Matrices et suites de matrices
Cours
Une matrice est un tableau de nombres, mais c'est surtout un outil de calcul très puissant. Les moteurs de jeux vidéo font tourner et déplacer les objets en 3D avec des produits de matrices ; les biologistes prévoient l'évolution d'une population (jeunes, adultes) avec une matrice ; les logiciels de calcul résolvent des systèmes de milliers d'équations sous forme matricielle. Avec ce chapitre, tu sauras :
- calculer avec des matrices (somme, produit, puissances) ;
- inverser une matrice \(2 \times 2\) et résoudre un système linéaire ;
- calculer la puissance \(n\)-ième d'une matrice ;
- étudier des suites définies par une relation matricielle, comme la suite de Fibonacci.
1 Matrices, somme et produit par un réel
Un tableau de nombres rangés en lignes et en colonnes permet de stocker beaucoup d'informations à la fois.
Une matrice de dimension \(n \times p\) est un tableau de \(n\) lignes et \(p\) colonnes. Le coefficient de la ligne \(i\) et de la colonne \(j\) se note \(a_{ij}\).
- Si \(n = p\), la matrice est carrée d'ordre \(n\).
- Une matrice à une seule colonne est une matrice colonne ; à une seule ligne, une matrice ligne.
- Deux matrices sont égales si elles ont la même dimension et les mêmes coefficients aux mêmes places.
Pour deux matrices \(A\) et \(B\) de même dimension et un réel \(k\),
- \(A + B\) s'obtient en ajoutant les coefficients situés à la même place ;
- \(kA\) s'obtient en multipliant chaque coefficient par \(k\).
\(A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}\).
Étape 1 — La somme. \(A + B = \begin{pmatrix} 2 + 1 & -1 + 4 \\ 0 - 2 & 3 + 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ -2 & 8 \end{pmatrix}\).
Étape 2 — Une combinaison. \(3A - B = \begin{pmatrix} 6 - 1 & -3 - 4 \\ 0 + 2 & 9 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -7 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}\).
🔍 Vérification : coefficient en haut à gauche de \(3A - B\) : \(3 \times 2 - 1 = 5\) ✓.
- ❌ Ajouter deux matrices de dimensions différentes. ✅ La somme n'existe que pour deux matrices de même dimension.
- ❌ Confondre \(a_{12}\) et \(a_{21}\). ✅ On donne toujours la ligne d'abord, la colonne ensuite.
Avec les mêmes matrices, calcule \(A - 2B\).
Voir la réponseMasquer la réponse
\(A - 2B = \begin{pmatrix} 2 - 2 & -1 - 8 \\ 0 + 4 & 3 - 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -9 \\ 4 & -7 \end{pmatrix}\).
Dimension « lignes × colonnes » ; \(a_{ij}\) = ligne \(i\), colonne \(j\) ; somme et produit par un réel se font coefficient par coefficient.
2 Le produit de deux matrices
Le produit de matrices ne se fait pas coefficient par coefficient : on combine une ligne et une colonne.
Si \(A\) est de dimension \(n \times p\) et \(B\) de dimension \(p \times q\), le produit \(AB\) est la matrice \(n \times q\) dont le coefficient de la ligne \(i\) et de la colonne \(j\) est \[c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{ip}b_{pj}.\] En mots : on multiplie la ligne \(i\) de \(A\) par la colonne \(j\) de \(B\), terme à terme, et on additionne.
(pour des matrices carrées de même ordre) :
- \((AB)C = A(BC)\) et \(A(B + C) = AB + AC\) ;
- la matrice identité \(I_n\) (des \(1\) sur la diagonale, des \(0\) ailleurs) vérifie \(AI_n = I_nA = A\) ;
- en général, \(AB \neq BA\) : le produit n'est pas commutatif.
Avec les matrices de la partie 1.
Étape 1 — \(AB\). Ligne 1 de \(A\) par colonne 1 de \(B\) : \(2 \times 1 + (-1) \times (-2) = 4\). On continue : \[AB = \begin{pmatrix} 2 \times 1 + (-1) \times (-2) & 2 \times 4 + (-1) \times 5 \\ 0 \times 1 + 3 \times (-2) & 0 \times 4 + 3 \times 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -6 & 15 \end{pmatrix}.\]
Étape 2 — \(BA\). \(BA = \begin{pmatrix} 2 & 11 \\ -4 & 17 \end{pmatrix}\).
🔍 Vérification : \(AB \neq BA\) ✓ : l'ordre compte.
- ❌ Multiplier coefficient par coefficient. ✅ On fait « ligne × colonne ».
- ❌ Calculer \(AB\) quand le nombre de colonnes de \(A\) n'est pas égal au nombre de lignes de \(B\). ✅ Le produit n'existe pas.
- ❌ Écrire \((A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\). ✅ \((A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2\), et \(AB \neq BA\) en général.
Calcule \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix}\).
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\(\begin{pmatrix} 1 \times 5 + 2 \times 6 \\ 3 \times 5 + 4 \times 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 \\ 39 \end{pmatrix}\).
\(AB\) existe si (colonnes de \(A\)) = (lignes de \(B\)) ; coefficient \(c_{ij}\) = ligne \(i\) de \(A\) × colonne \(j\) de \(B\) ; \(AB \neq BA\) en général.
