = \dfrac{\pi}{4}\), donc \(1 + i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}\).
Étape 2 — Élever à la puissance. \((1 + i)^8 = \left(\sqrt{2}\right)^8 e^{i \times 8\pi/4} = 16\,e^{2i\pi}\).
Étape 3 — Conclure. \(e^{2i\pi} = \cos(2\pi) + i\sin(2\pi) = 1\), donc \(\boxed{(1 + i)^8 = 16}\).
🔍 Vérification : \((1 + i)^2 = 2i\), \((2i)^2 = -4\), \((-4)^2 = 16\) ✓.
- ❌ \(r\,e^{i\theta} \times r'\,e^{i\theta'} = rr'\,e^{i\theta\theta'}\). ✅ Les arguments s'additionnent.
- ❌ \(-2\,e^{i\pi/5}\) est une forme exponentielle de module \(-2\). ✅ Un module est positif : \(-2\,e^{i\pi/5} = 2\,e^{i(\pi/5 + \pi)} = 2\,e^{6i\pi/5}\).
Écris \(6\,e^{2i\pi/3}\) sous forme algébrique, puis calcule \(\left(\sqrt{3} + i\right)^3\) avec la forme exponentielle.
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\(6\left(-\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -3 + 3i\sqrt{3}\). Puis \(\sqrt{3} + i = 2\,e^{i\pi/6}\), donc \(\left(\sqrt{3} + i\right)^3 = 8\,e^{i\pi/2} = 8i\).
\(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\) ; \(z = re^{i\theta}\) ; produit : modules multipliés, arguments additionnés ; \(z^n = r^n e^{in\theta}\).
6 Formules d'Euler et de Moivre
Les deux formules suivantes servent à transformer des expressions trigonométriques.
Pour tout réel \(\theta\), \[\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}, \qquad \sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}.\] Formule de Moivre : pour tout réel \(\theta\) et tout entier naturel \(n\), \[(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta).\]
L'idée en une phrase : on additionne ou soustrait \(e^{i\theta}\) et son conjugué ; Moivre est \(\left(e^{i\theta}\right)^n = e^{in\theta}\).
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Étape 1 — Euler. \(e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta\) (car \(\cos(-\theta) = \cos\theta\) et \(\sin(-\theta) = -\sin\theta\)). En additionnant : \(e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2\cos\theta\) ; en soustrayant : \(e^{i\theta} - e^{-i\theta} = 2i\sin\theta\) ✓.
Étape 2 — Moivre. \(\left(e^{i\theta}\right)^n = e^{in\theta}\) par la relation fonctionnelle appliquée \(n\) fois ; on écrit les deux membres sous forme trigonométrique ✓.
Étape 1 — Euler. \(\cos^2 x = \left(\dfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)^2 = \dfrac{e^{2ix} + 2 + e^{-2ix}}{4} = \dfrac{2\cos(2x) + 2}{4} = \boxed{\dfrac{1 + \cos(2x)}{2}}\).
Étape 2 — Moivre avec \(n = 3\). \((\cos x + i\sin x)^3 = \cos^3 x + 3i\cos^2 x\sin x - 3\cos x\sin^2 x - i\sin^3 x\) (binôme). La partie réelle vaut \(\cos(3x)\) : \(\cos(3x) = \cos^3 x - 3\cos x\sin^2 x = \cos^3 x - 3\cos x(1 - \cos^2 x) = \boxed{4\cos^3 x - 3\cos x}\).
🔍 Vérification : en \(x = 0\) : \(\cos^2 0 = 1 = \dfrac{1 + 1}{2}\) ✓ et \(\cos 0 = 1 = 4 - 3\) ✓.
- ❌ \(\sin\theta = \dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2}\). ✅ Il y a un \(i\) au dénominateur : \(2i\).
- ❌ \(\cos(3x) = 3\cos x\). ✅ C'est \(4\cos^3 x - 3\cos x\).
Linéarise \(\sin^2 x\) avec la formule d'Euler.
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\(\sin^2 x = \left(\dfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}\right)^2 = \dfrac{e^{2ix} - 2 + e^{-2ix}}{-4} = \dfrac{2 - 2\cos(2x)}{4} = \dfrac{1 - \cos(2x)}{2}\).
Euler \(\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\), \(\sin\theta = \dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}\) ; Moivre \((\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\) ; linéariser = remplacer les puissances de \(\cos\) et \(\sin\) par des \(\cos(kx)\), \(\sin(kx)\).
Quiz du cours
Tu as lu le cours ? Vérifie en 8 questions que tu as retenu l’essentiel. Chaque réponse est corrigée tout de suite, sans chronomètre.
Combien vaut le module de \(3 + 4i\) ?
Réponse attendue : \(5\)
\(|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\).
\(A\) a pour affixe \(1 + 2i\) et \(B\) pour affixe \(4 - 2i\). Que vaut la distance \(AB\) ?
\(AB = |z_B - z_A| = |3 - 4i| = 5\).
Quel est un argument de \(1 + i\sqrt{3}\) ?
Le module vaut \(2\), et \(\cos\theta = \dfrac{1}{2}\), \(\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), donc \(\theta = \dfrac{\pi}{3}\).
Quelle est la formule correcte ?
Pour \(\cos(a + b)\), le signe est « moins » ; « plus » correspond à \(\cos(a - b)\).
Revoir dans le cours : 4. Formules d'addition et de duplication
Quelle est la forme algébrique de \(2e^{i\pi/3} \times 3e^{i\pi/6}\) ?
On multiplie les modules (\(6\)) et on additionne les arguments (\(\dfrac{\pi}{2}\)) : \(6e^{i\pi/2} = 6i\).
Combien vaut \((1 + i)^8\) ?
Réponse attendue : \(16\)
\(1 + i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}\), donc \((1 + i)^8 = 16\,e^{2i\pi} = 16\).
Vrai ou faux : \(-2e^{i\pi/5}\) est une forme exponentielle de module \(-2\).
Un module est positif : \(-2e^{i\pi/5} = 2e^{i(\pi/5 + \pi)} = 2e^{6i\pi/5}\).
À quoi est égal \(\cos^2 x\) ?
Avec Euler : \(\cos^2 x = \dfrac{e^{2ix} + 2 + e^{-2ix}}{4} = \dfrac{1 + \cos(2x)}{2}\).
À revoir dans le cours :
Fiche mémo
L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.
L'essentiel
| Notion | À savoir |
|---|---|
| Plan complexe | \(z = a + ib \leftrightarrow M(a \,;\, b)\) ; \(z_{\overrightarrow{AB}} = z_B - z_A\) ; milieu \(\dfrac{z_A + z_B}{2}\) |
| Module | \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = OM\) ; \(|z|^2 = z\,\overline{z}\) ; \(AB = |z_B - z_A|\) |
| Règles du module | \(|zz'| = |z|\,|z'|\), \(|z^n| = |z|^n\), \(\left|\dfrac{1}{z}\right| = \dfrac{1}{|z|}\) |
| \(\mathbb{U}\) | complexes de module \(1\) (cercle unité), stable par produit et inverse |
| Argument | angle \((\vec{u}, \overrightarrow{OM})\) à \(2\pi\) près ; \(\cos\theta = \dfrac{a}{r}\), \(\sin\theta = \dfrac{b}{r}\) |
| Formes | \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}\) |
| Produit, quotient, puissance | \(rr'e^{i(\theta + \theta')}\), \(\dfrac{r}{r'}e^{i(\theta - \theta')}\), \(r^ne^{in\theta}\) ; \(\overline{z} = re^{-i\theta}\) |
| Addition | \(\cos(a \pm b) = \cos a\cos b \mp \sin a\sin b\) ; \(\sin(a \pm b) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b\) |
| Duplication | \(\cos 2a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a\) ; \(\sin 2a = 2\sin a\cos a\) |
| Euler | \(\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\), \(\sin\theta = \dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}\) |
| Moivre | \((\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\) |
| \(\theta\) | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\pi\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(e^{i\theta}\) | \(1\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}i\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}i\) | \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\) | \(i\) | \(-1\) |
Pièges à éviter
- Le module est positif ; \(0\) n'a pas d'argument.