3 Matrice inverse et systèmes linéaires
Comme on divise par un nombre non nul, on peut parfois « diviser » par une matrice : c'est multiplier par son inverse.
Une matrice carrée \(A\) d'ordre \(n\) est inversible s'il existe une matrice \(B\) telle que \(AB = BA = I_n\). Cette matrice est unique ; on la note \(A^{-1}\).
Soit \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\). Le nombre \(\det(A) = ad - bc\) est le déterminant de \(A\).
- Si \(\det(A) \neq 0\), \(A\) est inversible et \(A^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\).
- Si \(\det(A) = 0\), \(A\) n'est pas inversible.
L'idée en une phrase : on multiplie et on trouve l'identité.
Voir la démonstration pas à pasMasquer la démonstration
Étape 1 — Le produit. \(\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} da - bc & db - bd \\ -ca + ac & -cb + ad \end{pmatrix} = (ad - bc)\,I_2\).
Étape 2 — Diviser par le déterminant. Si \(ad - bc \neq 0\), on divise par ce nombre : le produit vaut \(I_2\). Le calcul dans l'autre ordre donne aussi \((ad - bc)I_2\) ✓.
Un système de \(n\) équations à \(n\) inconnues s'écrit \(AX = B\), avec \(A\) la matrice des coefficients, \(X\) la colonne des inconnues et \(B\) la colonne des seconds membres. Si \(A\) est inversible, le système a une unique solution : \(X = A^{-1}B\).
Résoudre \(\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}\).
Étape 1 — Écriture matricielle. \(A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\), \(X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\), \(B = \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \end{pmatrix}\).
Étape 2 — L'inverse. \(\det(A) = 2 \times (-1) - 3 \times 1 = -5 \neq 0\), donc \(A^{-1} = -\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} -1 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\).
Étape 3 — La solution. \(X = A^{-1}B = \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} 7 + 3 \\ 7 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\), soit \(\boxed{x = 2,\ y = 1}\).
🔍 Vérification : \(2 \times 2 + 3 \times 1 = 7\) et \(2 - 1 = 1\) ✓.
Pour une matrice \(3 \times 3\) ou plus grande, on obtient \(A^{-1}\) avec la calculatrice (touche \(x^{-1}\) dans le menu matrices).
- ❌ Écrire \(X = BA^{-1}\). ✅ De \(AX = B\), on multiplie à gauche par \(A^{-1}\) : \(X = A^{-1}B\).
- ❌ Oublier de vérifier que \(\det(A) \neq 0\). ✅ Une matrice de déterminant nul n'a pas d'inverse.
Donne l'inverse de \(\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}\).
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Déterminant \(4 - 3 = 1\), donc l'inverse est \(\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}\).
\(\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc\) ; inverse \(\dfrac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\) si \(ad - bc \neq 0\) ; \(AX = B \iff X = A^{-1}B\).
4 Puissances d'une matrice
Calculer \(A^{10}\) en faisant dix produits est long. Certaines formes de matrices rendent le calcul immédiat.
Pour une matrice carrée \(A\) et un entier \(n \geqslant 1\), \(A^n = A \times A \times \cdots \times A\) (\(n\) facteurs), et \(A^0 = I\).
- pour une matrice diagonale, \(\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} a^n & 0 \\ 0 & b^n \end{pmatrix}\) ;
- si \(A = PDP^{-1}\) avec \(P\) inversible et \(D\) diagonale, alors \(A^n = PD^nP^{-1}\) pour tout entier \(n \geqslant 1\).
L'idée en une phrase : dans \(A \times A\), les facteurs \(P^{-1}P\) du milieu se simplifient.
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Étape 1 — Initialisation. Pour \(n = 1\) : \(A = PDP^{-1}\), c'est l'hypothèse.
Étape 2 — Hérédité. Si \(A^n = PD^nP^{-1}\), alors \(A^{n+1} = A^n A = PD^n(P^{-1}P)DP^{-1} = PD^n D P^{-1} = PD^{n+1}P^{-1}\) ✓.
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}\), \(P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\) et \(D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\). On admet que \(A = PDP^{-1}\).
Étape 1 — L'inverse de \(P\). \(\det(P) = 2 - 1 = 1\), donc \(P^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\).
Étape 2 — La formule. \[A^n = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ 0 & 3^n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2^{n+1} - 3^n & 3^n - 2^n \\ 2^{n+1} - 2 \times 3^n & 2 \times 3^n - 2^n \end{pmatrix}.\]
🔍 Vérification : pour \(n = 1\), on retrouve \(\begin{pmatrix} 4 - 3 & 3 - 2 \\ 4 - 6 & 6 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} = A\) ✓.
- ❌ Élever chaque coefficient de \(A\) à la puissance \(n\). ✅ Cela ne marche que pour une matrice diagonale.
- ❌ Écrire \(A^n = P^nD^nP^{-n}\). ✅ Les \(P\) et \(P^{-1}\) ne restent qu'aux deux bouts : \(A^n = PD^nP^{-1}\).
Calcule \(D^3\) pour \(D = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}\).
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\(D^3 = \begin{pmatrix} 27 & 0 \\ 0 & -8 \end{pmatrix}\).