- Pour l'argument, utiliser cosinus et sinus.
- On additionne les arguments d'un produit (on ne les multiplie pas).
- \(|z + z'| \ne |z| + |z'|\) en général.
- \(\sin\theta = \dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}\) : ne pas oublier le \(i\).
Contrôle demain ? Prépare ton plan de révision de 30 minutes sur ce chapitre →
Niveau 1Facile (Exercices 1 à 11)
a) Donne les affixes des points \(A(2 \,;\, -1)\) et \(B(0 \,;\, 4)\).
b) Donne les coordonnées des images de \(-3 + 2i\) et de \(-5\).
c) Quelle est l'affixe du symétrique de \(A\) par rapport à l'axe réel ?
Voir la correction›
\(M(a \,;\, b) \leftrightarrow a + ib\).
a) \(z_A = 2 - i\) et \(z_B = 4i\).
b) \(-3 + 2i\) a pour image \((-3 \,;\, 2)\) ; \(-5\) a pour image \((-5 \,;\, 0)\).
c) \(\overline{z_A} = \boxed{2 + i}\).
🔍 Vérification : \((2 \,;\, 1)\) est bien le symétrique de \((2 \,;\, -1)\) par rapport à l'axe des abscisses ✓
\(A\) a pour affixe \(1 + 2i\) et \(B\) pour affixe \(4 - 2i\). Calcule l'affixe de \(\overrightarrow{AB}\) et celle du milieu de \([AB]\).
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\(z_{\overrightarrow{AB}} = z_B - z_A\) et milieu \(\dfrac{z_A + z_B}{2}\).
\(z_{\overrightarrow{AB}} = \boxed{3 - 4i}\) ; milieu : \(\dfrac{5}{2} = \boxed{2{,}5}\).
🔍 Vérification : \(1 + 2i + (3 - 4i) = 4 - 2i = z_B\) ✓
Calcule :
a) \(|3 + 4i|\)
b) \(|-5i|\)
c) \(|1 - i|\)
d) \(|-6|\)
Voir la correction›
\(|a + ib| = \sqrt{a^2 + b^2}\).
a) \(\sqrt{9 + 16} = \boxed{5}\)
b) \(\sqrt{0 + 25} = \boxed{5}\)
c) \(\boxed{\sqrt{2}}\)
d) \(\boxed{6}\)
🔍 Vérification : d) la distance de \(O\) au point \((-6 \,;\, 0)\) est \(6\) ✓
Avec les points de l'exercice 2, calcule la distance \(AB\).
Voir la correction›
\(AB = |z_B - z_A|\).
\(AB = |3 - 4i| = \sqrt{9 + 16} = \boxed{5}\).
🔍 Vérification : triangle \(3\)-\(4\)-\(5\) ✓
Donne un argument de :
a) \(i\)
b) \(-3\)
c) \(1 + i\)
d) \(-2i\)
Voir la correction›
placer le point et lire l'angle avec l'axe réel.
a) \(\boxed{\dfrac{\pi}{2}}\)
b) \(\boxed{\pi}\)
c) \(\boxed{\dfrac{\pi}{4}}\)
d) \(\boxed{-\dfrac{\pi}{2}}\)
🔍 Vérification : c) le point \((1 \,;\, 1)\) est sur la première bissectrice ✓
Écris sous forme trigonométrique :
a) \(1 + i\sqrt{3}\)
b) \(-1 + i\)
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module, puis \(\cos\theta = \dfrac{a}{r}\) et \(\sin\theta = \dfrac{b}{r}\).
a) \(r = 2\), \(\cos\theta = \dfrac{1}{2}\), \(\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) : \(\boxed{1 + i\sqrt{3} = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)}\).
b) \(r = \sqrt{2}\), \(\cos\theta = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) : \(\boxed{-1 + i = \sqrt{2}\left(\cos\dfrac{3\pi}{4} + i\sin\dfrac{3\pi}{4}\right)}\).
🔍 Vérification : b) \(\sqrt{2}\cos\dfrac{3\pi}{4} = -1\) ✓
Écris sous forme algébrique :
a) \(2\,e^{i\pi/6}\)
b) \(4\,e^{-i\pi/2}\)
c) \(3\,e^{i\pi}\)
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\(re^{i\theta} = r\cos\theta + ir\sin\theta\).
a) \(2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}i\right) = \boxed{\sqrt{3} + i}\)
b) \(4(0 - i) = \boxed{-4i}\)
c) \(3(-1 + 0i) = \boxed{-3}\)
🔍 Vérification : a) \(|\sqrt{3} + i| = \sqrt{3 + 1} = 2\) ✓
Sans développer, calcule \(|(3 + 4i)(1 - i)|\) et \(\left|\dfrac{3 + 4i}{1 - i}\right|\).
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module d'un produit, module d'un quotient.
\(|(3 + 4i)(1 - i)| = 5 \times \sqrt{2} = \boxed{5\sqrt{2}}\) ; \(\left|\dfrac{3 + 4i}{1 - i}\right| = \dfrac{5}{\sqrt{2}} = \boxed{\dfrac{5\sqrt{2}}{2}}\).
🔍 Vérification : \((3 + 4i)(1 - i) = 7 + i\) et \(|7 + i| = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\) ✓
Calcule \(2\,e^{i\pi/3} \times 3\,e^{i\pi/6}\) et écris le résultat sous forme algébrique.
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modules multipliés, arguments additionnés.
\(6\,e^{i(\pi/3 + \pi/6)} = 6\,e^{i\pi/2} = \boxed{6i}\).
🔍 Vérification : \(2 \times 3 = 6\) et \(\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}\) ✓
Calcule \(\dfrac{4\,e^{2i\pi/3}}{2\,e^{i\pi/6}}\) et écris le résultat sous forme algébrique.
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modules divisés, arguments soustraits.
\(2\,e^{i(2\pi/3 - \pi/6)} = 2\,e^{i\pi/2} = \boxed{2i}\).
🔍 Vérification : \(\dfrac{2\pi}{3} - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{4\pi - \pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}\) ✓
a) Quel est le module de \(e^{i\theta}\) ?
b) Vérifie que \(\dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5}i\) appartient à \(\mathbb{U}\).
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\(|e^{i\theta}| = \sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta}\).
a) \(|e^{i\theta}| = \sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta} = \boxed{1}\).
b) \(\left(\dfrac{3}{5}\right)^2 + \left(\dfrac{4}{5}\right)^2 = \dfrac{9 + 16}{25} = 1\) : le module vaut \(1\), le nombre est dans \(\mathbb{U}\).
🔍 Vérification : c'est l'exemple du triangle \(3\)-\(4\)-\(5\) divisé par \(5\) ✓
Niveau 2Intermédiaire (Exercices 12 à 24)
Calcule \((1 + i)^8\) en utilisant la forme exponentielle.
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forme exponentielle, puis \(z^n = r^n e^{in\theta}\).
\(1 + i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}\), donc \((1 + i)^8 = \left(\sqrt{2}\right)^8 e^{2i\pi} = 16 \times 1 = \boxed{16}\).
🔍 Vérification : \((1 + i)^2 = 2i\), \((2i)^4 = 16i^4 = 16\) ✓
Calcule \(\left(1 + i\sqrt{3}\right)^6\).
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\(1 + i\sqrt{3} = 2\,e^{i\pi/3}\).
\(\left(1 + i\sqrt{3}\right)^6 = 2^6\,e^{6i\pi/3} = 64\,e^{2i\pi} = \boxed{64}\).
🔍 Vérification : \(\left(1 + i\sqrt{3}\right)^3 = 8\,e^{i\pi} = -8\), et \((-8)^2 = 64\) ✓
a) Écris \(\sqrt{3} - i\) sous forme exponentielle.
b) Déduis-en \(\left(\sqrt{3} - i\right)^5\) sous forme algébrique.