Diagonale → on élève les coefficients diagonaux à la puissance \(n\) ; \(A = PDP^{-1} \Rightarrow A^n = PD^nP^{-1}\) (démonstration par récurrence).
5 Suites de matrices
Quand plusieurs suites évoluent ensemble, on les range dans une matrice colonne : une seule relation matricielle remplace plusieurs relations.
Si \((U_n)\) est une suite de matrices colonnes telle que \(U_{n+1} = AU_n\) pour tout \(n\), alors \[U_n = A^nU_0 \quad \text{pour tout entier } n \geqslant 0.\]
L'idée en une phrase : comme pour une suite géométrique, on multiplie par \(A\) à chaque étape.
Voir la démonstration pas à pasMasquer la démonstration
Étape 1 — Initialisation. \(A^0U_0 = IU_0 = U_0\) ✓.
Étape 2 — Hérédité. Si \(U_n = A^nU_0\), alors \(U_{n+1} = AU_n = A \times A^nU_0 = A^{n+1}U_0\) ✓.
\(F_0 = 0\), \(F_1 = 1\) et \(F_{n+2} = F_{n+1} + F_n\). On pose \(U_n = \begin{pmatrix} F_{n+1} \\ F_n \end{pmatrix}\).
Étape 1 — La relation matricielle. \(U_{n+1} = \begin{pmatrix} F_{n+2} \\ F_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_{n+1} + F_n \\ F_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}U_n\).
Étape 2 — Appliquer la formule. Avec \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\) et \(U_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) : \(A^5 = \begin{pmatrix} 8 & 5 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}\), donc \(U_5 = A^5U_0 = \begin{pmatrix} 8 \\ 5 \end{pmatrix}\) : \(\boxed{F_5 = 5,\ F_6 = 8}\).
🔍 Vérification : \(0, 1, 1, 2, 3, 5, 8\) ✓.
Si une matrice colonne \(C\) vérifie \(C = AC + B\) (on l'obtient avec \(C = (I - A)^{-1}B\) quand \(I - A\) est inversible), alors la suite \(V_n = U_n - C\) vérifie \(V_{n+1} = AV_n\), donc \[U_n = A^n(U_0 - C) + C.\] Si les coefficients de \(A^n\) tendent vers \(0\), alors \(U_n\) tend vers \(C\) : c'est l'état stable du système.
\(A = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}25 \\ 0 & 0{,}5 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\).
Étape 1 — Chercher \(C\). \(I - A = \begin{pmatrix} 0{,}5 & -0{,}25 \\ 0 & 0{,}5 \end{pmatrix}\), de déterminant \(0{,}25\), donc \((I - A)^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\) et \(C = \begin{pmatrix} 2 \times 2 + 1 \times 1 \\ 2 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}\).
Étape 2 — Vérifier. \(AC + B = \begin{pmatrix} 2{,}5 + 0{,}5 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} = C\) ✓.
Conclusion : on montre (exercice 29) que \(A^n\) tend vers la matrice nulle ; quelle que soit la valeur de départ, \(U_n\) tend vers \(\boxed{\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}}\).
- ❌ Écrire \(U_n = U_0A^n\). ✅ Avec des matrices colonnes, la matrice \(A\) se place à gauche : \(U_n = A^nU_0\).
- ❌ Appliquer \(U_n = A^nU_0\) à une relation \(U_{n+1} = AU_n + B\). ✅ Il faut d'abord se ramener à \(V_{n+1} = AV_n\) avec l'état stable \(C\).
Avec la suite de Fibonacci, calcule \(U_1\) et \(U_2\) à partir de \(U_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\).
Voir la réponseMasquer la réponse
\(U_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(U_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\).
\(U_{n+1} = AU_n \Rightarrow U_n = A^nU_0\) ; pour \(U_{n+1} = AU_n + B\), on cherche l'état stable \(C = AC + B\) et on étudie \(U_n - C\).
Quiz du cours
Tu as lu le cours ? Vérifie en 8 questions que tu as retenu l’essentiel. Chaque réponse est corrigée tout de suite, sans chronomètre.
Quelle est la dimension de la matrice \(\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \ 3 & 5 & -1 \end{pmatrix}\) ?
On donne le nombre de lignes, puis le nombre de colonnes : \(2\) lignes, \(3\) colonnes.
Revoir dans le cours : 1. Matrices, somme et produit par un réel
Avec \(A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \ 0 & 3 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \ -2 & 5 \end{pmatrix}\), quel est le coefficient en haut à gauche de \(AB\) ?
Réponse attendue : \(4\)
Ligne 1 de \(A\) par colonne 1 de \(B\) : \(2 \times 1 + (-1) \times (-2) = 4\).
Vrai ou faux : pour toutes matrices carrées \(A\) et \(B\) de même ordre, \(AB = BA\).
Le produit de matrices n'est pas commutatif : avec les matrices du cours, \(AB \neq BA\).
Quel est le déterminant de \(\begin{pmatrix} 2 & 3 \ 1 & -1 \end{pmatrix}\) ?
Réponse attendue : \(-5\)
\(ad - bc = 2 \times (-1) - 3 \times 1 = -5\).