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module et argument (sinus négatif), puis puissance.
a) \(r = 2\), \(\cos\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), \(\sin\theta = -\dfrac{1}{2}\), donc \(\theta = -\dfrac{\pi}{6}\) : \(\boxed{\sqrt{3} - i = 2\,e^{-i\pi/6}}\).
b) \(\left(\sqrt{3} - i\right)^5 = 32\,e^{-5i\pi/6} = 32\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{2}i\right) = \boxed{-16\sqrt{3} - 16i}\).
🔍 Vérification : le module de \(-16\sqrt{3} - 16i\) est \(\sqrt{768 + 256} = \sqrt{1\,024} = 32 = 2^5\) ✓
Calcule les valeurs exactes de \(\cos\dfrac{\pi}{12}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{12}\), en écrivant \(\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{4}\).
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formules de \(\cos(a - b)\) et \(\sin(a - b)\) avec \(a = \dfrac{\pi}{3}\), \(b = \dfrac{\pi}{4}\).
\(\cos\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \boxed{\dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}\) ; \(\sin\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \boxed{\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}\).
🔍 Vérification : \(\left(\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right)^2 = \dfrac{(8 + 2\sqrt{12}) + (8 - 2\sqrt{12})}{16} = 1\) ✓
On sait que \(\cos a = \dfrac{1}{3}\). Calcule \(\cos(2a)\) et \(\sin^2 a\).
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\(\cos(2a) = 2\cos^2 a - 1\) et \(\sin^2 a = 1 - \cos^2 a\).
\(\cos(2a) = \dfrac{2}{9} - 1 = \boxed{-\dfrac{7}{9}}\) ; \(\sin^2 a = 1 - \dfrac{1}{9} = \boxed{\dfrac{8}{9}}\).
🔍 Vérification : \(1 - 2\sin^2 a = 1 - \dfrac{16}{9} = -\dfrac{7}{9}\) ✓
Linéarise \(\cos^2 x\) et \(\sin^2 x\) à l'aide des formules d'Euler.
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élever au carré les formules d'Euler, puis regrouper \(e^{2ix} + e^{-2ix} = 2\cos(2x)\).
\(\cos^2 x = \dfrac{e^{2ix} + 2 + e^{-2ix}}{4} = \boxed{\dfrac{1 + \cos(2x)}{2}}\) ; \(\sin^2 x = \dfrac{e^{2ix} - 2 + e^{-2ix}}{(2i)^2} = \dfrac{2\cos(2x) - 2}{-4} = \boxed{\dfrac{1 - \cos(2x)}{2}}\).
🔍 Vérification : la somme vaut \(1\) ✓
Avec la formule de Moivre pour \(n = 3\), exprime \(\cos(3\theta)\) en fonction de \(\cos\theta\) et \(\sin(3\theta)\) en fonction de \(\sin\theta\).
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développer \((\cos\theta + i\sin\theta)^3\) par le binôme et identifier.
\((c + is)^3 = c^3 + 3ic^2s - 3cs^2 - is^3\), avec \(c = \cos\theta\), \(s = \sin\theta\).
Partie réelle : \(\cos(3\theta) = c^3 - 3cs^2 = c^3 - 3c(1 - c^2) = \boxed{4\cos^3\theta - 3\cos\theta}\).
Partie imaginaire : \(\sin(3\theta) = 3c^2s - s^3 = 3(1 - s^2)s - s^3 = \boxed{3\sin\theta - 4\sin^3\theta}\).
🔍 Vérification : en \(\theta = \dfrac{\pi}{2}\) : \(\sin\dfrac{3\pi}{2} = -1\) et \(3 - 4 = -1\) ✓
On pose \(Z = \dfrac{1 + i\sqrt{3}}{1 + i}\).
a) Écris \(Z\) sous forme exponentielle.
b) Écris \(Z\) sous forme algébrique.
c) Déduis-en la valeur exacte de \(\cos\dfrac{\pi}{12}\).