Revoir dans le cours : 3. Matrice inverse et systèmes linéaires
Si \(A\) est inversible, la solution de \(AX = B\) est :
On multiplie à gauche par \(A^{-1}\) : \(A^{-1}AX = A^{-1}B\), soit \(X = A^{-1}B\).
Revoir dans le cours : 3. Matrice inverse et systèmes linéaires
Si \(A = PDP^{-1}\) avec \(D\) diagonale, alors \(A^n\) vaut :
Les produits \(P^{-1}P\) du milieu se simplifient : \(A^n = PD^nP^{-1}\) (récurrence).
Soit \(D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & -1 \end{pmatrix}\). Quel est le coefficient en haut à gauche de \(D^5\) ?
Réponse attendue : \(32\)
Pour une matrice diagonale, on élève chaque coefficient diagonal : \(2^5 = 32\).
Si \(U_{n+1} = AU_n\) pour tout \(n\) (\(U_n\) matrice colonne), alors :
Comme une suite géométrique : on multiplie par \(A\) (à gauche) à chaque étape.
À revoir dans le cours :
Fiche mémo
L’essentiel du chapitre, à relire avant un contrôle.
L'essentiel
| Notion | À savoir |
|---|---|
| Dimension | \(n \times p\) : \(n\) lignes, \(p\) colonnes ; \(a_{ij}\) = ligne \(i\), colonne \(j\) |
| Somme, produit par \(k\) | coefficient par coefficient (même dimension pour la somme) |
| Produit \(AB\) | ligne de \(A\) × colonne de \(B\) ; colonnes de \(A\) = lignes de \(B\) ; \(AB \neq BA\) en général |
| Identité | \(AI = IA = A\) |
| Inverse \(2 \times 2\) | \(\det = ad - bc \neq 0\) ; \(A^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\) |
| Système | \(AX = B \iff X = A^{-1}B\) (\(A\) inversible) |
| Puissances | diagonale : \(D^n\) coefficient par coefficient ; \(A = PDP^{-1} \Rightarrow A^n = PD^nP^{-1}\) |
| Suites | \(U_{n+1} = AU_n \Rightarrow U_n = A^nU_0\) ; \(U_{n+1} = AU_n + B\) : état stable \(C = AC + B\) |
Pièges à éviter
- L'ordre des facteurs compte : \(AB \neq BA\), et \(X = A^{-1}B\) (pas \(BA^{-1}\)).
- Un produit de matrices peut être nul sans qu'aucune ne soit nulle.
- Pas de « \((A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\) » en général.
Contrôle demain ? Prépare ton plan de révision de 30 minutes sur ce chapitre →
Niveau 1Facile (Exercices 1 à 11)
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 3 & 5 & -1 \end{pmatrix}\).
a) Quelle est la dimension de \(A\) ?
b) Donne \(a_{12}\), \(a_{21}\) et \(a_{23}\).
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\(a_{ij}\) = ligne \(i\), colonne \(j\).
a) \(2\) lignes et \(3\) colonnes : dimension \(\boxed{2 \times 3}\).
b) \(a_{12} = -2\), \(a_{21} = 3\), \(a_{23} = -1\).
🔍 Vérification : \(a_{23}\) est sur la 2e ligne, 3e colonne : \(-1\) ✓
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}\). Calcule \(A + B\) et \(2A - 3B\).
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coefficient par coefficient.
\(A + B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 5 & 9 \end{pmatrix}\) et \(2A - 3B = \begin{pmatrix} 2 - 0 & 4 + 3 \\ 6 - 6 & 8 - 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 0 & -7 \end{pmatrix}\).
🔍 Vérification : en bas à droite, \(2 \times 4 - 3 \times 5 = -7\) ✓
Avec les matrices de l'exercice 2, calcule \(AB\) et \(BA\). Que remarques-tu ?
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ligne × colonne.
\(AB = \begin{pmatrix} 0 + 4 & -1 + 10 \\ 0 + 8 & -3 + 20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 9 \\ 8 & 17 \end{pmatrix}\) et \(BA = \begin{pmatrix} 0 - 3 & 0 - 4 \\ 2 + 15 & 4 + 20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 17 & 24 \end{pmatrix}\).
On remarque que \(AB \neq BA\).
🔍 Vérification : coefficient \((2,2)\) de \(AB\) : \(3 \times (-1) + 4 \times 5 = 17\) ✓
Calcule \(\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\).
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chaque ligne multipliée par la colonne.
\(\begin{pmatrix} 2 \times 1 + 1 \times 2 + 0 \\ 1 \times 1 - 1 \times 2 + 3 \times (-1) \end{pmatrix} = \boxed{\begin{pmatrix} 4 \\ -4 \end{pmatrix}}\).
🔍 Vérification : \((2 \times 3)\) fois \((3 \times 1)\) donne bien une matrice \(2 \times 1\) ✓
\(A\) est de dimension \(2 \times 3\), \(B\) de dimension \(3 \times 2\) et \(C\) de dimension \(2 \times 2\). Parmi \(AB\), \(BA\), \(AC\), \(CA\) et \(BC\), lesquels existent ? Donne leur dimension.