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calculer \(Z\) de deux façons, puis identifier les parties réelles.
a) \(1 + i\sqrt{3} = 2\,e^{i\pi/3}\) et \(1 + i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}\), donc \(Z = \dfrac{2}{\sqrt{2}}\,e^{i(\pi/3 - \pi/4)} = \boxed{\sqrt{2}\,e^{i\pi/12}}\).
b) \(Z = \dfrac{(1 + i\sqrt{3})(1 - i)}{2} = \dfrac{1 - i + i\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2} = \boxed{\dfrac{1 + \sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2}\,i}\).
c) Partie réelle : \(\sqrt{2}\cos\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2}\), donc \(\cos\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \boxed{\dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}\).
🔍 Vérification : on retrouve le résultat de l'exercice 15 ✓
Décris l'ensemble des points \(M\) d'affixe \(z\) tels que :
a) \(|z - 2i| = 3\)
b) \(|z - 1| = |z + i|\)
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traduire les modules en distances.
a) \(|z - 2i| = AM\) avec \(A(0 \,;\, 2)\) : l'ensemble est le cercle de centre \(A(0 \,;\, 2)\) et de rayon \(3\).
b) \(|z - 1| = |z + i| \iff BM = CM\) avec \(B(1 \,;\, 0)\) et \(C(0 \,;\, -1)\) : c'est la médiatrice de \([BC]\).
🔍 Vérification : b) \(O\) est équidistant de \(B\) et \(C\) (\(OB = OC = 1\)) : il est bien sur la médiatrice ✓
a) Montre que si \(|z| = 1\), alors \(\dfrac{1}{z} = \overline{z}\).
b) Vérifie avec \(z = e^{i\pi/5}\).
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\(z\,\overline{z} = |z|^2\).
a) Si \(|z| = 1\), alors \(z\,\overline{z} = 1\), donc \(\dfrac{1}{z} = \overline{z}\).
b) \(\dfrac{1}{e^{i\pi/5}} = e^{-i\pi/5}\), qui est bien le conjugué de \(e^{i\pi/5}\) ✓.
🔍 Vérification : \(e^{i\pi/5} \times e^{-i\pi/5} = e^0 = 1\) ✓
a) Démontre que \(|z^n| = |z|^n\) pour tout entier naturel \(n\).
b) Calcule \(|(2 - i)^{10}|\).
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récurrence avec la règle du produit.
a) Pour \(n = 0\) : \(|z^0| = 1 = |z|^0\). Si \(|z^n| = |z|^n\), alors \(|z^{n+1}| = |z^n|\,|z| = |z|^n|z| = |z|^{n+1}\). Donc la propriété est vraie pour tout \(n\).
b) \(|(2 - i)^{10}| = |2 - i|^{10} = \left(\sqrt{5}\right)^{10} = \boxed{3\,125}\).
🔍 Vérification : \(\left(\sqrt{5}\right)^{10} = 5^5\) ✓
Pour quels entiers naturels \(n\) le nombre \((1 + i)^n\) est-il réel ?
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\((1 + i)^n = \left(\sqrt{2}\right)^n e^{in\pi/4}\) est réel si, et seulement si, \(\sin\dfrac{n\pi}{4} = 0\).
\(\sin\dfrac{n\pi}{4} = 0 \iff \dfrac{n\pi}{4}\) est un multiple de \(\pi\) \(\iff\) \(\boxed{n \text{ est un multiple de } 4}\).
🔍 Vérification : \((1 + i)^4 = -4\) (réel) et \((1 + i)^2 = 2i\) (non réel) ✓
a) Écris \(-2\,e^{i\pi/5}\) sous forme exponentielle (avec un module positif).
b) Donne la forme exponentielle du conjugué de \(5\,e^{i\pi/7}\).
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\(-1 = e^{i\pi}\) ; conjugué : on change le signe de l'argument.
a) \(-2\,e^{i\pi/5} = 2\,e^{i\pi}e^{i\pi/5} = \boxed{2\,e^{6i\pi/5}}\).
b) \(\boxed{5\,e^{-i\pi/7}}\).