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colonnes du premier = lignes du second.
| Produit | Existe ? | Dimension |
|---|---|---|
| \(AB\) | oui (\(3 = 3\)) | \(2 \times 2\) |
| \(BA\) | oui (\(2 = 2\)) | \(3 \times 3\) |
| \(AC\) | non (\(3 \neq 2\)) | — |
| \(CA\) | oui (\(2 = 2\)) | \(2 \times 3\) |
| \(BC\) | oui (\(2 = 2\)) | \(3 \times 2\) |
🔍 Vérification : \(AB\) et \(BA\) existent mais n'ont même pas la même dimension ✓
Soit \(T = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\). Calcule \(T^2\) et \(T^3\).
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produits successifs.
\(T^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) et \(T^3 = T^2T = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\).
🔍 Vérification : la formule générale est démontrée à l'exercice 16 ✓
Écris le système \(\begin{cases} 3x - 2y = 4 \\ x + 5y = -7 \end{cases}\) sous la forme \(AX = B\).
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coefficients, inconnues, seconds membres.
\(\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -7 \end{pmatrix}\).
🔍 Vérification : la première ligne redonne \(3x - 2y = 4\) ✓
Les matrices \(\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\) sont-elles inversibles ? Donne l'inverse quand il existe.
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déterminant.
- \(2 \times 6 - 3 \times 4 = 0\) : pas inversible.
- \(2 \times 2 - 3 \times 1 = 1\) : inversible, d'inverse \(\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\).
🔍 Vérification : \(\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) ✓
Soit \(A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}\). Calcule \(A^{-1}\) et vérifie que \(AA^{-1} = I_2\).
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formule de l'inverse \(2 \times 2\).
\(\det(A) = 6 - 5 = 1\), donc \(A^{-1} = \boxed{\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}}\).
🔍 Vérification : \(AA^{-1} = \begin{pmatrix} 6 - 5 & -3 + 3 \\ 10 - 10 & -5 + 6 \end{pmatrix} = I_2\) ✓
À l'aide de l'exercice 9, résous \(\begin{cases} 3x + y = 5 \\ 5x + 2y = 9 \end{cases}\).
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\(X = A^{-1}B\).
\(X = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 - 9 \\ -25 + 27 \end{pmatrix}\) : \(\boxed{x = 1,\ y = 2}\).
🔍 Vérification : \(3 + 2 = 5\) et \(5 + 4 = 9\) ✓
Soit \(D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\). Calcule \(D^5\), puis donne \(D^n\) en fonction de \(n\).
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on élève les coefficients diagonaux.
\(D^5 = \begin{pmatrix} 32 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\) et \(D^n = \begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ 0 & (-1)^n \end{pmatrix}\).
🔍 Vérification : \((-1)^5 = -1\) ✓
Niveau 2Intermédiaire (Exercices 12 à 24)
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\).
a) Calcule \((A + B)^2\) et \(A^2 + 2AB + B^2\).
b) Explique la différence à l'aide de \(AB\) et \(BA\).
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calculer les deux membres, puis \(AB\) et \(BA\).
a) \(A + B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\), donc \((A + B)^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\). Or \(A^2 = A\), \(B^2 = 0\) et \(AB = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\), donc \(A^2 + 2AB + B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) : c'est différent.
b) \((A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2\), et ici \(BA = 0 \neq AB\).
🔍 Vérification : \(A^2 + AB + BA + B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) ✓
L'identité \((A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\) n'est vraie que si \(AB = BA\).
Calcule \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\). Qu'est-ce qui change par rapport aux nombres réels ?
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ligne × colonne.
\(\begin{pmatrix} 2 - 2 & -4 + 4 \\ 4 - 4 & -8 + 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) : le produit est nul alors qu'aucune des deux matrices n'est nulle. Pour les réels, \(ab = 0\) impose \(a = 0\) ou \(b = 0\) ; pas pour les matrices.
🔍 Vérification : la première matrice a un déterminant nul (\(4 - 4 = 0\)) : elle n'est pas inversible ✓
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\).
a) Calcule \(AB\). Qu'en déduis-tu ?
b) Résous le système \(\begin{cases} x + z = 3 \\ y = -1 \\ x + 2z = 5 \end{cases}\).
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vérifier \(AB = I_3\), puis \(X = A^{-1}Y\).
a) \(AB = I_3\) (calcul ligne par ligne), donc \(A\) est inversible et \(A^{-1} = B\).
b) Le système s'écrit \(AX = Y\) avec \(Y = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}\), donc \(X = BY = \begin{pmatrix} 6 - 5 \\ -1 \\ -3 + 5 \end{pmatrix}\) : \(\boxed{x = 1,\ y = -1,\ z = 2}\).
🔍 Vérification : \(1 + 2 = 3\) et \(1 + 4 = 5\) ✓
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\).
a) Vérifie que \(A^2 - 5A - 2I_2 = 0\).
b) Déduis-en que \(A\) est inversible et exprime \(A^{-1}\) en fonction de \(A\) et de \(I_2\). Vérifie avec la formule du cours.
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factoriser par \(A\).
a) \(A^2 = \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{pmatrix}\), et \(A^2 - 5A - 2I_2 = \begin{pmatrix} 7 - 5 - 2 & 10 - 10 \\ 15 - 15 & 22 - 20 - 2 \end{pmatrix} = 0\) ✓.
b) \(A^2 - 5A = 2I_2\), soit \(A \times \dfrac{A - 5I_2}{2} = I_2\) (et de même dans l'autre ordre). Donc \(A^{-1} = \dfrac{1}{2}(A - 5I_2) = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1{,}5 & -0{,}5 \end{pmatrix}\).
🔍 Vérification : formule du cours, \(\det(A) = -2\) : \(-\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1{,}5 & -0{,}5 \end{pmatrix}\) ✓
Montre par récurrence que, pour tout \(n \geqslant 1\), \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\).
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récurrence.
Étape 1 — Initialisation. Pour \(n = 1\), c'est \(T\) elle-même ✓.
Étape 2 — Hérédité. Si \(T^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\), alors \(T^{n+1} = T^nT = \begin{pmatrix} 1 & 1 + n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) ✓.
🔍 Vérification : \(n = 3\) redonne \(T^3\) de l'exercice 6 ✓
Soit \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\).
a) Calcule \(A^2\) et \(A^3\).
b) Montre par récurrence que \(A^n = \begin{pmatrix} 2^n & n \times 2^{n-1} \\ 0 & 2^n \end{pmatrix}\) pour tout \(n \geqslant 1\).
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calcul, puis récurrence.
a) \(A^2 = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}\) et \(A^3 = \begin{pmatrix} 8 & 12 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}\).
b) Initialisation : \(n = 1\) donne \(\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\) ✓. Hérédité : \(A^{n+1} = A^nA = \begin{pmatrix} 2^{n+1} & 2^n + 2n \times 2^{n-1} \\ 0 & 2^{n+1} \end{pmatrix}\) et \(2^n + n \times 2^n = (n + 1) \times 2^n\) ✓.
🔍 Vérification : \(n = 3\) : \(3 \times 2^2 = 12\) ✓
On reprend \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}\), \(P\) et \(D\) du cours (partie 4).
a) Calcule \(PD\) et \(AP\), et vérifie que \(AP = PD\). Pourquoi cela prouve-t-il que \(A = PDP^{-1}\) ?
b) Calcule \(A^3\) avec la formule du cours, puis vérifie en calculant \(A^2\) et \(A^3\) directement.
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\(AP = PD\), puis la formule \(A^n = PD^nP^{-1}\).
a) \(PD = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}\) et \(AP = \begin{pmatrix} 1 + 1 & 1 + 2 \\ -2 + 4 & -2 + 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}\). En multipliant \(AP = PD\) à droite par \(P^{-1}\), on obtient \(A = PDP^{-1}\).
b) Formule avec \(n = 3\) : \(A^3 = \begin{pmatrix} 16 - 27 & 27 - 8 \\ 16 - 54 & 54 - 8 \end{pmatrix} = \boxed{\begin{pmatrix} -11 & 19 \\ -38 & 46 \end{pmatrix}}\).
🔍 Vérification : \(A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -10 & 14 \end{pmatrix}\), puis \(A^2A = \begin{pmatrix} -1 - 10 & -1 + 20 \\ -10 - 28 & -10 + 56 \end{pmatrix}\) ✓
Avec les notations du cours (partie 5), calcule \(A^5\) et retrouve \(F_5\) et \(F_6\).
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\(U_5 = A^5U_0\).
\(A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\), \(A^4 = (A^2)^2 = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}\), \(A^5 = A^4A = \begin{pmatrix} 8 & 5 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}\). Donc \(U_5 = \begin{pmatrix} 8 \\ 5 \end{pmatrix}\) : \(\boxed{F_5 = 5,\ F_6 = 8}\).
🔍 Vérification : la suite \(0, 1, 1, 2, 3, 5, 8\) ✓
Les coefficients de \(A^n\) sont eux-mêmes des nombres de Fibonacci : \(A^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1} \end{pmatrix}\).
\(u_0 = 1\), \(v_0 = 0\) et, pour tout \(n\), \(u_{n+1} = 2u_n + v_n\), \(v_{n+1} = u_n + 2v_n\).
a) Écris la relation sous la forme \(U_{n+1} = AU_n\) et calcule \(U_1\), \(U_2\), \(U_3\).
b) Montre que \(s_n = u_n + v_n\) est géométrique et que \(d_n = u_n - v_n\) est constante.
c) Déduis-en \(u_n\) en fonction de \(n\).
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somme et différence des deux relations.
a) \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\) ; \(U_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\), \(U_2 = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}\), \(U_3 = \begin{pmatrix} 14 \\ 13 \end{pmatrix}\).
b) \(s_{n+1} = 3u_n + 3v_n = 3s_n\) : géométrique de raison \(3\), \(s_0 = 1\). \(d_{n+1} = u_n - v_n = d_n\) : constante, égale à \(1\).
c) \(u_n = \dfrac{s_n + d_n}{2} = \boxed{\dfrac{3^n + 1}{2}}\).