🔍 Vérification : a) \(e^{6i\pi/5} = -e^{i\pi/5}\), car ajouter \(\pi\) à l'argument change le signe ✓
Niveau 3Difficile/Expert (Exercices 25 à 30)
a) Montre que \(|z + z'|^2 = |z|^2 + |z'|^2 + 2\operatorname{Re}(z\,\overline{z'})\).
b) En admettant que \(\operatorname{Re}(w) \leqslant |w|\) pour tout complexe \(w\), déduis-en que \(|z + z'| \leqslant |z| + |z'|\).
c) Vérifie sur \(z = 3\) et \(z' = 4i\). Interprète géométriquement.
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\(|w|^2 = w\,\overline{w}\), puis majoration.
a) \(|z + z'|^2 = (z + z')(\overline{z} + \overline{z'}) = z\,\overline{z} + z'\,\overline{z'} + z\,\overline{z'} + \overline{z}\,z'\). Or \(\overline{z}\,z' = \overline{z\,\overline{z'}}\), et \(w + \overline{w} = 2\operatorname{Re}(w)\) : \(|z + z'|^2 = |z|^2 + |z'|^2 + 2\operatorname{Re}(z\,\overline{z'})\) ✓.
b) \(\operatorname{Re}(z\,\overline{z'}) \leqslant |z\,\overline{z'}| = |z|\,|z'|\), donc \(|z + z'|^2 \leqslant |z|^2 + |z'|^2 + 2|z|\,|z'| = (|z| + |z'|)^2\). Les deux membres étant positifs : \(\boxed{|z + z'| \leqslant |z| + |z'|}\).
c) \(|3 + 4i| = 5 \leqslant 3 + 4 = 7\) ✓. Géométriquement : dans un triangle, un côté est plus court que la somme des deux autres.
🔍 Vérification : l'égalité a lieu quand \(z\) et \(z'\) ont le même argument (vecteurs de même sens), par exemple \(z = 1\), \(z' = 2\) ✓
On pose \(z_0 = 4\) et \(z_{n+1} = \dfrac{1 + i}{2}\,z_n\).
a) Écris \(\dfrac{1 + i}{2}\) sous forme exponentielle.
b) Exprime \(z_n\) sous forme exponentielle et calcule \(|z_n|\).
c) Calcule \(z_4\). À partir de quel rang a-t-on \(|z_n| < 0{,}01\) ?
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suite géométrique de raison complexe : \(z_n = z_0 q^n\).
a) \(\left|\dfrac{1 + i}{2}\right| = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) et \(\arg = \dfrac{\pi}{4}\) : \(\boxed{\dfrac{1 + i}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\,e^{i\pi/4}}\).
b) \(z_n = 4\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n e^{in\pi/4}\) et \(\boxed{|z_n| = 4\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n}\).
c) \(z_4 = 4 \times \dfrac{1}{4}\,e^{i\pi} = \boxed{-1}\). \(|z_{17}| \approx 0{,}011\) et \(|z_{18}| \approx 0{,}0078\) : à partir du rang \(\boxed{18}\).
🔍 Vérification : \(|z_n|\) est divisé par \(\sqrt{2}\) à chaque rang : décroissant vers \(0\) ; les points tournent en spirale vers \(O\) ✓
a) Montre que \(\cos^3 x = \dfrac{3\cos x + \cos(3x)}{4}\).
b) Déduis-en \(\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos^3 x\,dx\).
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formule d'Euler au cube, puis primitive.
a) \(\cos^3 x = \dfrac{(e^{ix} + e^{-ix})^3}{8} = \dfrac{e^{3ix} + 3e^{ix} + 3e^{-ix} + e^{-3ix}}{8} = \dfrac{2\cos(3x) + 6\cos x}{8} = \dfrac{3\cos x + \cos(3x)}{4}\) ✓.
b) \(\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos^3 x\,dx = \left[\frac{3\sin x}{4} + \frac{\sin(3x)}{12}\right]_0^{\pi/2} = \frac{3}{4} + \frac{\sin(3\pi/2)}{12} = \frac{3}{4} - \frac{1}{12} = \boxed{\frac{2}{3}}\).