🔍 Vérification : \(n = 3\) : \(\dfrac{27 + 1}{2} = 14\) ✓
On cherche \(a\), \(b\), \(c\) tels que la parabole \(y = ax^2 + bx + c\) passe par \(A(1 \,;\, 2)\), \(B(2 \,;\, 3)\) et \(C(3 \,;\, 6)\).
a) Écris le système, puis sa forme matricielle \(MX = Y\).
b) On admet que \(M^{-1} = \begin{pmatrix} 0{,}5 & -1 & 0{,}5 \\ -2{,}5 & 4 & -1{,}5 \\ 3 & -3 & 1 \end{pmatrix}\). Trouve \(a\), \(b\) et \(c\).
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une équation par point, puis \(X = M^{-1}Y\).
a) \(\begin{cases} a + b + c = 2 \\ 4a + 2b + c = 3 \\ 9a + 3b + c = 6 \end{cases}\), soit \(M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \end{pmatrix}\), \(X = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\), \(Y = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}\).
b) \(X = M^{-1}Y = \begin{pmatrix} 1 - 3 + 3 \\ -5 + 12 - 9 \\ 6 - 9 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}\) : la parabole est \(\boxed{y = x^2 - 2x + 3}\).
🔍 Vérification : \(x = 3\) : \(9 - 6 + 3 = 6\) ✓
Trouve toutes les matrices \(X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) telles que \(TX = XT\), avec \(T = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\).
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calculer les deux produits et identifier.
\(TX = \begin{pmatrix} a + c & b + d \\ c & d \end{pmatrix}\) et \(XT = \begin{pmatrix} a & a + b \\ c & c + d \end{pmatrix}\). L'égalité donne \(c = 0\) et \(d = a\) : \(\boxed{X = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}}\), \(a\) et \(b\) réels quelconques.
🔍 Vérification : \(T\) elle-même (\(a = b = 1\)) commute bien avec \(T\) ✓
Avec \(A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\) :
a) résous \(AX = B\) ;
b) résous \(XA = B\) et compare.
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multiplier par \(A^{-1}\) du bon côté.
a) \(X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\).
b) \(X = BA^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\) : ce n'est pas la même matrice.
🔍 Vérification : \(A\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\) ✓
\(AX = B\) se résout en multipliant à gauche par \(A^{-1}\), \(XA = B\) en multipliant à droite.
On reprend \(A = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}25 \\ 0 & 0{,}5 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) du cours, avec \(U_0 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) et \(U_{n+1} = AU_n + B\).
a) Calcule \(U_1\) et \(U_2\).
b) Avec \(C = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}\), montre que \(V_n = U_n - C\) vérifie \(V_{n+1} = AV_n\).
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appliquer la relation, puis soustraire \(C = AC + B\).
a) \(U_1 = B = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(U_2 = \begin{pmatrix} 1 + 0{,}25 \\ 0{,}5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3{,}25 \\ 1{,}5 \end{pmatrix}\).
b) \(V_{n+1} = U_{n+1} - C = (AU_n + B) - (AC + B) = A(U_n - C) = AV_n\) ✓.
🔍 Vérification : \(U_2\) se rapproche de \(\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}\) ✓
Niveau 3Difficile/Expert (Exercices 25 à 30)
Chaque année, chaque adulte d'une espèce donne naissance à \(3\) jeunes ; la moitié des jeunes survit et devient adulte ; la moitié des adultes survit. On note \(j_n\) et \(a_n\) le nombre de jeunes et d'adultes l'année \(n\), avec \(j_0 = a_0 = 10\).
a) Montre que \(U_{n+1} = LU_n\) avec \(U_n = \begin{pmatrix} j_n \\ a_n \end{pmatrix}\) et \(L = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}\).
b) Avec \(P = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\) et \(D = \begin{pmatrix} 1{,}5 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\), vérifie que \(LP = PD\), puis calcule \(P^{-1}\).
c) Montre que \(j_n = 16 \times 1{,}5^n - 6 \times (-1)^n\) et \(a_n = 8 \times 1{,}5^n + 2 \times (-1)^n\).
d) Comment évolue la population ? Vers quoi tend le rapport \(\dfrac{j_n}{a_n}\) ?
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modéliser, diagonaliser, puis \(U_n = PD^nP^{-1}U_0\).
a) \(j_{n+1} = 3a_n\) et \(a_{n+1} = 0{,}5j_n + 0{,}5a_n\), d'où la matrice \(L\).
b) \(LP = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 1{,}5 & -1 \end{pmatrix} = PD\) ✓. \(\det(P) = 2 + 3 = 5\), donc \(P^{-1} = \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\).
c) \(P^{-1}U_0 = \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} 40 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 2 \end{pmatrix}\), puis \(U_n = PD^n\begin{pmatrix} 8 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 8 \times 1{,}5^n \\ 2 \times (-1)^n \end{pmatrix}\), ce qui donne les formules annoncées.
d) \(1{,}5^n \to +\infty\) : la population augmente (environ \(\times 1{,}5\) par an). \(\dfrac{j_n}{a_n} = \dfrac{16 - 6(-1)^n / 1{,}5^n}{8 + 2(-1)^n / 1{,}5^n} \to \boxed{2}\) : à long terme, deux jeunes pour un adulte.
🔍 Vérification : \(n = 1\) : \(j_1 = 24 + 6 = 30 = 3 \times 10\) et \(a_1 = 12 - 2 = 10 = 5 + 5\) ✓
Soit \(J = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\).
a) Calcule \(J^2\), \(J^3\) et \(J^4\).
b) Déduis-en \(J^{2026}\).
c) Quel nombre complexe se comporte comme \(J\) ?
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trouver une période.
a) \(J^2 = -I_2\), \(J^3 = -J\), \(J^4 = I_2\).
b) \(2026 = 4 \times 506 + 2\), donc \(J^{2026} = J^2 = \boxed{-I_2}\).
c) Le nombre \(i\) : \(i^2 = -1\) et \(i^4 = 1\). En effet, \(J\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix}\) : c'est la multiplication de \(x + iy\) par \(i\) (rotation d'un quart de tour).
🔍 Vérification : \(i^{2026} = i^2 = -1\) ✓
\(u_0 = 0\), \(u_1 = 1\) et \(u_{n+2} = u_{n+1} + 2u_n\). On pose \(U_n = \begin{pmatrix} u_{n+1} \\ u_n \end{pmatrix}\).
a) Trouve \(A\) telle que \(U_{n+1} = AU_n\).
b) Avec \(P = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\), vérifie que \(AP = P\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\).
c) Montre que \(u_n = \dfrac{2^n - (-1)^n}{3}\). Vérifie pour \(n = 5\).
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écriture matricielle, puis \(A^n = PD^nP^{-1}\).
a) \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\).
b) \(AP = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = P\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\) ✓.
c) \(P^{-1} = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\), \(P^{-1}U_0 = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\), donc \(U_n = \dfrac{1}{3}\left(2^n\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} - (-1)^n\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}\right)\). La 2e ligne donne \(u_n = \dfrac{2^n - (-1)^n}{3}\).
🔍 Vérification : \(u\) vaut \(0, 1, 1, 3, 5, 11\), et \(\dfrac{32 + 1}{3} = 11\) ✓
\(N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\).
a) Calcule \(N^2\) et \(N^3\).
b) Développe \((I_3 - N)(I_3 + N + N^2)\) et déduis-en l'inverse de \(I_3 - N\).
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comme \(1 - x^3 = (1 - x)(1 + x + x^2)\).
a) \(N^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\) et \(N^3 = 0\).
b) \((I_3 - N)(I_3 + N + N^2) = I_3 - N^3 = I_3\). Donc \((I_3 - N)^{-1} = I_3 + N + N^2 = \boxed{\begin{pmatrix} 1 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}\).
🔍 Vérification : \((I_3 - N)\) et \(I_3 + N + N^2\) commutent, le produit dans l'autre ordre vaut aussi \(I_3\) ✓
On reprend \(A = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}25 \\ 0 & 0{,}5 \end{pmatrix}\) de l'exercice 24.
a) Montre par récurrence que \(A^n = \begin{pmatrix} 0{,}5^n & n \times 0{,}5^{n+1} \\ 0 & 0{,}5^n \end{pmatrix}\).
b) On admet que \(n \times 0{,}5^{n+1}\) tend vers \(0\). Déduis-en la limite de \(U_n\).
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récurrence, puis \(U_n = A^n(U_0 - C) + C\).
a) \(n = 1\) : \(1 \times 0{,}5^2 = 0{,}25\) ✓. Hérédité : \(A^{n+1} = A^nA\) a pour coefficient en haut à droite \(0{,}5^n \times 0{,}25 + n \times 0{,}5^{n+1} \times 0{,}5 = 0{,}5^{n+2} + n \times 0{,}5^{n+2} = (n + 1) \times 0{,}5^{n+2}\) ✓ ; les autres coefficients sont immédiats.
b) Tous les coefficients de \(A^n\) tendent vers \(0\), donc \(A^n(U_0 - C) \to 0\) et \(U_n \to \boxed{\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}}\).
🔍 Vérification : \(n = 2\) : \(A^2 = \begin{pmatrix} 0{,}25 & 0{,}25 \\ 0 & 0{,}25 \end{pmatrix}\), et \(2 \times 0{,}5^3 = 0{,}25\) ✓
On code les lettres par \(A = 0\), \(B = 1\), …, \(Z = 25\). Un couple de lettres \(X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) est chiffré en \(Y = HX\) modulo \(26\), avec \(H = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}\).
a) Chiffre le mot « MA ».
b) Vérifie que \(H' = \begin{pmatrix} 2 & 25 \\ 21 & 3 \end{pmatrix}\) vérifie \(HH' \equiv I_2\) modulo \(26\) (coefficient par coefficient).
c) Déchiffre le résultat de la question a).
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produit, puis réduction modulo \(26\).
a) M = \(12\), A = \(0\) : \(HX = \begin{pmatrix} 36 \\ 60 \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 10 \\ 8 \end{pmatrix}\), soit « KI ».
b) \(HH' = \begin{pmatrix} 27 & 78 \\ 52 & 131 \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \ [26]\) ✓.
c) \(H'\begin{pmatrix} 10 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 220 \\ 234 \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 12 \\ 0 \end{pmatrix} \ [26]\) : on retrouve « MA » ✓.
🔍 Vérification : \(220 = 8 \times 26 + 12\) et \(234 = 9 \times 26\) ✓
\(\det(H) = 1\), inversible modulo \(26\) : c'est ce qui permet de déchiffrer. Une clé de déterminant pair rendrait le déchiffrement impossible.
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