🔍 Vérification : la valeur est entre \(0\) et \(\dfrac{\pi}{2} \approx 1{,}57\) (car \(0 \leqslant \cos^3 x \leqslant 1\)) ✓
a) Montre que \(1 + e^{i\theta} = e^{i\theta/2}\left(e^{-i\theta/2} + e^{i\theta/2}\right) = 2\cos\dfrac{\theta}{2}\,e^{i\theta/2}\).
b) Déduis-en \(|1 + e^{i\theta}|\) et vérifie avec \(\theta = \dfrac{2\pi}{3}\).
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mettre en facteur l'exponentielle de l'angle moitié, puis Euler.
a) \(e^{i\theta/2}\left(e^{-i\theta/2} + e^{i\theta/2}\right) = e^{0} + e^{i\theta} = 1 + e^{i\theta}\), et \(e^{-i\theta/2} + e^{i\theta/2} = 2\cos\dfrac{\theta}{2}\) (Euler) ✓.
b) \(|1 + e^{i\theta}| = 2\left|\cos\dfrac{\theta}{2}\right| \times |e^{i\theta/2}| = \boxed{2\left|\cos\dfrac{\theta}{2}\right|}\). Pour \(\theta = \dfrac{2\pi}{3}\) : \(2\cos\dfrac{\pi}{3} = 1\).
🔍 Vérification : \(1 + e^{2i\pi/3} = 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\), de module \(1\) ✓
a) Montre que, lorsque les quantités sont définies, \(\tan(a - b) = \dfrac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a\tan b}\).
b) Déduis-en \(\tan\dfrac{\pi}{12}\).
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\(\tan = \dfrac{\sin}{\cos}\), puis diviser par \(\cos a\cos b\).
a) \(\tan(a - b) = \dfrac{\sin a\cos b - \cos a\sin b}{\cos a\cos b + \sin a\sin b}\) ; en divisant le numérateur et le dénominateur par \(\cos a\cos b\) : \(\dfrac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a\tan b}\) ✓.
b) \(\tan\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\tan\frac{\pi}{3} - \tan\frac{\pi}{4}}{1 + \tan\frac{\pi}{3}\tan\frac{\pi}{4}} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} = \dfrac{(\sqrt{3} - 1)^2}{3 - 1} = \dfrac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = \boxed{2 - \sqrt{3}}\).
🔍 Vérification : \(2 - 1{,}732 = 0{,}268\) et \(\tan\dfrac{\pi}{12} \approx 0{,}268\) ✓
On définit \(z_0 = 0\) et \(z_{n+1} = z_n^2 + c\).
a) Avec \(c = i\), calcule \(z_1\) à \(z_6\). Que remarques-tu ?
b) Avec \(c = 1\), calcule \(z_1\) à \(z_5\). Que remarques-tu ?
c) L'ensemble de Mandelbrot est l'ensemble des \(c\) pour lesquels la suite reste bornée. Que dire de \(i\) et de \(1\) ?
Voir la correction›
calculer les termes, observer.
a) \(z_1 = i\), \(z_2 = i^2 + i = -1 + i\), \(z_3 = (-1 + i)^2 + i = -2i + i = -i\), \(z_4 = (-i)^2 + i = -1 + i\), \(z_5 = -i\), \(z_6 = -1 + i\). La suite devient périodique : elle reste bornée.
b) \(z_1 = 1\), \(z_2 = 2\), \(z_3 = 5\), \(z_4 = 26\), \(z_5 = 677\) : la suite explose.
c) \(i\) appartient à l'ensemble de Mandelbrot ; \(1\) n'y appartient pas.
🔍 Vérification : \((-1 + i)^2 = 1 - 2i + i^2 = -2i\) ✓
Pour aller plus loin
Contenu facultatif, non exigible.
(hors programme) : en coloriant chaque point \(c\) du plan selon la vitesse à laquelle la suite explose, on obtient la célèbre image fractale de l'ensemble de Mandelbrot.
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